更加细化的框图

先行进位 的 理论基础 ( 续 ) 

° 使用新定义 的 两个术语 : 

• 第 i 位产生 的 进位 

gi = Ai & Bi 

• 通过第 i 位 的 传播进位 pi = Ai or Bi We can rewrite: 

• Cin1 = g0 | (p0 & Cin0) 

• Cin2 = g1 | (p1 & g0) | (p1 & p0 & Cin0) 

• Cin3 = g2 | (p2 & g1) | (p2 & p1 & g0) | (p2 & p1 & p0 & Cin0) 

° 进入第 3 位 的 进位是 1, 如果 

• 在第 2 位 , 产生了进位 (g2) 

• 或者在第 1 位产生了进位 (g1) 并且 

第 2 位传播了这个进位 (p2 & g1) 

• 或者在第 0 位产生了进位 (g0) 并且 

第 1 位和第 2 位都传播了这个进位 (p2 & p1 & g0) 

• 或者在第 0 位有输入进位 (Cin0) 并且 

第 0 位、第 1 位和第 2 位都传播了这个进位 (p2 & p1 & p0 & Cin0) 

北京大学计算机科学技术系 

计算机系统结构教研室

道管 : 先行进位 的 类比 

g0 

p0 

c0 

c1 

g0 

p0 

c0 

g1 

p1 

g0 

p0 

c0 

c2 

g1 

p1 

g2 

p2 

g3 

p3 


c4 


设计过程 的 要素 

° 分治 Divide and Conquer (e.g., ALU) 

• 针对较简单 的 部件 , 阐明解决方案 . 

• 设计每个部件 ( 子问题 ) 

° 产生并测试 Generate and Test (e.g., ALU) 

• 给出一组构件 , 如何将它们组装起来 , 并满足需求 

° 逐步求精 Successive Refinement (e.g., carry lookahead) 

• 解决 “ 大多数 ” 问题 ( 即 , 忽视一些约束或特殊情况 ), 检查 

并修改不足 

° 阐明可供选择 的 高级方案 Formulate High-Level Alternatives (e.g., 

carry select) 

• 当选择任何一种方案时 , 都要考虑多种策略 

° 做已知如何做 的 事情 Work on the Things you Know How 

to Do 

• 在不断前进中 , 未知 的 事情将越来越明显。 



设计过程小结 

采用层次式设计处理复杂性 

自顶向下 vs. 自底向上 vs. 逐步求精 

设计表达 的 重要性 : 

• 基本模块 (Block Diagrams) 

• 分解为位片 ( Bit Slices) 

• 真值表、 K-Maps 

• 电路 图 

top 

down 

bottom 

up 

mux design 

meets at TT 

• 其他描述 : 状态 图 、时序 图 , 寄存器传输 , . . . 

优 化 标准 : 

门数 

[ 封装数 ] 

面积 

Logic Levels 

Fan-in/Fan-out 

Delay 

Power 

管教输出 

Cost 

Design time 



上讲总结 

° 设计过程概述 

• 设计是一个不断反复 的 过程 -- 逐步求精 

• 无需等到洞察一切后才开始设计 

° 二进制算术绪论 

• 使用补码表示 , 易于实现减法 

°ALU 设计 

• 设计一个简单 的 4 位 ALU 

• 其他构建 ALU 的 技术 

°ISA 驱动 的 ALU 设计 



本讲提纲 

° 上一讲复习 

° 根据指令系统和移位 , 设计 ALU 

° 乘法 



对 ALU 进行需求分析 

° 从指令系统体系结构开始 : 必须能够完成 ISA 

中 的 所有操作 

° 根据出现频率和硬件预算 , 对成本和性能进 

行权衡 

° MIPS ISA 



MIPS 的 算术指令 

指令示例含义注释 

add add $1,$2,$3 $1 = $2 + $3 3 operands; exception possible 

subtract sub $1,$2,$3 $1 = $2 -$3 3 operands; exception possible 

add immediate addi $1,$2,100 $1 = $2 + 100 + constant; exception possible 

add unsigned addu $1,$2,$3 $1 = $2 + $3 3 operands; no exceptions 

subtract unsigned subu $1,$2,$3 $1 = $2 -$3 3 operands; no exceptions 

add imm. unsign. addiu $1,$2,100 $1 = $2 + 100 + constant; no exceptions 

multiply mult $2,$3 Hi, Lo = $2 x $3 64-bit signed product 

multiply unsigned multu$2,$3 Hi, Lo = $2 x $3 64-bit unsigned product 

divide div $2,$3 Lo = $2 ÷$3, Lo = quotient, Hi = remainder 

Hi = $2 mod $3 

divide unsigned divu $2,$3 Lo = $2 ÷$3, Unsigned quotient & remainder 

Hi = $2 mod $3 

Move from Hi mfhi $1 $1 = Hi Used to get copy of Hi 

Move from Lo mflo $1 $1 = Lo Used to get copy of Lo 



乘法 ( 无符号数 ) 

