Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

interressant: scheitert an komplexität der Rechnungen)
Muss der Gödelsatz G wahr sein?
Prinzipiell kann das verneint werden. Gödel hat dies nirgends in seinem Aufsatz
erwähnt.
Der Beweis von Gödels Unvollständigkeitssatz verläuft eigentlich rein syntaktisch.
Demnach wird der semantische Begriff ” Wahrheit“ nie erwähnt. (Allerdings, die Pea-
no Arithmetik selbst muss als wahr/gültig anerkannt und als Teil de mathematischen
Wissens anerkannt werden, denn sonst ist der Beweis Gödels nicht überzeugen). Wis-
sen setzt Wahrheitserkenntnisse voraus, die in zwei Stufen erlangt werden: 1. durch
direkte Beobachtung, (d.h. in der Mathematik: Intuition oder Anschauung), 2. durch
Schließen (deduktiv und induktiv). In einem Widerspruchfreiheitsbeweis wird aber
Wissen/Wahrheit nicht gebraucht. Tarski und auch Quine hielten Gödels Beweis für
rein syntaktisch.
Warum braucht man Wahrheit um eine Theorie zu begründen? Hilbert
hielt Begründungen für etwas schwächeres, ein Widerspruchsfreiheitsbeweis ist schon
ausreichend um eine mathematische Theorie zu begründen.
Die Mathematiker rückten 1899 von Wahrheit ab, denn es wurde nicht mehr ver-
langt, dass eine Theorie wahr/gültig sein müsste sondern nur, dass sie beweistheo-
retisch korrekt durchgeführt werden.
Aber trotzdem müssen Mathematiker Empfehlungen über Wahrheit/Gültigkeit ma-
chen und insofern ein Wissen behaupten. Frege hat Hilbert geschrieben, dass Wi-
derspruchsfreiheit zu wenig war, und dass Wahrheit und eine inhaltliche (heute:
semantische) Einstellung sehr wohl notwendig ist. (Frege und Bolzano verwendeten
” Einsicht“ um mathematische Wahrheit/Gültigkeit zu erkennen.) Eine echte/volle
Begründung einer Theorie müsse den Glauben stützen, was ein Widerpsruchsfrei-
heitsbeweis nicht tut.
3 Gödels Philosophie der Mathematik
3.1 Subjektiv-objektiv Unterscheidung:
Ist Mathematik subjektiv oder objektiv?. Zunächst ist sie jedenfalls subjektiv, da
Mathematik mit rechnen und beweisführen zu tun hat. Beides sind geistige Tätigkeiten
und daher ist die Mathematik klar subjektiv.
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