Teil I: Logik und Prädikatenlogik

Informatik A
Prof. Dr. Norbert Fuhr
fuhr@uni-duisburg.de
auf Basis des Skripts von
Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter
Fankhauser
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Teil I
Logik
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Geschichte
• R. Descartes (17. Jhdt): klassische Euklidische Geometrie mit algebraischen
Methoden
• G.W. Leibnitz (17. Jhdt): lingua characteristica, calculus rationator
• Gottlob Frege (1879): Begriffsschrift Prädikatenlogik erster Stufe
• Skolem (1920): Beweisverfahren
• D. Hilbert, W. Ackermann (1928): Entscheidbarkeitsproblem
• Herbrand (1930): Entscheidbarkeit für korrekten mathematischen
Satz
• Alan Turing, Alonzo Church (1936): Unentscheidbarkeit PL1
• Robinson (1954): automatisches Beweisverfahren (Resolutionsprinzip)
• Kowalski, Colmerauer (1972): Prolog
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Teil I.1
Aussagenlogik
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Aussagenlogik
Grundlagen
• Aussage (atomare Formel):
Satz der entweder wahr oder falsch ist
abgekürzt mit Großbuchstaben (A, B, ...)
• Beispiel: Heute ist Sonntag
• Interpretation: Zuordnung eines Wahrheitswertes (w oder f)
• Operation: Verknüpfung von Aussagen
• Beispiel: Heute ist Sonntag und es ist kalt.
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Verknüpfungen
• Negation: einstellige Operation: ¬A oder A
w f
¬ f w
• Konjunktion: zweistellige Operation: A ∧ B
∧ w f
w w f
f f f
• Disjunktion: zweistellige Operation: A ∨ B
∨ w f
w w w
f w f
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Formeln
Rekursive Konstruktion:
Beispiel
A . . . Heute ist Montag.
B . . . Heute ist Feiertag.
C . . . Heute ist Vorlesung.
¬(A ∧ ¬B) ∨ C
Literal L ::= A Aussage
| ¬A Negierte Aussage
Formel F ::= L Literal
| ¬F Negation
| F ∧ F Konjunktion
| F ∨ F Disjunktion
| (F ) Klammerung
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Weitere Verküpfungen
• Subjunktion: A → B ≡ ¬A ∨ B
→ w f
w w f
f w w
• Bijunktion: A ←→ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
←→ w f
w w f
f f w
• Antivalenz (xor): A ⊕ B ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
⊕ w f
w f w
f w f
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Klauseln
Klausel K ::= L Literal
| K ∨ K Disjunktion
Konjunktive Form KF ::= (K) Klausel
| (K) ∧ KF Konjunktion von Klauseln
Konjunktion D ::= L Literal
| D ∧ D Konjunktion
Disjunktive Form DF ::= (D) Konjunktion
| (D) ∨ DF Disjunktion von
Konjunktionen
Beispiele:
¬A ∨ B ∨ C . . . KF und DF
(¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬B ∨ ¬C) . . . KF
(¬A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ (B ∧ ¬C) ∨ (¬B ∧ C) . . . DF
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Beweisverfahren
Begriffe
• Modell: Interpretation unter der eine Formel F wahr ist.
• Unerfüllbare Formel: Formel F , für die es kein Modell gibt.
• Tautologie: Formel F , für die jede Interpretationen ein Modell ist.
