Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

Drittes Physikalisches Institut
der Universität Göttingen
Bürgerstraße 42-44
D-37073 Göttingen
Praktikum für Fortgeschrittene
Versuch 213
Messung der Phasen- und
Gruppengeschwindigkeit mit Ultraschall
August 1997
Im Versuch werden zwei wesentliche Parameter der Wellenausbreitung, die
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, am Beispiel einer geführten akustischen
Welle untersucht.
Zubehör
Wasserrinne (mit Sell Strahler) (SS), Reflektor (R), Wasserstandsmesser,
Wasserbehälter, Wasserpumpe, Mikrophon (M) mit Mikrophonverstärker
und Gleichrichter (MV1), Signalgenerator (SG), Meßverstärker (MV2),
Terzfilter (TF), Oszillograph (O), Thermometer (T).
SG
12.5kHz
TF
MV2
MV1
SS M R
O
SG
50Hz
500Hz
Trigger
MV2
MV1
SS M R
Abb. 1: Messung der Phasengeschwindigkeit (links) und Gruppengeschwindigkeit
(rechts)
1
O

Versuchsdurchführung
Gemessen wird die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in Abhängigkeit
von der Wasserhöhe (siehe auch Seite 16). Zur Messung der Phasengeschwindigkeit
erzeugt man mit einem Dauerton (12:5 kHz) stehende Schallwellen.
Aus dem Abstand der Minima erhält man die Wellenlänge und
mit der Frequenz die Phasengeschwindigkeit. Die Gruppengeschwindigkeit
wird nach dem Radarprinzip aus der Laufzeit von Schwingungsimpulsen
bestimmt. (Pulsfolgefrequenz 50 Hz, Trägerfrequenz 12:5 kHz, Gaus-
Impulse). Das Mikrophon steht dabei dicht vor dem Sender. Eine qualitative
Übersicht über die Echofolgen erhält man auf dem Oszillographen mit einer
Kippfrequenz von 50 Hz. Zur quantitativen Untersuchung wird der Oszillograph
mit 500 Hz Sägezahn aus SG getriggert. Durch Verschieben des
Reflektors werden auf dem Oszillographen alle Echos einer Gruppe miteinander
zur Deckung gebracht. Aus der Kippfrequenz und Abstand Sender-
Reflektor folgt die Gruppengeschwindigkeit.
Auswertung
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind als Funktion der Wasserhöhe
graphisch darzustellen und mit dem berechneten Verlauf zu vergleichen
(Wassertemperatur!). Die Konstanz des Produktes aus Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
ist für die gemessenen Werte zu prüfen. Alle Meßkurven
mit Fehlerbalken versehen. Ferner sind die Fragen in der Anleitung zu
beantworten.
Zu beachten
Vor den Messungen ist der horizontale Stand der Rinne zu prüfen. Die
Pump-Geschwindigkeit der Wasserpumpe kann geregelt werden; die Pumpe
mit dem Kippschalter ausschalten, nicht auf Null geregelt stehen lassen.
Temperatur am Anfang und am Ende der Messung überprüfen. Es bietet
sich an, die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit jeweils für eine Wasserhöhe
zu messen und dann den Wasserstand zu ändern.
2

