60 ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 4то есть все скорости последовательно определяютсяпо скорости первого автомобиля. Конечно,нас интересуют не сами функции, а их статистическиехарактеристики. При вероятностном подходефункции D + i (v) становятся независимыми одинаковораспределенными случайными функциями,зависящими от скорости v предыдущего водителякак от параметра. Распределение этих функцийне может быть выведено из математических, статистических,физических и т.д. законов. Оно зависитот индивидуальной и коллективной психикиводителей и должно находиться экспериментально,см. [21].Детерминированная динамика без обгона.Если все автомобили, водители и скоростиv одинаковы, то многие задачи решаются просто.Обозначим d — длину автомобиля и черезd + = D + (v) расстояние до впереди идущего автомобиля,которое водитель соблюдает. Уже такаядинамика позволяет понять многие качественныеэффекты.Определим пропускную способность дорогикак максимально возможный поток по ней:J max =maxvλ(v),vгде максимум берется по разрешенному интервалускоростей и гдеλ(v) =kd + D + (v)есть плотность автомобилей на k-полосной дорогепри заданной скорости v в простейшем алгоритмическомпотоке. Отсюда видно, что пропускнаяспособность может уменьшаться при увеличениискорости. Этот простой вывод говорит лишьо том, что многие водители увеличивают расстояниедо предыдущего автомобиля при увеличенииим скорости.Случайная динамика без обгона. То жесамое получится, если скорости v одинаковы, афункции d + iслучайны и независимы, а их средниеравны (для заданного v) некоторому числуd + (v). Мы видим, что сам факт нетривиальнойзависимости пропускной способности от скороститривиален и для него совершенно необязательнывероятностные или физические модели. Однакодля более тонких вопросов вероятностные моделинеобходимы. Сейчас мы введем довольно общуювероятностную модель с очень богатым спектромфаз. При этом процессы с запретами (exclusionprocesses) появляются как вырожденный частныйслучай. Другие модели см. [1, 21, 29].Случайная динамика с обгоном (случайныеграмматики). Здесь естественно возникаетсвязь с таким недавно открытым объектом, какслучайные грамматики, см. [33]. Мы дадим краткоесодержательное описание одной такой модели.Пусть в момент t =0все автомобили находятсяна левой полуоси, движение однополосное. Мыразбиваем полосу движения на клетки определеннойдлины и считаем, что в каждой клетке неболее одного автомобиля. Таким образом, конечнаяпоследовательность автомобилей изображаетсяпарой (S,r), гдеr ∈ Z, аS — конечная последовательность(слово) из трех символов 0,1,2:S = s N ...s 2 s 1 .При этом 0 соответствует пустой клетке, 1 —активному (быстрому) водителю в клетке, 2 —спокойному водителю в клетке, Длина словаN = N(t) и все символы s k (t) могут меняться вовремени, но так, что всегда s 1 (t),s N(t) (t) ≠0длявсех t 0. В произвольный момент t каждый символs k (t) имеет координату x(s k (t)). Координатыоднозначно определяютсяx(s k (t)) = x(s 1 (t)) − k +1 (1)координатой x(s 1 (t)) первого символа, которуюмы обозначим r = r(t).Динамика моделирует процесс ускорений иторможений отдельных водителей и определяетсякак цепь Маркова (S(t),r(t)) с непрерывным временемна множестве пар {(S,r)}. Интенсивностискачков определяются так. Изменения S и r независимыдруг от друга. Изменение r моделируетдвижение всего потока с постоянной скоростью v.Именно r увеличивается на единицу с вероятностьюvdt за время dt, и все координаты немедленноизменяются соответственно формуле (1). ДинамикаS, таким образом, будет описывать ситуациюотносительно некоторого равномерного движения.Эта динамика задается случайной грамматикой,то есть списком возможных локальныхзамен подслов (всего будет 5 типов замен) S надругое подслово. Любые замены из приводимогониже списка производятся независимо, случайнои имеют разные интенсивности (всего 4 параметра).Вот этот список:1. 10 → 01 — быстрый водитель передвигаетсяна 1 вперед, освобождая свободное место засобой, с вероятностью λ + 0 dt за время dt.2. 120 → 021 — быстрый водитель обгоняет спокойногос вероятностью λ + 1 dt.3. 22 → 202, 21 → 201 — предусмотрительныйводитель тормозит, увеличивая дистанциюперед собой, с вероятностью λ − 2 dt. Отметим,что здесь увеличивается длина N слова S(возникает лишняя свободная ячейка), чтоведет к сдвигу всех автомобилей сзади данноговодителя на 1 назад. Это нелокальныйскачок, реально он растянут во времени, ноэто совместимо с правилом сложения относительныхскоростей.4. 200 → 020 — спокойный водитель ускоряетсяс вероятностью λ + 2 dt (если впереди с еготочки зрения много свободного места).