Dünner Balken

� Schubstarres Balkenelement und Hermitepolynome 

� Schubnachgiebiges Balkenelement 

ZÜRICH 

Balkenelemente und Sperreffekt 

� Sperreffekt und seine Beseitigung durch reduzierte Integration 

IMES ST : Strukturanalyse mit FEM, am 15.05.2012 1

Entwicklung der schwachen Form 

ZÜRICH 

Dünner Balken 

Nach dem Prinzip des Minimums der totalen potentiellen Energie variiert man das Ihnen bereits aus 

der ersten Theorieübung bekannte Funktional: 

Und daraus und nach Umstellung direkt die schwache Form der Arbeitsgleichung: 

� 

0 

L 

e 

� w�� 

EIw�� 

dx � � 

L 

L 

L L 

1 w EIw 

ds wqds w Mˆ 

wQˆ 

2 � �� 

�� 

� � � 

0 

0 

o 0 

�( w, 

w�, 

w��) 

� � 

� 

0 

L 

e 

� wq 

dx � � wQ 

e ˆ � 

IMES ST : Strukturanalyse mit FEM, am 15.05.2012 2 

L 

0 

�� 

w Mˆ 

formale Diskretisierung führt auf die Steifigkeitsmatrix und die rechte Seite des Gleichungssystems: 

K 

L 

e 

e 

e 

T 

� � �� EI �� dx, 

r � � �q 

dx � � Q � �� 

0 

die Formfunktionen müssen zweifach stetig differenzierbar sein, 

• die Randbedingungen enthalten sowohl Durchsenkungen als auch Verdrehungen 

0 

L 

ˆ 

L 

0 

L 

0 

e 

Mˆ 

L 

0 

e

ZÜRICH 


Entwicklung der Formfunktionen: allgemeiner kubischer Polynomansatz 

Die Lösungsfunktion soll nun über geeignete Formfunktionen von den Durchsenkungen und den 

Verdrehungen auf den Knoten abhängen. Wir nehmen ein Balkenelement mit zwei Knoten an und 

schreiben: 

w( 

� ) � � 

~ 

T w 

� 

�� 1 

2 

3 

4 

�w~ 

1 � 

� ~ � 

��1 

� 

� � 

�w~ 

2 � 

� 

~ 

�� 

� 

2 � 

Die vier Parameter legen es nahe, die Formfunktionen aus einem allgemeinen kubischen Polynom- 

ansatz heraus zu entwickeln: 

w � 

2 3 

( x) 

� 

� 0 �� 

1x 

�� 

2x 

� 3x 


� � 

ZÜRICH 


Entwicklung der Formfunktionen: Übergangsbedingungen 

Die Formfunktionen müssen im globalen System x die Übergangsbedingungen erfüllen: 

w 1 

y 

x 0 

z 

w( 

x0) 

� w~ 

1 w( 

x1) 

� 

~ 

� ( x ) � � � ( x ) � 

0 

x 

1 

L e 

1 

x 1 

w~ 

2 

~ 

� 

2 

w 2 � � 

Unter Beachtung der Kinematik �=-w‘ erhält man daraus: 

w~ 

1 

~ 

�1 

w~ 

2 

~ 

� 

2 

� 

� 

� 

� 

w( 

x 

� w�( 

x 

0 

0 

w( 

x 

1 

� w�( 

x 

1 

) 

) 

) 

) 

� 

� 

� 

� 

� 

0 

�� 

� 

1 

0 

�� 

1 

� 

� 

� 

� 

� x 

1 

2� 

x 

2 

1 

2� 

x 

2 

0 

0 

� x 

1 

0 

� � 

� 

� 

� 

� 

w 1 

�� 

� x 

2 

3� 

x 

3 

� x 

2 

3� 

x 

3 

2 

0 

2 

0 

2 

1 

2 

0 

� 

� 

� x 


3 

� x 

3 

2 

3 

0 

3 

1 

� 

w 2 � �

ZÜRICH 


Entwicklung der Formfunktionen: Ersetzen der Parameter durch Knotenfreiwerte 

Die Gleichungen lauten in Matrixform: 

�w1 

� �1 

� � � 

��1 

� 

� � �0 

� 

�w 

� 

� 2 1 

� � 

� 

�� 

2 � �� 

0 

x 

0 

�1 

x 

1 

�1 

x 

� 2x 

x 

2 

0 

0 

2 

1 

� 2x 

1 

x 

� 3x 

x 

� 3x 

3 

0 

2 

0 

3 

1 

2 

1 

�� 

0 � 

�� 

� 

��1 

� 

� 

� � 

� 

�� 

2 � 

�� 

� 

�� 

� 

3 � 

Diese Gleichungen stellt man durch Inversion der 

Koeffizientenmatrix um, so dass die Parameter � i 

durch die Knotenfreiwerte ausgedrückt werden. 

