Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

Penelope Maddy (UC Irvine) hat empirische Psychologie betrachtet und hat eine
neurophysiologische Lehre (Donald Hebb 1949) entdeckt. Hebb hat vermittelt zwi-
schen Atomisten und Gestaltpsychologen. Hebb zeigte auf, wie Nervennetze (wie bei
McGullogh Pitts) imstande sind Gegenstände und Eigenschaften sowohl gmeinsam
als auch getrennt wahrzunehmen. (Ähnlich machen dies Forscher in Mustererken-
nung).
Was machen wir aber mit größeren Mengen, besonders mit tansfiniten Mengen??
Kann man transfinite Mengen auch naturalistisch in den Griff bekommen (d.h.
beobachtbar machen)? Um ins Transfinite zu gelangen, iterieren wir einfach über
das Finite hinaus. Z.B.: Die Literatur über Supertasks erlaubt unendlich lange
bzw. komplexe Prozesse in endlicher Zeit. Supertasks sind auch Hilberts ω-Regel:
{P a1, P a2, P a3, ...} ⊢ ∀x : P x , wobei der Beweis für jedes ai getrennt geführt
wird. Also hat Hilbert unbewusst Supertasks befürwortet (die gesamte Mathematik
ist voll von Supertasks). Eine unendliche Erweiterung mag physikalisch unmöglich
sein, aber nicht logisch. Möglich wäre eine andere Welt (im Sinne von Leibniz Theo-
rie der möglichen Welten) mit anderen physikalischen Gesetzen, die Supertasks er-
lauben. So kann man sich unendlich große Rechner denken (mit unendlich großen
Speichern, unendlich breiten Registern, ” kollabierbare“ Sequenzen - etwas die ganze
Dezimaldarstellung von π). In dieser physikalisch-veränderten möglichen Welt wäre
es möglich transfinite Mengen in endlicher Zeit zu überblicken und auszurechnen.
Daher ist es logisch nicht unmöglich und somit auch im Sinne des Naturalismus.
Gödel ahnte, dass es eine ” ideale Intuition“ gibt, die so etwas kann.
Einschub: Was hat Gödel was naturalistische Platonisten (wie Quine, Maddy und
Co) nicht haben? Die naturalistischen Platonisten wollen keinen Dualismus - keinen
getrennten platonischen Himmel (sind Monisten). Alle Gegenstände sind für die Na-
turalisten in einem Gegenstandsbereich. Sie lehnen auch ” Humes Gesetz“ (Trennung
von Sein und Sollen) ab. Gerade Humes Gesetz erzwingt nämlich den Dualismus,
denn es folgt daraus, dass es zwei Arten von Wissen gibt (empirisches Wissen und
moralisches Bewertungswissen) und widerspricht ironischerweise damit dem Empi-
rismus.
15. Vorlesung 28.06. Carnaps Konventionalismus und die Auseinanderstzung
zwischen Gödel und Carnap.
Carnao hat in seiner ” logischen Syntax der Sprache“ Gödels Beweis und die Me-
thode der Gödelisierung verwendet. Carnap hat zwischen der ” materiellen“ und der
” formalen“ Redeweise unterschieden. Er hat seine Karriere vor allem mit dem Konventionalismus
von Poincare begonnen. Er hat diesen Terminus aber vermieden,
denn in Deutschland war ” Koventionalismus“ von dem Machianer Dingler in Be-
schlag genommen. Dingler hat aber insb. die nichteuklidische Geometrie und die
Relativitätstheorie abgelehnt und das war für Carnap ein ” No go“. Poincare hat
Konventionalismus sehr eng gemeint: Die Axiome der Geometrie (und allgemein der
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