Testklausur SS 2002 Regelungstechnik 1

Name, Vorname: Matrikelnummer
Testklausur SS 2002
Anmerkungen: Aufgabenblätter auf Vollständigkeit überprüfen
Nur Blätter mit Namen und Matr.Nr. werden korrigiert.
Keine rote Farbe verwenden.
Zu jeder Lösung Aufgabennummer angeben.
Bitte tragen Sie hier eine ganze Zahl zwischen 1 und 50 ein z(. B. 12), mit der ihre Note im vorläufigen
Aushang mit Matrikelnummer multipliziert werden soll. Diese einfache Verschlüsselung dient der
Geheimhaltung Ihrer Note. Wird kein Wert angegeben wird die Zahl 5 verwendet.
Verschlüsselzahl: _____
Bitte haben Sie dafür Verständnis, dass wegen des Datenschutzes keinerlei telefonische
Auskünfte gegeben werden!
Aufgabe max.
Punkte
1 10
2 10
3 20
4 25
5 20
6 6
7 8
8 6
9 20
Summe 125
Prüfer
Note
Regelungstechnik 1
Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
125 P würde einer Prüfungsdauer von ca. 125 min entsprechen!
erreichte
Punkte Anmerkungen
Version: 05.07.2002 10:20 Datei: RT1PrüfSS2002_Test2.doc
Testklausur Regelungstechnik 1 1/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 1: Standardregelkreis (10 P)
Lösung:
Abbildung 1: Zentralheizung
Beschreiben Sie eine Zentralheizung (siehe Abbildung 1) eines Hauses in der
Sprache der Regelungstechnik!
Was ist der Sollwert, die Regelgrösse, die Stellgrösse, die Störungen,
Messgrösse usw? Skizzieren Sie das System als Regelkreis und benennen
Sie die Blöcke und Verbindungen!
Sollwert TS gewünschte Temperatur
Regelgrösse TR
Raumtemperatur
Stellgrösse TB Einschaltzeiten Brenner pro Zeiteinheit, Heizleistung P H
Störungen QS Aussentemperatur, Wind, offene Türen, offene Fenster, Abwärme
Messgrössen T U
Temperatur (z. B. Raum 1), Vorlauftemperatur, Aussentemperatur
Testklausur Regelungstechnik 1 2/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 2: Laplace-Transformation (10 P)
Lösung:
Für kleine Auslenkungen ergeben sich für das in Abbildung 2 dargestellt
Doppelpendel folgende Differentialgleichungen.
m ⋅L⋅ ẋ=−m ⋅g⋅x −cLx ⋅ − x
1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2
( )
( ) ( )
m ⋅L⋅ ẋ=−m ⋅g⋅ x + cLx ⋅ −x −LFt ⋅
Abbildung 2: Doppelpendel
Geben Sie im Bildbereich die Übertragungsfunktion Gs ( )
( )
Ys
x1
L
c1
x2
1(
)
( )
X s
= an.
Fs
2
cFL ⋅ ⋅
=−
Lmms + cLm + cLm + 2gLmm s + cgLm + cgLm + gmm
( ) ( )
2 4 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
Testklausur Regelungstechnik 1 3/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
L
F(t)
Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 3: Modellierung (20 P)
Lösung:
In Abbildung 3 ist ein mechanisches Modell dargestellt. Stellen Sie die
Differentialgleichungen für dieses Modell auf und geben Sie die
X s = GsFs an!
Übertragungsfunktion 1(
) ( ) ( )
F(t)
( )
m1
x1
c1
Abbildung 3: Mechanisches Modell
( )
( )
mẋ= F−c x −x
1 1 1 1 2
mẋ= c x −x −cx −dẋ
2 2 1 1 2 2 2 2 2
2 ( ms + 2 ds+ 2 c + 1 c2)
( )
X s =
Fs
mms + dms + cm + cm + cm s + cds+ cc
1 4 3 2
1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
Testklausur Regelungstechnik 1 4/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
m2
x2
c2
d2
( )

Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 4: Signalflussmodell (25 P)
Lösung:
Abbildung 4: Signalflussbild eines dynamischen Systems
Geben Sie die Übertragungsfunktion Gs ( )
dargestellte Signalflussbild an.
( )
( )
( +
2
)
( + )( + )
Xs s 1
Gs ( ) = =−
Ys s 2 s 3
Testklausur Regelungstechnik 1 5/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
( )
( )
Xs
= für das in Abbildung 4
Ys
Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 5: Signalflussmodell (20 P)
Lösung:
Abbildung 5: Signalflussbild eines dynamischen Systems
Gs ( ) = Gs ( )
=
4s+ 6
2 ( s+ 1)( s + 2s+ 2)
Testklausur Regelungstechnik 1 6/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 6: Bode-Diagramm (6 P)
Ermitteln Sie mit Hilfe von Asymptoten die Übertragungsfunktion des in
dargestellten Systems. Dieses System hat in der rechten Halbebene keine
Pole oder Nullstellen.
Tragen Sie das Ergebnis in das Aufgabenblatt ein und kennzeichnen Sie
markanten Punkte und Asymptoten.
Phase (de g) Mag nitude (dB)
100
50
0
-50
0
-45
-90
-135
10 -3
-180
10 -2
10 -1
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Testklausur Regelungstechnik 1 7/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
10 0
10 1
10 2
Lösung:
I-Glied
Phase(deg) Magnitude (dB)
Name, Vorname: Matrikelnummer
100
50
0
-50
0
-45
-90
-135
10 -3
-180
10 -2
1/100 1/10 K=1
( )
10 -1
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Testklausur Regelungstechnik 1 8/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
10 0
( 100s+ 1)
( + )( +
)
Gs = 1
0.1s 1 10s 1s
10 1
1/0.1
10 2

Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 7: Wurzelortskurven (8 P)
f1(s)
f2(s)
f3(s)
f4(s)
Welche Übertragungsfunktionen des offenen Regelkreises gehören zu
welchen Wurzelortskurven? Tragen Sie die Überschrift der WOK in die
entsprechende Zelle der Tabelle im Aufgabenblatt ein! Begründen Sie kurz
Ihre Auswahl!
Imag Axis
Imag Axis
10
5
0
-5
-10
5
0
-5
(s+1)
-----
(s+2)
a)
-10 0 10
Real Axis
e)
-1.5 -1 -0.5 0
Real Axis
Imag Axis
Imag Axis
1
--------------
(s^2 + 2s + 5)
(s+3)
-----------
(s+5) (s-1)
(s+2)
---------------
(s^2 + 6s + 34)
4
2
0
-2
b)
-4
-10 -5 0
5
0
-5
Real Axis
f)
-15 -10 -5 0
Real Axis
Testklausur Regelungstechnik 1 9/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
Imag Axis
Imag Axis
f5(s)
f6(s)
f7(s)
0.05
0
c)
-0.05
-2 -1 0
15
10
5
0
-5
-10
-15
Real Axis
g)
-20 -10 0 10
Real Axis
1
-------
(s+5)^3
Imag Axis
Imag Axis
5
0
-5
0.5
0
-0.5
d)
-10 -5 0
Real Axis
h)
-15 -10 -5 0
Real Axis
1
-----------------------------s
(s+10) (s+5) (s^2 + 4s + 20)
1
---------------------s
(s+5) (s^2 + 2s + 2)
f8(s) (s^2 + 4s + 20)
--------------s
(s+6) (s+4)
Lösung:
c
e
h
d
Name, Vorname: Matrikelnummer
(s+1)
-----
(s+2)
1
--------------
(s^2 + 2s + 5)
(s+3)
-----------
(s+5) (s-1)
(s+2)
---------------
(s^2 + 6s + 34)
Testklausur Regelungstechnik 1 10/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
f
g
a
b
1
-------
(s+5)^3
1
-----------------------------s
(s+10) (s+5) (s^2 + 4s + 20)
1
---------------------s
(s+5) (s^2 + 2s + 2)
(s^2 + 4s + 20)
--------------s
(s+6) (s+4)

Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 8: Wurzelortskurven (6 P)
Lösung:
Gegeben ist die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises:
( )
=
5s ⋅
Fos K 2
s 5 s 0.5 s 2s 16
( + )( + )( + ⋅ + )
Skizzieren Sie die WOK für den geschlossenen Regelkreises
Imag Axis
15
10
5
0
-5
-10
-15
Root Locus
-20 -15 -10 -5 0 5
Real Axis
Testklausur Regelungstechnik 1 11/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
Name, Vorname: Matrikelnummer
Aufgabe 9: Reglerentwurf (20 P)
Phase (deg) Magnitude (dB)
Gegeben ist die Übertragungsfunktion der Strecke:
( )
F s
=
( 20s+ 1)
o 3
und das zugehörige Bode-Diagramm.
40
20
0
-20
-40
-60
0
-45
-90
-135
-180
-225
10 -2
-270
Testklausur Regelungstechnik 1 12/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
50
Bode Diagram
10 -1
Frequency (rad/sec)
a) Ermitteln Sie die kritische Verstärkung aus dem Bode-Diagramm wenn ein P-
Regler verwendet wird.
b) Lässt sich für den geschlossenen Regelkreis mit einem P-Regler stationäre
Genauigkeit erreichen? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der
Grenzwertsätze!
c) Die Strecke soll mit einem idealen PI-Regler der Form
KI
GR( s) = KP
+ geregelt werden. Geben Sie die Reglerparameter KP und KI
s
an, wenn ein Überschwingen von ca. 20 % bei maximaler Schnelligkeit
gefordert wird. Ermitteln Sie die Parameter rechnerisch.
10 0

Lösung:
Name, Vorname: Matrikelnummer
a) KK= -16dB = 0.158
b)
( )
Gs = o =
3 ;
o
t→∞
F 50K
1+ F 20s+ 1 + 50K
s→0 ( )
1 50K
limh( t) = limG( ss ) =
����� �����1
1+ 50K
Stationäre Genauigkeit wird nur bei sehr grossen Verstärkungen erreicht.
K K
GR s 1 Ts N K P ;
s s
I
c) ( ) = ( + ) = +
o
( )
F s
o
( )
F s
=
=
1
( 0.1⋅ s+ 1) ( 15⋅ s+ 1)
50
( 20s+ 1)
( )
2
3
70= 20+ ϕ = 20+ 50
s
K
1 Ts N
s
( + )
( + )
K1 Ts
r
O
130 2*atan( 20 k ) 90;
ϕ =− =− ⋅ω −
tan 20
ωk
= = 0.18;
20
1
G0.18 ( ) = 2777 = ;
K
K = 3.64e−4; KI=K=3.64e-4; KI=K*TN=7.28e-3
Testklausur Regelungstechnik 1 13/13 Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf
1
v
50
= F ( s)
=
20s 1 s
( ) 2
+
50
( 20s+ 1)
o 3