Einsetzen des Ergebnisses in den allgemeinen 

Polynomansatz (Folie 3) liefert die Formfunktionen: 

x� 

x 2 

0 x� 

x0 

� 3� 

� � 2� 

� 

LE 

LE 

x� 

x 2 

0 

� �x�x0��1�� LE 

x� 

x 2 

0 x� 

x 3 

0 

3� 

� � � 

L � 2 

E 

LE 

x� 

x 2 

0 x� 

�x�x� � � � 

� � x 


� 

� 

� 

� 

x x � 

1 

2 

3 

4 

1 

� 0 

� 

� 

� 

� 

� 

1 

LE 

0 

L 

E 

L 

E 

3 

0

ZÜRICH 


Entwicklung der Formfunktionen: Transformation auf lokale Koordinate 

Der Abbildung auf Folie 4 entnimmt man die Transformation: 

x � x 

Damit erhält man die Formfunktionen 

in lokalen Koordinaten: 

� 

� 

� 

� 

LE 

1 

2 

3 

4 

0 

� 

� 

� 

� 

1� 

� 

� 

2 

L 

8 

E 

L 

8 

1 

3 

4 �2�3�� 2 3 

��1�� 1 

3 

4 �2�3�� 2 3 

�1�� E 

(i) 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

-1.0 

-0.2 

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

-0.4 

Lokale Balken Koordinate 

Hier erscheint die Länge des im FE-Netz eingebauten Elements in den lokalen Formfunktionen. 


P1 

P2 

P3 

P4

ZÜRICH 


Globale Ableitungen der Formfunktionen und Elementgleichungen 

Die in der diskretisierten schwachen Form der Arbeitsgleichung benötigten globalen Ableitungen 

der Formfunktionen sind: 

2 

� � 6 � 6� 

� 

� 

� 

2 

1 � 

�L 

� 

� 

E � 2LE� 

� 3LE� 

1 

�, 

x � � 

�, 

�, 

xx � 2 

4L 

2 

E � 6 � 6� 

� L 

� 

� 

2 

�� 

LE 

� 2LE� 

� 3LE� 

�� 

E 

� 6� 

� 

� � 

� 

� LE 

� 3LE� 

� 

� 

� � 

� � 6� 

� 

� � 

�� 

� LE 

� 3LE� 

�� 

Mit den bekannten Schritten erhält man die numerischen Elementgleichungen: 

2EI 

L 

3 

E 

� 6 

� 

� 

� 3L 

�� 

6 

� 

�� 

3L 

E 

E 

� 3L 

2L 

3L 

L 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

� 6 

3L 

6 

3L 

E 

E 

� 3L 

L 

3L 

2L 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

��w~ 

1 � 

�� 

~ � 

�� 

�1 

� qL 

� � � 

� 

�w~ 

2 � 12 

� 

� 

� 

~ 

�� 

� 

2 � 

E 

� 6 

� 

�� 

L 

� 

� 6 

� 

� LE 

� � Q 

� � 

� �M 

� � � 

� � Q 

� 

� 

� 

�M 


E 

1 

1 

2 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�

Bemerkungen 

ZÜRICH 


Das finite Element zur Abbildung des dünnen Balkens überträgt sowohl die Durchsenkung als auch 

deren Ableitung an den Knotenpunkten stetig. Diese Eigenschaft nennt man C 1 Stetigkeit. Die an- 

deren Elemente, die Sie bisher kennen gelernt haben, haben nur C 0 Stetigkeit. 

Deswegen konnte die Herleitung der Formfunktionen auch nicht unabhängig von der Elementlänge 

L E durchgeführt werden, denn sonst wäre die Stetigkeit der Verdrehungen verletzt worden (Knicke). 

Das Element ist nicht isoparametrisch, denn der Verlauf der globalen Koordinaten wird anders be- 

schrieben als derjenige der Lösung. 

Solange der zu modellierende Balken wirklich dünn ist, ist das Element sehr leistungsfähig. Der mit 

einer Einzelkraft am freien Ende belastete Kragbalken hat eine kubische Biegelinie und dies liegt 

im Lösungsraum des finiten Elements. 