Theorie
Phasen– und Gruppengeschwindigkeit
Bei Wellenausbreitungsvorgängen unterscheidet man grundsätzlich
zwei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten: die Phasengeschwindigkeit und
die Gruppengeschwindigkeit. Die Gruppengeschwindigkeit wird auch
Signal– oder Energieausbreitungsgeschwindigkeit genannt, woraus ihre
physikalische Bedeutung bereits zu erkennen ist.
Wir betrachten zunächst die Phasengeschwindigkeit. Die einfachste
Form einer Welle ist die eindimensionale Sinuswelle. Für sie gilt
cos(ωt�kx+ϕ) a(x;t)=a0 (1)
Dabei ist a eine physikalische Größe, die an dieser Wellenbewegung teilnimmt,
also z.B. die elektrische Feldstärke in der elektromagnetischen Welle
oder der Schalldruck in der Schallwelle, und a0 ihre Amplitude, x ist die
Koordinate in Ausbreitungsrichtung der Welle, t ist die Zeit, ω=2π=T die
Kreisfrequenz mit der Periodendauer T, k=2π=λ die Wellenzahl und λ die
Wellenlänge.(ωt�kx+ϕ)nennt man die Phase – oft bezeichnet man auch
(�kx+ϕ)als (zeitfreie) Phase. Die Phase ändert sich bei festem x linear mit
der Zeit und bei konstantem t linear mit dem Ort. Für einen festen Phasenwert
ωt�kx+ϕ=const!x=ω
k t+(ϕ�konst)=k folgt, daß der Ort sich mit
der Geschwindigkeit
dx
dt Phase=const=ω
k=c ph
der sogenannten Phasengeschwindigkeit ausbreitet. Anschaulich ist die
Phasengeschwindigkeit die Geschwindigkeit der Wellenberge (Phase=0)
und der Wellentäler (Phase=π). (Bild 1a)
Im allgemeinen ist die Phasengeschwindigkeit von der Wellenzahl bzw. der
Frequenz abhängig. Die Beziehung, die durch die Phasengeschwindigkeit
zwischen ω und k gegeben ist (ω(k)=c ph(k)k) heißt Dispersionsbeziehung.
Eine Welle transportiert Energie (z.B. gibt der Poynting-Vektor in der elektromagnetischen
Welle den Leistungsfluß an). Mit welcher Geschwindigkeit
diese Energie tranportiert wird, läßt sich in der unendlich ausgedehnten
Sinuswelle nicht feststellen, für diesen Zweck muß man einen Wellenzug
betrachten, denn es ist anschaulich klar, daß die Energie mit der Geschwindigkeit
dieses Wellenzuges transportiert wird (Bild 1b). Wir wollen
diese Geschwindigkeit berechnen. An einem festen Ort messen wir beim
Durchlaufen des Wellenzuges eine zeitlich begrenzte Sinuschwingung. Eine
solche Zeitfunktion enthält nicht nur die Frequenz ω0 der Sinusschwingung,
sondern auch benachbarte Frequenzen. Die Breite des Frequenzbe-
3
(2)

eiches Δω, der in unserem Schwingungszug enthalten ist, ist nach einer
Faustformel Δω=ω0=n, wobei n die Anzahl der im Schwingungszug enthaltenen
Schwingungen ist. Man kann den Wellenzug auch zu einer festen Zeit
als Funktion der Ortes betrachten und nach den räumlichen Frequenzen,
also nach den Wellenzahlen fragen, die darin enthalten sind. Somit kommt
man dann ganz analog zu einem Wellenzahlbereich der Breite Δk=k 0=n,
wobei n jetzt die Zahl der in dem Wellenzug enthaltenen Wellenlängen ist.
Natürlich sind diese Frequenzen und Wellenzahlen über die Dispersionsbeziehung
einander zugeordnet oder mit anderen Worten: der Wellenzug
besteht aus lauter unendlich ausgedehnten Teilwellen mit etwas verschiedenen
Frequenzen und Wellenzahlen; man spricht daher auch von einer
Wellengruppe und nennt ihre Geschwindigkeit die Gruppengeschwindigkeit.
Die Wellengruppe läßt sich als Summe (bzw. Integral) über diese
Teilwellen darstellen. Dabei bedienen wir uns der bequemen komplexen
Schreibweise (eine Sinuswelle wird dann a(x;t)=Refa0ei(ωt�kx)g, wobei
a0=a 0eiϕ die komplexe Amplitude ist; meistens setzt man die Realteilbildung
stillschweigend voraus, ohne sie in der Formel zu notieren). Für unsere
Wellengruppe erhält man
0+Δk=2
a(x;t)=Zk ã0(k)e k0�Δk=2 i(ωt�kx)dk (3)
4

