Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

Gödels platonistische Philosophie der Mathematik
Eckehart Köhler
Mitschrift von Maximilian Wieländer
VO, SS 2011
Diese Mitschrift stellt weder den Anspruch vollständig noch den Anspruch
(absolut) korrekt zu sein. Ich habe außerdem nur den Stoff aus der Vorlesung
Inhaltsverzeichnis
herangezogen, nicht den aus den Emails.
1 Vorgeschichte zu Gödels Standpunkt 1
1.1 Traditioneller Platonismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Wie kam Gödel zu seinem Unvollständigkeitsbeweis? . . . . . . . . . 3
1.2.1 Hilberts Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Gödels Beweise 6
2.1 Hintergrund von Gödels Theoremen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Gödels Beweis (nach van Heijenhoort) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Folgen von Gödels Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Gödels Philosophie der Mathematik 13
3.1 Subjektiv-objektiv Unterscheidung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Gödels Analogie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Gödels Definition des Platonismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Gödels Begriff der Intuition - 6. Sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Gödels Platonismus und der Intuitiunismus: . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Intuitionen/Kausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 Vorgeschichte zu Gödels Standpunkt
1.1 Traditioneller Platonismus
1. Vorlesung, 1.3.2011 Der ursrpüngliche Platonismus der Antike ist natürlich
von Platon entwickelt worden. Dieser übernahm allerdings zentrale Ideen der Py-
thagoräer: Pythagoras prägte eine mystische Zahlenvorstellung in der die Zahlen als
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Götter in einer zweiten Welt betrachtet wurden. Die Wurzeln dieser Idee finden
sich wahrscheinlich in Persien bei der Theologie des Zarathustra. Platon übernahm
die Idee, dass Zahlen ideale Wesenheiten darstellen. Zwischen den Pythagoräern
und Platon war jedoch einiges vorgefallen: Unter den Pythagoräern entwickelte sich
eine Gruppe, die über den Sinn der Aussagen nachdachte. (nicht einfach die mysti-
schen Lehrsätze des Pythagoras nachbetete). Diese ” sogenannten Pythagoräer“, so
schreibt Aristoteles, fingen an axiomatische Mathematik, natürlich außerhalb der
pythagoräischen Sekte, zu betreiben. Diese neue Art Mathematik zu betreiben fand
bei Euklid (der an der platonischen Akademie studierte) und seiner Axiomatisierung
der Geometrie ihren Höhepunkt. Das übte wiederum auf die Philosophie einen sehr
starken Einfluss aus. Platon spielte bei dieser Entwicklung eine entscheidende Rolle.
Gödel hörte von Platon wohl bei seinen Lehrern Heinrich Gomperz und Phillipp
Furtwängler, die beide Platonisten waren, und las Platons Dialoge sowohl von der
wissenschaftlichen als auch von der mystischen Seite.
Der ” traditionelle Platonismus“ (in der Mathematik) geht von einem Dualismus,
einer Trennung zwischen empirischer und idealer Welt aus. Die ideale Welt ist die
sichere, wissenschaftliche Hälfte und wird deshalb bevorzugt. Allerdings gerät diese
Position in Probleme:
Ideen können auch als Inhalt von Prädikaten und Begriffen verstanden werden und
das Empirische als die Gegenstände. Dann können die Probleme gelöst werden.
Somit spiegelt sich in der Subjekt-Prädikat Unterscheidung der platonische Dualis-
mus.Aristoteles Lösung ist es, Form und Materie zu unterscheiden die aber immer
zusammenkommen. Gödel lehnte Aristoteles Lösung ab. Es solle keine Verschmel-
zung zwischen platonischem IDeenhimmel und empirischer Welt geben.
Platonismus und Unendlichkeit: Platonismus wird oft eng verbunden mit der Unend-
lichkeitslehre (z.B. bei Cantor). Aber bei Platon selbst wird die Unendlichkeit gar
nicht genau definiert, die passiert erst bei Bernard Bolzano. Bei den Griechen wur-
de nur zwischen ” begrenzt“ und ” unbegrenzt“ unterschieden, das reicht aber noch
nicht um ” endlich“ von ” unendlich“ zu unterscheiden. Was jedoch sicherlich der Fall
ist, ist dass Platonisten starke Begriffsbildungen (und ” unendlich“ ist eine solche)
immer ohne Probleme anerkannt haben. Bsp: Die Abschlussbildung: Aus 1,2,3,4,...
(einer ” potential“ unendlichen Reihe) wird N (die Menge der natürlichen Zahlen).
Die Intuitionisten lassen diese Abschlussbildung nicht zu und akzeptieren nur ” po-
tential unendlich“. Auch Sätze mit dem Allquantor ∀ setzen voraus, das man einen
unedlichen Gegenstandsbereich annehmen kann (ansonsten kann ich nicht über alle
Gegenstände quantifizieren).
Die häufigste Defintion stammt von Quine. Er unterscheidet zwie Analysen der
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Subjekt-Prädikat Beziehung eine platonistische und eine mereologische:
1. Platonistische Analyse: P a heißt: P ist ein abstrakter Begriff und der Gegen-
stand a erfüllt diesen Begriff → Typentheorie, mit der Beziehung ∈ (Element
sein)
2. Mereologische Analyse: P a heißt: Sowohl P als auch a sind Individuen. Die
Subjekt-Prädikat Beziehung ist eine Teil-Objekt Relation , d.h. P a bedeuted:
a ist ein Teil von P. Die Beziehung die hier verwendet wird ist ⊂ (Teilmenge
sein).
Der Platonsimus geht also in dieser Interpratiation auf Abstraktheiten zurück, er
behauptet, dass abstrakte Begriffsbildungen kein Problem darstellen. Somit lässt
Quine den ” Platonismus“ von der ” Abstraktion“ abhängen.
2.Vorlesung 8.3.2011 Russell kritisiert Platons (angeblichen) Missbrauch der Mys-
tik für philosophische/wissenschaftliche Zwecke (z.B. im Höhlengleichnis). Jedoch
bedenkt er nicht, dass es auch positive Verwendungen der Mystik in der Wissen-
schaft gibt: Platon wollte bloß die Wissenschaft von den Erscheinungen hin zu tiefe-
ren theoretischen Einsichten leiten. Also auf die Ursachen hinter den Erscheinungen
richten, sozusagen als Wink, dass man nicht nur die Erscheinungen (wie Empiris-
mus, Hume, Mach,...) sondern auch theoretische Begriffe ernst nimmt.
Man kann sogar alle Wissenschaft als verbündet mit der Mystik auffassen, denn die
Wissenschaft will sich, wie die Mystik, mit dem Gegenstand ” vereinigen“ (z.B. sind
für Newton Naturgesetze Handwerk Gottes).
1.2 Wie kam Gödel zu seinem Unvollständigkeitsbeweis?
Als Rudolf Carnap 1927 nach Wien kam, hatte er sich mit Problemen des Logi-
zismus, Intuitionismus und mit Hilberts Programm beschäftigt (Abraham Fraenkel
hatte ihn gebeten die mathemat. Grundlagendebatte zu prüfen und auszuarbeiten).
Als er anfing über die Grundlagen der Mathematik zu lehren, nahm Gödel an den
Vorlesungen teil und begann sich dadurch für Logik zu interessieren.
Die drei wichtigesten Ansätze in der Grundlagendebatte waren:
1. Logizismus (Frege, Russell): Versucht die gesamte Mathematik aus der Lo-
gik zu entwickeln. Aus genau bestimmten Grundaxiomen soll die Arithmetik
(und mit ihr die gesamte Mathematik) rein logisch hergeleitet werden. Die-
se Grundaxiome müssen, laut dem Logizismus, unmittelbar evidente logische
Warheiten über mathematische Gegenstände sein, die schlussendlich die Wahr-
heit der gesamten Mathematik garantieren. In Freges erstem Versuch dieses
Programm umzusetzen ( ” Grundgesetze der Arithmetik“) fand Russell jedoch
3

