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Vorlesung 4:Roter Faden:1. Fid Friedmann-Lemaitre it FeldgleichungenFldlih2. Entwicklung des Universums in der ARTWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 2

Heute:diese ZeitausrechnenunterBerücksichtigungderdunklenEnergieWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 3

Friedmannsche Gl. und Newtonsche MechanikDie Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen1. Newtonsche Mechanik2. + Krümmungsterm k/S 23. + E=mc 2 (oder u=c 2 )4. + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.)5. + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante?)Dies sind genau die Zutaten die man brauchtfür ein homogenes und isotropes Universum,das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 4

ART sagt gekrümmten Raum voraus.Frage: wie rechnet man Längen in einem gekrümmtenund expandierendem Raum aus?Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 5

Mathematische Beschreibung der KrümmungWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 6

Minkowski 4-dimensionale Raum-ZeitWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 7

Metrik = Vorschrift zur LängenmessungWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 8

Krümmung im 3-dim. Raum ->4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer RaumWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 9

Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor.Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 10

Längen im gekrümmten Rauml(t)Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 11

Einsteinsche Feldgleichungen der ART in 4-DEnergie-Impuls-TensorKosmologische KonstanteRicci-KrümmungsskalarRicci-KrümmungstensorDa alle Tensoren in dieser Gleichung symmetrischsind (z. B. R μν = R νμ ), sind nur 10 dieser 16Gleichungen unabhängig voneinander.Für ein homogenes und isotropes Universum gilt:Metrik unabh. von ,θ, d.h. d = dθ = 0Dann sind nur die R und t Komponenten wichtigund man erhält nur zwei unabh. Gleichungen->die Friedmann-Lemaitre GleichungenWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 12

Friedmann GleichungenWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 13

Erste Friedmann Gleichung nach NewtonM mv=Friedmannfür kc 2 =-2E/mDimensionsloseDichteparameter:Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 14

Berücksichtigung der Expansionsenergie(1)Energieerhaltungssatz:Differenziere (1) und benutze u=c 2ergibt die zweite Friedm. GldE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dtLetzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 15(2)

Kosmologische KonstantepWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 16

Kosmologische Konstante10 -34Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 17

Energieerhaltung aus Friedmann Gl.Dies entspricht dem Energieerhaltungssatz:Energieerhaltung also direkt aus Friedm. Gl.Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 18

Zeitentwicklung der DichteWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 19

Zeitentwicklung der Dichte8Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 20

Zeitentwicklung des UniversumsWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 21

Zeitentwicklung des UniversumsWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 22

Alter des Universums mit ≠ 0Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 23

Alter des Universums mit ≠ 0Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 24

Alter des Universums mit ≠ 0Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 25

Zum Mitnehmen1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolutioneines homogenen und isotropen Universums.Daraus folgt mit p = α c 2 :(t) S(t) -3(1+α)S(t) t 2/3(1+α)2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k 0 t ½3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k 1 t 2/34. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k 2 e Ht(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H 0 14 .10 9 yrstatt t= 2/3H 0 10 .10 9 yr (älteste Galaxien > 13 .10 9 yr !)Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 26

Vakuumenergie abstoßende GravitationVakuumenergie and cosmological constant both produce repulsive gravity equivalent!Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 27

Andere Herleitung: Inflation bei konstantem 0ρρ Strahlungρ Materieρ VakuumOder S(t) e t/ mit Zeitkonstante = 1 /H Alter des Univ.,d.h.beschleunigte Expansion durch Vakuumenergie jetzt sehr langsam,aber zum Alter t GUT 10 -37 s sehr schnell!H=1/t damals KONSTANT (weil ρ konst.) und 10 37 s -1.Horizont= Bereich im kausalen Kontakt =ct = c/H wurde durchInflation um Faktor 10 37 vergrößert und Krümmungsterm 1/S 2 um 10 74 verringert (so Univ. flach oder =1 )tWim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 28

Was ist das Vakuum?hhhVakuumfluktuationenmachen sich bemerkbardurch:1)Lamb shift2)Casimir Effekt3)Laufende Kopplungskonstanten4)Abstoßende GravitationBerechnung der Vakuumenergiedichte:10 115 GeV/cm 3 im Standard Modell10 50 GeV/cm 3 in SupersymmetrieGemessene Energiedichte: 10 -5 GeV/cm 3Warum Vakuum so leer?Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 29

Entwicklung des Universums vak dom. str dom. mat dom. vak dom.Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 07.11.2011 30