�� 

ZÜRICH 

u(z)=�z 

z 

�=�w' 

Schubnachgiebiger Balken 

Kinematische Beziehungen des schubweichen Balkens 

w 

�� 


w 

�=w' 

Die hier betrachtete Theorie erster Ordnung nimmt immer noch 

Ebenbleiben der Querschnitte an. 

Jedoch bleiben diese nicht mehr senkrecht zur Mittellinie. 

Gemäß den Skizzen unterscheiden sich die Verdrehung � eines 

Querschnitts und das Negative der Ableitung w´ der Biegelinie 

um den Schubwinkel �. 

� � w� 

� � 

w� 

� � � �

ZÜRICH 


Entwicklung der schwachen Form des schubnachgiebigen Balkens 

Ein eleganter Weg von der Beschreibung des dünnen zu derjenigen des schubnachgiebigen Bal- 

kens wird von Zienkiewicz gezeigt. Man geht vom Energiefunktional des dünnen Balkens aus: 

Für den schubweichen Balken muss man zunächst die starre Entkoppelung von Verdrehung der 

Querschnitte und der Ableitung der Biegelinie entfernen: 

� �� 

Le 

Le 

e 

1 2 

� � 2 EI � dx � wq 

dx � wQˆ 

� � Mˆ 

� � 

0 

0 

L 

0 

Dann wird dem Funktional � die Deformationsenergie der Schubverzerrung hinzugefügt: 

� � � � 

�w�� Le 

2 

Le 

e 

1 ˆ 

� � 2 � 

EI dx � � 

0 

� 

L 

2 GAs 0 

�w�� e 

1 � 

0 

wq 

dx � wQˆ 

� w� 

M 

2 

dx 

L 

0 

L 

0 

L 

0 

e 


e

ZÜRICH 


Entwicklung der schwachen Form des schubnachgiebigen Balkens 

Die Variation des erweiterten Funktionals liefert die schwache Form für den schubnachgiebigen 

Balken: 

� 

0 

L 

e 

� � EI� 

� � ��w�� GA �w�� Le 

e 

� dx � � wq 

dx � � wQˆ 

� � � 

� s �0 

Dem Ziel einer kompakten Schreibweise dient die Einführung der Steifigkeitsmatrix C: 

�EI 

C � � 

�� 

0 

0 � 

� 

GA�� 

Dazu passt die Struktur der übrigen mechanischen Größen und eines Operators L: 

�� 

w 

�� 

�� 

� �� 

�� 

M 

�� 

�� 

q 

�� 

� 0 ( ) �� 

u � � �, 

� � � �, 

� � � �, 

q � � �, 

L � � � 

�� 

�� Q �� 0�� 

�� 

( ) � 1 �� 


L 

0 

Mˆ 

L 

0 

e

� 

ZÜRICH 


Diskretisierte schwache Form des schubnachgiebigen Balkens 

Mit den zuvor definierten Symbolen schreibt man die schwache Form kürzer: 

0 

L 

e 

T � u� 

C�L�u� 

L � � � 

e T 

� dx � u q dx � u 

0 

L 

Da nur einfache Ableitungen vorkommen, genügen lineare Ansatzfunktionen für � und für w: 

u � � 

~ 

T u 

� 

T 

ˆ � 

�w~ 

1 � 

� ~ � 

�w� 

1 �1 

�� 

0 1� 

� 0 �� 

�1 

� 

� � � � 

�� 

� 

�� 

� 2 � 0 1� 

� 0 1� 

� ~ 

��w2 

� 

� 

~ 

�� 

� 

2 � 

Mit Anwendung des Operators L erhält man die B-Matrix: 

B 

� L� 

T 

� 

1 

2L 

E 

� 0 

� 

�� 

2 

L 

E 

� 2 

0 

2 

� � � �� 1� 

� 2 LE 

1� 

� � 

L 

0 

e 

� 


ZÜRICH 


Partitionierung der Steifigkeitsmatrix des schubnachgiebigen Balkens 

Durch Einsetzen und Ausarbeiten findet man die Einteilung in Biege- und Schubanteil: 

1 

� 

T LE 

K � K b � K s � B CbB 

s 

�1 

2 

1 

� 

T LE 

d� 

� B C B d� 

�1 

Wenn man die Multiplikationen und die Integration ausführt, erhält man die Matrizen: 

K 

b 

� 

EI 

L 

E 

�0 

� 

� 

0 

�0 

� 

�0 

0 

1 

0 

�1 

0 

0 

0 

0 

0� 

�1 

� 

�, 

0� 

� 

1� 

K 

s 

� 

GA 

6L 

s 

E 

2 

� 6 

� 

� 

� 3L 

�� 

6 

� 

�� 

3L 

Die rechte Seite des schubweichen Balkenelements ist: 