einen Widerspruch, woraufhin er die ” Principia Mathematica“ verfasste, die
diesen Widerspruch vermied.
2. Formalismus (Hilbert): Nach Hilbert müssen mathematische Theorien, Be-
griffe und Axiome zunächst frei von jeder Interpretation betrachtet werden.
Sie handeln nicht von bestimmten Objekten, sondern sind ein rein formaler
Kalkül der aus Axiomen eine Menge von Sätzen herleitet. Die mathematischen
Theorien können schlussendlich auf alle Objekte angewendet werden, die die
Axiome erfüllen. Die ” unmittelbare Evidenz“ der Axiome, die der Logizismus
haben möchte, wird hier nicht gefordert, die einzig relevante Frage ist die
” Widerspruchsfreiheit“ des Axiomensystems, die mit endlichen und möglichst
schwachen Mitteln in der Metamathematik“ gezeigt werden muss.
”
3. Intuitionismus (Poincare, Brouwer, Heyting): Brouwer geht von der (zunächst
philosophischen) Annahme aus, dass mathematische Objekte und Sätze menta-
le (und sprachlose) Konstruktionen sind. Die Wahrheit eines mathematischen
Satzes besteht allein darin, dass ein (konstruktiver) Beweis, was ja schließlich
ein mentaler Prozess ist, geführt werden kann. Da Wahrheit und Beweisbar-
keit gleichgesetzt werden, verwirft der Intuitionismus den ” Satz vom ausge-
schlossenen Dritten“ und damit auch alle indirekten (und überhaupt nicht-
konstruktiven) Beweise (Unterscheidung konstruktiv-nicht konstruktiv: siehe
weiter unten). Der Intuitionismus wendet sich sowohl gegen die Vorstellung
einer unabhängigen mathematischen Welt (Platonismus) als auch gegen die
Vorstellung von Mathematik als rein formaler Zeichenmanipulation (Formalis-
mus).
1.2.1 Hilberts Programm
Schon vor 1900 waren Antinomien der Mengenlehr bekannt und überhaupt war die
klassische Analysis (reele Zahlenlehre plus Mengenlehre davon) berüchtigt für ih-
re Widersprüche. Wobei allerdings die ” delta-epsilon“-Notation von Weierstraß und
Dedekind schon sehr viel zur Beruhigung beigetragen hatte, da sie wesentlich exakter
und vorsichtiger vorgeht als die bisherigen intuitiven Vorstellungen in der Analysis.
1899 hat Hilbert seine berühmten ” Grundlagen der Geometrie“ veröffentlicht, wo
schon wichtige Ansätze seines ” Formalismus“ enthalten sind, vor allem die Idee
der ” Inhaltslosigkeit“ der Axiome (Axiome sind, nach Hilbert, rein formal ohne
Berücksichtigung ihres intendierten Inhalts zu betrachten). Kant hatte behauptet,
dass Geometrie, da sie der ” reinen Anschuung“ entspringt, a priori wahr ist (geome-
trische Sätze sind bei ihm synthetisch a priori). Aber schon ca.1820 war Gauß darauf
gekommen, dass zumindest das euklidische Parrallelenaxiom (Zu einer Gerade gibt
es in einem fest gewählten Punkt eine und nur eine Parallele) nicht a priori gültig
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sein muss, da man es empirisch (z.B. im Vermessungswesen) widerlegen kann. Gauß
Schüler Bólyai und später Lobacevskij haben aus dieser Annahme die sog. ” nicht-
euklidische“ Geometrie entwickelt. Riemann hat diese Entwicklung weiter geführt.
Hilberts Axiomatisierung der Geometrie ermöglichte eine rein formale Darstellung
der geometrischen Sätze und eine klare Darstellung der Unterschiede zwischen eu-
klidischen und nichteuklidischen Geometrien.
Daraus entstand nun die Idee nicht nur die Geometrie zu formalisieren sondern die
gesamte Mathematik. Dies sollte helfen, die Bedrohung durch mengentheoretische
Antinomien zu bannen. Diese Bestrebung der Formalisierung und Axiomatisierung
der gesamten klassischen Mathematik (einschließlich Cantors ” Himmel“ der Men-
genlehre) wird als ” Hilberts Programm“ bezeichnet. So wäre es dann schließlich
möglich einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die gesamte Mathematik zu führen,
der die Möglichkeit ihrer Wahrheit beweist/begründet.
Hilbert möchte die Gegner der nicht konstuktivern Mathematik zu Toleranz bewe-
gen.
Einschub: Unterscheidung zwischen konstruktiver und nicht-konstruktiver Mathe-
matik:
Nicht Konstruktiv sind:
1. indirekte Beweise: Hier wird das Prinzip des Ausgeschlossenen Drit-
ten in der Unendlichkeit verwendet. Bsp: : Cantors Diagonal-Beweis der
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Obwohl alle reellen Zahlen in einer Liste
angeschrieben werden, kann eine neue reelle Zahl (die sog. Diagonalzahl) gebil-
det werden, die nicht auf dieser Liste steht. Cantor schließt aus der Konstruk-
tionsmöglichkeit der Diagonalzahlen, dass die Annahme der Abzählbarkeit der
reelen Zahlen falsch sein muss, wegen des Prinzips des ausgeschlossenen Drit-
ten.
2. ” Nichtprädikative“ Begriffsbildungen, wie der Dedekindsche Schnitt. (Konti-
nuum in 2 Teile schneiden) Er definiert einen bestimmten Punkt mit Hilfe
einer Punktmenge in der dieser Schnitt liegen soll.
Diese Methoden eint, dass aus gewissen Eigenschaften auf die Lösung geschlossen
wird, aber diese Lösung nicht expliziet konstruiert wird.
3.Vorlesung, 15.03. Hilberts Programm ist äußerst wichtig für Gödel, denn der
Gödelsche Unvollständigkeitssatz ” widerlegt“ (zumindest auf gewisse Weise) Hil-
berts Programm.
Hilberts Programm ist kantianisch inspiriert: Es gilt die Bedingungen der Möglichkeit
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von Mathematik zu finden. Diese ” Möglichkeit“ der Mathematik ist für Hilbert nichts
anderes als ” Widerspruchsfreiheit“. Wenn gezeigt werden kann, dass ein Axiomen-
system widerspruchsfrei ist, so ist dies ein Beweis für die ” Wahrheit“ der Theorie.
Frege hat dagegen eingeworfen, dass die bloße Widerspruchsfreiheit noch nicht Wahr-
heit der Axiome impliziere. Frege schlug vor Hilberts Axiomensysteme als Prädikate
mit freien Variablen zu interpretieren. (Ob man ein Axiom oder eine Regel akzep-
tiert hängt, nach Frege, davon ab ob man an die Gültigkeit des Axioms oder der
Regel glaubt, d.h. dass man eine dementsprechende Intuition hat) Hilbert hat wohl
Kants Anschauung, im Sinne einer konkreten Intuition von einzelnen Gegenständen,
akzeptiert (Kant/Bolzano). Allerdings wurde die Anschauung nie klar von sinnlicher
Wahrnehmung unterschieden (auch bei Hilbert nicht).
Gödel hingegn, wollte beweisen, dass die Mathematik keine Naturwissenschaft, d.h.
nich in Erfahrung begründet, sondern eigenständig ist. Dazu war es natürlich not-
wendig die mathematische Intuition (den 6.Sinn) von der sinnlichen Wahrnehmung
klar zu unterscheiden. Eine Möglichkeit dies zu tun stammt von Carnap: mathemati-
sche Intuition kann als Werturteil aufgefasst werden, als Unterscheidung zwischen
gültig und ungültig. In der Empirie wird die Wahrheit und Falschheit von Tat-
sachen festgestellt, in der Mathematik gibt es keine Wirklichkeit an der man misst
sondern nur die ” Gültigkeit“ oder ” Ungültigkeit“ in einem System. Diese Interpreta-
tion lässt auch die Möglichkeit offen, dass Mathematiker unterschiedlicher Meinung
sind ohne sich gegenseitig die Gültigkeit abzusprechen. Verschiedene Formen der
Mathematik könnten so etwas verschiedene Begriffe von Gültigkeit entwickeln ohne,
dass sie den anderen ihren Status absprechen müssen.
Ein Rest an Intuition bleibt auch bei Hilbert bestehen: Nach Hilberts Programm soll
ja die Widerspruchsfreiheit der gesamten Mathematik durch einen Widerspruchs-
freiheitsbeweis für die Arithmetik gezeigt werden.(aus der Widerspruchsfreiheit der
Arithmetik folgt nämlich die Widerspruchsfreiheit der Analysis, der Geometrie, usw.,
da die Arithmetik Modelle für diese höheren Theorien liefert). Um nun diesen ent-
scheidenden Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Arithmetik führen zu können muss
ich an die Gültigkeit der Methoden glauben, die dabei verwendet werden. Des-
wegen, um die Notwendigkeit von Intuition so gering wie möglich zu halten, soll
dieser Widerspruchsfreiheitsbeweis nach Hilbert mit möglichst einfachen Methoden
in einer möglichst schwachen Theorie erfolgen. Die Frage ist jedoch, ob man die
Widerspruchsfreiheit er Mathematik in einem starken System oder mit mehreren
schwächeren aufbauenden Systemen beweisen soll. Die Zahlentheorie muss jeden-
falls vorrausgesetzt werden um Widerspruchsfreiheit zu beweisen, und dann auf
sich selbst angewendet werden. Außerdem muss vor einem Widerspruchsfreiheits-
beweis die Vollständigkeit des Axiomensystems bewiesen werden, da bei Unvoll-
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ständigkeit genau die nicht beweisbaren Sätze die, zu Widersprüchen führenden,
Problemfälle sein könnten.
Vollständigkeit eines Axiomensystems heißt: alle semantisch gültigen Sätze des
Axiomensystems müssen aus den vorgegebenen Axiomen mit den vorgeg. Beweisre-
geln beweisbar (=ableitbar) sein.
Hilberts Programm wurde von seinen Mitstreitern von Neumann, Bernays und Gent-
zen weitergeführt. Von Neumann führte Vollständigkeitsbeweise für beschränkte Ge-
biete mit eingeschränkten Quantoren (1928).
Es lässt sich aber sehr leicht zeigen, dass die Peano Arithmetik in finiten Systemen
nicht Vollständig sein kann: Die Anzahl der möglichen arithmetischen Funktionen
beträgt 2 ℵ 0, Hilberts finite Syntax schafft allerdings höchstens ℵ0 viele Theoreme!!
(Das hat Gödel 1931 in einer Fußnote angemerkt). Hilbert hat diesen Gegenbeweis
allerdings nicht anerkannt, da er offensichtlich nicht finit ist (und Hilbert akzeptierte
nur finite Beweise). Hilbert wollte die konstruktive Klarheit von Freges Begriffsschrift
genießen, die sehr brav finit ist. Frege wäre allerdings durchaus bereit gewesen einen
nicht-finiten Standpunkt einzunehmen, denn als Beweisregel würde Frege jeden lo-
gisch gültigen Satz anerkennen falls notwendig.
(Hilberts erste transfinite Beweisregel (er hat die noch für finit gehalten), die ω-
Regel:
Wenn alle Sätze in der Folge P a1, P a2, P a3, ... beweisbar sind, dann gilt: ∀x : P x. )
2 Gödels Beweise
2.1 Hintergrund von Gödels Theoremen
4.Vorlesung, 22.3. Frege versuchte schon in den ” Grundlagen der Arithmetik“
(1884) und den ” Grundgesetzen der Arithmetik“ (1893) einen Widerspruchsfreiheits-
beweis der Arithmetik zu liefern, in dem er sie vollständig aus der Logik entwickelte.
Da Logik für Frege vollkommen zweifelsfrei war, würde dies die Widerspruchsfrei-
heit der Arithmetik (und damit der gesamten Mathematik) beweisen. Dieser Ver-
such wurde jedoch durch ” Russels Paradox“ gestürzt, denn die Prämisse, dass jeder
wohlgeformte Audruck Bedeutung haben sollte, konnte, ob der daraus folgenden
Antinomie der ” Menge aller Mengen die sich selbst nicht enthalten“, nicht mehr
gehalten werden.
Paul Finsler versuchte 1926 mithilfe der ” Richardschen Antinomie einen Unvoll-
ständigkeitsbeweis zu fühen. Jean van Heijenhoort kommentiert dazu, dass Finsler
auf zu unklarer Weise zwischen formalen Systemen (ohne sie näher durch Axiome zu
beschrieben) und dem ” konzeptuellen Bereich“ (der Gedankenwelt) unterscheidet.
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Gödel hat schließlich als erster Hilberts Programm expliziert (im Carnapschen Sin-
ne: vage/intuitive Begriffe formal ausgedrückt). Das heißt er hat gezeigt, wie Me-
tamathematik, insbesondere Beweistheorie, in die Arithmetik übersetzt (= ” arith-
metisiert“) werden kann. Bernays kommentiert dazu: ” Gödel executed Hilberts pro-
gram“.
2.2 Gödels Beweis (nach van Heijenhoort)
Der erste Schritt in Gödels Beweis besteht in einer Arithmetisierung der Meta-
mathematik, welche die formalen Systeme der Mathematik zum Objekt hat. Diese
Arithmetisierung von formalen Zeichensystemen erfolgt durch Kodierung.
Zunächst muss das formale System S , welches arithmetisiert werden soll genau
definiert werden. Dieses besteht aus:
• einem Alphabet ∼ (nicht), ⊃ (impliziert/daraus folgt), ( ) (Klammern), x y z
(Variablen), = 0, ′ (Nachfolger von), + · (Rechensymbole). Daraus werden die
folgenden Zeichen definiert: (x) (Für alle x gilt ...), ∧ (und), ∨ (oder).
• Axiome (von S):
(i) (x) ∼ (0 = x ′ ) (Für alle x ist 0 nicht gleich der Nachfolger von x)
(ii) (x)(y)(x ′ = y ′ ⊃ x = y) (Für alle x gilt, dass für alle y gilt, dass, wenn der
Nachfolger von x gleich dem Nachfolger von y ist, dann sind x und y gleich.)
(iii) (x)(x + 0 = x)
(iv) (x)(x + y ′ = (x + y) ′ )
(v) (x · 0 = 0)
(vi) (x)(y)(x · y ′ = (x · y) + x)
• einem Axiomenschema: A(0) ⊃ ((x)(A(x) ⊃ A(x ′ )) ⊃ (x)A(x))
• Beweisregeln:
Modus Ponens: Wenn, ⊢ (A ⊃ B) und ⊢ A dann ⊢ B
Modus Tollens: Wenn ⊢ (A ⊃ B) und ⊢∼ B , dann ⊢∼ A
Indirekter Beweis: Wenn ⊢∼ A ⊃ (B∧ ∼ B), dann ⊢ A
Nun werden in diesem formalen System einige beweistheoretische Eigenschaften und
Begriffe definiert:
• ω-Vollständigkeit (ω = die erste transfinite Ordinalzahl) heißt: alle Sätze
A(x) sind beweisbar, und auch (x)A(x)
• ω-Unvollständigkeit: alle Sätze A(x) sind beweisbar, aber nicht (x)A(x)
• ω-Widersprüchlichkeit: alle A(x) sind beweisbar, aber auch ∼ (x)A(x)
• ω-Widerspruchsfreiheit: alle A(x) sind beweisbar, und ∼ (x)A(x) ist nicht
beweisbar
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Es gilt folgender Satz:
Ist S ω-widerspruchsfrei so ist S widerspruchsfrei aber nicht umgekehrt.
Jetzt wird die Metamathematik arithmetisiert. Das verwendete Verfahen nennt man
” Gödelisierung“.
1. Jedem Zeichen des Alphabets von S wird eine Zahl zugeordnet:
∼ ⊃ ( ) , x y z ‘ = 0 ′ + ·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2. Jedem Satz der Sprache (=des formalen Systems) wird eine Gödelnummer
GN zugeordnet in dem die Zahlen für die Zeichen der Reihe nach als Potenzen
von Primzahlen angeschrieben werden; diese Primzahlen werden schließlich
multipliziert:
Bsp.: Der Satz (x)(x=x) hat die Gödelnummer:
2 3 ∗ 3 6 ∗ 5 4 ∗ 7 3 ∗ 11 6 ∗ 13 10 ∗ 17 6 ∗ 19 4 = 146225196679034880
Die Gödelisierung hat nun folgende Eigensschaften:
1. Jede wohlgeformte Formel (= jeder Satz) des formalen Systems in eine Zahl
übersetzt werden und aus jeder Zahl kann mithilfe der Primfaktorzerlegung
der zugehörige Satz rekonstruiert werden.
2. Jede wohlgeformte Formel hat genau eine Gödelnummer und verschieden wohl-
geformte Formeln, haben verschiedene Gödelnummern (Die Zuordnung ist ein-
deutig weil die Primfaktorzerlegung eindeutig ist)
3. Es kann auch jeder Sequenz von Formeln genau eine Gödelnummer zugeord-
net werden. Manche dieser Sequenzen sind Beweissequenzen (=Beweisfolgen).
Somit wird berechenbar ob etwas ein Beweis ist.
Wir definieren jetzt das Prädikat Bew(u,v), welches besagt, dass u die GN von einer
Beweissequenz für die Formel mit GN v ist. Gödel beweist, dass Bew effektiv entscheidbar,
d.h. primitiv rekursiv berechenbar, ist.
Wir definieren nun weiters das Prädikat Sub(s,f,t,w), welches besagt: Gegeben eine
Formel mit GN s, die die Formel f enthält. Wenn jedes freie Vorkommen der Variable
y in f durch 0 (t) (der t-te Nachfolger von 0, also irgendeine Zahl) ersetzt wird, dann
ist w die GN des Resultats.
Bew kann ziffernmäßig dargestellt (numeralwise represented) werden durch Q(x,y).
Nun bilden wir das Prädikat Bew(u,f(s,t)). Und definieren w=f(s,t), wobei w die
Gödelnummer der Einsetzung von 0 (t) für die Variable y in die Formel mit GN s ist.
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Betrachten wir den Fixpunktfall Bew(u,f(t,t)), dieses Prädikat ist arithmetisierbar
und wird mit Q(x,y) dargestellt. Der Satz (x)∼ Q(x, y) hat die GN i. Jetzt bilden
wir den Gödelsatz G ≡ (x) ∼ Q(x, 0 (i) )
Theorem 1 (Teil 1):
Wenn S widerspruchsfrei ist, dann ist G unbeweisbar in S
Beweis:
Die GN von G=f(i,i). Falls G beweisbar wäre, würde gelten: Bew(u,f(i,i)) für irgend-
ein u: daher wäre ein Q(0 (k) , 0 (i) ) beweisbar für ein k.
Somit würde gelten: ∼ (x) ∼ Q(x, 0 (i) ), die ist aber genau ∼ G. Die ist ein WI-
DERPSRUCH zu G. Da aber S widerspruchsfrei ist, muss die Annahme, dass G
beweisbar ist falsch ist. G ist also unbeweisbar in S. Q.E.D.
Theorem 1 (Teil 2): Wenn S widerspruchsfrei ist, dann ist ∼G unbeweisbar in S.
Beweis: Wenn S ω-konsistent ist, dann ist S auch konsistent. Da nach Teil 1 Bew(u,f(i,i))
für kein u gelten kann so muss Q(0 (k) , 0 (i) ) widerlegbar sein, für jedes k, daher
∼Q(0 (k) , 0 (i) ) beweisbar sein für jedes k.
Falls nun S ω-konsistent ist, dann kann ∼Q(0 (k) , 0 (i) ) nict beweisbar sein. Dieser
Satz ist aber nicht anderes als ∼ G. Also ist weder G noch ∼G beweisbar. Daher ist
S unvollständig. Q.E.D.
5.Vorlesung, 29.3.2011 Theorem 1 (Teil 1) zeigt, dass Gödelsatz nicht beweisbar,
(Teil 2), dass die Verneinung nicht beweisber ist. Der Gödelsatz ist eine Spielart der
Lügner-antinomie allerdings, so Gödel, könnte auch die Richardsche Antinomie ver-
wendet werden. Allerdings verwendet die Lügner-Antinomie ein Wahrheitsprädikat
und der Gödelsatz das Prädikat ” beweisbar“. Laut Dummet ist Wahrheit jedoch
” jenseits“ von beweisbar, Beweisbar“ führt nicht zu einem Widerspruch. Wahrheit
”
schon, denn für das Wahrheitsprädikat gilt der Satz vom ausgeschlossenen Drit-
ten, für Beweisbarkeit nicht. Somit entkommt Gödel einem Widerspruch und der
Gödelsatz kann dennoch wahr sein.
Die Richardsche Paradoxie handelt von Definierbarkeit, Gödels Beweis von Beweis-
barkeit. Diese beiden Konzepte hängen jedoch zusammen: besonders in der Frage ob
man Theorien auf andere Theorien reduzieren kann. So stellt sich die Frage ob man
die Begriffe der einen Theorie durch Begriffe der Anderen definieren kann. Es gibt
gewisse philosophsche Theorien zu Gödels Theorem 1: J.R.Lucas ist der Meinung,
dass Gödel gezeigt hat, dass der menschliche Geist stärker ist als das Maschinen-
denken. Durch semantische Analyse können wir beweisen, dass der Gödelsatz wahr,
aber diese Methode ist auch in Maschinen implementierbar.
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Das Theorem 2 ist zeitlich später von Gödel bewiesen worden (November 1930)
(Allerdings ist seine Folgerung nicht besonders schwierig). Es besagt, dass die Wi-
derspruchsfreiheit der Arithmetik nich in S bewiesen werden kann und ist damit ein
herber Rückschlag (wenn nicht gar eine Widerlegung) des Hilbert Programms.
Zunächst müssen wir die Frage stellen: Was ist ein Widerspruch? Dazu gibt es drei
Möglichkeiten:
1. ein Satz der Form A ∧ ¬A (in S) oder
2. wenn man in S alles beweisen kann (ex falso quod libet) oder
3. (0 = 0 ′ ) ist beweisbar
Wir wählen Möglichkeit 3: Sei m die Gödelnummer von (0 = 0 ′ ). Nun können wir die
Aussage der Widerspruchsfreiheit explizit formulieren: ” Für kein u gilt, dass u die
Gödelnummer eines Beweises für m ist.“ Oder formal: (x) ∼ P (x, 0 m ), wir nennen
diese Aussage C. Nun können wir formlieren:
Theorem 2: Wenn S widerspruchsfrei ist, dann ist C unbeweisbar in S
Beweis: Betrachte nun den Satz: C ⊃ (x) ∼ Q(x, 0 i ). Dieser besagt, dass wenn
S widerspruchsfrei ist, G unbeweisbar ist, also genau Theorem 1 (Teil 1). Die rechte
Seite davon ist aber gerade G, d.h. der Satz kann auch so geschrieben werden: C ⊃ G.
Da nun der Beweis für Theorem 1 (Teil 1) wieder kodierbar ist, kann der Beweis
für C ⊃ G selbst auch in S ausgedrückt werden. Falls nun C getrennt in S beweis-
bar wäre, dann könnte daher auch G in S bewiesen werden (nach Modus Ponens).
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Theorem 1 daher kann umöglich C unabhängig
bewiesen werden. Q.E.D.
2.3 Folgen von Gödels Beweisen
Hilberts Reaktion: Hilbert hat sich zu Gödels Beweis fast nie direkt geäußert und
auch keinen Kontakt zu Gödel aufgenommen. Seine Schüler, vor allem von Neu-
mann, haben Gödels Beweis sofort akzeptiert, rezipiert und gelehrt. Hilbert hat sie
jedoch auch nie daran gehindert. Bernays war zu der Zeit jedoch hauptsächlich in
der Schweiz und Ackermann wurde Gymnasiumslehrer (von Hilbert gefeuert).
Die Hilbert Schule war schockiert von Gödels Beweis und führte zu einer vollkom-
menen Abkehr vom Hilbert Programm. Die Schüler wendeten sich anderen Themen
zu (Bernays - Mengenlehre). Hilbert war zu dieser Zeit schon sehr alt.
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Veröffentlichung von Gödels Beweis: Gödels Doktorarbeit, der Beweis der vollständig
der Prädikatenlogik erster Stufe (Funktionenkalkül), verschaffte Gödel in Göttingen
eine Anerkennung und Autorität. (Problem von Ackermann aufgeworfen). Dies verstärkte
die Wirkung der Veröffentlichung seines Unvollständigkeitssatzes in der Hilbert-
Schule.
Gödel und von Neumann lernten sich bei einer Tagung der ” deutschen Mathema-
tikervereinigung“ in Königsberg kennen. (auch Wiener Kreis dort - abgedruckt in
Erkenntnis) Hilbert war damals als größter deutscher Mathematiker bekannt.
Gödel trug seinen Vollständigkeitssatz vor (Frühjahr 1930), (seinen Unvollständigketisbeweis
hatte er erst Juli 1930). In Königsberg hat von Neumann den hilbertschen Formalis-
mus vorgetragen. Am nächsten Tag in der Diskussion hat Gödel behauptet, dass es
Sätze in der PA gibt die nicht entscheidbar sind. Von Neumann war interessiert dar-
an und erhält Korrekturversionen seines Artikels. Von Neumann berichtete Bernays
von Gödels Entdeckungen und beide korrespondierten schon vor der Veröffentlichung
mit Gödel.
Von Neumann hätte sogar einen eigenen Beweis für Theorem 2 veröffentlichen können,
überließ aber Gödel die Veröffentlichung um ihm das Renomee zu ermöglichen.
Gödel nimmt nach der Veröffentlichung seines Unvollständigkeitsbeweises immer
weniger an den Treffen des Wiener Kreies teil. Mit den Weggang von Carnap nach
Prag 1931, wurden die Treffen des Wiener Kreises für Gödel uninteressanter. Gödel
und Menger waren an der ” Wittgensteinerei“ nicht interessiert.
Carnap selber verwendet in den 30er Jahren die Methode der ” Gödelisierung“ in
seinem Syntaxprogramm um eine Übersetzung der Metasprache in die Sprache sel-
ber zu bewerkstelligen. Gödels Beweis lieferte so eine wichtige Grundlage für sein
philosophisches Programm. Weitere philosophischen Folgerungen.
Wittgensteins Standpunkt, dass über die Sprache selbst nicht gesprochen werden
kann, wird von Gödel quasi widerlegt. Wittgenstein stand dabei in der ” univer-
salistischen“ Tradition von Frege und Russell, die behauptet, dass die Logik eine
universale Sprache ist. (Die Gegenposition von Boole, Peirce und Schröder sieht Lo-
gik als Kalküle die erst in Modellen gedeutet werden müssten (wobei die Art dieser
Modelle offenblieb, möglich waren auch unbeschränkt große, auch überabzählbare
Modelle). )
Wittgenstein hat im Tractatus die Ansicht vertreten, dass man über eine formale
Sprache nicht sprechen kann, da man dafür keine Formalisierung finden kann. Die
Methode der Gödelisierung erlaubt jedoch genau das. Wittgenstein könnte darauf
antworten: Wenn die Metapsrache unvollständig ist dann ist es keine echte Meta-
sprache. Allerdings hat Wittgenstein zu stark behauptet, dass man gar nicht über
eine Sprache sprechen kann. Carnaps Syntaxprogramm ist genau diese Ausführung
der Widerlegung Wittgensteins. Jedoch hat Carnap dies nie verlautbart, da es im
12