mit ã0(k), die die Amplitudendichte pro Wellenzahleneinheit angibt. Die
Frequenz ω(k)läßt sich um k0 in eine Taylorreihe entwickeln, die bei kleinen
Δk nach dem linearen Glied abgebrochen werden kann, ohne daß man dabei
große Fehler macht. Mit ω(k0)=ω0 und k�k0=δk gilt also ω(k)=ω0+dω
dk δk.
Mit ã0(k)=ã00(δk)erhält man folglich
a(x;t)=e i(ω0t�k0x)Z+Δk=2 ã00(δk)exp[i(dω
�Δk=2
dk t�x)δk]d(δk) | 0(x;t) {z } . (4)
a
Das Integral liefert eine im Vergleich zur Trägerwelle ei(ω0t�k0x)langsam veränderliche Funktion von x und t nämlich die räumliche und zeitliche
Verteilung der komplexen Amplitude a0(x;t), deren Betrag gerade die
Umhüllende des Wellenzuges ist.
Die Geschwindigkeit der Wellengruppe ist nun gleich der Geschwindigkeit
der Umhüllenden, also
cgr=dx
, (5)
dt a0(x;t)=const=dω
dk
oder wegen ω=k(ω)c ph(ω)
cgr=c ph+k dcph
ph�λ
dk=c dcph
dλ
Die Gruppengeschwindigkeit ist also genau dann verschieden von der Phasengeschwindigkeit,
wenn Dispersion vorliegt (Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit
von der Wellenlänge bzw. Frequenz). Die komplexe Amplitude
a 0(x;t)und seine Integraldarstellung kan natürlich jede mögliche Modulation
einer Trägerwelle beschreiben, und man sieht, daß sich alle“Signale ” ,
die einer Trägerwelle aufmoduliert sind, mit der Gruppengeschwindigkeit
ausbreiten: daher auch der Name Gruppengeschwindigkeit.
Akustische Wellengleichung
In der akustischen Welle in Gasen oder Flüssigkeiten schwanken drei
Größen: der Druck, die Geschwindigkeit (Schnelle) und die Dichte. Um ihre
Abhängigkeit von Raum und Zeit anzugeben, braucht man also drei Gleichungen.
Zur Aufstellung dieser Gleichungen dienen die Erhaltungssätze
für Masse, Impuls und Energie:
Kontinuitätsgleichung
Die Masse, die sich in einem Raumlement d 3 r befindet, ist ρ d 3 r (ρ ist die
Dichte des Mediums), und die Masse die pro Zeiteinheit aus diesem Raum-
5
(6)

volumen ausfließt, ist div(ρv)d 3 r (v ist die Geschwindigkeit, ρv also der
Massenfluß pro Flächeneinheit). Es gilt dann
Impulsgleichung
˙ρ+div(ρv)=0 . (7)
Die Impulsdichte ist ρv. Diese Impulsdichte ändert sich einmal dadurch,
daß die Grenzflächen unseres betrachteten Raumelements durchströmt
werden, wodurch Impuls zu- oder weggeführt wird, und dadurch, daß eine
Kraft auf das Volumenelement ausgeübt wird. Der erste Term wird durch
divI ausgedrückt, wobei I der Impulsflußdichtetensor ist (wir brauchen diesen
Term hier nicht näher zu betrachten, da er für ein im Mittel ruhendes
Medium keinen Beitrag zur linearisierten Wellengleichung liefert). Der
zweite Term ist durch den Gradienten des statischen Drucks p gegeben,
wenn man die Zähigkeitskräfte vernachlässigt. Die Impulsgleichung lautet
dann
Energiegleichung
˙
(ρv)+divI+gradp=0 . (8)
Die vollständige Energiegleichung enhält sehr viele Terme. Die Energie eines
Volumenelementes setzt sich aus der inneren und der kinetischen Energie
zusammen, Energieaustausch mit der Umgebung findet statt durch
Konvektion (div–Terme), durch Arbeit äußerer Kräfte, durch Wärmeleitung
und –strahlung. Wir wollen alle irreversiblen Prozesse vernachlässigen;
da auch die kinetische Energie keinen Beitrag zur Wellengleichung liefern
wird, bleibt nach einigen Umformungen lediglich eine Beziehung zwischen
p und ρ übrig, nämlich die Adiabatengleichung
ρ
p=p(ρ)jEntropie=const=p0
κ
ρ0
Dabei sind p0 und ρ0 Druck und Dichte des ungestörten Mediums, κ ist das
Verhältnis der spezifischen Wärmen. Diese Adiabatengleichung, die streng
nur für ideales Gas gilt, beschreibt auch annähernd den Zusammenhang
für Wasser, wenn man den Druck–Nullpunkt auf�3000 atm legt und ein κ
von etwa 7 verwendet.
Aus diesen drei Gleichungen soll nun die Wellengleichung für ein im Mittel
ruhendes Medium hergeleitet werden. Dabei wird vorausgesetzt, daß die
Schallgrößen klein gegen die ungestörten Größen sind. Sei also z.B. p0 der
ungestörte Druck und p=p0+p0, dann soll p0p0 sein, ebenso ρ0ρ0.
6
(9)

