Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

volumen ausfließt, ist div(ρv)d 3 r (v ist die Geschwindigkeit, ρv also der
Massenfluß pro Flächeneinheit). Es gilt dann
Impulsgleichung
˙ρ+div(ρv)=0 . (7)
Die Impulsdichte ist ρv. Diese Impulsdichte ändert sich einmal dadurch,
daß die Grenzflächen unseres betrachteten Raumelements durchströmt
werden, wodurch Impuls zu- oder weggeführt wird, und dadurch, daß eine
Kraft auf das Volumenelement ausgeübt wird. Der erste Term wird durch
divI ausgedrückt, wobei I der Impulsflußdichtetensor ist (wir brauchen diesen
Term hier nicht näher zu betrachten, da er für ein im Mittel ruhendes
Medium keinen Beitrag zur linearisierten Wellengleichung liefert). Der
zweite Term ist durch den Gradienten des statischen Drucks p gegeben,
wenn man die Zähigkeitskräfte vernachlässigt. Die Impulsgleichung lautet
dann
Energiegleichung
˙
(ρv)+divI+gradp=0 . (8)
Die vollständige Energiegleichung enhält sehr viele Terme. Die Energie eines
Volumenelementes setzt sich aus der inneren und der kinetischen Energie
zusammen, Energieaustausch mit der Umgebung findet statt durch
Konvektion (div–Terme), durch Arbeit äußerer Kräfte, durch Wärmeleitung
und –strahlung. Wir wollen alle irreversiblen Prozesse vernachlässigen;
da auch die kinetische Energie keinen Beitrag zur Wellengleichung liefern
wird, bleibt nach einigen Umformungen lediglich eine Beziehung zwischen
p und ρ übrig, nämlich die Adiabatengleichung
ρ
p=p(ρ)jEntropie=const=p0
κ
ρ0
Dabei sind p0 und ρ0 Druck und Dichte des ungestörten Mediums, κ ist das
Verhältnis der spezifischen Wärmen. Diese Adiabatengleichung, die streng
nur für ideales Gas gilt, beschreibt auch annähernd den Zusammenhang
für Wasser, wenn man den Druck–Nullpunkt auf�3000 atm legt und ein κ
von etwa 7 verwendet.
Aus diesen drei Gleichungen soll nun die Wellengleichung für ein im Mittel
ruhendes Medium hergeleitet werden. Dabei wird vorausgesetzt, daß die
Schallgrößen klein gegen die ungestörten Größen sind. Sei also z.B. p0 der
ungestörte Druck und p=p0+p0, dann soll p0p0 sein, ebenso ρ0ρ0.
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