Integration - the Australian Mathematical Sciences Institute

Assumed knowledge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Adding up a function in small pieces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Other questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7The area under a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Estimates of area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Definition of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Area and the antiderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Antiderivatives and indefinite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Calculating areas with antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Velocity–time graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Areas above and below the axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Properties of the definite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Area between two curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Links forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Integration and three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Arc length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Difficulties with antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30History and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34A comparison of area estimates, and Simpson’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Exactness of area estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Functions integrable and not . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Answers to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41