Wiener Kreis selbst viele Anhänger Wittgensteins gab. Vor allem Waismann wollte
verbieten, dass man über die Sprache redet.
Wittgenstein selbst war zu dieser Zeit nicht mehr an wissenschaftlicher Forschung
interessiert. Hat sich bemüht den Beweis zu verstehen. (Kreisel berichet, dass er
von Gödels Beweis als ” neue Art des Beweises“ bezeichnet hat.) Gödel kritisiert
Wittgenstein dafür, da er meint seine Sätze sind einfache arithmetische Sätze sind.
Jedoch müsste dazu die Methode der Gödelisierung, der Begriff ” Beweisbar“ und die
” Substitution“ zur Arithmetik gerechnet werden. Jedoch spricht die reine“ Arith-
”
metik gerade nicht über Syntax und enthält daher auch nicht diese Begriffe.
In der Logik hat Gödels Beweis bald einen großen Einfluss gehabt: vor allem in
Polen haben die Logiker ihre Arbeitsweise ziemlich geändert. Vor allem Tarski war
fast Konkurrent Gödels. Auch in Amerika hat die Logik durch Gödels Beweis einen
höheren Rang erhalten.
Auf der technischen Seite etnstand durch Gödels Beweis die Rekursionstheorie:
Gödels Begriff der Rekursion war die erste strenge Formalisierung des Berechenbar-
keitsbegriffs. Vor allem Alonzo Church und Kleene haben diese Theorie entwickelt.
Auch Turings Ergebnisse (Turing Maschinen) sind äquivalent zu Gödels Rekursions-
begriff.
Brouwers Intuitionismus ist auch sehr ändlich mit algorithmischen Arbeiten, aller-
dings ist die Formalisierung der Rekursion durch Gödel zu formal für Intuitionis-
ten. Mittlerweile: Enge Verbindung zwischen Intuitionisten/konstruktive Mathema-
tik und Rekursionstheorie (v.a. bei Kleene).
6.Vorlesung, 5.4.2011 Fortsetzung: Einfluss von Gödels Beweis auf Hilberts Pro-
gramm: Hilbert Programms ist Münchhausen-haft, da versucht wurde mit Hilfe ei-
nes relativ schwachen Teils der Mathematik, nämlich der finiten Peano Arithmetik,
die gesamte (auch transfinite) Mathematik zu begründen. Ein Konsistenzbeweis für
die Peano Arithmetik, so die Vorstellung, würde die Widerspruchsfreiheit der ge-
samten Mathematik beweisen. (Da Analysis, Geometire, e.t.c auf die Arithmetik
zurückführbar). Dieser Versuch ” sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf zu ziehen“,
ist durch Gödels Unvollständigkeitssatz klar widerlegt.
Manche Hibertianer, vor allem der junge Gerhard Gentzen, haben trotzdem ver-
sucht das Programm zu retten. (Von Neumann wendete sich ab, Bernays hielt aber
noch Kontakt mit Göttingen). Gentzen lieferte 1936 einen Widerspruchsfreiheitsbe-
weis, der durchaus als finit bezeichnet werden könnte. Es stellt sich jedoch die Frage
ob Gentzens Beweis wirklich eine Rettung des Hilbertschen Programms darstellt.
13

