Linear Programming

Linear Programming
–p.1/2

–p.1/2
Linear Programming
กำหนดการเชิงเส้น (linear programming) เป็นคณิตศาสตร์ประยุกต์
แขนงหนึ่งที่ถูกคิดค้นขึ้นมาเพื่อนำไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับ
การเคลื่อนย้ายกำลังทหาร อาวุธยุธโธปกรณ์ และสัมภาระต่าง ๆ
จากฐานทัพหนึ่งไปยังอีกฐานทัพหนึ่ง ในระหว่างสงครามโลก

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ
1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ
1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)
2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ
1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)
หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อย
ที่สุดในปัญหานั้น ๆ
2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ
1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)
หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อย
ที่สุดในปัญหานั้น ๆ
2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)
หมายถึง ระบบของสมการหรือของอสมการที่เป็นข้อจำกัดของ
ฟังก์ชันจุดประสงค์

–p.2/2
Linear Programming
ปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ
1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)
หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อย
ที่สุดในปัญหานั้น ๆ
2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)
หมายถึง ระบบของสมการหรือของอสมการที่เป็นข้อจำกัดของ
ฟังก์ชันจุดประสงค์
ในกรณีที่เงื่อนไขบังคับออกมาในรูประบบของอสมการ จึงอาจเรียกเงื่อนไขบังคับนี้ว่า
อสมการข้อจำกัด

–p.3/2
Linear Programming Problem
ปัญหากำหนดการเชิงเส้น เป็นปัญหาที่ประกอบด้วยฟังก์ชันจุดประสงค์
ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น และมีเงื่อนไขบังคับอยู่ในรูประบบของสมการ
เชิงเส้น หรืออสมการเชิงเส้น
Y
Feasible
solution
X

–p.4/2
Linear Programming
ขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้น
โดยใช้กราฟ

–p.4/2
Linear Programming
ขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้น
โดยใช้กราฟ
1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ

–p.4/2
Linear Programming
ขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้น
โดยใช้กราฟ
1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ
2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด

–p.4/2
Linear Programming
ขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้น
โดยใช้กราฟ
1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ
2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด
3. นำจุดมุมแต่ละจุดไปแทนค่าเพื่อหาฟังก์ชันจุดประสงค์

–p.4/2
Linear Programming
ขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้น
โดยใช้กราฟ
1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ
2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด
3. นำจุดมุมแต่ละจุดไปแทนค่าเพื่อหาฟังก์ชันจุดประสงค์
4. หาจุดมุมซึ่งทำให้ได้ค่าฟังก์ชันจุดประสงค์มากที่สุด (น้อยที่สุด)

–p.5/2
EXAMPLE
1. จงหาค่ามากที่สุดของ P = 5x + 3y เมื่อกำหนดเงื่อนไขบังคับ ดังนี้
2x + 4y ≤ 80
5x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0

–p.6/2
EXAMPLE
2. จงหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดที่ทำให้ค่า C = 9x + 15y มีค่าน้อยที่สุด
ภายใต้เงื่อนไขบังคับ ดังนี้
3x + 4y ≥ 24
x + 3y ≥ 9
x ≥ 0
y ≥ 0

–p.7/2
EXAMPLE
3. จงหาค่ามากที่สุดและค่าน้อยที่สุดของ P = 2x + 3y
ภายใต้เงื่อนไขบังคับ ดังนี้
2x + 3y ≤ 30
y − x ≤ 5
x + y ≥ 5
0 ≤ x ≤ 10
y ≥ 0

