Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

Bei der Geschwindigkeit muß man v0=0, v0c setzen. Wird werden sehen,
daß alle drei Beziehungen äquivalent sind – in der ebenen Welle gilt
ρ0=ρ=v0=c=p0=(κp0). Wir können daher alle Glieder, in denen Produkte von
gestrichenen Größen auftreten, gegenüber den Gliedern, in denen die gestrichenen
Größen nur einfach auftreten, vernachlässigen. Man sagt auch:
Die Gleichungen werden in den Schallgrößen linearisiert. Man erhält dann
aus der Kontinuitätsgleichung ˙ρ0+ρ0 divv0=0 . (10)
Der Tensor I enthält nur Größen der Dimension ρv2 und damit nur Produkte
von gestrichenen Größen. Daher ergibt sich aus der Impulsgleichung
und aus der Energiegleichung (Taylorentwicklung)
ρ0 ˙ v0+gradp0=0 (11)
p0=dp
dρ ρ0=κp 0
ρ0. (12)
Wir nennen dp=dρ=κp 0=ρ0=c 2 (es wird sich zeigen, daß es sich um das
Quadrat der Schallgeschwindigkeit handelt). Aus (10) ergibt sich dann
˙p0+ρ0c 2 divv0=0 (13)
und zusammen mit (11) ¨p0�c 2 div gradp0=¨ p0�c 24p0=0 (14)
(4=Laplace-Operator). Das ist die Wellengleichung.
Man schreibt sie oft für das sogenannte Geschwindigkeitsportential Φ. Integriert
man (11) über die Zeit, so erhält man
v0=�grad(1
Man sieht leicht, daß für Φ ebenfalls
ρ 0
ρ0Zp0dt)�gradΦ!p0=ρ0 ˙Φ (15)
¨Φ�c 24Φ=0 (16)
gilt.
Die einfachste Lösung der Wellengleichung ist die ebene Welle, die z.B. in
x-Richtung läuft:
Φ=Φ0 cos(ωt�kx)mit ω=ck (17)
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