Immerhin benötigt Gentzen nur Mengen deren Kardinalität < ℵ0 (PA bleibt unter-
halb von ω) Aber Gentzen erlaubt es unendliche viele Progressionen hintereinander
auszuführen, sein Beweis bleibt aber immerhin unterhalb von ɛ0 = ωωωω.. , also quasi
finit.
Gödel selbst hat von diesem Beweis gewusst. ER hat auch selbst nie behauptet das
Hilbertsche Programm widerlegt zu haben. Gödel skizziert eine Abänderung des Fi-
nitismus von Hilbert.
Was bedeutet die Gödel-Unvollständigkeit für Aristoteles und Leibniz?
Von allen interessanten (die Peano Arithmetik enthaltenen) Axiomensystemen gilt
der unvollständigkeitssatz. Somit kann der Gödelsche Beweis als echte Beschränkung
des theoretischen Wissensschaftsbegriff gedeutet werden. Nach Aristoteles Analytica
posteriora ist jede Wissenschaft ein Axiomensystem. Es wird ein Gegenstansbereich
vorgegeben (Grundobjekte) und welche Attribute diese Grundobjekte haben. Daraus
können dann die Sätze gebildet werden. Aristoteles hat allerdings keine Relations-
logik aufgestellt.
Mit diesen Sätzen sollen dann Beweise geführt werden können. (Aristoteles hat Satz-
begriff, Axiome und Beweisregeln).
Wenn aber nun nach Gödel, jedes stärkere Axiomensystem prinzipiell unvollständig
ist, wie kann dann behauptet werden (wie bei Aristoteles), dass die gesamte Wis-
senschaft durch ein Axiomensystem abgedeckt wird.
Ist die ” theory of everything“ von Gödels Beweis betroffen?
Die ” theory of everything“ ist die Idee eine Theorie zu finden die alle physikali-
schen Grundräfte in sich einschließt. Kann es so eine Theorie die alle physikalischen
Sätze in sich einschließt nun wegen dem Unvollständigketissatz ganz einfach nicht
geben. Georg Kreisel, Dane Scott und Hillary Puntnam meinen die Möglichkeit einer
t.e. sei durch Gödel nicht beeinträchtigt. Es sei dennoch möglich einen vollständigen
Satz von Axiomen zu finden, nur kann weder ihre Vollständigkeit noch ihre Wider-
spruchsfreiheit bewiesen werden.
Die Goldbach-Vermutung ist immer noch nicht bewiesen, aber trotzdem, kann sie
durch Hochleistungs-rechner für unglaublich hohe zahlenwerte gezeigt werden. Diese
Herangehensweis hat Gödel durchaus für sinnvoll gehalten. Auch bei einer theory
of everything könne so (unvollständig) induktiv begründet werden: Wenn wir alle
bekannten Kräfte in der Theorie vereint haben, so wäre dies eine (unvollständig) in-
duktive Begründung für die Vollständigkeit einer t.e.. (eigentlich eh nur theoretisch
14

interressant: scheitert an komplexität der Rechnungen)
Muss der Gödelsatz G wahr sein?
Prinzipiell kann das verneint werden. Gödel hat dies nirgends in seinem Aufsatz
erwähnt.
Der Beweis von Gödels Unvollständigkeitssatz verläuft eigentlich rein syntaktisch.
Demnach wird der semantische Begriff ” Wahrheit“ nie erwähnt. (Allerdings, die Pea-
no Arithmetik selbst muss als wahr/gültig anerkannt und als Teil de mathematischen
Wissens anerkannt werden, denn sonst ist der Beweis Gödels nicht überzeugen). Wis-
sen setzt Wahrheitserkenntnisse voraus, die in zwei Stufen erlangt werden: 1. durch
direkte Beobachtung, (d.h. in der Mathematik: Intuition oder Anschauung), 2. durch
Schließen (deduktiv und induktiv). In einem Widerspruchfreiheitsbeweis wird aber
Wissen/Wahrheit nicht gebraucht. Tarski und auch Quine hielten Gödels Beweis für
rein syntaktisch.
Warum braucht man Wahrheit um eine Theorie zu begründen? Hilbert
hielt Begründungen für etwas schwächeres, ein Widerspruchsfreiheitsbeweis ist schon
ausreichend um eine mathematische Theorie zu begründen.
Die Mathematiker rückten 1899 von Wahrheit ab, denn es wurde nicht mehr ver-
langt, dass eine Theorie wahr/gültig sein müsste sondern nur, dass sie beweistheo-
retisch korrekt durchgeführt werden.
Aber trotzdem müssen Mathematiker Empfehlungen über Wahrheit/Gültigkeit ma-
chen und insofern ein Wissen behaupten. Frege hat Hilbert geschrieben, dass Wi-
derspruchsfreiheit zu wenig war, und dass Wahrheit und eine inhaltliche (heute:
semantische) Einstellung sehr wohl notwendig ist. (Frege und Bolzano verwendeten
” Einsicht“ um mathematische Wahrheit/Gültigkeit zu erkennen.) Eine echte/volle
Begründung einer Theorie müsse den Glauben stützen, was ein Widerpsruchsfrei-
heitsbeweis nicht tut.
3 Gödels Philosophie der Mathematik
3.1 Subjektiv-objektiv Unterscheidung:
Ist Mathematik subjektiv oder objektiv?. Zunächst ist sie jedenfalls subjektiv, da
Mathematik mit rechnen und beweisführen zu tun hat. Beides sind geistige Tätigkeiten
und daher ist die Mathematik klar subjektiv.
15

Gödel Unterschied zwischen subjektiver und objektiver Mathematik:
Subjektive Mathematik ist diejenige, die bewiesen wurde bzw. bewiesen werden
kann;
Objektive Mathematik ist einfach die ” wahre“ Mathematik.
Warum hat Frege so stark gegen ” Psychologismus“ getobt? Frege war überzeugt,
dass man niemals durch (empirisch) psychologische Studien die Zahlenlehre be-
gründen kann. Empirische Studien würden geradezu belegen, dass das tatsächliche
(Rechen-) Verhalten von Menschen viel zu schwankend ist um eine exakte Logik oder
Mathematik aufzubauen. Was Frege nicht bedacht hat: es gibt auch eine normative
Psychologie. Genau zu dieser gehört die Mathematik.
7.Vorlesung 12.04.2011: Überblick über Folgen aus Gödels Theorem:
1. Widerlegung des Hilbertschen Programms (”Münchhausen-Version”)
2. Widerlegung des Logizismus (eigentlich nicht, weil Logizismus zu ”flexibel”)
3. Widerlegung des logischen Empirismus, weil das Verifikationsprinzip wohl schei-
tert
4. Widerlegung von Wittgenstein
5. Das Gödel-Theorem kann man als erste exakte Explikationn (Carnap 1950,
Kap. 1) vom deutschen transzendentalen Idealismus sehen. Vom deutschen
transzendentalen Idealismus kommt Hilberts Metamathematik. Gödel hat ja
das Hilbertsche Programm als erster exakt expliziert, aber das Hilbertsche
Programm kommt ja vom transzendentalen Idealismus (”die Bedingungen der
Möglichkeit des menschlichen apriori-Wissens”). Daher hat Gödel eigentlich
auch als erster den deutschen transzendentalen Idealismus expliziert.
Beweis (u, v) ¡– objektiv
Q (0 u , 0 w ) ¡– subjektiv
Dem Gödel-Satz gelingt es, etwas wichtiges über das ëigene Wissenäuszusagen. Kant
hat zwischen dem transzendentalen und dem empirischen/menschlichen Ich unter-
schieden und trotzdem die beiden in seiner transzendentalen Deduktion einander
gleichgesetzt. (Literatur darüber von Magdalena Aebi. Kants Begründung der deut-
schen Philosophie, Zürich 1947. –¿ Sie hat die transzendentale Deduktion als Fehl-
schluss entlarvt.) In einem 90seitigen Vorwort erklärt Aebi, wieso Kant zum großen
deutschen Philosophen avancierte. Das wichtigste am deutschen Idealismus ist Re-
flektion/Lehre des Selbstbewusstseins. Daraus gewinnt man eine Kohärenztheorie
der Wahrheit, so wie sie Hegel und die Heglianer entworfen haben. (Hegel gewann
16

seine Dialektik aus Kants transzendentaler Logik, deren Aufgabe es war, die Anti-
nomien der reinen Vernunft zu beschreiben und ihre Unauflösbarkeit zu belegen.)
Es gibt zwei verschiedene Unterscheidungen subjektiv/objektiv:
1. Quasi-Dichotomie zwischen ”mentalünd ”materiell”
2. Sätze, die angezweifelt werden, werden ßubjektiv”genannt, andernfalls öbjek-
tiv”
Brouwers Intuitionismus handelt vom ïdealen Mathematiker”. Brouwer erlaubt ei-
ne ɛ0-Regel: Man schließt analog zur vollständigen mathematischen Induktion auf
einen Satz, der von einem Ordnungstyp ɛ0 handelt, von demjenigen Typ, der die
Komplexität eines finiten formalen (syntaktischen) Systems misst.
Gödel lässt sich nicht so festnageln wie Brouwer,
• aber der menschliche Geist sei schon sehr stark, weil Gödel sämtliche ihrer
Möglichkeiten für alle Zukunft zu ihr hinzudenkt.
• seine wichtigste Fakultät, die Intuition, ist entsprechend nach oben unbegrenzt,
obwohl sie fehlerbehaftet sei, können alle Fehler prinzipiell behoben werden.
8.Vorlesung 03.05.2011 Die erste Subkjektiv-Objektiv Dichotomie: Technisch
bezeichnet ist die der Niveau Unterschied zwischen Objekt- und Metastufe einer
(metatheoretischen Darstellung). In Gödels Unvollständigkeitsbeweis sind Sätze mit
den Prädikaten ” Bew“ ” Sub“ ” Con“ obekttheoretisch. Sätze mit dem zahlentheo-
retischen Prädikat ” Q“ sind aber metatheoretisch.(Q redet von den gödelisierten
Sätzen) Daher sind Sätze mit ” Bew“ objektiv“, Sätze mit ” Q“ sind subjelktiv. Der
Beweis ” spielt“ also quasi mit diesem Niveau unterschied. Im Gegensatz zu Tarski,
der eine typentheoretische Trennung zwischen Objekt und Metasprache vornimmt
ist in der Sprache des Gödelschen Beweises die Metasprache, durch Gödelisierung,
in der Objektsprache ausdrückbar.
(Hilberts Kantianismus: sucht die Bedingungen der Möglichkeit von Erkenntnis,
wobei Möglichkeit in der Mathematik Widerspruchsfreiheit bedeutet)
Die Zweite S/O Dichotomie hat mit ” Sicherheit“ (reliability) bzw. Robustheit zu
tun: In diesem Rahmen deutet ” objektiv“ eine Art ” Gewährleistung“ an, d.h. dass
ein Satz hinreichend begründet wird bzw. einfach begründbar ist. Subjektiv bedu-
etet hier, dass bloß aufgrund der Meinung Einzelner behauptet wird.(Da gibt es
natürlich viele Schattierungen). Hier geht es also um etwas Pragmatisches und nicht
um etwas Logisches. In der Umgangssprache wird diese zweite Art der Subjektivität
17

schön klar mit erkenntnistheoretischen Hilfswörtern wie ” wissen“, ” glauben“, ” zwei-
feln“, ” sagen“, usw. bezeichnet.
Hängen diese beiden Dichtomotien nun zusammen?
Wenn etwas bezweifelt wird so geht man in die Metastufe und analysiert die Vor-
rasusetzungen und Hintergründe der bezweifelten Behauptung. In der Mathematik
werden z.B. im Falle eines Zweifels an einem Satz beweistheoretische (und somit
metamathematischen) Analysen angestellt. Jede Fehlerdiagnose und Fehlerkorrek-
tur geschieht also auf Meta-niveau.
3.2 Gödels Analogie:
Gödel stellt eine (inzwischen berühmt gewordene) Analogie (in seinem Aufsatz über
Russell) zwischen der sinnlichen Beobachtung in den Naturwissenschaften und ma-
thematischer Intuition, beide als Begründung von Realität, auf. In den Naturwis-
senschaften gibt es Methoden wie man aus der Beobachtung der Aussenwelt auf
objektive (gewährleistete) Ergebnisse kommt. Laut Gödel ist es ind er Mathematik
analog: Sie haben Methoden um aus ihrer ” mathematischen Intuition“ auf objektive
Ergebnisse zu kommen.
Gödel möchte die Existenz von zwei Welten, die in beiden Fällen objektiv begründet
werden kann.
Welt 1 ist die Welt der Natur
Welt 2 ist die Welt der Logik und Mathematik
Die Hierarchie der Naturwissenschaften:
1. Physik (Elementarteilchen, Kernphysik, Thermodynamik)
2. Chemie (Verbindungen von obigem)
3. Physiologie/Biologie
4. Psychologie
5. Soziologie/Ökonomie
Je höher man in dieser Hierarchie stiegt, desto komplexer werden die Materie-
Verbindungen sein.
In den normativen Wissenschaften gibt es eine ähnliche Hierarchie, die auf Intuition
aufbaut:
Die Hierarchie der normativen Wissenschaften:
18

