Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

Dabei bedeutet z.B. Xxx=∂ 2X=∂x2 . Wir betrachten nun die Differentialgleichung
längs einer Geraden y=y0, z=z0, die parallel zur x-Achse läuft. Es
sei Y(y0)6=0, Z(z0)6=0, dann gilt
Xxx+X(Yyy
. (27)
Y(y0)+Zzz
Diese Differentialgleichung liefert eine Lösung X(x), die von y0, z0 unabhängig
sein muß. Daher ist der Klammerausdruck eine Konstante, die
wir k2 x nennen wollen. Analog läßt sich k2 y und k2 z definieren und aus (26) folgt
k2 x+k 2 y+k 2 z=k 2 0 . (28)
Wir erhalten also drei Differentialgleichungen der Art
Xxx+k 2 x X=0 (29)
mit den Lösungen
X=X0 e ikxx
; Y=Y0e ikyy
; Z=Z0 e ikzz Y(0)=
. (30)
Wir müssen jetzt kx, ky und kz so bestimmen und die Lösungen so überlagern,
daß die Randbedingungen erfüllt werden. Die Randbedingungen lauten: für
y=0, y=B, z=0, z=H muß ˙Φ=iωΦ=0 also ψ=0 sein. Daraus folgt Y(B)=0 und Z(0)=Z(H)=0. Aus Y(0)=0 folgt
Y(y)=Y00(e ikyy�e�ikyy)=2iY00 sin(kyy)=Y0sin(kyy) (31)
und aus Y(B)=0 folgt
ky B=nπ ; n=1;2;3:::!ky=nπ . (32)
B
Analog erhält man
(33)
nach (28) ist
Z(z)=Z0 sin(mπ
H z); m=1;2;3:::.
kx=sk 2 0�nπ
B
2+mπ
H
Z(z0)+k 2 0)=0
2=k0r1�ωg
ω
2
, (34)
wobei ωg=πcpn 2=B 2+m 2=H 2 die Grenzfrequenz ist, oberhalb der für ein be-
stimmtes(n;m)kx reell und unterhalb der kx imaginär ist. Als Gesamtlösung
erhält man
Φ(x;y;z;t)=Φ0 sin(kyy)sin(kzz)e i(ωt�kxx). (35)
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