Bei der Geschwindigkeit muß man v0=0, v0c setzen. Wird werden sehen,
daß alle drei Beziehungen äquivalent sind – in der ebenen Welle gilt
ρ0=ρ=v0=c=p0=(κp0). Wir können daher alle Glieder, in denen Produkte von
gestrichenen Größen auftreten, gegenüber den Gliedern, in denen die gestrichenen
Größen nur einfach auftreten, vernachlässigen. Man sagt auch:
Die Gleichungen werden in den Schallgrößen linearisiert. Man erhält dann
aus der Kontinuitätsgleichung ˙ρ0+ρ0 divv0=0 . (10)
Der Tensor I enthält nur Größen der Dimension ρv2 und damit nur Produkte
von gestrichenen Größen. Daher ergibt sich aus der Impulsgleichung
und aus der Energiegleichung (Taylorentwicklung)
ρ0 ˙ v0+gradp0=0 (11)
p0=dp
dρ ρ0=κp 0
ρ0. (12)
Wir nennen dp=dρ=κp 0=ρ0=c 2 (es wird sich zeigen, daß es sich um das
Quadrat der Schallgeschwindigkeit handelt). Aus (10) ergibt sich dann
˙p0+ρ0c 2 divv0=0 (13)
und zusammen mit (11) ¨p0�c 2 div gradp0=¨ p0�c 24p0=0 (14)
(4=Laplace-Operator). Das ist die Wellengleichung.
Man schreibt sie oft für das sogenannte Geschwindigkeitsportential Φ. Integriert
man (11) über die Zeit, so erhält man
v0=�grad(1
Man sieht leicht, daß für Φ ebenfalls
ρ 0
ρ0Zp0dt)�gradΦ!p0=ρ0 ˙Φ (15)
¨Φ�c 24Φ=0 (16)
gilt.
Die einfachste Lösung der Wellengleichung ist die ebene Welle, die z.B. in
x-Richtung läuft:
Φ=Φ0 cos(ωt�kx)mit ω=ck (17)
7

Bild 2: Skizze zur Reflexion einer ebenen Welle an einer ebene Grenzfläche.
Nach (15) kann man daraus p0und v0ausrechnen und erhält p0=ρ0 cv0. Den
Ausdruck ρ0 c, also das Verhältnis von Schalldruck und Schnelle in der ebenen
Welle, nennt man Wellenwiderstand. Er spielt bei der Formulierung
von Randbedingungen eine wichtige Rolle.
Randbedingungen
Trifft eine Schallwelle auf eine Grenzfläche, so wird im allgemeinen ein Teil
der Welle reflektiert, der andere Teil dringt in das angrenzende Medium
ein. Wie groß diese Anteile sind und welche Phasenbeziehung zwischen ihnen
und der einfallenden Welle bestehen, hängt von dem Verhältnis der
Wellenwiderstände der aneinandergrenzenden Medien ab. Das sei am einfachsten
Beispiel, daß nämlich eine ebene Welle senkrecht auf eine ebene
Grenzfläche auftritt, demonstriert (Bild 2): Der Wellenwiderstand des Mediums,
in dem die Welle läuft, sei Z1=ρ01 c1, der des angrenzenden Mediums
entsprechend Z 2. Wir haben ein eindimensionales Problem vor uns
(es ändert sich nur etwas, wenn man in Normalenrichtung zur Grenzfläche
fortschreitet). Sei x die Koordinate in dieser Richtung und x=0 die Grenzfläche,
die einfallende Welle laufe in x-Richtung; x>0 ist also mit dem Medium
2 ausgefüllt. Die eindimensionale Wellengleichung lautet
¨Φ�c 2 ∂2 Φ
∂x 2=0 . (18)
Nimmt man einen harmonischen Zeitverlauf an, also Φ=Φ0(x)e iωt , dann
8