1. Logik/Mathematik [deduktive Reationalität]
Gödel:
(a) ultrafinit: Mathematik mit höchstens n Zahlen (Maximialzahl wird auch
” Horizont“ genannt)
(b) finit
(c) konstruktiv (Einschränkung der Länge von Beweisen oder der Iteration
von Quantoren)
(d) Brouwer/Gentzen
(e) klassische Mathematik (Analysis),
(f) (transfinit))
(Quine versucht zwischen Logik und Mathematik zu unterscheiden: Typen-
theorie: besondere Art von Mengenlehre - jede Menge gehört zu einer bestimm-
ten Stufe. In der klassischen Auffassung gehören Begriffe zweiter Ordnung auch
zur Logik.)
2. Statistik und Messtheorie [induktive Rationalität] nicht monotones Schliessen
und empirische Beobachtung kommen hinzu
3. Entscheidungstheorie [individuelle Rationalität - ” homo oeconomicus“] neu
hier sind: Werte und Handlung
4. Spieltheorie[Gruppenrationalität]
5. Ethik[Gruppenrationalität mit Einschränkungen bezgl. Fairness und Gerech-
tigeit]
6. (eventuell:Ästhetik)
In Gödels Sichtweise wird in der Mathematik gewissermaßen ” das Subjektive objek-
tiv“.
3.3 Gödels Definition des Platonismus
9.Vorlesung 10.05. 1 Gödel hat in seiner Gibbs Lecture vor der American Mathema-
tical Association den Platonismus definiert und verteidigt. Er versuchte dabei zu zei-
gen, dass die mathematische Wirklichkeit genauso gut ist, wie die äußere empirische
Wirklichkeit. Während er in früheren Definitionsversuche Abstraktheit verwendete
ist in der Gibbs Lectur davon nicht mehr die Rede. Gödel argumentiert gegen den
Psychologismus. Mathematik seine empirische Art des Denkens. Eine seiner Thesen
1 Übernommen von: Mitschrift von Sebastian Redl: https://sites.google.com/site/sebastian7redl/philosophie/goedel-
mathematik
19

ist, dass mathematischen Wissen existiert un eine nichtsinnliche Wirklichkeit be-
schriebt. Es gibt eine ganze Welt von mathematischen Wahrheiten, die unabhängig
von der empirischen Welt ist. Beide Welten sind von Gott geschaffen und von uns
unabhängig. Er schreibt:
I am under the impression that after sufficient clarification of the
concepts in question (...) the Platonisitic view is the only one tenable.
Thereby I mean the view that mathematics describes a non-sensual rea-
lity, which exists independently both of the acts and [of] the dispositions
of the human mind and is only percieved, and probably percieved very
incompletely, by the human mind. This view is rather unpopular among
mathematicians; there exist, however, some great mathematicians who
have adhered to it. 2
Zusammengefasst vertritt Gödel hier folgende Ansichten:
1. Die Ansicht, dass die Mathematik eine nichtsinnliche Wirklichkeit beschreibt
- Gödel vertritt eine Dualismusthese
2. Eine Welt, die unabhängig von den Handlungen als auch von den Zuständen
des menschlichen Geistes existiert - Er glaubt an die Objektivität unabhängig
des menschlichen Geistes.
3. Eine Welt, die wahrgenommen wird, wahrscheinlich unvollständig, nur von
dem menschlichen Geist - Der Menschliche Geist kann diese Dinge sehen, aber
nur unvollständig.
3.4 Gödels Begriff der Intuition - 6. Sinn
Gödels Versuch mathematische Erkenntnis unabhängig von naturwissenschaftlicher
Erkenntnis, über eben diesen Begriff der Intuition (des 6. Sinns), zu etablieren hat
überraschende Ähnlichkeit mit Humes Gesetz (Die strikte Trennung zwischen Sein
und Sollen, bzw. empirischen Sätzen und ethischen Sätzen). Auch Gödels Intui-
tion ist nicht sinnlich und somit unabhängig von der empirischen Wahrnehmung
(Beobachtung). Die Explikation von Intuition könnte somit auch als ein Werturteil
verstanden werden.
Analyse: Dualismus und Objektivität folgen aus Intuition. Warum?
1. Da Intuition nichtsinnlich sei, ist sie unabhängig von der empirischen Wahr-
nehmung.
2 Gödel, Kurt: ” Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implication“.
In: Feferman, Solomon (Hrsg.): Kurt Gödel: Collected Works, VOL.III. Oxford University Press,
New York 1995; S.322-323
20

2. Angenommen, die Intuition nimmt etwas wahr, dann ist sie erfolgreich und
reagiert auf einen externen Reiz.
Bei der platonistischen Intuition kann natürlich kein Reiz als kausale Ursachen fest
gemacht werden, der diese Intuition erst provoziert oder bewirkt. Die kausale Theo-
rie der Wahrnehmung verschafft daher dem Platonismus ein großes Problem, das
Gödel selbst nicht gelöst hat. Bei den Griechen wird die Vernunft (nus - Intuition)
kausal. Das Problem ist, dass keine Kausalketten zwischen Platons Himmel und un-
seren Organen bestehen können.
Wie kann Gödel gerettet werden? Indem die Analogie zu Hume soweit ausgear-
beitet wird, dass mathematische Intuition im Endeffekt als Werturteil verstanden
werden kann. Gödel tritt mit seiner Ablehnung der Folgerung einer mathematischen
Erkenntnis aus einem Seinsatz in Humes Fußstapfen. Das hat Gödel nie realisiert,
au0er in einem Gespräch über Hegel: ” The seperation of force (or wish) and fact
as the meaning of the world. The meaning of the world is the separation of wish
and fact.“ (von Hao Wangs Zitat von Gödels Diskussionen, Nov. 1975) Ein erfüllter
Wunsch ist genau diese Vereinigung von Wunsch und Faktum. Hier fehlt nur noch
der Parameter der Handlung um eine Entscheidungsregel zu bekommen. Die drei
Parameter der Entscheidungstheorie sind nämlich: p (Wahrscheinlichkeit als Glau-
benspart), u (Nutzenfunktion - Präferenzen und Wünsche), a (Handlungen). Diese
drei Parameter kommen in der Wirklichkeit vor, der Psychologie misst sie und in
der Entscheidungstheorie können sie mathematisch behandelt werden.
Gödel hat die Trennung von Wunsch und Tatsache sehr stark hervorgehoben, aller-
dings nie in Bezug auf die Mathematik. Dabei ist die Mathematik auch eine soziale
Institution. Die mathematische Normen sind ein Kommunikationsmittel zwischen
den Teilnehmern. Sie existieren unabhängig vom Einzelnen. Dies ähnelt Carnaps
Konventionalismus. Die Frage ” Ist diese Neuerung eine Entdeckung oder eine Erfin-
dung?“ spielt auch bei platonischen Diskursen eine Rolle.
Gödel war ein Antispychiologist. Dies ist aber kein Beweis, dass die Mathematik
in seiner Ansicht nicht doch subjektiv sein kann. Gödels Antispychiologismus ist
nämlich in erster Linie ein Kampf gegen den Empirismus, er vergisst dabei aber,
dass auch das psychologische durchaus normativ sein kann. Bloß weil wir die Ma-
thematik für objektiv halten heißt nicht dass wir sie nicht psychologisch deuten
könnten. ’Gödels Antipsychologismus’ ist und kann nur gegen empirische Psycholo-
gie gerichtet sein, nicht aber gegen normative Psychologie. (Empirische Psychologie
gewinnt ihre Erkenntnisse mit Hilfe empirischer, d.h. auf überprüfter Erfahrung be-
ruhender Verfahren.) Z.b. gehört Gödels Idee einer idealen Intuition offensichtlich
zur normativen Psychologie. Aber was soll diese ideale Intuition: eigentlich soll das
21

ja eine menschliche Fähigkeit sein die mathematische Welt einzusehen. Die ” ideale“
Intuition würde dann auf einen unendlichen Geist gehen.
Das Hauptproblem bleibt also die Objektivität der Intuition zu begründen. Die
empirische Wahrnehmung hat heute ein hohes Prestige. Die Physiker wissen wie man
Messungen durchführt. Bevor die Naturwissenschaften wichtig geworden sind war
dem nicht so. Berkeley hat gegen die wirkliche Außenwelt argumentiert. Kant: Gott
will die Menschen nicht betrügen. Die sinnliche Wahrnehmung hat damals schlecht
abgeschnitten verglichen mit der reinen Vernunft. Gödels Parteinahme für das reine
Denken war sehr unzeitgemäß.
Wie kann nun aber die Objektivität der Intuition begründet werden? Zunächst
einmal kann man Verweisen auf die Erfahrung der Mathematiker über ihr eigenes
Denken und an ihren Glauben an die Axiome der Mathematik. Z.b. ist der Glau-
be daran, dass es unendlich viele Primzahlen gibt sehr sehr stark. Unsere Intuition
ist allerdings fehlerbehaftet. Dies zeigt sich nach Gödel in den mengentheoretischen
Antinomien. Diese Fehler können allerdings repariert werden, da unsere Intuition
verfeinert werden kann.
Auch Husserls Phänomenologie (und Gödel hat Husserl geschätzt) baut wesentlich
auf Intuition auf. Aber Husserl will unbedingt die Phänomenologie theoriefrei halten.
(Vorrausetzungsfrei halten). Dinge sollen möglichst direkt angeschaut werden, ohne
Vorurteile und Vorraussetzung. Wenn man aber die Intuition völlig von Vorrausset-
zungen freihält, dann hat man einen fürchterlichen Primitivmus denn dann lässt sich
nicht verbessern. Jede Verfeinerung berücksichtigt nämlich irgend eine theoretische
Auflage. (Deswegen hat die Phänomenologie nie etwas erreicht.)
3.5 Gödels Platonismus und der Intuitiunismus:
10. Vorlesung 17.05. Gödel (zu Wang): ” The meaning of the world is the separati-
on of wish and fact“. Gödel hat diese Bemerkung nicht im direkten Zusammenhang
mit der PHilosophie der Mathematik gebracht (leider). Es geht dabei jedenfalls
um individuelle Rationalität (also Entscheidungstehorie) - Trennung des ” sechsten
Sinns“ von der Wahrnehmung. Gödel möchte ein psychologistisches Modell des Den-
kens. Gödel begründet das mathematisches Wissen so wie Hume das moralische:
Aus der empirischen Beschreibung eines Mathemtaikers und seiner Arbeit geht noch
nicht hervor was mathematisches Wissen ist. Wir können die Beweise und Sätze und
Handlungen ganz genau beschreiben aber uns fehlt die zusätzliche Information das
sich der Mathematiker an die Beweisregeln hält (Gödel sagt das ncith, deshalb hat
Gödel den Aufsatz nie abgegeben).
22