⊢ F
Beweis über Wahrheitstafeln
• Durchrechnen für alle Interpretationen
Axiomatische Verfahren
• Umformen bis zum Wahrheitswert w oder auf konjunktive Form
mit mindestens einer Aussage P ∨ ¬P in jeder Klausel
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Wahrheitstafel
Zu zeigen: ⊢ ((P → Q) ∧ P ) → Q
P Q P → Q (P → Q) ∧ P ((P → Q) ∧ P ) → Q
f f w f w
f w w f w
w f f f w
w w w w w
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Syntaktische Umformung
Äquivalent sind die folgenden Formeln:
((P → Q) ∧ P ) → Q
¬ ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ∨ Q
((P ∧ ¬Q) ∨ ¬P ) ∨ Q
((P ∨ ¬P ) ∧ (¬Q ∨ ¬P )) ∨ Q
(w ∧ (¬P ∨ ¬Q)) ∨ Q
(¬P ∨ ¬Q) ∨ Q
¬P ∨ w
w
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Überführung in konjunktive Form
((P → Q) ∧ P ) → Q
¬ ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ∨ Q
((P ∧ ¬Q) ∨ ¬P ) ∨ Q
((P ∨ ¬P ) ∧ (¬Q ∨ ¬P )) ∨ Q
((P ∨ ¬P ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ Q ∨ ¬P ))
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Äquivalenzregeln
Zwei Formeln F, G sind äquivalent; F ≡ G, wenn gilt: ⊢ F ←→ G
(F ∧ F ) ≡ F, (F ∨ F ) ≡ F Idempotenz
(F ∧ G) ≡ (G ∧ F ) ,
(F ∨ G) ≡ (G ∨ F ) Kommutativität
((F ∧ G) ∧ H) ≡ (F ∧ (G ∧ H)) ,
((F ∨ G) ∨ H) ≡ (F ∨ (G ∨ H)) Assoziativität
(F ∧ (F ∨ G)) ≡ F, (F ∨ (F ∧ G)) ≡ F Absorption
(F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G) ∨ (F ∧ H)) ,
(F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G) ∧ (F ∨ H)) Distributivität
¬¬F ≡ F Doppelnegation
¬ (F ∨ G) ≡ (¬F ∧ ¬G) ,
¬ (F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G) de Morgansche Regeln
F → G ≡ ¬F ∨ G bedingte Eliminierung
F ∧ G ≡ F, F ∨ G ≡ G, falls F unerfüllbar
F ∧ G ≡ G, F ∨ G ≡ F, falls F Tautologie
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Logisches Schließen
• Für S eine Menge von Formeln F1, . . . , F k und F eine Formel, ist
F eine logische Konsequenz von S, in Zeichen S ⊢ F , wenn jede
Interpretation von S, die ein Modell von S ist, auch ein Modell
von F ist.
• Regeln:
F ⊢ F ∨ G
F ⊢ G → F
F ∧ G ⊢ F
F ∧ G ⊢ G ↔ F
(F → G) ∧ (G → H) ⊢ F → H Transitivität
G ∧ (G → F ) ⊢ F Modus Ponens (Schlussregel)
¬F ∧ (G → F ) ⊢ ¬G Modus Tollens
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Beispiel: Transitivität
A: (a ist eine gerade Zahl und b ist eine gerade Zahl)
B: (a + b ist eine gerade Zahl)
B1: (a = 2n und b = 2m, n, m ganze Zahlen)
B2: (a + b = 2k, k ganze Zahl)
A a und b sind gerade Zahlen
A → B1 Dann gibt es Zahlen n, m mit a = 2n und b = 2m
B1 → B2 Aus a = 2n und b = 2m folgt a + b = 2(n + m) = 2k
B2 → B Aus a + b = 2k folgt a + b ist eine gerade Zahl
B Mit der Transitivität gilt B
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Axiomensysteme
• Theorie: Menge von Axiomen + Menge von Formeln
• Korrektheit: Jede Formel F , die aus einer Theorie T mit Hilfe von
Axiomen AS abgeleitet wird (T ⊢ AS) ist eine logische Konsequenz
aus T (T ⊢ F ).
• Vollständigkeit: Jede Formel F , die eine logische Konsequenz aus
T ist, ist auch tatschlich mit Hilfe von AS ableitbar.
• Konsistenz: Es ist nicht sowohl F als auch ¬F ableitbar.
• Unabhängigkeit: Kein Axiom ist die logische Konsequenz anderer
Axiome.
• Entscheidbarkeit: Für alle Formeln gilt T ⊢ AS F oder T ⊢ AS ¬F .
• Aussagenlogik ist entscheidbar und besitzt konsistente, vollständige
und unabhängige Axiomensysteme.
