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馬 可 夫 不 等 式<br />
X 為 非 負 的 隨 機 變 數 ,a > 0, 則 以 下 不 等 式 成 立 , 稱<br />
為 馬 可 夫 不 等 式<br />
P(X ≥ a) ≤ E[X ]<br />
a .<br />
證 明<br />
令<br />
Y a (X ) (X < a) 0 : a.<br />
則<br />
Y a ≤ X ⇒ E[Y a ] ≤ E[X ]<br />
⇒ a P(X ≥ a) ≤ E[X ]<br />
⇒ P(X ≥ a) ≤ E[X ]<br />
a .<br />
Chia-Ping Chen ( 中 山 資 工 ) Limit Theorems 機 率 學 講 義 3 / 28