Gödel verpasst die Gelegenheit, das mathematische Wissen als ” Korrekt“ zu kenn-
zeichnen, d.h. wenn die Rädchen des mathematischen Beweisens noch so genau empi-
risch beschrieben werden, fehlt der Zusatz, dass Beweisregeln richtig befolgt werden.
Warum hat Gödel Mathematik als faktisch gesehen? Vielleicht kommt das aus der
platonischen Tradition, bei der der Einblick in Platons Himmel (6. Sinn) Tatsachen
in dieser anderen Welt beschreibt. (in Anlogie zu den anderen Wahrnehmungssin-
nen). Warum wird die Normativität der Mathematik (das dieser Einblick nur in
eine wunschwelt ist), unterschlagen? Vielleicht weil Mathematik so eng mit der Be-
schreibung, bzw. ” Konstituierung“ der empirischen Wirklichkeit zu tun hat. (Kant
denkt Mathematik als ” konstitutiv“ für die Wirklichkeit – eingebettet in die Wirk-
lichkeit.) Bsp: Galileos Fallgesetz, Newtons Gravitationstheorie. – Um die wirkliche
Welt zu verstehen (z.b. Dynamik der Himmelskörper) muss man ein Gravitations-
feld hinzudenken, dieses Gravitationsfeld ist ein mathematisches Objekt nämlich ein
Vektorfeld. Dieses mathematische Objekt ist konstitutiv für die gesamte Theorie der
dynamik von Himmelskörpern. Ohne sie kann man die Wirklichkeit, zumindest nicht
in der Art, beschreiben.
Wiedner / Frege: Mathematik und Logik teilen die Eigenschaft, dass sie für alle
Gegenstände gelten.
Gödel und der ” 6. Sinn“
Gödel verwendet die Phrase ” 6. Sinn“ auch weil er okkultistische/mystische Interes-
sen hatte. ” The syntactical conventions make only those sentences true that can be
grasped by the additional sense“ ” The second reality is comleptly seperated from the
first one, but might help us to understand it because in certain aspects it is similar or
isomorphic. This explains aplliocation of mathematics in physics.“ (Carnap-Aufsatz)
” Someone with sixth sense, can put that experience into syntactical rules, which can
make it be proven tautological.“ Die Grundlage des sechsten Sinns ist der Einblick
in Vernunft.
Köhler: 6.Sinn ist dasselbe wie ein Werturteil. Wenn der 6. Sinn (Vernunft bzw.
rationale Intuition) als Werturteil expliziert wird, gewährt das seine unabhängigkeit
von der sinnlichen Beobachtung. Dazu: Blick in die Wertlehre. Die genaueste Be-
handlung er Wertlehre findet man im Modell der ” individuellen Rationalität“ das
von Ökonomen den Kaufentscheidungen von Maktteilnehmern zugrundegelegt wird.
Eine der wichtigsten Entscheidungsregeln behandelt drei Parameter für den Akteur
wichtig sind: p, u, a (probability, utility, acts). Demnach soll ein Akteur diejenige
Handlung a*, die den erwarteten Gewinn maximiert. Eu(A*) soll maximiert werden,
d.h. � r
l=1 [p(cl/ak)xul]
p(cl/ak) ... bedingte Wahrscheinlichkeit einer Folge cl, gegeben eine Handlung ak
wurde ausgeführt. ul ist der Wert von Folge l.
23

Das p stellt unser faktisches Wissen darm das u stellt unsere Werte dar. Sind
diese Parameter voneinander unabhängig?
Die Entscheidungstheorie kann ohne die Unabhängigkeit der beiden Parameter nicht
funktionieren, bzw. nicht angewandt werden. Weder deskritpiv (empirisch, faktisch)
noch preskriptiv (ideal,normativ). Aber Hillary Putnam wagt ihre Unabhängigkeit
in Frage zu stellen. Putnam glaubt das, weil Wertbegriffe häufig nicht von Tatsachen-
feststellungen unterschiedlich sind in umgangsprachlichen Texten. In den verschie-
denen Normgebieten reden Fachleute häufig so, dass Normen als Tatsachen gehan-
delt werden. als diejenigen Normen anerkannt, die von den meisten/allen gerade als
gültig anerkannt werden. Man kann aber sehr wohl in jedem Fall in jedem Einzelfall
tatsächlich feststellen ob jeder Sprecher richtig entscheiden kann ob er einen Begriff
normativoder faktisch verwenden. (Im Einzelfall wird die Unabhängigkeit gewahrt).
Dazu ist ein Gedankenexperiment gut: Man stelle sich einen Konsulenten vor. vor,
der eine Aussage über künftige Ereignisse macht, wo die Assage Begriffe enthält die
entweder normativ oder faktisch verstanden werden können. Der Konsulent weiß
sehr wohl, ob er einen Ratschlag erteilt, oder eine Zukunftsprognose macht. Der Ad-
dresat des Ratschlags hat natürlich ein Problem, aber ein guter Konsulat sollte ihm
auch klarmachen können, dass er jetzt eine faktische Aussage macht oder, dass er
einen Ratschlag erteilt. Köhler: davon ausgehen, dass ein linguist prinzipiell klären
kann ob faktische Begriffe oder Wertbegriffe vorliegen. Sprache sollte so gestaltet
sein, dass klar ist ob ein Satz normatic oder faktisch gemeint ist. (kritische Litera-
tur über Umgangssprachephilosophie: Hao Wang: ” A critique of analytic philosophy
- donig justice to what we know. Mundte: a critique of ordinary language philosophy
Aus der Unabhängigkeit von Fakt und Werturteilen folgt für den Platonismus,
dass die ” Idealität“ des platonischen Himmels nichts anderes als seine Korrekt-
heit/Gültigkeit ist. Der Platonische Himmel beschreibt eine vollkommene Welt. Wir
können das Modell der Entscheidungstheorie anwenden um zwischen der Tatsachen-
welt und der idealen Welt zu unterscheiden, wie folgt: Die Tatsachenwelt ist die
Menge von Sätzen die wahr sind (Wittgenstein: alles was der Fall ist). Die ideale
Welt hingegen ist die Menge von Sätzen die optimal sind.(Leibniz). Leitgeb hat Lo-
cke´s Prinzip der ” hohen Wahrscheinlichkeit“ angesprochen.
Hauptresultat: Mathematische Intuition wird von Köhler als Gültigkeitsfeststellung
expliziert. Dies basiert auf Rudolf Carnap, der kurz vor seinem Tod seine Ansicht in
Richtung der mathematischen Intuition verändert hat. In einem Vortrag von 1956
(veröff. 1986), tritt Carnap für die Intution eines Statistikers, der induktive und auch
deduktive Schlüsse macht, ein. In der Diskussion expliziert er Intuition als ” the dis-
crimination between valid and invalid“.
Übrigbleibendes Problem des Platonismus: Kann der 6. Sinn wirklich etwas objektiv
wahrnehmen (meistens Intuition als subjektives/schwammiges Verstanden).
24

11. Vorlesung 24.05. Gödels Platonismus 2 Attribute des Platonismus: Plura-
lismus und Objektivität. Heute gehen wir den Knackpunkt an: Wie Objektiv ist
die Intuition in der Mathematik wie sie vom Platonsimus behauptet wird. Gödels
Analogie Argumentation: So wie für die wirkliche (natürliche) Welt unsere Sinnes-
daten den inuktiven Schluss auf die Existenz der Aussenwelt erlauben, erlaubt uns
die mathematische Intuition einen (induktiven) Schluss auf die Existenz und Rea-
lität der ” platonischen Welt“. Einen Seitenblick zur Obejktivität gewinnt man durch
Überlegungen, wieweit die platonische Welt (oder: der platonische Himmel) erfunden
werden kann (create). Diese Ansicht der Konventionalisten (Das die Mathematik aus
Erfindungen besteht) untergräbt natürlich die platonistische Position. Gödel führte
deshalb Gegenargumente gegen die Erfindbarkeit des platonischen Himmels: Gerade
die Fehlerbehaftetheit der Intuition zeigt, nach Gödel, dass die Intuition objektiv
ist. Denn wenn die mathematische Intution Fehler machen kann, dann zeigt dies,
dass die Intution von etwas außerhalb des Geistes korrigiert und bewertet werden
kann. D.h. die Intution ist nicht rein subjektiv sondern objektiv.
Hao Wang (Köhler gödels plat. S.50, fn. 79:
Der eigentliche Grund für Gödels objektivismus ist ein basic fact: Gödel glaubt
fest daran, dass die Goldbachsche Vermutung einen Sinn hat und, dass sie wahr
oder falsch sein muss. Das erinnert an den Empirismus: Wenn wir denn Sinn eines
Satzes verstehen, dann wissen wir wie er verifiziber ist. Für Gödel muss es objektive
Tatsachen über Zahlen geben, die sich aber anders als Tatsachen über empirische
Gegenstände verhalten (sind unveränderlich, zeitlos usw.). Gödel erweitert diese
Aussage auch auf die Mengenlehre: Die bloße psychologische Tatsache einer Intuiti-
on die die Axiome akzeptieren lassen beweist, dass die Kontinuumshypothese einen
Sinn hat.
Gödels (handfestes Argument) für Objektivität in seinem Carnap Aufsatz (ca.1953)
weißt auf die notwendige Rolle der Mathematik in naturwissescnaftlichen Erklärungen
und Vorraussagen hin. Wenn die Erklärungen oder Vorraussagen etwa fehlgehen
” hängt“ die Mathematik mit den empirischen Bewegungsgesetzen mit. Aber: wir
müssen die Objektivität der Intuition direkt Beweisen.
Robinson: Mathematische Gegenstände anzunehmen ist einfach nützlich.
Gödel: Das ist Verstellung und Verstellung kann nie denselben Grad wie Einbil-
dungskraft erreichen.
Russell: Nur der robuste Glaube an die Existenz von mathematischenb Gegenständen
macht Sinn.
Einen Zugang zur Objektivität der Sinneswahrnehmung findet man in der Psy-
chophysik. Die sinnliche Wahrnehmung hat verschiedene Schwellwerte: obere und
25

untere und auch sog. differentielle Wahrnehmbarkeitsschwellen. (just notable dif-
fernces - jnd´s). Man möchte die jnd für Hörstärke I bestimmen ∆I
�
= K ,welches
I
�
zum Weber-Fechner-Gesetz führt: p = k �n S
S0
Wobei p das wahrgenommene Signal, S die physische Signalstärke, S0 die Stärke des
Signals an der unteren Schwelle.
Gibt das Weber-Fechner-Gesetz einen ” absoluten Vergleichsmaßstab“. Eigentlich
nein, denn es lässt sich nur ein Sinnesorgan mit anderen (natürlichen oder künstlichen)
Organen vergleichen. Der eigentliche Unterschied zwischen Intuition und Sinnes-
wahrnehmung scheint darin zu liegen, dass die Intuition digital ist wobei die Sinnes-
wahrnehmung analog ist. Intutition vetrifft deklaratives Wissen, welches auf ” digi-
talen“ Begriffen (und Sätzen) baut. Da passen keine ” jnd-Analysen“ Mathematische
Sätze, Regeln und Begriffe sind digital, indem Sinne, dass sie enteweder ganz da oder
nicht da sind. (Das sind die ” Reize“ für Intuition, der Input). Aber Intuition hat
auch einen ” Output“ nämlich: Glaubensgrade bzw. Geltungs- und Evaluierungsgra-
de. Diese Outputs sind schon analog, denn sie sind vergleichbar mit Wahrscheinlich-
keitsgraden und meßbar durch Nutzen-funktionen. Diese Wertungen können obere
und untere Schwellen sowie jnds haben wie die Sinneswahrnehmung.
Die Intuition ist laut Köhler eine Wertverteilung, die in Präferenzordnungen organi-
siert werden kann. Solche Präferenzordnungen können aber einfach in Nutzenfunk-
tionen umgewandelt werden, wie John von Neumann im Anhang zu ” Game Theory“
(1947) zeigt.
In der täglichen Arbeit in der Mathematik geht es aber recht informell zu, denn
selten werden (insb.) Beweisregeln explizit gemacht. (KI: deklariert). Bis alles ex-
plizit gmeacht wird, kann nur schwer die Intuition darüber studieren. Ausnahme:
Douglas Lenat hat ein K.I.-Programm [automated mathematician] konstruiert. AM
hat eine schwache Mengenlehre, einige Schlussregeln, plus hunderte Heuristiken um
die Schlussregeln geschickt zu hantieren. Hier war eine gewisse Spielart der mathem.
Intuition volständig explizit gemacht.
Was sind nun passable Kriterien der Objektivität für Intuition? Intuition kann man
zunächst auf den Einzelforscher beschränken. Dann muss Intuition zumindest robust
sein (d.h., dass die Intuition auch unter verändernden Umständen konstant bleibt,
nicht ” wankelmütig“ ist). Wenn Intuition verfeinert wird, dann ist sie ” progressiv“.
(verfeinerte Int kann alles was vorhergehende auch konnte aber etwas mehr.) Intuiti-
on ist aber auch intersubjektiv vergleichbar: die Intuitionen verschiedener Forscher
müssen übereinstimmen (soweit das bei individuellen Unterschieden möglich ist).
Wie wird Intuition verfeinert? Durch Entdeckung von Überlappungen und Quer-
verbindungen. Das berühmteste Beispiel überhaupt war Descartes systematische
Anwendung seiner ” analytischen Methode“, die alte konstruktive Geometrie wurde
stark erweitert, durch Umwandlung von geometrischen in algebraische Sätze.
26

