Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

11. Vorlesung 24.05. Gödels Platonismus 2 Attribute des Platonismus: Plura-
lismus und Objektivität. Heute gehen wir den Knackpunkt an: Wie Objektiv ist
die Intuition in der Mathematik wie sie vom Platonsimus behauptet wird. Gödels
Analogie Argumentation: So wie für die wirkliche (natürliche) Welt unsere Sinnes-
daten den inuktiven Schluss auf die Existenz der Aussenwelt erlauben, erlaubt uns
die mathematische Intuition einen (induktiven) Schluss auf die Existenz und Rea-
lität der ” platonischen Welt“. Einen Seitenblick zur Obejktivität gewinnt man durch
Überlegungen, wieweit die platonische Welt (oder: der platonische Himmel) erfunden
werden kann (create). Diese Ansicht der Konventionalisten (Das die Mathematik aus
Erfindungen besteht) untergräbt natürlich die platonistische Position. Gödel führte
deshalb Gegenargumente gegen die Erfindbarkeit des platonischen Himmels: Gerade
die Fehlerbehaftetheit der Intuition zeigt, nach Gödel, dass die Intuition objektiv
ist. Denn wenn die mathematische Intution Fehler machen kann, dann zeigt dies,
dass die Intution von etwas außerhalb des Geistes korrigiert und bewertet werden
kann. D.h. die Intution ist nicht rein subjektiv sondern objektiv.
Hao Wang (Köhler gödels plat. S.50, fn. 79:
Der eigentliche Grund für Gödels objektivismus ist ein basic fact: Gödel glaubt
fest daran, dass die Goldbachsche Vermutung einen Sinn hat und, dass sie wahr
oder falsch sein muss. Das erinnert an den Empirismus: Wenn wir denn Sinn eines
Satzes verstehen, dann wissen wir wie er verifiziber ist. Für Gödel muss es objektive
Tatsachen über Zahlen geben, die sich aber anders als Tatsachen über empirische
Gegenstände verhalten (sind unveränderlich, zeitlos usw.). Gödel erweitert diese
Aussage auch auf die Mengenlehre: Die bloße psychologische Tatsache einer Intuiti-
on die die Axiome akzeptieren lassen beweist, dass die Kontinuumshypothese einen
Sinn hat.
Gödels (handfestes Argument) für Objektivität in seinem Carnap Aufsatz (ca.1953)
weißt auf die notwendige Rolle der Mathematik in naturwissescnaftlichen Erklärungen
und Vorraussagen hin. Wenn die Erklärungen oder Vorraussagen etwa fehlgehen
” hängt“ die Mathematik mit den empirischen Bewegungsgesetzen mit. Aber: wir
müssen die Objektivität der Intuition direkt Beweisen.
Robinson: Mathematische Gegenstände anzunehmen ist einfach nützlich.
Gödel: Das ist Verstellung und Verstellung kann nie denselben Grad wie Einbil-
dungskraft erreichen.
Russell: Nur der robuste Glaube an die Existenz von mathematischenb Gegenständen
macht Sinn.
Einen Zugang zur Objektivität der Sinneswahrnehmung findet man in der Psy-
chophysik. Die sinnliche Wahrnehmung hat verschiedene Schwellwerte: obere und
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