° 从纸和笔做乘法 ( 无符号数 ): 

被乘数 Multiplicand 1000 

乘数 x 1001 

Multiplier 1000 

0000 

0000 

1000 

乘积 Product 1001000 

° 如果忽略符号位 ,m 位 x n 位 = m+n 位乘积 

° 二进制 , 使得乘法 更 易实现 : 

• 0 => 0 ( 0 x 被乘数 ) 

• 1 => 被乘数 ( 1 x 被乘数 ) 

°4 种乘法硬件 / 算法 

• 循序渐进 



无符号组合乘法器 

0 0 0 0 

A 3 A 2 A 1 A 0 

A 3 A 2 A 1 A 0 

A 3 A 2 A 1 A 0 

A 2 A 1 A 0 

P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 

A 3 

B 1 

° 如果 B i == 1, 那么 , 第 i 级累计 A * 2 i 

° 问题 : 32 位乘法器需要多少硬件 ? 关键路径 ? 

B 0 

B 2 

B 3 



上述乘法器如何工作 ? 

P 7 

0 

P 6 

0 

A 3 

2 

P 5 

0 

A 3 

A 2 

1 

P 4 

0 

A 3 

A 2 

A 1 A 

A 0 

P 3 

0 

A 2 

A 1 

0 

P 2 

0 

A 1 

A 0 

P 1 

0 

A 0 

P 0 

A A 

A 3 

B 1 

B 0 

B 2 

B 3 

° 每级都对 A 进行左移 ( x 2) 

° 使用 B 的 下一位来判断是否 加 上左移后 的 被乘数 

° 每级都累计 2n 位 的 部分积 



第一种无符号移位 - 加 法乘法器 

°64 位被乘数寄存器、64 位 ALU、64 位乘积寄存器、32 位乘数寄存器 

Multiplicand 

64 bits 

Shift Left 

64-bit ALU 

Multiplier 

Shift Right 

32 bits 

Product 

64 bits 

Write 

Control 

乘法器 = 数据通路 + 控制 



第一种乘法算法 

Start 

Multiplier0 = 1 

1. Test 

Multiplier0 


1a. Add multiplicand to product & 

place the result in Product register 

° 乘积乘数被乘数 

° 0000 0000 0011 0000 0010 

°0000 0010 0001 0000 0100 

°0000 0110 0000 0000 1000 

°0000 0110 


2. Shift the Multiplicand register left 1 bit. 

3. Shift the Multiplier register right 1 bit. 

32nd 

repetition? 

No: < 32 repetitions 

Yes: 32 repetitions 

Done 


上述乘法器如何工作 ? 

P 7 

0 

P 6 

0 

A 3 

2 

P 5 

0 

A 3 

A 2 

1 

P 4 

0 

A 3 

A 2 

A 1 A 

A 0 

P 3 

0 

A 2 

A 1 

0 

P 2 

0 

A 1 

A 0 

P 1 

0 

A 0 

P 0 

A A 

A 3 

B 1 

B 0 

B 2 

B 3 

° 每级都对 A 进行左移 ( x 2) 

° 使用 B 的 下一位来判断是否 加 上左移后 的 被乘数 

° 每级都累计 2n 位 的 部分积 



第一种乘法 的 启示 

° 每个周期 1 个时钟 => 每次乘法大约 100(323) 个时钟 

• 乘法与 加 法 的 出现频率比 5:1 ~ 100:1 

° 64 位被乘数中 1/2 的 位数总是为 0 

=> 使用 64 位 加 法器 , 太浪费 !!! 

° 在被乘数左移 的 过程中 , 在左边插入 0 

=> 一旦产生了乘积 的 最小位 , 它就永远不变 !!! 

° 用乘积右移替代被乘数左移 ? 



如何进一步改进 ? 