12.Vorlesung 31.05.2011 Verflogung und Ausführung von Gödels Analogiever-
gleich von Intuition und Sinneswahrnehmung: Zu Platons Zeit hatte die Sinneswahr-
nehmung beinahe kein Prestige im Gegensatz zur Intuition. Durch den Aufstieg der
modernen Naturwissenschaft hat sich dieses Verhältnis geändert: Die Sinneswahr-
nehmung hat heute das Prestige, da sie durch die Zuhilfenahme von künstlichen
Apparaten verfeinert wurde, die Intuition gilt heute als ungenau und rein subjektiv.
• Jedoch: Die Objektivität der Sinneswahrnehmung wird nur relativ gewährleistet,
durch Leistungsvergelich zwischen menschlichen Organen+Bewusstsein mit
anderen Organen, nämlich:
mit Messapparaten (Psychophysik)
mit Organen anderer Menschen, anderer Tiere, auch auf mögliche Tierarten
in dieser oder anderen Universen und anderen Naturgesetzen. (also andere
Sinnesapparate).
• Wichtig in der Sinneswahrnehmung ist, dass es wichtige Korrelationen zwi-
schen Sinnen gibt. Besonders zwischen Sehen, Hören und Tasten.
• Aber: es gibt keine Korrelation zwischen Sinneswahrnehmung und Intuition.
Theoretisch gilt das, weil die Nutzenfunktion u von der Wahrscheinlichkeits-
funktion p unabhängig ist. (die Werturteile die von u ausgedrückt werden
sind unabhängig von den Tatsachenurteilen ausgedrückt durch p). Experten
können außerdem (subjektiv) diese unterscheiden. (Der Sprecher weiß immer
ob er ein Werturteil oder eine Tatsachenfeststellung ausspricht). Dies ist also
eine Bestätigung von Humes Gesetz. Gödel möchte genau dies zeigen, dass
mathematisches Wissen unabhängig ist von Tatsachenwissen.
• Es gibt Wahrnehmungsnormen: Wir sagen, dass Menschen Farben richtig wahr-
nehmen, wenn sie z.B. zwischen Grün und Ort unterscheiden können. Diese
Normen muss man feststellen.
• Um die Objektivität der menschlichen Intuition zu gewährleisten, müssen wir
eine Intuition mit der Intuition eines ” geeichten“ Experten vergleichen. Auch
für die Intuition gibt es Normen und Standarde. Ein geeichter Mathematiker,
weiß wie ein Beweis läuft, e.t.c.. Wie kann man die Intuitionen eines geübten
Mathematikers feststellen? Indem man alle Heuristiken aufschreibt, die man
von den empirischen Untersuchungen des Beweisverhaltens des Mathematikers
anstellt. Der Experte hat also eine ” Liste“ von Heuristiken bzw. eine Nutzen-
funktion, welche eine Wahrnehmbarkeitsnorm darstellt.
• Werden diese Normen auch wirklich eingehalten (ansonsten ja nicht wirk-
lich objektiv)? Wenn wir die Nutzenmessung betrachten, finden wir folgen-
des Bild: theoretisch ja (die Normen können eingehalten werden), in der Pra-
xis bestenfalls manchmal, je nachdem um welche Norm es sich handelt. Man
27

kann aber auch die annähernde Einhaltung von Normen untersuchen: Eine
Wahrnehmung ist objektiv wenn die Urteile verschiedener Beobachter sich
möglichst annähren. Genauso kann bei Intuition vorgegangen werden. Das
Annäherungsverhalten ist besonders wichtig bei Verfeinerungen: Da sie ” fort-
schrittlich“ sind, erwarten wir schon deshalb ein Annäherungsverhalten.
Einschub: Poppers 3 Welten sollten 4 Sein: subjektiv normativ: Logik/Math;
subjektiv faktisch: emp. Psychologie; objektiv faktisch: emp. Naturwissensch.; ob-
jektiv normativ: Technik; Popper verneinte das Vermögen der Intuition irgendetwas
zu rechtfertigen: Das war die Standardmeinung des Wiener Kreises und auch von
Quine, und den meisten analytischen Philosophen - auch Hempel. Die Ablehnung
der Intuition ist Hauptverantwortlich für Naturalismus.
Köhler: Wenn man Konventionalismus richtig deutet, dann kein Problem Kon-
ventionalismus und Platonismus zu vereinen. Konventionalist kann wie Platonist
überzeugt sein, dass es z.B. einen Beweis für die Goldbachsche Vermutung gibt und
Platonist kann auch überzeugt sein, dass es Revolutionen in der Wissenschaft gibt
(sind dann Revolutionen in der Intuition).
Feststellung der Objektivität von Intuitionen: Vergleich muss mit einem ” ge-
normten“ Mathematiker passieren. Sind die Wahrnehmungsnormen auch selber ” rich-
tig“? Empirisch betrachtet werden Normen vermutlich besser je länger sie verfeinert
werden. Aber nach einiger Zeit kommt ein Equilibrium (wenn Verfeinerung kaum
mehr möglich ist). In der Ethik gibt es Rawls ” reflective equilibrium“, der ethischen
Intuition. Rawls denkt an eine ” Gruppenbewertung“ nach einer reifen Überlegung.
Die Gruppe besteht aus verschiedenen Experten.
Der Begriff ” reflective equilibrium“ kann in allen Normgebieten verwendet werden.
Rawls Idee kommt von Nelson Goodmans Vorgehensweise für (unvollständige) In-
duktion. Bei Goodmans ” Grue-Bleen“ Paradoxie gibt es allerdings wohl ein anderes
Kriterium als bloß Equilibrium, nämlich das Fehlen von Bezugnahme auf Raum oder
Zeit in einem Prädikat.
Equilibrium wird untersucht in der Spieltheorie, Kontrolltheorie, nichtlineare Sys-
temtheorie (nichtlineare Differntialgleichungen - Chaostheorie). Wenn man ein Equi-
librium erreicht, dann hat man einen gewissen Grad an Obejktivität erreicht
13.Vorlesung 7.06 Objektivität des mathematischen Wissens
Aus was besteht mathematische Wissen?
• Vorrat von Begriffen, Theoreme und Regeln
• Fertigkeiten bei der Entdeckung von ” interessanten“ Vermutungen
• Fertigkeiten bei der Entdeckung von Beweisen (Vorrausetzung: geschicktes ver-
meiden von Fehlern), eine Batterie von Heuristiken (z.B. D.Lenat -automated
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mathematician) hilft Fehler zu vermeiden.
Hilbert (instrumentalist/Formalist) und Carnap (Konventionalist) behaupten, dass
es kein mathematisches ” Wissen“ gibt. Mathematik ist nach Hilbert ein rein forma-
les Schließen aus (zunächst) inhaltsleeren Axiomen. Allerdings muss es auch für Hil-
bert und Carnap logisch-mathematisches Wissen doch geben, denn um Hilbertsche
Axiomatik oder Carnapsche Syntax analysieren zu können, benötigen sie inhaltliche
Metamathematik (Hilbert) bzw. inhaltliche Mengenlehre (Carnap): Beweise führen,
arithmetische Rechnungen müssen alle gültig sein. Hilbert geht bei seiner Sichtweise
auf die Mathematik viel zu stark von seiner Axiomatisierung der Geometrie aus.
Geometrie ist aber schon angewandte Mathematik. Hilbert dachte er benötigt nur
inhaltliche Mathematik um Widerspruchsfreiheitsbeweise zu führen, aber er muss
dennoch Mengenlehre betreiben.
(Einschub: Konvention nicht rein formal leer, drückt eine positive Grundhaltung
zur Arbeit mit gewissen Regeln und Axiomen aus. Als solches ist Konvention das-
selbe wie Inuition. Konventionen verstecken Intuitionen, sind also nicht so inhaltleer
und formalistische wie Carnap dachte.)
Gibt es wissenschaftlichen Fortschritt in der Mathematik?
Ja, wenn man Beweise von neuen Theoremen als Fortschnitt rechnet, das ist aber
in gewissem Sinn trivial. Einen ” tieferen“ Fortschritt kann es geben durch Entwick-
lung von neuen Beweismethoden, Schlussregeln, aber auch durch ” Verfeinerung der
Intuition“. Kann man den Fortschritt messen? Ja, zumindest grob. Expertengrup-
pen können die wichtigsten Probleme je nach Bedeutungsgrad einordnen. Damit
kann der Ertrag von Problemlösungen gemessen werden. Dabei müssen 2 Parameter
berücksichtigt werden: Erstens Bedetungsgrad/Inhalt/Erklärungstärke (wieviele an-
dere Ergebnisse kann das Theorem erklären usw.), Zweitens Glaubwürdigkeit/Bestätigungsgrad
Beide Parameter müssen erfüllt sein (Carnap-Popper Debatte/Imre Lakatos). Gödel
hat auch indirekte Bestätigung befürwortet: die Intuition für ein Axiom kann verstärkt
werden, durch Rückschlüsse aus Anwendungserfolgen (Ein Beispiel dafür wäre die
Anwendung von alegebraischen Methoden in der Geometrie bei Descartes, durch die
dadurch mögliche Übersetzung von geometrischen Problemen in arithmetische half
einige Probleme lösbar).
Wie viel Fortschritt bzw. Konsensfindung gibt es in den normativen Wissenschaften?
Schon erheblich viel!- obwohl es natürlich immer viel Streit gibt. Es gibt Kernberei-
che wo Konsens gefunden wurde, aber an den Rändern (besonders in den Grundla-
gen) gibt es unentwegt Streit.
Bsp.: Ökonometrie, Eine wichtige Kennzahl ist das BIP(GDP), dies wird häufig von
Politikern als Wohlfahrtsmaß missbraucht, Ökonometriker wissen davon und versu-
chen ein besseres Maß zu finden (z.B.: Armatya Sen). Konsens gibt es aber weitge-
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hend beim Vertragsrecht, Rechnungslegung, Geschöftsordnungen sind sehr ähnlich
Der Platonismus fordert prinzipiell, dass letzten Endes überall Konsens gefunden
werden muss, vorrausgesetzt die beteiligten Menschen oder sonstige rationale Men-
schen sind wirklich vernünftig.
3.6 Intuitionen/Kausalität
Der klassische Platonismus war vor allem mit folgendem Problem behaftet: Dem
Fehlen einer Kausalverbindung zwischen Mensch und Himmel. Die mathematischen
Gegenstände sollten/müssen mit der menschlichen Intuition kausal verbunden sein.
Hier kann der Einwand formuliert werden: Wenn die mathematischen Gegenstände
Teil eines anderen Universums sind, kann es keine solche Kausalverbindung geben.
Dieser ” gordische Knoten“ kann allerdings durchschlagen werden wenn man be-
hauptet, dass ale mathematischen Gegenstände physikalisiert werden können. (Diese
Möglichkeit hat Gödel allerdings nur ganz kurz angeschnitten, aber von Neumann
hat das angestrebt.) Man denke an ” Matrix“, wo zwei ” Wirklichkeitsebenen“ zusam-
mentreffen: Die eigentliche Wirklichkeit und die ” Back-office“ (Meta-wirklichkeit),
wo die Handlungen vorgerechnet werden. (historische Vorblider: Laplaces Dämon,
Pythagoras und Platons Demiurg.)
Die Mathematik beschreibt die (genormten) Rechenvorgänge im ” Back-office“. Pro-
blem dabei: Die Rechner im ” Back-office“ werden für viele Prozesse sicher zu schwach
sein. Robin Gandy hat folgendes über Turing-Maschinen bewiesen: Dass eine uni-
verselle Turing-Maschine in unserer Wirklichen Welt nicht existieren kann. Wegen
relativistischer Beschränkung der kommunikationsgeschwindigkeit.
Um alle Mathematik zu ” physikalisieren“ muss man allerdings in eine Hyper-welt
übergehen. Erst in dieser Hyperwelt werden wirklich starke Prozesse (Supertasks)
möglich sein (Paul Benaceraff hat Supertasks in Bezug auf Zenon verwendet). Sie
führen unendlich viele Schritte in endlicher Zeit aus. Natürlich gelten andere physi-
kalische Gesetze, aber es ist zumindest logisch möglich so eine Welt zu haben. (die
Mathematik spricht ständig von unendlich starken Prozessen).
14. Vorlesung 21.06. Um die kausale Theorie der Wahrnehmung für die Intuition
zu bestätigen wird in dieser Vorlesung das Thema ” Mengenlehre vs. Mereologie“
behandelt. Es gibt ” naturalistische“ Platonisten (wie Quine und Maddy), die gerne
belegen möchten, dass Mengen mit natürlichen menschlichen Organen beobachtet
werden können. Bei mereologischen Gegenständen scheint das kein Problem zu sein.
Was ist aber mit abstrakten Mengen. Köhler möchte zeigen, dass in kleinen endlichen
Bereichen Mengen sinnlich beobachtbar sind. Mengenlehre ist wesentlich stärker als
Mereologie, deshalb wird die Mereologie heute nur mehr vereinzelt betrieben. Lehre
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von Teil und Ganzem wurde vor allem durch die Aristoteliker wie Brentano betrie-
ben.
Einer der Schüler von Brentano war der Begründer der ” Lemberger Schule“. Die
Mereologie wurde schließlich von Lesniewski entworfen, später von Nelson Good-
man wreiterentwickelt. Sie will die Prädikation explizieren: Die Beziehung zwischen
Gegenständen und Eigenschaften. Dabei wendete sich gegen die Auffassung von Ei-
genschaften als abstrakt. Die Eigenschaften werden als mit den Gegenständen auf
einer Ebene betrachtet. Allerdings gibt es auch in der Mereologie universelle Ge-
genstände: Gegenstände die außerhalb von Raum und Zeit sind.
Wir wollen nun den Definitionsbereich [domain] der Intuition charakterisieren.
(Den Zielbereich (= die Bildmenge) [range] haben wir schon behandelt: da Intuition
ein Werturteil ist sind die Werangaben, etc. der Bildbereich). Gödel sagte, dass wir
Intuition von allen Dingen haben können, aber natürlich hauptsächlich von Begrif-
fen (und von Mengen), Sätzen (Axiome, Vermutungen) und Regeln. Kann man aber
eine Kausalbeziehung zu Mengen bzw. Sätzen und Regeln herstellen?
Laut David Lewis ( ” Parts of Classes“) geht das. Lewis gefragt was der genaue Un-
terschied zwischen mereologischen Gegenständen (=Ganzen) und Mengen ist. Ein
Unterschied besteht in den Relationen ∈ und ⊂: Die Relation ⊂ besteht zwischen
Mengen auf einer Ebende, die Relation ∈ nur zwischen Mengen die typentheoretische
auf unterschiedlichen Ebene stehen. Die Ganzen haben daher keine Stufenunterschie-
de. Ganzen werden aus Teilen durch Fusion (nach Goodman) zusammengesetzt. Die
Teil-Ganze Beziehung ist (nach Goodman) immer transitiv. Teile von Teilen von
Ganzen, sind auch Teile vom Ganzen. Bertrand Russel erkannte diese Struktur-
eigenschaft der Teil-Ganze Relation als Hauptmerkmal der Mereologie - denn ge-
rade Transitivität gilt bei den meisten ” Mengenketten“ nicht. (Eine Mengenkette
ist eine Aneinanderreihung von ∈-Beziehungen, z.B. a ∈ b ∈ c ∈ d......) Bsp.: Im
Hl.römischen Reich: die Kurfürstentümer waren alle ” reichsunmittelbar“, während
es regionale Unterglieder nicht mehr waren.
David Lewis rettet die Mereologie von ihrer angeblichen Unfähigkeit, durch Tricks:
Die mereologische Fusion a ◦ b ◦ c �= {a, b, c} für gewöhnlich, da jede Menge eine
Stufe höher ist. Lewis führt aber ”Pseudo-Mengen“ durch Kodifizierung ein: Wenn
man eine Etikette anbringen kann, dann kann man die ” Pseudo-Menge“ von der
ursprünglichen Fusion unterscheiden - und ohne Probleme ” Pseudo-Mengenlehre“
betreiben. Bald stößt man aber auf Grenzen, d.h. die Etiketten reichen nich aus.
Die Etiketten laufen viel schneller aus, als es eigentlich Mengen gibt. Hao Wang hat
bewiesen dass Mereologie und Mengenlehre, sich eigentlich erst richtig im Unend-
lichen unterscheiden. Trotzdem können wir sehen, wieso auch Mengen etwa so gut
wahrnehmbar sind wie Ganzen aus der Mereologie. Die ” naturalistische“ Platonistin
31