erhält man
ω 2 Φ0+c 2 ∂2Φ0 ∂x2=0 (19)
mit der Lösung Φ0(x)=Φ00 e ikx
k=w=c!Φ=Φ00 e i(ωt kx)
v0+=p0� p0+
v02=Z2!1+p0�=p0+
(20)
Das sind zwei Wellen, die in bzw. gegen die x-Richtung laufen. Im Medium 2
wollen wir voraussetzen, daß es nur eine Welle gibt, die von der Grenzfläche
losläuft (p02 , v02 ). Im Medium 1 haben wir die einlaufende Welle (p0+=v0+=Z1)
und eventuell eine reflektierte Welle (p0�=v0�=Z 1). Bei x=0 gilt dann
p0++p0�=p02 ; v0+�v0�=v02 (21)
und wegen
p02
,
(22)
v0�=Z1 1�p0�=p0+Z1=Z2 Das Verhältnis p0�=p0+=r nennt man Reflexionsfaktor. Es gilt dann
r=Z2�Z1
. (23)
Z2+Z1=Z2=Z1�1
Z2=Z1+1
Der Reflexionsfaktor ist also durch das Verhältnis der Wellenwiderstände
Z2=Z1 gegeben. Ist dieses Verhältnis sehr klein oder sehr groß gegen eins,
so wird alles reflektiert (jrj1). Man nennt die Grenzfläche schallweich,
wenn Z2=Z1 1 und erhält Reflextion mit Phasensprung; die Grenzfläche
heißt schallhart, wenn Z 2=Z 1
1, und man erhält Reflexion ohne Phasen-
sprung. Für Z2=Z1 ist r=0, d.h. die Welle geht ohne Reflexion durch die
Grenzfläche, und man sagt dann, daß das Medium 2 an das Medium 1 angepaßt
ist. Das entspricht übrigens der Anpassung eines Verbrauchers an
einen Generator, indem man den Verbraucherwiderstand dem Innenwiderstand
des Generators gleich macht. Der Verbraucher zieht dann maximale
Leistung aus dem Generator.
Schon bei schrägem Einfall, wird es wesentlich schwieriger, die Randbedingungen
an der Grenzfläche anzugeben; dann geht nämlich auch das
Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten ein, da sich die Brechung bemerkbar
macht. Für den Fall schallweicher oder schallharter Grenzflächen wird
die Randbedingung jedoch wieder sehr einfach. Man kann sich leicht überlegen,
daß im ersten Fall der Schalldruck, im zweiten Fall die wandnormale
Schallschnelle an der Grenzfläche verschwinden muß (daher auch die Namen
“schallhart ” und “schallweich ” ). Nach (15) muß an der schallweichen
Grenzfläche also Φ, an der schallharten gradΦ e (e=Einheitsvektor in Normalenrichtung)
verschwinden.
9

Bild 3: Skizze der Wasserrinne
Lösung der Wellengleichung in der schallweich begrenzten
Wasserrinne
Setzt man für Φ einen harmonischen Zeitverlauf voraus, so kann man in
der Wellengleichung (16) die Zeitabhängigkeit von der Ortabhängigkeit separieren,
d.h. für Φ=ψ(x;y;z)e iωt erhält man die Differentialgleichung
!4ψ+k 2
�ω 2 ψe
iωt�c
24ψe
iωt=0
0ψ=0 ; k0=ω
c
(24)
Wir machen nun zur Lösung dieser nur noch vom Ort abhängigen Differentialgleichung
einen weiteren, nach Bernoulli benannten Seperationsansatz,
nämlich
ψ=X(x)Y(y)Z(z). (25)
Ein solcher Ansatz ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn wie in unserem
Fall die Randbedingungen für beispielsweise y=const und z=const gegeben
sind oder mit anderen Worten, die Randflächen eben sind und senkrecht
aufeinander stehen. Wir werden also das Koordinatensystem entsprechend
Bild 3 festlegen. H ist die Wasserhöhe in der Rinne, B ihre Breite.
Setzt man (25) in (24) ein, so erhält man
XxxYZ+XYyyZ+XYZzz+k 2 0 XYZ=0 . (26)
10

Dabei bedeutet z.B. Xxx=∂ 2X=∂x2 . Wir betrachten nun die Differentialgleichung
längs einer Geraden y=y0, z=z0, die parallel zur x-Achse läuft. Es
sei Y(y0)6=0, Z(z0)6=0, dann gilt
Xxx+X(Yyy
. (27)
Y(y0)+Zzz
Diese Differentialgleichung liefert eine Lösung X(x), die von y0, z0 unabhängig
sein muß. Daher ist der Klammerausdruck eine Konstante, die
wir k2 x nennen wollen. Analog läßt sich k2 y und k2 z definieren und aus (26) folgt
k2 x+k 2 y+k 2 z=k 2 0 . (28)
Wir erhalten also drei Differentialgleichungen der Art
Xxx+k 2 x X=0 (29)
mit den Lösungen
X=X0 e ikxx
; Y=Y0e ikyy
; Z=Z0 e ikzz Y(0)=
. (30)
Wir müssen jetzt kx, ky und kz so bestimmen und die Lösungen so überlagern,
daß die Randbedingungen erfüllt werden. Die Randbedingungen lauten: für
y=0, y=B, z=0, z=H muß ˙Φ=iωΦ=0 also ψ=0 sein. Daraus folgt Y(B)=0 und Z(0)=Z(H)=0. Aus Y(0)=0 folgt
Y(y)=Y00(e ikyy�e�ikyy)=2iY00 sin(kyy)=Y0sin(kyy) (31)
und aus Y(B)=0 folgt
ky B=nπ ; n=1;2;3:::!ky=nπ . (32)
B
Analog erhält man
(33)
nach (28) ist
Z(z)=Z0 sin(mπ
H z); m=1;2;3:::.
kx=sk 2 0�nπ
B
2+mπ
H
Z(z0)+k 2 0)=0
2=k0r1�ωg
ω
2
, (34)
wobei ωg=πcpn 2=B 2+m 2=H 2 die Grenzfrequenz ist, oberhalb der für ein be-
stimmtes(n;m)kx reell und unterhalb der kx imaginär ist. Als Gesamtlösung
erhält man
Φ(x;y;z;t)=Φ0 sin(kyy)sin(kzz)e i(ωt�kxx). (35)
11