E 

E 

� 3L 

� 3L 


2L 

3L 

L 

r 

� 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

qL E 

2 

� 6 

3L 

6 

3L 

E 

E 

�1� 

� Qˆ 

� � � 

�0� 

�Mˆ 

� � � � 

�1 

ˆ 

� � Q 

� 

�0� 

� 

� ˆ 

�M 

L 

3L 

2L 

1 

1 

2 

2 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�

Bemerkungen 

ZÜRICH 


Das finite Element zur Abbildung des schubweichen Balkens überträgt sowohl die Durchsenkung 

als auch die Verdrehung stetig. Dennoch ist es nur ein C 0 Element, da die Verdrehung nicht mehr 

der Ableitung der Durchsenkung gleicht. 

Gegenüber dem finiten Element des dünnen Balkens besitzt es den Vorteil, Schubdeformation ab- 

bilden zu können. Es sollte daher verwendet werden, wenn die Annahmen des dünnen Balkens 

nicht zutreffen. 

Seine Ansatzfunktionen sind weniger mächtig und man braucht für gute Ergebnisse viel mehr Ele- 

mente als wenn man das schubstarre Element verwenden darf. 

Wir werden uns nun noch einem weiteren Problem widmen, dass wir bis jetzt nicht beachtet haben. 

Dies ist der so genannte Sperreffekt. Er hat die Auswirkung, dass das schubnachgiebige Element 

in der hier vorliegenden Form vollkommen unbrauchbar ist für die Berechnung dünner Balken. Der 

Sperreffekt muss auch bei manchen Formulierungen für Plattenelemente beachtet werden. 


ZÜRICH 

Sperreffekt 

Das schubweiche Balkenelement und seine Anwendungsgrenzen 

Das Funktional für den schubweichen Balken 

2 �� GA �w�� Le 

2 

Le 

e 

1 ˆ 

� � 2 � EI 

s dx � 

0 

�0 

führt auf das numerische Gleichungssystem 

� � �K 

�u�r K b s 

~ 

wq 

dx � wQˆ 

� w� 

M 

Das Balkenelement eignet sich, wenn die Biegesteifigkeit viel größer ist als die Schubsteifigkeit, 

EI>>GA, und die Schubnachgiebigkeit einen Einfluss auf das Strukturverhalten hat. 

Simuliert man mit dem schubweichen Element dünne Balken, oder EI1 der 

Sperreffekt ein: 

K s 

~ r 

u � � 

� 

0 

Im wesentlichen hängt die Primärlösung nur noch von der Schubsteifigkeit GA und nicht mehr 

von der Biegesteifigkeit EI ab. Dies widerspricht der Realität. 


L 

0 

L 

0 

e

ZÜRICH 

Sperreffekt 

Dünner Balken mit schubweichen Elementen simuliert 

Schubstarrer Balken 

N e=1 

N e=2 

N e=4 

N e=8 

N e=16 

Schubweicher Balken 

Q 

Q 

Q 

Q 

Q 

Anteil an der exakten Durchsenkung 

1.0 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

Nicht-exakt integrierte Schubsteifigkeit 

Exakt integrierte Schubsteifigkeit 

1 2 4 8 16 

Anzahl Elemente 


Analyse des Sperreffekts am Beispiel 

ZÜRICH 

Sperreffekt 

Wir analysieren den dargestellten Kragbalken und erinnern uns an die Steifigkeitsmatrix des 

schubweichen Balkens mit Biege- und Schubanteil: 

K 

b 

� 

EI 

L 

E 

�0 

� 

� 

0 

�0 

� 

�0 

0 

1 

0 

�1 

0 

0 

0 

0 

0� 

�1 

� 

�, 

0� 

� 

1� 

K 

s 

� 

GA 

6L 

s 

E 

� 6 

� 

� 

� 3L 

�� 

6 

� 

�� 

3L 

E 

E 

� 3L 


2L 

3L 

L 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

� 6 

3L 

6 

3L 

E 

E 

L 

� 3L 

Der Balken wird mit nur einem Element abgebildet und mit den geometrischen Randbedingungen 

bleibt das Gleichungssystem für die zwei unbekannten Freiheitsgrade w und �: 

