Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

mit ã0(k), die die Amplitudendichte pro Wellenzahleneinheit angibt. Die
Frequenz ω(k)läßt sich um k0 in eine Taylorreihe entwickeln, die bei kleinen
Δk nach dem linearen Glied abgebrochen werden kann, ohne daß man dabei
große Fehler macht. Mit ω(k0)=ω0 und k�k0=δk gilt also ω(k)=ω0+dω
dk δk.
Mit ã0(k)=ã00(δk)erhält man folglich
a(x;t)=e i(ω0t�k0x)Z+Δk=2 ã00(δk)exp[i(dω
�Δk=2
dk t�x)δk]d(δk) | 0(x;t) {z } . (4)
a
Das Integral liefert eine im Vergleich zur Trägerwelle ei(ω0t�k0x)langsam veränderliche Funktion von x und t nämlich die räumliche und zeitliche
Verteilung der komplexen Amplitude a0(x;t), deren Betrag gerade die
Umhüllende des Wellenzuges ist.
Die Geschwindigkeit der Wellengruppe ist nun gleich der Geschwindigkeit
der Umhüllenden, also
cgr=dx
, (5)
dt a0(x;t)=const=dω
dk
oder wegen ω=k(ω)c ph(ω)
cgr=c ph+k dcph
ph�λ
dk=c dcph
dλ
Die Gruppengeschwindigkeit ist also genau dann verschieden von der Phasengeschwindigkeit,
wenn Dispersion vorliegt (Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit
von der Wellenlänge bzw. Frequenz). Die komplexe Amplitude
a 0(x;t)und seine Integraldarstellung kan natürlich jede mögliche Modulation
einer Trägerwelle beschreiben, und man sieht, daß sich alle“Signale ” ,
die einer Trägerwelle aufmoduliert sind, mit der Gruppengeschwindigkeit
ausbreiten: daher auch der Name Gruppengeschwindigkeit.
Akustische Wellengleichung
In der akustischen Welle in Gasen oder Flüssigkeiten schwanken drei
Größen: der Druck, die Geschwindigkeit (Schnelle) und die Dichte. Um ihre
Abhängigkeit von Raum und Zeit anzugeben, braucht man also drei Gleichungen.
Zur Aufstellung dieser Gleichungen dienen die Erhaltungssätze
für Masse, Impuls und Energie:
Kontinuitätsgleichung
Die Masse, die sich in einem Raumlement d 3 r befindet, ist ρ d 3 r (ρ ist die
Dichte des Mediums), und die Masse die pro Zeiteinheit aus diesem Raum-
5
(6)