0 0 0 0 

A 3 

A 0 

A 2 

A 1 

A 0 

B 0 

A 3 

A 0 

A 2 

A 1 

B 1 

B 2 

A 3 

A 0 

A 2 

A 1 

A 3 

A 2 

A 1 

B 3 

P 7 

P 6 

P 5 

P 4 

P 3 

P 2 

P 1 

P 0 

° 被乘数固定不动 , 乘积右移 



第二种乘法硬件 

°32 位被乘数寄存器、32 位 ALU、64 位乘积寄存器、32 位乘数寄存器 

Multiplicand 

32 bits 

32-bit ALU 

Product 

64 bits 

Shift Right 

Write 

Multiplier 

Shift Shift Right Right 

32 bits 

Control 



第二种乘法算法 

Start 


1. Test 

Multiplier0 


1a. Add multiplicand to the left half of product & 

place the result in the left half of Product register 

Product Multiplier Multiplicand 

0000 0000 0011 0010 

1: 0010 0000 0011 0010 

2: 0001 0000 0011 0010 

3: 0001 0000 0001 0010 

1: 0011 0000 0001 0010 

2: 0001 1000 0001 0010 

3: 0001 1000 0000 0010 

1: 0001 1000 0000 0010 

2: 0000 1100 0000 0010 

3: 0000 1100 0000 0010 

1: 0000 1100 0000 0010 

2: 0000 0110 0000 0010 

3: 0000 0110 0000 0010 

0000 0110 0000 0010 


2. Shift the Product register right 1 bit. 


32nd 

repetition? 



Done 


第二种乘法算法 

仍然浪费很多资源 ! 


Start 

1. Test 

Multiplier0 




Product Multiplier Multiplicand 

0000 0000 0011 0010 

1: 0010 0000 0011 0010 

2: 0001 0000 0011 0010 

3: 0001 0000 0001 0010 

1: 0011 0000 0001 0010 

2: 0001 1000 0001 0010 

3: 0001 1000 0000 0010 

1: 0001 1000 0000 0010 

2: 0000 1100 0000 0010 

3: 0000 1100 0000 0010 

1: 0000 1100 0000 0010 

2: 0000 0110 0000 0010 

3: 0000 0110 0000 0010 

0000 0110 0000 0010 




32nd 

repetition? 



Done 


第二种乘法 的 启示 

° 乘积寄存器浪费 的 空间正好与乘数中无用 的 空间相 

同 

=> 联合使用乘数寄存器和乘积寄存器 



第三种乘法硬件 

°32 位被乘数寄存器、32 位 ALU、64 位乘积寄存器 ( 没有乘数寄存器 ) 

Multiplicand 

32 bits 

32-bit ALU 

Product (Multiplier) 

64 bits 

Shift Right 

Write 

Control 



第三种乘法算法 

Start 

Multiplicand Product 

0010 0000 0011 

Product0 = 1 

1. Test 

Product0 

Product0 = 0 



°Product 

0000 0011 

Multiplicand 

0010 

°0001 0001 0010 


°0001 1000 0010 

°0000 1100 0010 

°0000 0110 0010 

32nd 

repetition? 




Done 


第三种乘法 的 启示 

° 由于乘数和乘积结合在一起 , 每位需要 2 步 

°MIPS 中寄存器 Hi 和 Lo 是乘积 的 左半部和右半部 

° 提供了 MIPS 指令 MultU 

° 如何进一步改进该算法 的 速度 ? 

° 有符号数乘法如何 ? 

• 简单地策略是假设两个源操作数都位正数 , 在运算结束时在对 

乘积进行修正 ( 不算符号位 , 运算 31 步 ) 

• 使用补码 

- 需要对部分乘积进行符号扩展 , 在最后再进行减法 

• Booth 算法是一种利用上述硬件进行有符号数乘法 的 优秀算法 

- 可同时处理多位 



Booth 算法 的 动机 

° 示例 : 2 x 6 = 0010 x 0110: 

0010 

x 0110 

0000 移位 ( 乘数运算位为 0) 

+ 0010 加 法 ( 乘数运算位为 1) 

+ 0100 加 法 ( 乘数运算位为 1) 

+ 0000 移位 ( 乘数运算位为 0) 

00001100 

° 具有 加 法或减法 的 ALU 可以采用多种方式计算相同 的 结果 : 

6= -2 + 8 或者 0110 = -0010+ 1000 

° 乘数中 的 1 串可以用看到第一个 1 时 , 进行一次减法 , 在处理完最后一个 1 后 , 再 加 ! 