Diese Lösung hängt natürlich noch von(n;m)ab. Man nennt die verschiedenen
Lösungen meistens(n;m)-Moden. In Bild 5 sind die Querschnittsverteilungen
des Schalldruckes für die(1;1)-Mode
kx=
und die(2;1)-Mode dargestellt.
Diese Querschnittsverteilungen breiten sich wellenartig in x-Richtung aus,
falls kx reell ist. Für den Fall, daß kx imaginär ist, schwingt die Querschnittsverteilung
mit räumlich konstanter Phase, und ihre Amplitude
klingt in x-Richtung exponentiell ab. Bild 4 zeigt als Funktion der Frequenz
die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit und die Dämpfung. Dabei ist die
Frequenz mit der Grenzfrequenz dimensionslos gemacht worden, die Geschwindigkeiten
mit der Schallgeschwindigkeit und die Dämpfung mit der
reziproken Grenzwellenlänge. Auf diese Weise gilt dieses Diagramm für
sämtliche Moden.
Phasengeschwindigkeit:
c
cph=ω . (36) q1��ωg 2
ω
Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich durch die Differentiation von (34):
dkx 1
qk
dω= 2 0�(k y+k 2 2
. (37)
c!cgr=dω
dkx=cr1�ωg
ω
z)ω
Dämpfung:
2
a=kgs1�ω
ωg
2
; kg=ωg
c=qk2 y+k 2 z
(38)
Das Produkt aus Gruppen- und Phasengeschwindigkeit ist also c2 . Das gilt
nicht für alle Dispersionsbeziehungen, vielmehr folgt aus
ω dω
k dk=c
c2=k 2+const!k 2=k 2 0�const (39)
also eine Dispersionsbeziehung, die auch in unserem Fall vorliegt.
Man kann sich die Lösung (35) auch auf eine andere Weise entstanden denken,
nämlich durch die Überlagerung von ebenen Wellen, die zwischen den
Wänden der Wasserrinne hin- und herreflektiert werden. Das sieht man
leicht, wenn man die Partiallösungen (30) anders zusammensetzt, nämlich
z.B.
2!ω 2
Φ=Φ0 e�i(kxx+kyy+kzz)e iωt
. (40)
Das ist eine ebene Welle, die in Richtung k=(kx;ky;kz)des sogenannten Wellenzahlenvektors
läuft und die Phasengeschwindigkeit
13

cph=ω (41) jkj=ω k0=c
hat. Die Lösung (35) setzt sich aus vier solchen ebenen Wellen zusammen,
die durch Reflektion an den Wänden der Wasserrinne auseinander hervorgehen,
und deren Ausbreitungsrichtungen mit der x-Richtung den gleichen
Winkel α=arctg(qk 2 y+k 2 z=kx)einschließen. In Bild 6 sind die Phafläche
mit der x-Achse läuft in x-Richtung mit der Geschwindigkeit vsp=
senflächen dieser Wellen für die(2;0)-Mode skizziert. (Hier fallen je zwei
der vier Partialwellen zusammen). Der Schnittpunkt einer solchen Phasen-
c=cosα (man nennt vsp die Spurgeschwindigkeit). Unter der Annahme, daß
das betrachtete Medium selbst (in unserem Fall Wasser) dispersionsfrei ist,
ist die Komponente der Energieausbreitungsgeschwindigkeit in x-Richtung
2
vE=c cos α. Man rechnet leicht nach, daß cosα=q1��ωg
ω ist, und daß also
vsp und vE gerade Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in der Wasserrinne
sind.
Bild 6 zeigt die(2;1)-Mode nicht nur oberhalb, sondern auch bei und unterhalb
der Grenzfrequenz. Der Winkel α ergibt sich dabei zwangsläufig
aus der Bedingung, daß sich am Rand stets eine durchgezogene (Druckmaxima)
und eine gestrichelte (Druckminima) Linie schneiden müssen (am
Rand muß p=0 gelten).
15