Penelope Maddy (UC Irvine) hat empirische Psychologie betrachtet und hat eine
neurophysiologische Lehre (Donald Hebb 1949) entdeckt. Hebb hat vermittelt zwi-
schen Atomisten und Gestaltpsychologen. Hebb zeigte auf, wie Nervennetze (wie bei
McGullogh Pitts) imstande sind Gegenstände und Eigenschaften sowohl gmeinsam
als auch getrennt wahrzunehmen. (Ähnlich machen dies Forscher in Mustererken-
nung).
Was machen wir aber mit größeren Mengen, besonders mit tansfiniten Mengen??
Kann man transfinite Mengen auch naturalistisch in den Griff bekommen (d.h.
beobachtbar machen)? Um ins Transfinite zu gelangen, iterieren wir einfach über
das Finite hinaus. Z.B.: Die Literatur über Supertasks erlaubt unendlich lange
bzw. komplexe Prozesse in endlicher Zeit. Supertasks sind auch Hilberts ω-Regel:
{P a1, P a2, P a3, ...} ⊢ ∀x : P x , wobei der Beweis für jedes ai getrennt geführt
wird. Also hat Hilbert unbewusst Supertasks befürwortet (die gesamte Mathematik
ist voll von Supertasks). Eine unendliche Erweiterung mag physikalisch unmöglich
sein, aber nicht logisch. Möglich wäre eine andere Welt (im Sinne von Leibniz Theo-
rie der möglichen Welten) mit anderen physikalischen Gesetzen, die Supertasks er-
lauben. So kann man sich unendlich große Rechner denken (mit unendlich großen
Speichern, unendlich breiten Registern, ” kollabierbare“ Sequenzen - etwas die ganze
Dezimaldarstellung von π). In dieser physikalisch-veränderten möglichen Welt wäre
es möglich transfinite Mengen in endlicher Zeit zu überblicken und auszurechnen.
Daher ist es logisch nicht unmöglich und somit auch im Sinne des Naturalismus.
Gödel ahnte, dass es eine ” ideale Intuition“ gibt, die so etwas kann.
Einschub: Was hat Gödel was naturalistische Platonisten (wie Quine, Maddy und
Co) nicht haben? Die naturalistischen Platonisten wollen keinen Dualismus - keinen
getrennten platonischen Himmel (sind Monisten). Alle Gegenstände sind für die Na-
turalisten in einem Gegenstandsbereich. Sie lehnen auch ” Humes Gesetz“ (Trennung
von Sein und Sollen) ab. Gerade Humes Gesetz erzwingt nämlich den Dualismus,
denn es folgt daraus, dass es zwei Arten von Wissen gibt (empirisches Wissen und
moralisches Bewertungswissen) und widerspricht ironischerweise damit dem Empi-
rismus.
15. Vorlesung 28.06. Carnaps Konventionalismus und die Auseinanderstzung
zwischen Gödel und Carnap.
Carnao hat in seiner ” logischen Syntax der Sprache“ Gödels Beweis und die Me-
thode der Gödelisierung verwendet. Carnap hat zwischen der ” materiellen“ und der
” formalen“ Redeweise unterschieden. Er hat seine Karriere vor allem mit dem Konventionalismus
von Poincare begonnen. Er hat diesen Terminus aber vermieden,
denn in Deutschland war ” Koventionalismus“ von dem Machianer Dingler in Be-
schlag genommen. Dingler hat aber insb. die nichteuklidische Geometrie und die
Relativitätstheorie abgelehnt und das war für Carnap ein ” No go“. Poincare hat
Konventionalismus sehr eng gemeint: Die Axiome der Geometrie (und allgemein der
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Mathematik) sind für Poincare Konventionen, wir sind frei die Axiome nach belie-
ben auszuwählen. Allerdings zeige sich die Eukildizität der Geometrie da sie in am
brauchbarsten angewandt wird.
Woher hat Carnap seinen Konventionalismus?
• Carnap hat seinen Konventionalismus von Poincare. Für Poincare gibt es drei
Arten von apriorischen Sätzen:
1. logische Gesetze
2. Teile der Mathematik die auf Intuition oder Anschauung beruhen
3. Konventionen
• Zweiter wichtiger Einfluss für Carnap war Hilberts ” Instrumentalismus“: Axio-
me sind zunächst inhaltsleer - rein instrumentalistisch.
• Dritter Einfluss: Carnaps Einstellung zur Sprache, (einschliesslich deren ” Be-
griffsrahmen“) ≈ Leibnizes ” characeristica universalis“. Sprache wurde als
Werkzeug verstanden, das nach pragmatischen Kriterien beurteilt wird. Diese
pragmatischen Kriterien beinhalten Werturteile, die verwendet werden können
um eine OBjektivität aus dem Syntaxprogramm zu gewinnen (wichtig!!).
Von Konventionalismus kann man allerdings erst reden wenn es wirklich eine ” freie
Wahl“ gibt. (Wenn ich völlig frei zwischen den verschiedenen Axiomatisierungen -
euklidischen wie nicht-euklidischen - wählen kann.) Für Poincare gab es in der Logik
noch keine solche freie Wahl. Dies kam erst bei Brouwer und Lukasiewicz auch in
der Logik auf.
In der Mathamtik gab es auch neue ” freie Wahl“-Möglichkeiten.
Das Wesen von Carnaps Konventionalismus liegt im sog. Toleranzprinzip (1934,
§17). Der Keim dazu wurde schon 1930 ausgesät im Gespräch zwischen Carnap und
Gödel: Gödel hat 6 Stärke-Stufen der Mathematik angenommen: -ultrafinit, -finit
(Hilbert), -konstruktiv, - Brouwer, - klassische Analysis, - Cantor.
Gödel dazu: ” Es ist vollständig Sache freien Entschlusses (wie auch Menger meint),
welche Formeln und Regeln man (in der Mathematik) als ” sinvoll“ zulässt, weil man
einige Vorstellungen damit verknüpft. Also kann man auch gleich die klassische Ma-
thematik anerkennen.“ Gödel meint, dass wenn man eine stufe akzeptiert, kann man
durch induktives Schließen immer auch noch die nächsten Stufen akzeptieren. Einen
plausiblen Unterschied gibt es nicht; sodass man an verschiedenen Stellen eine klar
definierte Grenze ziehen könnte.
In der ” logischen Syntax der Sprache“ schreibt Carnap zum Tolranzprinzip der
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Syntax: ” It is not our buisness to set up prohibitions but to arrive at conventi-
ons (Wir wollen nicht Verbote aufstellen sondern Festsetzungen treffen)“ (§17) Das
ist vor allem gegen Brouwer gerichtet. Weiters: ” In der Logik gibt es keine Moral.
Jeder mag seine Logik aufbauen wie er will. Nur muss er wenn er mit uns disku-
tieren will genau angeben wie er es will. Syntaktische Bestimmung statt philosophi-
sche Erörterung.“ Später hat Gödel zum Syntaxprogramm Stellung genommen: Er
schrieb seinen ” Carnap-Aufsatz“(1953) gegen das ” Syntax-Programm“ und behält
auf jeden Fall in einem Punkt Recht, wenn man das Syntaxprogramm versteht als
den Versuch die Mathematik völlig ohne Inhalt zu machen zu machen - insbesondere
ohne Vewendung von Intuition. (In einem anderen Punkt behält er aber nicht recht,
wenn man Konventionen etwas anders deutet als im Syntaxprogramm. ) Gödels
” Beweis“ beruhte auf der Behauptung (oder Feststellung), dass Konventionen einen
Widerspruchsfreiheitsbeweise brauchen, um überhaupt zulässig zu sein. Eine Kon-
vention könnte nämlich mit einer anderen kollidieren. Beweise braucht man laut
Gödel gerade weil das Syntaxprogramm Intuition (bzw. Inhalt) konsequent aus-
schließt, aber ohne Intuitionen können wir nie sicher sein.
Quine (1936) bringt ein anderes, noch stärkeres Argument gegen das Syntaxpro-
gramm: Allein schon die bloße Darstellung von Sätzen (Axiomen) und Regeln ver-
langt nach inhaltilicher Mathematik
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