Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

Das Theorem 2 ist zeitlich später von Gödel bewiesen worden (November 1930)
(Allerdings ist seine Folgerung nicht besonders schwierig). Es besagt, dass die Wi-
derspruchsfreiheit der Arithmetik nich in S bewiesen werden kann und ist damit ein
herber Rückschlag (wenn nicht gar eine Widerlegung) des Hilbert Programms.
Zunächst müssen wir die Frage stellen: Was ist ein Widerspruch? Dazu gibt es drei
Möglichkeiten:
1. ein Satz der Form A ∧ ¬A (in S) oder
2. wenn man in S alles beweisen kann (ex falso quod libet) oder
3. (0 = 0 ′ ) ist beweisbar
Wir wählen Möglichkeit 3: Sei m die Gödelnummer von (0 = 0 ′ ). Nun können wir die
Aussage der Widerspruchsfreiheit explizit formulieren: ” Für kein u gilt, dass u die
Gödelnummer eines Beweises für m ist.“ Oder formal: (x) ∼ P (x, 0 m ), wir nennen
diese Aussage C. Nun können wir formlieren:
Theorem 2: Wenn S widerspruchsfrei ist, dann ist C unbeweisbar in S
Beweis: Betrachte nun den Satz: C ⊃ (x) ∼ Q(x, 0 i ). Dieser besagt, dass wenn
S widerspruchsfrei ist, G unbeweisbar ist, also genau Theorem 1 (Teil 1). Die rechte
Seite davon ist aber gerade G, d.h. der Satz kann auch so geschrieben werden: C ⊃ G.
Da nun der Beweis für Theorem 1 (Teil 1) wieder kodierbar ist, kann der Beweis
für C ⊃ G selbst auch in S ausgedrückt werden. Falls nun C getrennt in S beweis-
bar wäre, dann könnte daher auch G in S bewiesen werden (nach Modus Ponens).
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Theorem 1 daher kann umöglich C unabhängig
bewiesen werden. Q.E.D.
2.3 Folgen von Gödels Beweisen
Hilberts Reaktion: Hilbert hat sich zu Gödels Beweis fast nie direkt geäußert und
auch keinen Kontakt zu Gödel aufgenommen. Seine Schüler, vor allem von Neu-
mann, haben Gödels Beweis sofort akzeptiert, rezipiert und gelehrt. Hilbert hat sie
jedoch auch nie daran gehindert. Bernays war zu der Zeit jedoch hauptsächlich in
der Schweiz und Ackermann wurde Gymnasiumslehrer (von Hilbert gefeuert).
Die Hilbert Schule war schockiert von Gödels Beweis und führte zu einer vollkom-
menen Abkehr vom Hilbert Programm. Die Schüler wendeten sich anderen Themen
zu (Bernays - Mengenlehre). Hilbert war zu dieser Zeit schon sehr alt.
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