Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

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Bild 2: Skizze zur Reflexion einer ebenen Welle an einer ebene Grenzfläche. Nach (15) kann man daraus p0und v0ausrechnen und erhält p0=ρ0 cv0. Den Ausdruck ρ0 c, also das Verhältnis von Schalldruck und Schnelle in der ebenen Welle, nennt man Wellenwiderstand. Er spielt bei der Formulierung von Randbedingungen eine wichtige Rolle. Randbedingungen Trifft eine Schallwelle auf eine Grenzfläche, so wird im allgemeinen ein Teil der Welle reflektiert, der andere Teil dringt in das angrenzende Medium ein. Wie groß diese Anteile sind und welche Phasenbeziehung zwischen ihnen und der einfallenden Welle bestehen, hängt von dem Verhältnis der Wellenwiderstände der aneinandergrenzenden Medien ab. Das sei am einfachsten Beispiel, daß nämlich eine ebene Welle senkrecht auf eine ebene Grenzfläche auftritt, demonstriert (Bild 2): Der Wellenwiderstand des Mediums, in dem die Welle läuft, sei Z1=ρ01 c1, der des angrenzenden Mediums entsprechend Z 2. Wir haben ein eindimensionales Problem vor uns (es ändert sich nur etwas, wenn man in Normalenrichtung zur Grenzfläche fortschreitet). Sei x die Koordinate in dieser Richtung und x=0 die Grenzfläche, die einfallende Welle laufe in x-Richtung; x>0 ist also mit dem Medium 2 ausgefüllt. Die eindimensionale Wellengleichung lautet ¨Φ�c 2 ∂2 Φ ∂x 2=0 . (18) Nimmt man einen harmonischen Zeitverlauf an, also Φ=Φ0(x)e iωt , dann 8
erhält man ω 2 Φ0+c 2 ∂2Φ0 ∂x2=0 (19) mit der Lösung Φ0(x)=Φ00 e ikx k=w=c!Φ=Φ00 e i(ωt kx) v0+=p0� p0+ v02=Z2!1+p0�=p0+ (20) Das sind zwei Wellen, die in bzw. gegen die x-Richtung laufen. Im Medium 2 wollen wir voraussetzen, daß es nur eine Welle gibt, die von der Grenzfläche losläuft (p02 , v02 ). Im Medium 1 haben wir die einlaufende Welle (p0+=v0+=Z1) und eventuell eine reflektierte Welle (p0�=v0�=Z 1). Bei x=0 gilt dann p0++p0�=p02 ; v0+�v0�=v02 (21) und wegen p02 , (22) v0�=Z1 1�p0�=p0+Z1=Z2 Das Verhältnis p0�=p0+=r nennt man Reflexionsfaktor. Es gilt dann r=Z2�Z1 . (23) Z2+Z1=Z2=Z1�1 Z2=Z1+1 Der Reflexionsfaktor ist also durch das Verhältnis der Wellenwiderstände Z2=Z1 gegeben. Ist dieses Verhältnis sehr klein oder sehr groß gegen eins, so wird alles reflektiert (jrj1). Man nennt die Grenzfläche schallweich, wenn Z2=Z1 1 und erhält Reflextion mit Phasensprung; die Grenzfläche heißt schallhart, wenn Z 2=Z 1 1, und man erhält Reflexion ohne Phasen- sprung. Für Z2=Z1 ist r=0, d.h. die Welle geht ohne Reflexion durch die Grenzfläche, und man sagt dann, daß das Medium 2 an das Medium 1 angepaßt ist. Das entspricht übrigens der Anpassung eines Verbrauchers an einen Generator, indem man den Verbraucherwiderstand dem Innenwiderstand des Generators gleich macht. Der Verbraucher zieht dann maximale Leistung aus dem Generator. Schon bei schrägem Einfall, wird es wesentlich schwieriger, die Randbedingungen an der Grenzfläche anzugeben; dann geht nämlich auch das Verhältnis der Schallgeschwindigkeiten ein, da sich die Brechung bemerkbar macht. Für den Fall schallweicher oder schallharter Grenzflächen wird die Randbedingung jedoch wieder sehr einfach. Man kann sich leicht überlegen, daß im ersten Fall der Schalldruck, im zweiten Fall die wandnormale Schallschnelle an der Grenzfläche verschwinden muß (daher auch die Namen “schallhart ” und “schallweich ” ). Nach (15) muß an der schallweichen Grenzfläche also Φ, an der schallharten gradΦ e (e=Einheitsvektor in Normalenrichtung) verschwinden. 9
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Seite 7: Bei der Geschwindigkeit muß man v0
Seite 11: Dabei bedeutet z.B. Xxx=∂ 2X=∂x
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