DigitalesMathematikheftderKlasse9BRb

Eintrag 1 :
Mathematikheft der Klasse 9 BR im Schuljahr 2016/17
Thema 1 : Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Was sind Quadratzahlen ?
Multipliziert man eine ganze Zahl mit sich selbst, so ist das
Ergebnis eine Quadratzahl.
a ∈ Z
a*a = a 2 = Quadratzahl
Beispiel : 1 ist eine Quadratzahl, weil 1 * 1 = 1 2 = 1
4 ist eine Quadratzahl, weil 2 * 2 = 2 2 = 4
9 ist eine Quadratzahl, weil 3 * 3 = 3 2 = 9
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B. Die ersten 20 Quadratzahlen
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
Diese sind auswendig zu lernen !
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C. Woher kommt der Name Quadratzahl ?
Ist a die Seitenlänge eines Quadrates, so ist die Quadratzahl zu a
der Flächeninhalt dieses Quadrates.
Seitenlänge a
Flächeninhalt
a * a

Male alle Felder, die Quadratzahlen enthalten, rot aus !
Aufgabe 1 : Berechne schriftlich - schaffst du die ganze Tabelle in
15 Minuten ?
A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
a 2
Kenntnisse der schriftlichen Multiplikation werden vorausgesetzt !
Aufgabe 2-7 :

Aufgabe 2 :
5 2 9 2 11 2 13 2 15 2 17 2 19 2 21 2 23 2 25 2
4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 14 2 16 2 18 2 20 2 22 2
Aufgabe 3 :
(5+9) 2 (9+8) 2 (11-6) 2 (13+7) 2 (15-4) 2 (17-9) 2 (19-3) 2 (21-4) 2 (23+7) 2 (25*2) 2
(4+9) 2 (6*5) 2 (8+11) 2 (10+7) 2 (12-5) 2 (14+16) 2 (16-4) 2 (18-3) 2 (20-6) 2 (22-5) 2
Aufgabe 4 :
3*2 2 4*2 2 5*2 2 6*2 2 2*2 2 2*2 2 8*2 2 9*2 2 10*2 2 20*2 2
4*2 3 4*3 2 5*2 3 5*3 2 6*2 3 6*3 2 7*2 3 7*3 2 8*2 3 8*3 2
Aufgabe 5 :
(3 + 5 2 ) : 4 =
(17-3 2 ) * 6 =
(15 – 2 2 ) * 7 =
(8 + 3 2 ) * 5 =
Aufgabe 6 :
a) Addiere die Zahl 17 zum Quadrat der Zahl 8 !
b) Addiere die Zahl 19 zum Quadrat der Zahl 4 !
c) Addiere die Zahl 15 zum doppelten Quadrat der Zahl 6 !
Aufgabe 7 :
a) X + 5 2 = 30
b) X + 8 2 = 90
c) 2x + 5 2 = 37
d) 3x + 9 2 =

Potenzen höheren Grades
Multipliziert man eine Zahl x
die n-te Potenz von x.
n-mal mit sich selbst, so erhält man
Man sagt x hoch n und schreibt x n .
X nennt man Basis und n ist der Exponent.
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Beispiele :
x*x*x = x 3 a*a*a*a = a 4 4*4*4 = 4 3 = 64
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Berechne :
a. 2 5
b. (2+8) 4
c. (13-8) 3
d. (12+8) 3
e. (13-10) 3
f. (2+1) 4
g. (13-9) 3
Potenzgesetze :
x a * x b = x a+b
x a : x b = x a-b
x a * y a = (x*y) a
x a : y a = (x:y) a
(auch als Bruch)

