Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

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eiches Δω, der in unserem Schwingungszug enthalten ist, ist nach einer Faustformel Δω=ω0=n, wobei n die Anzahl der im Schwingungszug enthaltenen Schwingungen ist. Man kann den Wellenzug auch zu einer festen Zeit als Funktion der Ortes betrachten und nach den räumlichen Frequenzen, also nach den Wellenzahlen fragen, die darin enthalten sind. Somit kommt man dann ganz analog zu einem Wellenzahlbereich der Breite Δk=k 0=n, wobei n jetzt die Zahl der in dem Wellenzug enthaltenen Wellenlängen ist. Natürlich sind diese Frequenzen und Wellenzahlen über die Dispersionsbeziehung einander zugeordnet oder mit anderen Worten: der Wellenzug besteht aus lauter unendlich ausgedehnten Teilwellen mit etwas verschiedenen Frequenzen und Wellenzahlen; man spricht daher auch von einer Wellengruppe und nennt ihre Geschwindigkeit die Gruppengeschwindigkeit. Die Wellengruppe läßt sich als Summe (bzw. Integral) über diese Teilwellen darstellen. Dabei bedienen wir uns der bequemen komplexen Schreibweise (eine Sinuswelle wird dann a(x;t)=Refa0ei(ωt�kx)g, wobei a0=a 0eiϕ die komplexe Amplitude ist; meistens setzt man die Realteilbildung stillschweigend voraus, ohne sie in der Formel zu notieren). Für unsere Wellengruppe erhält man 0+Δk=2 a(x;t)=Zk ã0(k)e k0�Δk=2 i(ωt�kx)dk (3) 4
mit ã0(k), die die Amplitudendichte pro Wellenzahleneinheit angibt. Die Frequenz ω(k)läßt sich um k0 in eine Taylorreihe entwickeln, die bei kleinen Δk nach dem linearen Glied abgebrochen werden kann, ohne daß man dabei große Fehler macht. Mit ω(k0)=ω0 und k�k0=δk gilt also ω(k)=ω0+dω dk δk. Mit ã0(k)=ã00(δk)erhält man folglich a(x;t)=e i(ω0t�k0x)Z+Δk=2 ã00(δk)exp[i(dω �Δk=2 dk t�x)δk]d(δk) | 0(x;t) {z } . (4) a Das Integral liefert eine im Vergleich zur Trägerwelle ei(ω0t�k0x)langsam veränderliche Funktion von x und t nämlich die räumliche und zeitliche Verteilung der komplexen Amplitude a0(x;t), deren Betrag gerade die Umhüllende des Wellenzuges ist. Die Geschwindigkeit der Wellengruppe ist nun gleich der Geschwindigkeit der Umhüllenden, also cgr=dx , (5) dt a0(x;t)=const=dω dk oder wegen ω=k(ω)c ph(ω) cgr=c ph+k dcph ph�λ dk=c dcph dλ Die Gruppengeschwindigkeit ist also genau dann verschieden von der Phasengeschwindigkeit, wenn Dispersion vorliegt (Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge bzw. Frequenz). Die komplexe Amplitude a 0(x;t)und seine Integraldarstellung kan natürlich jede mögliche Modulation einer Trägerwelle beschreiben, und man sieht, daß sich alle“Signale ” , die einer Trägerwelle aufmoduliert sind, mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreiten: daher auch der Name Gruppengeschwindigkeit. Akustische Wellengleichung In der akustischen Welle in Gasen oder Flüssigkeiten schwanken drei Größen: der Druck, die Geschwindigkeit (Schnelle) und die Dichte. Um ihre Abhängigkeit von Raum und Zeit anzugeben, braucht man also drei Gleichungen. Zur Aufstellung dieser Gleichungen dienen die Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie: Kontinuitätsgleichung Die Masse, die sich in einem Raumlement d 3 r befindet, ist ρ d 3 r (ρ ist die Dichte des Mediums), und die Masse die pro Zeiteinheit aus diesem Raum- 5 (6)
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