PROBLEM 1
โรงงานผลิตเฟอร์นิเจอร์ ผลิตโต๊ะและตู้ออกจำหน่าย ในการผลิต
เฟอร์นิเจอร์นี้จะใช้คนงาน 2 ประเภท คือ ช่างไม้และช่างสี
การผลิตโต๊ะหนึ่งตัว ช่างไม้และช่างสีต้องทำงานเป็นเวลา 15 ชั่วโมง
และ 5 ชั่วโมงตามลำดับ
และในการผลิตตู้หนึ่งตัว ช่างไม้และช่างสีต้องทำงานเป็นเวลา 10
ชั่วโมงและ 10 ชั่วโมง ตามลำดับ
ถ้าในแต่ละวันช่างไม้และช่างสีที่มีอยู่หลายคนทำงานรวมกัน
ไม่เกิน 60 ชั่วโมง และ 40 ชั่วโมง ตามลำดับ
และกำไรที่ได้จากการขายโต๊ะและตู้อย่างละ 1 ชิ้น เท่ากับ 300
และ 400 บาท ตามลำดับ
แล้วโรงงานควรจะผลิตโต๊ะและตู้ออกจำหน่ายวันละจำนวนเท่าใด
จึงจะมีกำไรสูงสุด
–p.8/2

–p.9/2
PROBLEM 2
ในการผลิตขนม 2 ชนิด ในการผลิตขนมหนึ่งชิ้น
ชนิดที่หนึ่งใช้แป้ง 20 กรัม น้ำตาล 20 กรัม
ส่วนชนิดที่สองใช้แป้ง 20 กรัม น้ำตาล 30 กรัม
ในแต่ละวันเขามีแป้งและน้ำตาลในการใช้ทำขนมทั้งสองชนิด 4,000
กรัม และ 3,000 กรัม ตามลำดับ
ถ้าขนมชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองขายได้กำไรชิ้นละ 3 บาท และ
2.50 บาท ตามลำดับ ผู้ผลิตควรผลิตขนมแต่ละชนิดจำนวนเท่าไร
จึงจะได้กำไรมากที่สุด

–p.10/2
PROBLEM 3
นักธุกิจผู้หนึ่งต้องการทำความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัว และหิ้ง
หนังสือ 18 หิ้ง เขามีคนงานที่ทำงานนี้อยู่สองคน
คนที่หนึ่งสามารถที่จะทำความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว
และหิ้งหนังสือ 3 หิ้งต่อชั่วโมง
ส่วนคนที่สองสามารถทำความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัว และหิ้ง 6
หิ้งต่อชั่วโมง
คนที่หนึ่งได้รับค่าแรง 25 บาทต่อชั่วโมง และคนที่สองได้รับค่าแรง
22 บาทต่อชั่วโมง เพื่อที่จะเสียค่าแรงน้อยที่สุด เขาควรจะจ้างคนทั้งสอง
ทำงานคนละกี่ชั่วโมง

–p.11/2
PROBLEM 4
อุตสาหกรรมในครัวเรือนแห่งหนึ่ง ผลิตเก้าอี้ 2 ชนิด คือ
ชนิดธรรมดา กับชนิดพิเศษ โดยเก้าอี้ชนิดธรรมดาแต่ละตัวจะต้องเสีย
เวลาผลิตขั้นต้น 1 ชั่วโมง ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง และขายได้กำไรตัวละ 30
บาท ส่วนชนิดพิเศษ แต่ละตัวเสียเวลาในการผลิตขั้นต้น 2 ชั่วโมง
ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมงและขายได้กำไรตัวละ 50 บาท
โรงงานที่ผลิตขั้นต้นและขั้นที่สองทำงานวันละ ไม่เกิน 8 และ 10 ชั่วโมง
ตามลำดับ จงหาว่าอุตสาหกรรมภายในครัวเรือนนี้ ควรผลิต
เก้าอี้แต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใดในแต่ละวัน จึงจะได้กำไรมากที่สุด
และกำไรเป็นเท่าใด

–p.12/2
PROBLEM 5
โรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ A และ B
สินค้าทั้งสองชนิดจะต้องผลิตโดยใช้เครื่องจักร 2 เครื่อง
เครื่องแรกสามารถใช้งานได้วันละ 12 ชั่วโมง แต่เครื่องที่ 2 สามารถ
ใช้งานได้เพียง 8 ชั่วโมงเท่านั้น สินค้า A จะต้องผลิตโดยใช้
เครื่องจักรเครื่องแรก และเครื่องที่ 2 เป็นเวลา 2 ชั่วโมงเท่ากัน ส่วนสินค้า
B แต่ละชิ้นจะต้องผลิตโดยใช้เครื่องจักรเครื่องแรก 3 ชั่วโมง
และเครื่องจักรเครื่องที่สอง 1 ชั่วโมง
ถ้าโรงงานได้กำไรจากการขายสินค้า A และสินค้า B ชิ้นละ 600
บาท และ 700 บาท ตามลำดับ และโรงงานสามารถขายสินค้าทุกชิ้น
ที่ผลิตได้ จงหาจำนวนสินค้า A และ B ที่โรงงานควรจะผลิต
ในแต่ละวัน เพื่อให้ได้กำไรสูงสุด