Übungsaufgaben zu den Potenzgesetzen
Summenterme
1 a 2 + b 3 + c 3 + b 2 + c 3 + b 2
2 2b 2 + 3b 3 + 2c 3 +3b 2 + c 3 + 4b 2
3 2b -2 + 2c 3 +3b 2 + c 3 + 4b -2
4 27x 3 – 20y 2 – 18x 3 + 9y 2
5 2x² + 4xy + 2y² - 3x² - 6xy - 3y²
6 4x² + 4z² + 3m² + 3z² - 2m² - 2x²
7 a 2 - b 3 - c 3 - b 2 - c 3 - b 2
8 2b 2 - 3b 3 - 2c 3 -3b 2 + c 3 - 4b 2
9 2b -2 - 2c 3 -3b 2 - c 3 - 4b -2
10 a 2 + a 3 + a 4 + a 2 + a 3 + a 2

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
1 3 4 3 5 3 2
2 d 3 d 5 d 4
3 x 3 x 2 x
4 k 3 k 5 m 2 m 7
5 x 5 y 3 x 2 y
6 a 2 b b 3 a
7 x 2 y n
8 b m b 3
9 y a y
10 a 5 a 2x
11 z 2m z m
12 x 3 x m-2
13 a 5 a x-7
14 y 2m y m -1
15 x p-4 x p+2

Division von Potenzen mit gleicher Basis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 5
5 3
a 5
a 3
0,5 5
0,5 3
(ab) 7
(ab) 3
x 3n
x n
y 3x+2
y 3x-2
(a+b) 7
(a+b) 5
12a 5
4a 3
3(x+y) 5
x + y
3(a+b) 8
12(a + b) 5

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis
1 a²(a³ + a 4 )
2 b³(b 5 + b 4 )
3 3c³(4c² - 5c 5 )
4 d m (d m+1 – d 3m-1 )
5 e 2a (e 3a+1 – e a-4 )
6 f n-3 (f 5 + f 4 )
7
8
9
10
11
a 5
a 3
b 5
b x
c 3x
c x
d x
d x-2
e 5
e 5-x

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponent
1 5 3 2 3
2 0,5³ 4³
3 0,5 5 10 5 0,2 5
4
2 4
3 4 64
10 4 54
5 5 x 2 x
6 5 a 12 a
7 x a y a
8 (x+y) 2 5 2
9
10
11
243
83
365
185
493
73

Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel einer Zahl ist die (nicht negative) Zahl, deren Quadrat
gleich der gegebenen Zahl ist.
● Die Quadratwurzel aus 9 (√9) ist 3, weil 3 * 3 = 9
● Die Quadratwurzel aus 25 (√25) ist 5, weil 5 * 5 = 25
●
Die Quadratwurzel aus 2 (√2) ist 1,4142, weil 1,4142 * 1,4142 = 2 ist, usw.
Ergänze die Tabelle :
A 36 121 900 169 324 441 6400 289 1,44
√a
Wurzelgesetze :
a. √a * √b = √a*b
b. √a : √b = √a:b
Berechne durch Anwendung der Wurzelgesetze :
√3 * √12 = √5 * √20 = √8 *
√32 =
√6x * √54x = √10 * √40 = √52 : √13 =
Hausaufgabe : S.15 / 5, 8a-f

Aufgaben :
a) 17 + √25 * √36
b) √36 + √4 * (17 - √100)
c) (√25 + √36) * (√100 -√36)
d) √81 + 3 * √25 - √144
e) (√49 * 5 + √64 : 4) * 3 =
f) (6 2 + √16) * (√9 + √25)=
g) (5 2 - √144) * (12 + √64) =
h) √(1 + 7*9) : √4 =
i) (15 – 2 – 4 ) 2 + √256 =
j) √900 * (√16 + √36) =
k) X + √81 = 16
l) 2x + √36 = 18
m) 3x + √25 - √36 – 8 – x = 15
n) 3 * (x + √4) + 2 * (x + 3 2 ) = 39
o) 5 * (x - √25) – 3 * (x - √16) = 7

Stelle die Gleichung auf und löse !
a) Multipliziert man eine Zahl mit 5, so erhält man die √ aus
100.
b) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert 7 , so erhält
man die √ aus 484.
c) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und subtrahiert 4, so
erhält man die √ aus 121.
d) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert die √ aus 4,
so erhält man die √ aus 729.
e) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert das Produkt
aus 3 und 4 , so erhält man die √ aus 139 .
f) Dividiert man eine Zahl durch 5, so erhält man die √ aus
16.
g) Dividiert man eine Zahl durch 5 und addiert dazu 4 , so
erhält man die √ aus 64.
h) Addiert man zu einer Zahl die √ aus 49, so erhält man die
√ aus 225.

