Turbulence in natural waters

Contents
1 Phenomenology of turbulence 3
1.1 Coffee with milk ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 How efficient is molecular mixing in the ocean ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Observational evidence of turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Laboratory experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Oceanic observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Definition of turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Turbulence as chaotic nonlinear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Deterministic description 20
2.1 Some vector notations and transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Navier-Stokes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Scaling of the Navier-Stokes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Elimination of pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Kinetic energy from the Navier-Stokes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Thermal energy and salinity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Statistical description 29
3.1 Reynolds decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 The Reynold’s equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 The second moment equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Turbulence spectra 38
4.1 Correlations and spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Three-dimensional kinetic energy spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 One-dimensional kinetic energy spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Statistical turbulence models 52
5.1 Eddy viscosity principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Mixing length approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Bottom boundary layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Turbulence equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Dynamic turbulence models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.2 The k-ε model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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