Messung
Im Versuch werden die Phasen- und die Gruppengeschwindigkeiten der
(1;1)-Mode in der schallweich ausgekleideten Wasserrinne gemessen.
Phasengeschwindigkeit
Da die Phase selbst keine physikalische Größe ist, muß man zur Bestimmung
der Phasengeschwindigkeit physikalische Hilfsgrößen bestimmen,
aus denen sich die Phasengeschwindigkeit berechnen läßt, also die Kreisfrequenz
ω und die Wellenzahl k, bzw. die Frequenz f und die Wellenlänge
λ. Für die Phasengeschwindigkeit gilt dann
cph=ω
c=f λ . (42)
Im Versuch ist die Frequenz fest vorgegeben: f=12:5 kHz. Die Wellenlänge
wird aus dem Knotenabstand in der stehenden Welle bestimmt, die vor einer
schallweich reflektierenden Querwand in der Wasserrinne entsteht.
Fragen:
1. Diese Meßverfahren ist nur sinnvoll, wenn nur eine einzige Mode ausbreitungsfähig
ist. Warum?
2. In welchem Wassserhöhenbereich muß man messen, damit diese Bedingng
für die(1;1)-Mode erfüllt ist ? Diese Frage vor dem Versuchstag
klären!
3. Gibt es eine Wasserhöhe, bei der eine andere als die(1;1)-Mode als
einzige ausbreitungsfähig ist?
Aus Bild 4 liest man ab, daß die Dämpfung einer Mode nahe unterhalb ihrer
Grenzfrequenz oder, bezogen auf den hier vorliegenden Fall, nahe unterhalb
der Grenzwasserhöhe, ziemlich klein ist. Das bedeutet für unseren
Fall, daß die erste Störmode ((1;2)- oder(2;1)-Mode) auch unterhalb
ihrer Grenzwasserhöhe noch ziemlich weit in die Meßstrecke hineinreichen
kann. Um bei solchen Wasserhöhen noch sinnvoll messen zu können,
muß man versuchen, das Verhältnis von Störamplitude und Amplitude der
(1;1)-Mode möglichst klein zu machen. Zu diesem Zweck bieten sich zwei
Möglichkeiten an.
1. Das Mikrofon läßt sich nicht nur in der Achsenrichtung der Meßstrecke
verschieben, sondern auch in den beiden Richtungen quer
dazu. Man stellt es zweckmäßigerweise auf einen solchen Punkt im
Querschnitt, an dem der Schalldruck der möglichen Störmoden verschwindet.
Welcher Punkt ist das?
16

2. Der Abstand zwischen Schallsender und Reflektor kann verändert
werden, er wird zweckmäßigerweise auf ein ganzzahliges Vielfaches
der(1;1)-Moden-Wellenlänge einstellt, so daß also die Rinne für die
(1;1)-Mode auf Resonanz abgestimmt ist (s.u.: Resonanz auf einer homogenen
Leitung).
Aus Bild 4 ist zu sehen, daß sich die Phasen- und die Gruppengeschwindigkeit
besonders stark in der Nähe der Grenzfrequenz ändert. Es ist also
sinnvoll, in diesem Bereich die Meßpunkte besonders dicht zu legen.
Resonanz auf einer homogenen Leitung
Auf einer Leitung ist Wellenausbreitung in nur einer Dimension möglich.
Dabei braucht das Feld von Querkoordinaten nicht unabhängig zu sein und
ist es in den meisten Fällen auch nicht. Homogen heißt eine Leitung, wenn
ihre Parameter unabhängig von der Koordinate in Ausbreitungsrichtung
sind. Somit gehören die Wasserrinne und ihr elektromagnetisches Analogon,
der elektrische Hohlleiter, zu den homogenen Leitungen. Ein Leitunsgstück,
dessen Ende einen Teil einer auf der Leitung laufenden Welle reflektieren,
hat Resonanzeigenschaften. Wir wollen uns hier auf den einfachsten
Fall beschränken, den wir auch in der vorliegenden Wasserrinne verwirklicht
finden, nämlich eine schwach dämpfende Leitung, die an einem Ende
nahezu vollständig reflektierend abgeschlossen ist und am anderen Ende
mit einem Sender angeregt wird. Um ein möglichst klares Bild zu gewinnen,
wollen wir das Problem von zwei Seiten beleuchten. Wir stellen uns
zunächst vor, daß der Sender einen kurzen Wellenzug abstrahlt (Bild 7), der
zwischen Sender und Reflektor hin- und herläuft, bis nach der Zeit τ seine
Energie infolge der Leitungsdämpfung und der unvollständigen Reflexionen
aufgezehrt ist. Strahlt nun der Sender mit zeitlich konstanter Amplitude,
so wird sich nach der “Einschwingzeit ” τ auf der Leitung ein gewisses
Stehwellenfeld ausgebildet haben. Dieses Stehwellenfeld kann man
sich aus einzelnen, sich überlagernden Schwingungszügen zusammengesetzt
denken, die je nach ihrer individuellen Laufzeit mehr oder weniger
stark gedämpft sind. Im allgemeinen werden sich diese Schwingungszüge
nicht alle mit gleicher Phase addieren, sie werden sich aber auch nicht
vollständig wegkompensieren, so daß man stets eine bestimmte nicht verschwindende
Amplitude der Stehwelle auf dem Leitungsstück erhält. Diese
Amplitude ist besonders groß, wenn sich die einzelnen Schwingungszüge
gleichphasig addieren: man spricht dann von Resonanz. Die Bedingung
dafür ergibt sich aus der Länge des Leitungsstücks, der Wellenlänge und
den Phasensprüngen bei den Reflexionen an den Leitungsenden.
Man kann sich nun leicht überlegen, wo im Fall der Resonanz die Knoten
und Bäche liegen. Um das gleiche Problem außerhalb der Resonanz zu
17