–p.13/2
PROBLEM 6
บริษัทผลิตโต๊ะเก้าอี้แห่งหนึ่ง การผลิตจะต้องผ่านขั้นตอน 2
ขั้นตอน คือ การประกอบและการตกแต่ง การประกอบมีชั่วโมงการทำงาน
60 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ แผนกตกแต่งมีชั่วโมงการทำงาน 48
ชั่วโมงต่อสัปดาห์ การผลิตโต๊ะต้องใช้เวลาประกอบ 4 ชั่วโมง เวลาตกแต่ง 2
ชั่วโมง การผลิตเก้าอี้ต้องใช้เวลาประกอบ 2 ชั่วโมง เวลาตกแต่ง 4 ชั่วโมง
ถ้ากำไรที่ได้จากการขายโต๊ะเป็น 320 บาทต่อตัว และเก้าอี้เป็น 240
บาทต่อตัว ตามลำดับ จงหากำไรสูงสุดในหนึ่งสัปดาห์

–p.14/2
PROBLEM 7
โรงงานแห่งหนึ่งมีการผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ แบบ A และแบบ B
ซึ่งแต่ละแบบจะทำกำไร 20 บาท และ 50 บาท ต่อชิ้น
และทั้งสองแบบมีต้นทุน 100 และ 300 บาทต่อชิ้น
แบบ A ใช้เวลาทำชิ้นละ 5 วัน แบบ B ใช้เวลาทำชิ้นละ 12 วัน
ถ้าจะใช้เวลาทำไม่เกิน 75 วัน ด้วยเงินลงทุน 1800 บาท
และต้องการหากำไรสูงสุดจะต้องผลิตสินค้าแต่ละแบบ ๆ ละกี่ชิ้น

–p.15/2
PROBLEM 8
โรงงานแห่งหนึ่งผลิตตุ๊กตา 2 ชนิด แต่ละชนิดต้องผ่านขั้นตอน
การประกอบ 3 ขั้นตอน ถ้าระยะเวลาที่ใช้สำหรับการผลิตในขั้นตอน
ต่าง ๆ และกำไรที่จะได้รับต่อตัวเป็นดังนี้
ตุ๊กตา ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 กำไร (บาท)
ชนิดที่ 1 10 6 9 30
ชนิดที่ 2 5 12 9 50
หมายเหตุ เวลาที่ใช้ในการผลิดแต่ละขั้นตอน หน่วยเป็นนาที
และในแต่ละขั้นตอนมีเวลาทำงานได้วันละไม่เกิน 450, 480 และ 450
นาทีตามลำดับ อยากทราบว่า ทางโรงงานแห่งนี้ควรผลิต
ตุ๊กตาชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 วันละกี่ตัวจึงจะได้กำไรมากที่สุด
และกำไรมากที่สุดเท่าไร

–p.16/2
PROBLEM 9
บริษัทผู้ผลิตโทรทัศน์แห่งหนึ่งต้องการผลิตโทรทัศน์ขนาด 20 นิ้ว
ทั้งชนิดขาวดำและชนิดสีกำลังการผลิตของบริษัท แห่งนี้ไม่เกิน 800
เครื่องต่อเดือน โดยมีต้นทุนในการผลิตโทรทัศน์ขาวดำเครื่องละ 2,500 บาท
และชนิดสีเครื่องละ 3,500 บาท ในขณะเดียวกัน
บริษัทแห่งนี้จะมีกำไรเครื่องละ 1,500 บาทสำหรับโทรทัศน์ขาวดำ และ
2,100 บาทสำหรับโทรทัศน์สี
ถ้าบริษัทแห่งนี้กำหนดเงินทุนในการผลิตไว้ไม่เกิน 2,500,000
บาทต่อเดือน อยากทราบว่าบริษัทแห่งนี้ควรผลิตโทรทัศน์ทั้งชนิด
ขาวดำและชนิดสีอย่างละกี่เครื่องต่อเดือน จึงจะทำให้ได้กำไรมากที่สุด
และกำไรมากที่สุดเท่าใด

