Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ...

Diese Lösung hängt natürlich noch von(n;m)ab. Man nennt die verschiedenen
Lösungen meistens(n;m)-Moden. In Bild 5 sind die Querschnittsverteilungen
des Schalldruckes für die(1;1)-Mode
kx=
und die(2;1)-Mode dargestellt.
Diese Querschnittsverteilungen breiten sich wellenartig in x-Richtung aus,
falls kx reell ist. Für den Fall, daß kx imaginär ist, schwingt die Querschnittsverteilung
mit räumlich konstanter Phase, und ihre Amplitude
klingt in x-Richtung exponentiell ab. Bild 4 zeigt als Funktion der Frequenz
die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit und die Dämpfung. Dabei ist die
Frequenz mit der Grenzfrequenz dimensionslos gemacht worden, die Geschwindigkeiten
mit der Schallgeschwindigkeit und die Dämpfung mit der
reziproken Grenzwellenlänge. Auf diese Weise gilt dieses Diagramm für
sämtliche Moden.
Phasengeschwindigkeit:
c
cph=ω . (36) q1��ωg 2
ω
Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich durch die Differentiation von (34):
dkx 1
qk
dω= 2 0�(k y+k 2 2
. (37)
c!cgr=dω
dkx=cr1�ωg
ω
z)ω
Dämpfung:
2
a=kgs1�ω
ωg
2
; kg=ωg
c=qk2 y+k 2 z
(38)
Das Produkt aus Gruppen- und Phasengeschwindigkeit ist also c2 . Das gilt
nicht für alle Dispersionsbeziehungen, vielmehr folgt aus
ω dω
k dk=c
c2=k 2+const!k 2=k 2 0�const (39)
also eine Dispersionsbeziehung, die auch in unserem Fall vorliegt.
Man kann sich die Lösung (35) auch auf eine andere Weise entstanden denken,
nämlich durch die Überlagerung von ebenen Wellen, die zwischen den
Wänden der Wasserrinne hin- und herreflektiert werden. Das sieht man
leicht, wenn man die Partiallösungen (30) anders zusammensetzt, nämlich
z.B.
2!ω 2
Φ=Φ0 e�i(kxx+kyy+kzz)e iωt
. (40)
Das ist eine ebene Welle, die in Richtung k=(kx;ky;kz)des sogenannten Wellenzahlenvektors
läuft und die Phasengeschwindigkeit
13