Berechne unter Anwendung der binomischen Formeln :
a. (x+5) 2 =
b. (x-5) 2 =
c. (x-8) 2 =
d. (2x+5) 2 =
e. (x+1,5) 2 =
f. (3x-2,5) 2 =
g. (x+9)*(x-9) =
Hausaufgabe :
(x-3) * (x + 3) =
(x - 9) 2 =
(x + 7) 2 + (x + 8) 2 =
(x + 6) 2 + 3x + 15

Aufgaben zu den
BINOMISCHEN FORMELN
Aufgabe 1 :
a) (x +1) 2 = b) (x +2) 2 =
c) (x +3) 2 = d) (x +4) 2 =
e) (x +5) 2 = f) (x +6) 2 =
g) (x +7) 2 = h) (x +8) 2 =
i) (x +9) 2 = j) (x +10) 2 =
Aufgabe 2 :
a) (x -1) 2 = b) (x -2) 2 =
c) (x -3) 2 = d) (x -4) 2 =
e) (x -5) 2 = f) (x -6) 2 =
g) (x -7) 2 = h) (x -8) 2 =
i) (x -9) 2 = j) (x -10) 2 =

Aufgabe 3 :
a) (x+1) * (x-1) =
b) (x+2) * (x-2) =
c) (x+3) * (x-3) =
d) (x+4) * (x–4) =
e) (x+5) * (x-5) =
f) (x+6) * (x-6) =
g) (x+7)*(x-7) =
h) (x+8)*(x-8) =
i) (x+9) * (x-9) =
Aufgabe 4 :
a) (2x + 7) 2 = b) (3x – 4) 2 = c) (6x + 5) 2 = d) (4x – 10) 2 =
e) (3x + 7) 2 = f) (4x – 4) 2 = g) (5x + 5) 2 = h)(6x – 10) 2 =
i) (4x + 7) 2 = j) (5x – 4) 2 = k) (7x + 5) 2 = l) (8x – 10) 2 =
m) (10x + 7) 2 = n) (20x – 4) 2 = o (30x + 5) 2 = p) (40x – 10) 2 =
Aufgabe 5 : Führe auf einen quadratischen Term zurück !
a) X 2 – 144 = b) X 2 – 4 =
c) X 2 – 64 = d) X 2 – 121 =
e) X 2 – 256 = f) X 2 + 6x + 9 =
g) X 2 + 8x + 16 =
h) X 2 + 12x + 36 =
i) X 2 + 16x + 64 =
j) X 2 - 6x + 9 =
k) X 2 - 12x + 36 =
l) X 2 – 16x + 64 =
m) X 2 - 20x + 100 =

Aufgabe 6 : Löse die Klammer auf und fasse zusammen !
a) (x +1) 2 + 3x =
b) (x -2) 2 - 2x =
c) (x +3) 2 + 16 =
d) (x -4) 2 – 20 =
e) (x +5) 2 + 8x + 1=
f) (x - 6) 2 – 3x – 3 =
g) (x +7) 2 - 8x + 2y =
h) (2x - 8) 2 + 5x =
i) (3x +9) 2 – 6x + x 2 =
j) (x +10) * (x – 10) + 130 =
Aufgabe 7 : Stelle den quadratischen Term auf und löse mit Hilfe
der quadratischen Formeln auf !
a) Quadriere die Summe aus einer Zahl und 11 !
b) Quadriere die Differenz aus einer Zahl und 13 !
c) Quadriere die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 8 !
d) Quadriere die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 6 !
e) Multipliziere die Summe aus einer Zahl und 8 mit der Differenz aus
der Zahl und 8 !