14.05.1928, Noether an Hasse Reichsdruckerei Berlin SW ... - RZ User

Inhalt:
14.05.1928, Noether an Hasse
Kritik und Kommentar zur Arbeit von Rauter über Verzweigungstheorie in Funktionenkörpern.
Reichsdruckerei Berlin SW 68 Oranienstr. 91 1)
14. Mai 1928
22 Stück Mehrabdruck der beiden Mitteilungen
aus Stück XXXII der Sitzungsberichte
der Preußischen Akademie der Wissenschaften:
Über minimale Zerfällungskörper
irreduzibler Darstellungen und
Existenz gewisser algebraischer Zahlkörper,
zu 7/8 Bg. 8 o , in bedrucktem
Umschlag geheftet und beschnitten. 3.30
Lieber Herr Hasse !
Nach obiger Rechnung erkennen Sie, daß wir zusammen 100 Sep. à 15 Pf =
15 M zu bezahlen haben; ich schicke Ihnen hiermit meinen Anteil von 5 M mit
der Bitte, diese Rechnung mit Ihrer gemeinsam zu bezahlen.
Ich habe mir die Arbeit von Rauter 2) im letzten Crelle-Heft etwas angesehen;
er hat vergessen zu sagen, daß er K als Erweiterung erster Art von k voraussetzt,
obwohl es mehrfach benutzt wird, wesentlich bei nicht ausgeführten Schlüssen. 3)
Die Idealtheorie bleibt übrigens auch bei Erweiterung 2. Art erhalten, wie
F.K. Schmidt und in allgemeinen Fällen Artin-van der Waerden (Erhaltung der
Kettensätze – in den Göttinger Nachrichten 1926) gezeigt haben 4) ; dagegen
werden die Differenten- und Diskriminantensätze hier anders.
Daß alles genau wie im Zahlkörper geht, beruht auf dem folgenden, auch im
Zahlkörper allein benutzten Voraussetzungen:
1) K ist Erweiterung erster Art von k ;
2) die ganzen Größen aus k bilden Hauptidealring;

2
3) der Restklassenring nach jedem ganzen Ideal aus k (und damit aus K)
besteht aus endlich vielen Elementen.
1) und 2) gibt Idealtheorie, 3) [?] 5) gibt Verzweigungstheorie; insbesondere muß
die Theorie von Trägheits- und Verzweigungsgruppen übereinstimmen 6) , da es
sich hier um eine Theorie derselben Restklassenringe 7) handelt, während die
betreffenden Unterkörper von K durch die Galoissche Theorie gegeben sind.
Die wirklichen Unterschiede treten also nur im verschiedenen Verhalten der
unendlich fernen Punkte auf.
Beste Grüße, Ihre Emmy Noether.

. 14.05.1928, NOETHER AN HASSE 3
Anmerkungen zum Dokument vom 14.5.1928
1 Es handelt sich um die Rechnung der Druckerei für Sonderdrucke der beiden Arbeiten
[BraNoe:1927] und [Has:1927], die zusammengebunden geliefert wurden. Noether schickt
Hasse die Rechnung und schreibt auf das Papier samt Rückseite noch andere, mathematische
Informationen.
2 Herbert Rauter war Gymnasiallehrer in Tilsit (Ostpreußen) und war 1926 bei Hasse in
Halle promoviert. In seiner Dissertation hatte er die Resultate der Hasseschen Dissertation
auf den Fall eines rationalen Funktionenkörpers �p(x) übertragen – nämlich das Lokal-
Global-Prinzip für quadratische Formen. Die jetzt in Rede stehende Crelle-Arbeit [Rau:1928]
entwickelte u.a. die Grundlagen der Arithmetik in algebraischen Funktionenkörpern über endlichen
Körpern, sowie die Hilbertsche Verzweigungstheorie für Galoissche Erweiterungen von
Funktionenkörpern.
3 “Erweiterung erster Art” heißt “separable Erweiterung”. Die Noethersche Kritik führte zu
einer Korrektur, die noch im selben Crelle-Band [Rau:1928a] erschien, und in welcher Rauter
feststellte, dass er in der Tat Separabilität hätte voraussetzen müssen.
4 F. K. Schmidt hatte Funktionenkörper einer Variablen behandelt, und zwar in seiner Arbeit
[FKS:1931] zur “Analytischen Zahlentheorie in Charakteristik p ”; diese Arbeit erschien
zwar erst 1931, aber sie war schon 1927 fertig und als Habilitationsschrift benutzt worden;
offensichtlich kannte Noether diese Arbeit. Artin und van der Waerden behandelten Erweiterungen
solcher Körper der Charakteristik p , bei denen der Grad über dem Teilkörper K p
endlich ist, was bei Funktionenkörpern in einer oder mehreren Variablen der Fall ist, wenn
der Grundkörper diese Eigenschaft besitzt. Vgl. [ArtvdW:1926]. Später publizierte Grell
[Gre:1935] den Satz ganz ohne zusätzliche Voraussetzung.
5 Hier steht im Original ein Wort, was wir nicht entziffern konnten.
6 Gemeint ist offenbar, dass die Theorie der Trägheits- und Verzweigungsgruppen in Funktionenkörpern
übereinstimmt mit der entsprechenden Theorie in Zahlkörpern.
7 Das ist in Bezug auf wilde Verzweigung nicht richtig, denn die Restklassenringe in Funktionenkörpern
(Charakteristik p) sind nicht dieselben wie die Restklassenringe in Zahlkörpern.