5.3A. Gradient und Niveau

Niveaukurven und Niveauflächen
Für eine differenzierbare Funktion f von einer Teilmenge A des Raumes R n nach R und jede
Konstante c beschreibt
f( x) = c
eine Hyperfläche im R n , speziell eine Niveaukurve im Falle n = 2 und eine Niveaufläche im
Falle n = 3.
Eine in Parameterdarstellung
x = g( t )
gegebene Kurve liegt genau dann in der Hyperfläche f( x) = c, wenn
f ( g( t ) ) = c
gilt. Mit der Kettenregel folgt aus dieser Gleichung
f ' ( g( t ) ) g'( t ) = 0.
Dabei ist g '( t ) ein Tangentialvektor im Punkt a = g( t ) der Hyperfläche. Geometrisch bedeutet
das:
Im Punkt a steht der Gradient f '( a ) senkrecht auf der Niveaukurve bzw. Niveaufläche f( x ) = c.
Daraus ergibt sich für den Fall n = 2 sofort die
Normalengleichung der Tangente an die Niveaukurve f ( x, y) = c im Kurvenpunkt ( x0, y0 ):
f x
( x0, y0 ) ( x − x0 ) + ( x0, y0 ) ( y − y0 ) = 0
f y
und entsprechend für n = 3 die
Normalengleichung der Tangentialebene an die Niveaufläche f ( x, y, z ) = c im Flächenpunkt
( x0, y0, z0 ):
fx ( x0, y0, z0 ) ( x − x0 ) + fy ( x0, y0, z0 ) ( y − y0 ) + fz ( x0, y0, z0 ) ( z − z0 ) = 0.
Beispiel 3: Paraboloid und Kreistangente
Ein Paraboloid mit dem Fußpunkt (u,v) beschreiben wir durch
f ( x, y ) = ( x − u ) +
2
( y − v) 2
Die Tangente im Punkt ( x0, y0 ) an die kreisförmige Niveaukurve f ( x, y) = r 2 (mit Radius r) hat
wegen
fx ( x, y ) = 2 ( x − u ) und fy ( x, y ) = 2 ( y − v )
die Gleichung
( x0 − u ) ( x − x0 ) + ( y0 − v ) ( y − y0 ) = 0
was zusammen mit der Bedingung, daß ( x0, y0 ) auf der Niveaukurve liegen soll, also
( x0 − )
auf die Formel
u 2
+ ( − )
y 0
v 2
( x0 − u ) ( x − u ) + ( y0 − v ) ( y − v ) = r 2
=
r 2
führt. Hinzu kommt noch die Gleichung z = r 2 für die dritte Koordinate (Höhe).