Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

mathematician) hilft Fehler zu vermeiden.
Hilbert (instrumentalist/Formalist) und Carnap (Konventionalist) behaupten, dass
es kein mathematisches ” Wissen“ gibt. Mathematik ist nach Hilbert ein rein forma-
les Schließen aus (zunächst) inhaltsleeren Axiomen. Allerdings muss es auch für Hil-
bert und Carnap logisch-mathematisches Wissen doch geben, denn um Hilbertsche
Axiomatik oder Carnapsche Syntax analysieren zu können, benötigen sie inhaltliche
Metamathematik (Hilbert) bzw. inhaltliche Mengenlehre (Carnap): Beweise führen,
arithmetische Rechnungen müssen alle gültig sein. Hilbert geht bei seiner Sichtweise
auf die Mathematik viel zu stark von seiner Axiomatisierung der Geometrie aus.
Geometrie ist aber schon angewandte Mathematik. Hilbert dachte er benötigt nur
inhaltliche Mathematik um Widerspruchsfreiheitsbeweise zu führen, aber er muss
dennoch Mengenlehre betreiben.
(Einschub: Konvention nicht rein formal leer, drückt eine positive Grundhaltung
zur Arbeit mit gewissen Regeln und Axiomen aus. Als solches ist Konvention das-
selbe wie Inuition. Konventionen verstecken Intuitionen, sind also nicht so inhaltleer
und formalistische wie Carnap dachte.)
Gibt es wissenschaftlichen Fortschritt in der Mathematik?
Ja, wenn man Beweise von neuen Theoremen als Fortschnitt rechnet, das ist aber
in gewissem Sinn trivial. Einen ” tieferen“ Fortschritt kann es geben durch Entwick-
lung von neuen Beweismethoden, Schlussregeln, aber auch durch ” Verfeinerung der
Intuition“. Kann man den Fortschritt messen? Ja, zumindest grob. Expertengrup-
pen können die wichtigsten Probleme je nach Bedeutungsgrad einordnen. Damit
kann der Ertrag von Problemlösungen gemessen werden. Dabei müssen 2 Parameter
berücksichtigt werden: Erstens Bedetungsgrad/Inhalt/Erklärungstärke (wieviele an-
dere Ergebnisse kann das Theorem erklären usw.), Zweitens Glaubwürdigkeit/Bestätigungsgrad
Beide Parameter müssen erfüllt sein (Carnap-Popper Debatte/Imre Lakatos). Gödel
hat auch indirekte Bestätigung befürwortet: die Intuition für ein Axiom kann verstärkt
werden, durch Rückschlüsse aus Anwendungserfolgen (Ein Beispiel dafür wäre die
Anwendung von alegebraischen Methoden in der Geometrie bei Descartes, durch die
dadurch mögliche Übersetzung von geometrischen Problemen in arithmetische half
einige Probleme lösbar).
Wie viel Fortschritt bzw. Konsensfindung gibt es in den normativen Wissenschaften?
Schon erheblich viel!- obwohl es natürlich immer viel Streit gibt. Es gibt Kernberei-
che wo Konsens gefunden wurde, aber an den Rändern (besonders in den Grundla-
gen) gibt es unentwegt Streit.
Bsp.: Ökonometrie, Eine wichtige Kennzahl ist das BIP(GDP), dies wird häufig von
Politikern als Wohlfahrtsmaß missbraucht, Ökonometriker wissen davon und versu-
chen ein besseres Maß zu finden (z.B.: Armatya Sen). Konsens gibt es aber weitge-
29