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Hilberts Axiomensystem der Aussagenlogik
• AS1: A ∨ A → A
• AS2: A → (A ∨ B)
• AS3: (A ∨ B) → (B ∨ A)
• AS4: (A → B) → ((C ∨ A) → (C ∨ B))
• Definition: A → B ≡ ¬A ∨ B
• Modus Ponens: A ∧ (A → B) ⊢ B
• Ersetzungsregel: F [A/G] in der Formel F ersetze einige (alle) Vorkommen
der Aussagenvariablen A durch die Formel G
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Beispiel
Zeige: ⊢ (F ∨ F ) ←→ F
Beweis:
(F ∨ F ) → F AS1.
F → (F ∨ G) AS2,
F → (F ∨ F ) Ersetzungsregel ((F ∨ G)[G/F ]).
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Automatisches Beweisen
Resolution
• Modus Ponens:
P
P → B
B
• Verallgemeinerung: P → B ≡ ¬P ∨ B
P ∨ A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An
¬P ∨ B1 ∨ B2 ∨ . . . ∨ Bm
A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An ∨ B1 ∨ B2 ∨ . . . ∨ Bm Resolvente
• Um die Aussage A zu beweisen füge die Negation der Aussage ¬A
zu den Formeln der Theorie und versuche, durch Resolution die
leere Klausel herzuleiten.
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Beispiel
T = A ∨ B, A → ¬B, ¬A
Um B herzuleiten, fügen wir ¬B zur Theorie dazu, und formen A → ¬B
um.
Das ergibt:
T ′ = A ∨ B, ¬A ∨ ¬B, ¬A, ¬B
In Klauselform:
T ′ = (A, B), (¬A, ¬B), ¬A, ¬B
B ist ein Resolvent von (A, B) und ¬A. Der Resolvent von B und ¬B
ist die leere Menge, daher ist T ′ unerfüllbar, daher folgt aus T B.
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Teil I.2
Prädikatenlogik
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Prädikatenlogik
Erweiterung der Aussagenlogik
• Konstante: a, b, c
• Variablen: x, y, z
• Funktionen: f(a1, . . . , a k)
• Prädikate: P (a1, . . . , a k)
• Quantoren: Allquantor (∀xF ), Existenzquantor (∃xF )
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Semantik
Interpretation:
Abbildung auf Domäne zur Zuordnung eines Wahrheitswertes
Beispiel
F : ∀xP (f(x, a), x).
• Domäne: natürliche Zahlen IN := {1, 2, 3, . . .}
• Konstante a ::= 1
• f(x, a) ::= x ∗ a
• P (x, y) ::= x = y
• Interpretation: Für alle natürlichen Zahlen x ∈ IN gilt x · 1 = x.
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Weitere Schlussregeln und Äquivalenzen
∀xF ⊢ ∃xF für eine nichtleere Domäne
∀xF ∨ ∀xG ⊢ ∀x(F ∨ G)
∃x(F ∧ G) ⊢ ∃xF ∧ ∃xG
¬∀xF ≡ ∃x¬F
¬∃xF ≡ ∀x¬F
∀x∀yF ≡ ∀y∀xF
∃x∃yF ≡ ∃y∃xF
∀x(F ∧ G) ≡ ∀xF ∧ ∀xG
∃x(F ∨ G) ≡ ∃xF ∨ ∃xG
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Entscheidbarkeit von PL1
• Die Wahrheitstafelmethode ist nicht übertragbar
• Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit ist nicht entscheidbar
• PL1 ist halbentscheidbar: Unerfüllbare Formeln werden nach endlicher
Zeit erkannt.
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Beispiel: Peano-Axiome
1. P (1)
2. ∀x (P (x) → ∃y (P (y) ∧ Q(x, y))) .
3. ¬∃x(P (x) ∧ Q(x, 1)
4. ∀x1∀x2∀y1∀y2 (P (x1) ∧ P (x2) ∧ Q(x1, y1) ∧ Q(x2, y2)∧
¬(x1 = x2) → ¬(y1 = y2)).
5. ∀M (M(1) ∧ ∀x∀y (P (x) ∧ P (y) ∧ M(x) ∧ Q(x, y) → M(y)) → (M ≡ P )) .
Interpretation
• P (x) . . . x ist eine natürliche Zahl
• Q(x, y) . . . y = x + 1; y ist Nachfolger von x
• M . . . Prädikatenvariable (nicht möglich in PL1)
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