lösen, denkt man sich die einzelnen Schwingungszüge zu einer auf den Reflektor
auslaufenden und eine reflektierte Welle aufaddiert. Die Phasendifferenz
und der Amplitudenunterschied zwischen diesen beiden Wellen sind
dann im wesentlichen durch das Verhältnis Reflektorimpedanz / Wellenwiderstand
der Leitung und den Abstand vom Reflektor gegeben. Das heißt,
vor dem Reflektor baut sich ein Stehwellenfeld auf, das allein von den Reflektoreigenschaften
bestimmt wird. Die Lage des Senders in Bezug auf dieses
Stehwellenfeld hängt von der Länge des betrachteten Leitungsstücks
ab. Wieviel Energie der Sender an dieses Stehwellenfeld abgibt, hängt vom
Innenwiderstand des Senders ab. Das soll näher am hier vorliegenden Beispiel
erläutert werden: Der Sender hat in unserem Fall einen recht klei-
18

nen akustischen Innenwiderstand, d.h. er macht bei relativ kleinem Schalldruck
eine große Schnelle. Er wird also dann besonders viel Energie an ein
Medium abgeben, wenn dieses Medium ebenfalls einen kleinen Eingangswiderstand
hat, also an die Stehwelle, wenn der Sender sich im Druckminimum
(kleiner Druck, große Schnelle) befindet – das entspricht der Resonanz
–; er wird besonders wenig Leistung abgeben, wenn er sich in einem
Druckmaximum befindet – Antiresonanz.
Gruppengeschwindigkeit
Zur Bestimmung der Gruppengeschwindigkeit wird der Weg gemessen, den
eine Wellengruppe – hier mit einer Gauß-Funktion als Umhüllender – in
1 ms zurücklegt. Zu diesem Zweck wird die Wellengruppe zwischen dem
Sender und einem verschiebbaren Reflektor hin- und herreflektiert und von
dem dicht vor dem Sender stehenden Mikrofon registriert. Das gleichgerichtete
und auf einem Oszillographen dargestellte Mikrofonsignal zeigt
dann den vom Sender agbestrahlten Primärimpuls und die in regelmäßigen
Abständen folgenden Echos. Der Abstand Sender-Reflektor wird nun
so eingestellt, daß der zeitliche Abstand zwischen den Echos genau 2 ms beträgt.
Zu diesem Zweck wird der Oszillograph mit einer 500 Hz Sägezahn-
Spannung getriggert – d.h. der Elektronenstrahl kann nur zu diskreten
Zeitpunkten loslaufen, die 2 ms Abstand haben. Wenn dann die Echos ebenfalls
mit einem Abstand von 2 ms aufeinanderfolgen, werden sie ganau
übereinandergeschrieben.
Dabei ist der Primärimpuls etwas schmaler – zeitlich kürzer – als die Echos,
und sein Maximum ist gegenüber den Maxima der Echos ein wenig nach
rechts verschoben. Außerdem kann die Amplitude des Primärimpulses kleiner
sein als die Amplitude des ersten Echos. Warum?
Hinweis: Der Sender wirkt wie ein weicher Reflektor, d.h. das Schalldruckmaximum
liegt etwa 1=4 vor dem Sender, und man solte das Mikrofon etwa
dorthin stellen.
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