Gödels platonistische Philosophie der Mathematik ...

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von Mathematik zu finden. Diese ” Möglichkeit“ der Mathematik ist für Hilbert nichts anderes als ” Widerspruchsfreiheit“. Wenn gezeigt werden kann, dass ein Axiomen- system widerspruchsfrei ist, so ist dies ein Beweis für die ” Wahrheit“ der Theorie. Frege hat dagegen eingeworfen, dass die bloße Widerspruchsfreiheit noch nicht Wahr- heit der Axiome impliziere. Frege schlug vor Hilberts Axiomensysteme als Prädikate mit freien Variablen zu interpretieren. (Ob man ein Axiom oder eine Regel akzeptiert hängt, nach Frege, davon ab ob man an die Gültigkeit des Axioms oder der Regel glaubt, d.h. dass man eine dementsprechende Intuition hat) Hilbert hat wohl Kants Anschauung, im Sinne einer konkreten Intuition von einzelnen Gegenständen, akzeptiert (Kant/Bolzano). Allerdings wurde die Anschauung nie klar von sinnlicher Wahrnehmung unterschieden (auch bei Hilbert nicht). Gödel hingegn, wollte beweisen, dass die Mathematik keine Naturwissenschaft, d.h. nich in Erfahrung begründet, sondern eigenständig ist. Dazu war es natürlich notwendig die mathematische Intuition (den 6.Sinn) von der sinnlichen Wahrnehmung klar zu unterscheiden. Eine Möglichkeit dies zu tun stammt von Carnap: mathematische Intuition kann als Werturteil aufgefasst werden, als Unterscheidung zwischen gültig und ungültig. In der Empirie wird die Wahrheit und Falschheit von Tat- sachen festgestellt, in der Mathematik gibt es keine Wirklichkeit an der man misst sondern nur die ” Gültigkeit“ oder ” Ungültigkeit“ in einem System. Diese Interpreta- tion lässt auch die Möglichkeit offen, dass Mathematiker unterschiedlicher Meinung sind ohne sich gegenseitig die Gültigkeit abzusprechen. Verschiedene Formen der Mathematik könnten so etwas verschiedene Begriffe von Gültigkeit entwickeln ohne, dass sie den anderen ihren Status absprechen müssen. Ein Rest an Intuition bleibt auch bei Hilbert bestehen: Nach Hilberts Programm soll ja die Widerspruchsfreiheit der gesamten Mathematik durch einen Widerspruchs- freiheitsbeweis für die Arithmetik gezeigt werden.(aus der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik folgt nämlich die Widerspruchsfreiheit der Analysis, der Geometrie, usw., da die Arithmetik Modelle für diese höheren Theorien liefert). Um nun diesen ent- scheidenden Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Arithmetik führen zu können muss ich an die Gültigkeit der Methoden glauben, die dabei verwendet werden. Des- wegen, um die Notwendigkeit von Intuition so gering wie möglich zu halten, soll dieser Widerspruchsfreiheitsbeweis nach Hilbert mit möglichst einfachen Methoden in einer möglichst schwachen Theorie erfolgen. Die Frage ist jedoch, ob man die Widerspruchsfreiheit er Mathematik in einem starken System oder mit mehreren schwächeren aufbauenden Systemen beweisen soll. Die Zahlentheorie muss jeden- falls vorrausgesetzt werden um Widerspruchsfreiheit zu beweisen, und dann auf sich selbst angewendet werden. Außerdem muss vor einem Widerspruchsfreiheits- beweis die Vollständigkeit des Axiomensystems bewiesen werden, da bei Unvoll- 6
ständigkeit genau die nicht beweisbaren Sätze die, zu Widersprüchen führenden, Problemfälle sein könnten. Vollständigkeit eines Axiomensystems heißt: alle semantisch gültigen Sätze des Axiomensystems müssen aus den vorgegebenen Axiomen mit den vorgeg. Beweisre- geln beweisbar (=ableitbar) sein. Hilberts Programm wurde von seinen Mitstreitern von Neumann, Bernays und Gent- zen weitergeführt. Von Neumann führte Vollständigkeitsbeweise für beschränkte Ge- biete mit eingeschränkten Quantoren (1928). Es lässt sich aber sehr leicht zeigen, dass die Peano Arithmetik in finiten Systemen nicht Vollständig sein kann: Die Anzahl der möglichen arithmetischen Funktionen beträgt 2 ℵ 0, Hilberts finite Syntax schafft allerdings höchstens ℵ0 viele Theoreme!! (Das hat Gödel 1931 in einer Fußnote angemerkt). Hilbert hat diesen Gegenbeweis allerdings nicht anerkannt, da er offensichtlich nicht finit ist (und Hilbert akzeptierte nur finite Beweise). Hilbert wollte die konstruktive Klarheit von Freges Begriffsschrift genießen, die sehr brav finit ist. Frege wäre allerdings durchaus bereit gewesen einen nicht-finiten Standpunkt einzunehmen, denn als Beweisregel würde Frege jeden lo- gisch gültigen Satz anerkennen falls notwendig. (Hilberts erste transfinite Beweisregel (er hat die noch für finit gehalten), die ω- Regel: Wenn alle Sätze in der Folge P a1, P a2, P a3, ... beweisbar sind, dann gilt: ∀x : P x. ) 2 Gödels Beweise 2.1 Hintergrund von Gödels Theoremen 4.Vorlesung, 22.3. Frege versuchte schon in den ” Grundlagen der Arithmetik“ (1884) und den ” Grundgesetzen der Arithmetik“ (1893) einen Widerspruchsfreiheits- beweis der Arithmetik zu liefern, in dem er sie vollständig aus der Logik entwickelte. Da Logik für Frege vollkommen zweifelsfrei war, würde dies die Widerspruchsfrei- heit der Arithmetik (und damit der gesamten Mathematik) beweisen. Dieser Ver- such wurde jedoch durch ” Russels Paradox“ gestürzt, denn die Prämisse, dass jeder wohlgeformte Audruck Bedeutung haben sollte, konnte, ob der daraus folgenden Antinomie der ” Menge aller Mengen die sich selbst nicht enthalten“, nicht mehr gehalten werden. Paul Finsler versuchte 1926 mithilfe der ” Richardschen Antinomie einen Unvoll- ständigkeitsbeweis zu fühen. Jean van Heijenhoort kommentiert dazu, dass Finsler auf zu unklarer Weise zwischen formalen Systemen (ohne sie näher durch Axiome zu beschrieben) und dem ” konzeptuellen Bereich“ (der Gedankenwelt) unterscheidet. 7
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