� 

� 

� 

� 

EI 

L 

�0 

� 

�0 

0� 

GA � 6 

� � 

1 

� 

� 6L 

�3L 

3L 

��w� 

� Q 

�� 

�� 

� � 

2 � 

2L 

�� 

� �M 

� 

� 

� 

L 

3L 

2L 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Q, w 

M,�


�GA 

� L 

K � � � � 

b K s K 

�GA 

� 

� 2 

K 

ZÜRICH 

EI 

L 

GA � 

2 � 

� 

GAL � 

� � 

3 � 

Sperreffekt 

Zur Auflösung der beiden Gleichungen schreiben wir die Steifigkeitsmatrix in nicht partitionierter 

Form, 

und geben dann die Determinante an: 

2 2 

GA � GAL EI � G A GA � EI GAL � GA 

� D � � � � � � � � � � � 

L � 3 L � 4 L � L 12 � L 

Die invertierten Systemgleichungen sind damit: 

2 

�w� 

1 �6EI 

� 2L 

GA 

� � � � 

�� 

� 6GA� 

� � 3LGA 

� 3LGA�� 

Q 

�� 

6GA 

��M 

� 

� 

� 



3EI 

� GAL 

w � 

3GA� 

ZÜRICH 

2 

L 

Q � M , 

2� 

Sperreffekt 

Nun betrachten wir die Durchsenkung und die Verdrehungen 

Für einen dünnen Balken oder EI

ZÜRICH 

Sperreffekt 

Beseitigung des Sperreffekts durch reduzierte Integration 

Die Verschiebungen können bei der entarteten Gleichung nur dann von Null verschieden sein, 

wenn die Steifigkeitsmatrix singulär ist. 

In der Regel verlieren Steifigkeitsmatrizen ihre Singularität mit dem Einbau der geometrischen 

Randbedingungen für statisch bestimmte Lagerung. 

Der Sperreffekt verschwindet, wenn der Schubanteil K s auch mit implementierten geometrischen 

Randbedingungen singulär bleibt. 

Eine Verringerung des Ranges erhält man mit reduzierter Integration. Die exakte Matrix K s hat 

Rang zwei und entspricht Gauss Integration mit zwei Stützpunkten. 

1 

2 T 

K s � � B Cs 

�1 

B 

E d� 

L 

2 

Die Ein-Punkt-Regel der Gauss Integration liefert eine Matrix vom Rang eins und diese bleibt 

auch nach Einbau der zwei für statisch bestimmte Lagerung notwendigen geometrischen 

Randbedingungen singulär. 

1 

T 

K s � LE 

B Cs 

B 

� �0 


ZÜRICH 

Sperreffekt 


Zur Auswertung der reduzierten Steifigkeitsmatrix berechnen wir zunächst 

und dann 

� 

1 T 

K s 

LE 

B Cs 

B 

� �0 

� 

L 

E 

B 

T 

C 

�0 � 2� 

� � 

GA � 

0 LE 

� 

2L 

�0 

2� 

E 

� � 

�0 

LE 

� 

s 

� �0 

� 

� 

� 

� 2� 

L 

� 

E � 

2� 

� 

LE 

� 

�0 � 2� 

� � 

� 

0 LE 

� 

�0 

2� 

� � 

�0 

LE 

� 


1 

2 

1 

2L 

E 

� 0 

� 

�� 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 4 

� 

GA � 

� 2L 

4L 

� E � 4 

� 

�� 

2L 

E 

E 

0 

2 

0 

2 

� 2 

L 

� 2L 

L 

2L 

L 

� 

E 

E 

2 

E 

E 

2 

E 

� 

GA 

2L 

0 

2 

� 4 

2L 

4 

2L 

E 

E 

E 

�0 

� 

�0 

0 � 

GA 

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E 

2 

E 

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ZÜRICH 

Sperreffekt 


Mit der reduzierten Schubsteifigkeitsmatrix haben wir das Gleichungssystem: 

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L 

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2L 

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Die gesamte Steifigkeitsmatrix und ihre Determinante sind: 

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� L 

K � � � � 

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EI 

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Und so haben wir das invertierte Gleichungssystem: 

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L 

EIGA 

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L 

Q, w 

GA 

L 

EI 

L 

M,�

ZÜRICH 

Sperreffekt 


Nun betrachten wir die Durchsenkung und die Verdrehungen 

3 2 

2 

4EIL 

� GAL L 

L 1 

w � Q � M , � � � Q � M 

4EIGA 

2EI 

2EI 

EI 

Für einen dünnen Balken oder EI

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Evaluation FEM 2012 


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Evaluation SO 2012

Dünner Balken

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