Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

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einen Widerspruch, woraufhin er die ” Principia Mathematica“ verfasste, die diesen Widerspruch vermied. 2. Formalismus (Hilbert): Nach Hilbert müssen mathematische Theorien, Be- griffe und Axiome zunächst frei von jeder Interpretation betrachtet werden. Sie handeln nicht von bestimmten Objekten, sondern sind ein rein formaler Kalkül der aus Axiomen eine Menge von Sätzen herleitet. Die mathematischen Theorien können schlussendlich auf alle Objekte angewendet werden, die die Axiome erfüllen. Die ” unmittelbare Evidenz“ der Axiome, die der Logizismus haben möchte, wird hier nicht gefordert, die einzig relevante Frage ist die ” Widerspruchsfreiheit“ des Axiomensystems, die mit endlichen und möglichst schwachen Mitteln in der Metamathematik“ gezeigt werden muss. ” 3. Intuitionismus (Poincare, Brouwer, Heyting): Brouwer geht von der (zunächst philosophischen) Annahme aus, dass mathematische Objekte und Sätze menta- le (und sprachlose) Konstruktionen sind. Die Wahrheit eines mathematischen Satzes besteht allein darin, dass ein (konstruktiver) Beweis, was ja schließlich ein mentaler Prozess ist, geführt werden kann. Da Wahrheit und Beweisbar- keit gleichgesetzt werden, verwirft der Intuitionismus den ” Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ und damit auch alle indirekten (und überhaupt nicht- konstruktiven) Beweise (Unterscheidung konstruktiv-nicht konstruktiv: siehe weiter unten). Der Intuitionismus wendet sich sowohl gegen die Vorstellung einer unabhängigen mathematischen Welt (Platonismus) als auch gegen die Vorstellung von Mathematik als rein formaler Zeichenmanipulation (Formalis- mus). 1.2.1 Hilberts Programm Schon vor 1900 waren Antinomien der Mengenlehr bekannt und überhaupt war die klassische Analysis (reele Zahlenlehre plus Mengenlehre davon) berüchtigt für ih- re Widersprüche. Wobei allerdings die ” delta-epsilon“-Notation von Weierstraß und Dedekind schon sehr viel zur Beruhigung beigetragen hatte, da sie wesentlich exakter und vorsichtiger vorgeht als die bisherigen intuitiven Vorstellungen in der Analysis. 1899 hat Hilbert seine berühmten ” Grundlagen der Geometrie“ veröffentlicht, wo schon wichtige Ansätze seines ” Formalismus“ enthalten sind, vor allem die Idee der ” Inhaltslosigkeit“ der Axiome (Axiome sind, nach Hilbert, rein formal ohne Berücksichtigung ihres intendierten Inhalts zu betrachten). Kant hatte behauptet, dass Geometrie, da sie der ” reinen Anschuung“ entspringt, a priori wahr ist (geome- trische Sätze sind bei ihm synthetisch a priori). Aber schon ca.1820 war Gauß darauf gekommen, dass zumindest das euklidische Parrallelenaxiom (Zu einer Gerade gibt es in einem fest gewählten Punkt eine und nur eine Parallele) nicht a priori gültig 4
sein muss, da man es empirisch (z.B. im Vermessungswesen) widerlegen kann. Gauß Schüler Bólyai und später Lobacevskij haben aus dieser Annahme die sog. ” nicht- euklidische“ Geometrie entwickelt. Riemann hat diese Entwicklung weiter geführt. Hilberts Axiomatisierung der Geometrie ermöglichte eine rein formale Darstellung der geometrischen Sätze und eine klare Darstellung der Unterschiede zwischen eu- klidischen und nichteuklidischen Geometrien. Daraus entstand nun die Idee nicht nur die Geometrie zu formalisieren sondern die gesamte Mathematik. Dies sollte helfen, die Bedrohung durch mengentheoretische Antinomien zu bannen. Diese Bestrebung der Formalisierung und Axiomatisierung der gesamten klassischen Mathematik (einschließlich Cantors ” Himmel“ der Men- genlehre) wird als ” Hilberts Programm“ bezeichnet. So wäre es dann schließlich möglich einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die gesamte Mathematik zu führen, der die Möglichkeit ihrer Wahrheit beweist/begründet. Hilbert möchte die Gegner der nicht konstuktivern Mathematik zu Toleranz bewe- gen. Einschub: Unterscheidung zwischen konstruktiver und nicht-konstruktiver Mathe- matik: Nicht Konstruktiv sind: 1. indirekte Beweise: Hier wird das Prinzip des Ausgeschlossenen Drit- ten in der Unendlichkeit verwendet. Bsp: : Cantors Diagonal-Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Obwohl alle reellen Zahlen in einer Liste angeschrieben werden, kann eine neue reelle Zahl (die sog. Diagonalzahl) gebil- det werden, die nicht auf dieser Liste steht. Cantor schließt aus der Konstruk- tionsmöglichkeit der Diagonalzahlen, dass die Annahme der Abzählbarkeit der reelen Zahlen falsch sein muss, wegen des Prinzips des ausgeschlossenen Drit- ten. 2. ” Nichtprädikative“ Begriffsbildungen, wie der Dedekindsche Schnitt. (Konti- nuum in 2 Teile schneiden) Er definiert einen bestimmten Punkt mit Hilfe einer Punktmenge in der dieser Schnitt liegen soll. Diese Methoden eint, dass aus gewissen Eigenschaften auf die Lösung geschlossen wird, aber diese Lösung nicht expliziet konstruiert wird. 3.Vorlesung, 15.03. Hilberts Programm ist äußerst wichtig für Gödel, denn der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ” widerlegt“ (zumindest auf gewisse Weise) Hil- berts Programm. Hilberts Programm ist kantianisch inspiriert: Es gilt die Bedingungen der Möglichkeit 5
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