Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

Wiener Kreis selbst viele Anhänger Wittgensteins gab. Vor allem Waismann wollte
verbieten, dass man über die Sprache redet.
Wittgenstein selbst war zu dieser Zeit nicht mehr an wissenschaftlicher Forschung
interessiert. Hat sich bemüht den Beweis zu verstehen. (Kreisel berichet, dass er
von Gödels Beweis als ” neue Art des Beweises“ bezeichnet hat.) Gödel kritisiert
Wittgenstein dafür, da er meint seine Sätze sind einfache arithmetische Sätze sind.
Jedoch müsste dazu die Methode der Gödelisierung, der Begriff ” Beweisbar“ und die
” Substitution“ zur Arithmetik gerechnet werden. Jedoch spricht die reine“ Arith-
”
metik gerade nicht über Syntax und enthält daher auch nicht diese Begriffe.
In der Logik hat Gödels Beweis bald einen großen Einfluss gehabt: vor allem in
Polen haben die Logiker ihre Arbeitsweise ziemlich geändert. Vor allem Tarski war
fast Konkurrent Gödels. Auch in Amerika hat die Logik durch Gödels Beweis einen
höheren Rang erhalten.
Auf der technischen Seite etnstand durch Gödels Beweis die Rekursionstheorie:
Gödels Begriff der Rekursion war die erste strenge Formalisierung des Berechenbar-
keitsbegriffs. Vor allem Alonzo Church und Kleene haben diese Theorie entwickelt.
Auch Turings Ergebnisse (Turing Maschinen) sind äquivalent zu Gödels Rekursions-
begriff.
Brouwers Intuitionismus ist auch sehr ändlich mit algorithmischen Arbeiten, aller-
dings ist die Formalisierung der Rekursion durch Gödel zu formal für Intuitionis-
ten. Mittlerweile: Enge Verbindung zwischen Intuitionisten/konstruktive Mathema-
tik und Rekursionstheorie (v.a. bei Kleene).
6.Vorlesung, 5.4.2011 Fortsetzung: Einfluss von Gödels Beweis auf Hilberts Pro-
gramm: Hilbert Programms ist Münchhausen-haft, da versucht wurde mit Hilfe ei-
nes relativ schwachen Teils der Mathematik, nämlich der finiten Peano Arithmetik,
die gesamte (auch transfinite) Mathematik zu begründen. Ein Konsistenzbeweis für
die Peano Arithmetik, so die Vorstellung, würde die Widerspruchsfreiheit der ge-
samten Mathematik beweisen. (Da Analysis, Geometire, e.t.c auf die Arithmetik
zurückführbar). Dieser Versuch ” sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf zu ziehen“,
ist durch Gödels Unvollständigkeitssatz klar widerlegt.
Manche Hibertianer, vor allem der junge Gerhard Gentzen, haben trotzdem ver-
sucht das Programm zu retten. (Von Neumann wendete sich ab, Bernays hielt aber
noch Kontakt mit Göttingen). Gentzen lieferte 1936 einen Widerspruchsfreiheitsbe-
weis, der durchaus als finit bezeichnet werden könnte. Es stellt sich jedoch die Frage
ob Gentzens Beweis wirklich eine Rettung des Hilbertschen Programms darstellt.
13