–p.17/2
PROBLEM 10
นักโภชนาการแห่งศูนย์เภสัชกรรมแห่งหนึ่ง ให้คำแนะนำเกี่ยวกับ
อาหารแก่ผู้ป่วยคนหนึ่ง โดยแนะนำว่า ในอาหารแต่ละมื้อควรประกอบ
ด้วยแคลเซียมอย่างน้อย 400 มิลลิกรัมธาตุเหล็กอย่างน้อย 10 มิลลิกรัม
และวิตามิน C อย่างน้อย 40 มิลลิกรัม โดยแนะนำอาหาร
สองชนิด A และ B อาหารชนิด A แต่ละออนซ์จะประกอบด้วย
แคลเซียม 30 มิลลิกรัม ธาตุเหล็ก 1 มิลลิกรัม วิตามิน C 2 มิลลิกรัม
และคอเรสเทอรอล 2 มิลลิกรัม อาหารชนิด B
แต่ละออนซ์จะประกอบด้วยแคลเซียม 25 มิลลิกรัม ธาตุเหล็ก 0.5
มิลลิกรัม วิตามิน C 5 มิลลิกรัม และคอเรสเทอรอล 5 มิลลิกรัม
จงหาว่าควรใช้อาหารชนิด A และ B อย่างละกี่ออนซ์ ในการ
ปรุงอาหาร1 มื้อ เพื่อให้ได้คอเรสเทอรอลต่ำสุดในขณะเดียวกันให้ได้
ธาตุอาหารต่างๆอย่างน้อยตามที่ต้องการ

–p.18/2
PROBLEM 11
11.1 ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2,2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)

–p.18/2
PROBLEM 11
11.1 ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2,2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)
11.2 สมการจุดประสงค์ 1500 − 8x − 10y
โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้ x + y ≥ 40,x + y ≤ 100,
0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ y ≤ 70 ค่าสูงสุดของ P เท่ากับเท่าใด (2540)

–p.18/2
PROBLEM 11
11.1 ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2,2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)
11.2 สมการจุดประสงค์ 1500 − 8x − 10y
โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้ x + y ≥ 40,x + y ≤ 100,
0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ y ≤ 70 ค่าสูงสุดของ P เท่ากับเท่าใด (2540)
11.3 กำหนดให้ P = ax + 2y และมีเงื่อนไขข้อจำกัดดังต่อไปนี้
2x + y ≤ 50,x + 2y ≤ 70,x ≥ 0,y ≥ 0 ถ้าค่าสูงสุดของ P เท่ากับ
100 แล้ว a เท่ากับเท่าใด (2544)

–p.19/2
PROBLEM 12
น้ำมันดีเซล 100 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 12 บาท และน้ำมัน
ปาล์ม 120 ลิตรราคาต้นทุนลิตรละ 8 บาท ถ้าจะผสมน้ำมัน
สองชนิดนี้ รวมกันให้มีจำนวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตรและขายน้ำมัน
ผสมนี้ในราคาลิตรละ 11 บาท ให้ได้กำไรมากที่สุดแล้ว กำไรที่ได้
เท่ากับเท่าใด (2545)

–p.20/2
PROBLEM 13
A pet supply company mixes two brands of dry dog food.
Brand X costs §15 per bag and contains eight units of nutritional
element A, one unit of nutritional element B, and two units of
nutritional element C. Brand Y costs §30 per bag and contains two
units of nutritional element A, one unit nutritional element B, and
seven unit of nutritional element C. Each bag of mixed dog food
must contain at least 16 units, 5 units, and 20 units of nutritional
element A, B, and C, respectively. Find the number of bags of
brands X and Y that should be mixed to produce a mixture meeting
the minimum cost. What is the minimum cost?