Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

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Penelope Maddy (UC Irvine) hat empirische Psychologie betrachtet und hat eine neurophysiologische Lehre (Donald Hebb 1949) entdeckt. Hebb hat vermittelt zwischen Atomisten und Gestaltpsychologen. Hebb zeigte auf, wie Nervennetze (wie bei McGullogh Pitts) imstande sind Gegenstände und Eigenschaften sowohl gmeinsam als auch getrennt wahrzunehmen. (Ähnlich machen dies Forscher in Mustererken- nung). Was machen wir aber mit größeren Mengen, besonders mit tansfiniten Mengen?? Kann man transfinite Mengen auch naturalistisch in den Griff bekommen (d.h. beobachtbar machen)? Um ins Transfinite zu gelangen, iterieren wir einfach über das Finite hinaus. Z.B.: Die Literatur über Supertasks erlaubt unendlich lange bzw. komplexe Prozesse in endlicher Zeit. Supertasks sind auch Hilberts ω-Regel: {P a1, P a2, P a3, ...} ⊢ ∀x : P x , wobei der Beweis für jedes ai getrennt geführt wird. Also hat Hilbert unbewusst Supertasks befürwortet (die gesamte Mathematik ist voll von Supertasks). Eine unendliche Erweiterung mag physikalisch unmöglich sein, aber nicht logisch. Möglich wäre eine andere Welt (im Sinne von Leibniz Theo- rie der möglichen Welten) mit anderen physikalischen Gesetzen, die Supertasks er- lauben. So kann man sich unendlich große Rechner denken (mit unendlich großen Speichern, unendlich breiten Registern, ” kollabierbare“ Sequenzen - etwas die ganze Dezimaldarstellung von π). In dieser physikalisch-veränderten möglichen Welt wäre es möglich transfinite Mengen in endlicher Zeit zu überblicken und auszurechnen. Daher ist es logisch nicht unmöglich und somit auch im Sinne des Naturalismus. Gödel ahnte, dass es eine ” ideale Intuition“ gibt, die so etwas kann. Einschub: Was hat Gödel was naturalistische Platonisten (wie Quine, Maddy und Co) nicht haben? Die naturalistischen Platonisten wollen keinen Dualismus - keinen getrennten platonischen Himmel (sind Monisten). Alle Gegenstände sind für die Na- turalisten in einem Gegenstandsbereich. Sie lehnen auch ” Humes Gesetz“ (Trennung von Sein und Sollen) ab. Gerade Humes Gesetz erzwingt nämlich den Dualismus, denn es folgt daraus, dass es zwei Arten von Wissen gibt (empirisches Wissen und moralisches Bewertungswissen) und widerspricht ironischerweise damit dem Empi- rismus. 15. Vorlesung 28.06. Carnaps Konventionalismus und die Auseinanderstzung zwischen Gödel und Carnap. Carnao hat in seiner ” logischen Syntax der Sprache“ Gödels Beweis und die Me- thode der Gödelisierung verwendet. Carnap hat zwischen der ” materiellen“ und der ” formalen“ Redeweise unterschieden. Er hat seine Karriere vor allem mit dem Konventionalismus von Poincare begonnen. Er hat diesen Terminus aber vermieden, denn in Deutschland war ” Koventionalismus“ von dem Machianer Dingler in Be- schlag genommen. Dingler hat aber insb. die nichteuklidische Geometrie und die Relativitätstheorie abgelehnt und das war für Carnap ein ” No go“. Poincare hat Konventionalismus sehr eng gemeint: Die Axiome der Geometrie (und allgemein der 32
Mathematik) sind für Poincare Konventionen, wir sind frei die Axiome nach belie- ben auszuwählen. Allerdings zeige sich die Eukildizität der Geometrie da sie in am brauchbarsten angewandt wird. Woher hat Carnap seinen Konventionalismus? • Carnap hat seinen Konventionalismus von Poincare. Für Poincare gibt es drei Arten von apriorischen Sätzen: 1. logische Gesetze 2. Teile der Mathematik die auf Intuition oder Anschauung beruhen 3. Konventionen • Zweiter wichtiger Einfluss für Carnap war Hilberts ” Instrumentalismus“: Axio- me sind zunächst inhaltsleer - rein instrumentalistisch. • Dritter Einfluss: Carnaps Einstellung zur Sprache, (einschliesslich deren ” Be- griffsrahmen“) ≈ Leibnizes ” characeristica universalis“. Sprache wurde als Werkzeug verstanden, das nach pragmatischen Kriterien beurteilt wird. Diese pragmatischen Kriterien beinhalten Werturteile, die verwendet werden können um eine OBjektivität aus dem Syntaxprogramm zu gewinnen (wichtig!!). Von Konventionalismus kann man allerdings erst reden wenn es wirklich eine ” freie Wahl“ gibt. (Wenn ich völlig frei zwischen den verschiedenen Axiomatisierungen - euklidischen wie nicht-euklidischen - wählen kann.) Für Poincare gab es in der Logik noch keine solche freie Wahl. Dies kam erst bei Brouwer und Lukasiewicz auch in der Logik auf. In der Mathamtik gab es auch neue ” freie Wahl“-Möglichkeiten. Das Wesen von Carnaps Konventionalismus liegt im sog. Toleranzprinzip (1934, §17). Der Keim dazu wurde schon 1930 ausgesät im Gespräch zwischen Carnap und Gödel: Gödel hat 6 Stärke-Stufen der Mathematik angenommen: -ultrafinit, -finit (Hilbert), -konstruktiv, - Brouwer, - klassische Analysis, - Cantor. Gödel dazu: ” Es ist vollständig Sache freien Entschlusses (wie auch Menger meint), welche Formeln und Regeln man (in der Mathematik) als ” sinvoll“ zulässt, weil man einige Vorstellungen damit verknüpft. Also kann man auch gleich die klassische Ma- thematik anerkennen.“ Gödel meint, dass wenn man eine stufe akzeptiert, kann man durch induktives Schließen immer auch noch die nächsten Stufen akzeptieren. Einen plausiblen Unterschied gibt es nicht; sodass man an verschiedenen Stellen eine klar definierte Grenze ziehen könnte. In der ” logischen Syntax der Sprache“ schreibt Carnap zum Tolranzprinzip der 33
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