0010 

x 0110 

0000 移位 ( 乘数运算位为 0) 

- 0010 sub ( 乘数中 的 第一个 1) 

+ 0000 shift (1 串 的 中部 ) 

+ 0010 add ( 最后 1 的 前步 ) 

00001100 



Booth 算法探奥 

运行尾部 

(end of run) 

将乘数中间 的 1 串用 

运行中部 (middle of run) 

0 1 1 1 1 0 

当前位右边位解释示例 

1 0 1 串运行 的 首部 0001111000 

1 1 1 串运行 的 中部 0001111000 

0 1 1 串运行 的 尾部 0001111000 

0 0 0 串运行 的 中部 0001111000 

早期 , 由于移位比 加 法速度 更 快 , 采用该算法主要为了速度 

运行首部 

(beginning of run) 

在第一次看见 1 时 的 一次初始减法和在最后一个 1 后 的 一次 加 法代替。 



Booth 算法 

1. 依赖于当前和以前 的 位 , 进行下述步骤之一 : 

00: a. 0 串 的 中部 , 不进行任何运算操作 . 

01: b. 1 串 的 结束 , 将被乘数 加 到乘积 的 左半部 . 

10: c. 1 串 的 首部 , 从乘积 的 左半部减去被乘数 . 

11: d. 1 串 的 中部 , 不进行任何运算操作 . 

2. 象第三种乘法算法一样 , 将乘积算术右移 1 位 . 

被乘数乘积 (2 x 3) 

0010 0000 0011 0 

被乘数乘积 (2 x -3) 

0010 0000 1101 0 




a i a i-1 Operation 

0 0 Do Nothing 

0 1 Add b 

1 0 Subtract b 

1 1 Do Nothing 

对于 a i-1 - a i: 

0: do nothing 

+1: add b 

- 1: subtract b 



( a 

 

 


1 

( a 

( a 

... 

0 

1 

 

a 

 

 

0 

a 

a 

) b 

 

1 

2 

2 

0 

) b 

2 

) b 

2 

1 

2 

 

( a 

30 

 

a 

31 

) b 

 

2 

31 

 

a 

i 

i1 

i 

i 

i 

i 

2 

ai 

2 

( ai 

2ai 

) 2 

( 2ai 

ai 

) 2 

ai 

2 

a 1 

0 

 

b(( a 

31 

2 

31 

) 

( a 

30 

 

2 

30 

) 

... 

( a 

1 

 

2 

1 

) 

( a 

0 

 

2 

0 

) 

 

ba 



Booths 示例 (2 x 7) 

Operation Multiplicand Product next? 

0. initial value 0010 0000 0111 0 10 sub 

1a. P = P - m 1110 +1110 1110 0111 0 shift P (sign ext) 

1b. 0010 1111 0011 1 11 nop, shift 

2. 0010 1111 1001 1 11 nop, shift 

3. 0010 1111 1100 1 01 add 

4a. 0010 +0010 0001 1100 1 shift 

4b. 0010 0000 1110 0 done 



Booths 示例 (2 x -3) 

Operation Multiplicand Product next? 

0. initial value 0010 0000 1101 0 10 sub 

1a. P = P - m 1110 +1110 1110 1101 0 shift P (sign ext) 

1b. 0010 1111 0110 1 01 add 

+ 0010 

2a. 0001 0110 1 shift P 

2b. 0010 0000 1011 0 10 sub 

+1110 

3a. 0010 1110 1011 0 shift 

3b. 0010 1111 0101 1 11 nop 

4a 1111 0101 1 shift 

4b. 0010 1111 1010 1 done 



MIPS 的 逻辑指令 

指令示例含义注释 

and and $1,$2,$3 $1 = $2 & $3 3 reg. operands; Logical AND 

or or $1,$2,$3 $1 = $2 | $3 3 reg. operands; Logical OR 

xor xor $1,$2,$3 $1 = $2 $3 3 reg. operands; Logical XOR 

nor nor $1,$2,$3 $1 = ~($2 |$3) 3 reg. operands; Logical NOR 

and immediate andi $1,$2,10 $1 = $2 & 10 Logical AND reg, constant 

or immediate ori $1,$2,10 $1 = $2 | 10 Logical OR reg, constant 

xor immediate xori $1, $2,10 $1 = ~$2 &~10 Logical XOR reg, constant 

shift left logical sll $1,$2,10 $1 = $2 > 10 Shift right by constant 

shift right arithm. sra $1,$2,10 $1 = $2 >> 10 Shift right (sign extend) 

shift left logical sllv $1,$2,$3 $1 = $2 > $3 Shift right by variable 

shift right arithm. srav $1,$2, $3 $1 = $2 >> $3 Shift right arith. by variable 



比较并转移 

° 比较并转移 

• BEQ rs, rt, offset if R[rs] == R[rt] then PC-relative branch 

• BNE rs, rt, offset 

° 与零比较并转移 

• BLEZ rs, offset if R[rs] 

• BLT < 

• BGEZ >= 

• BLTZAL rs, offset If R[rs] < 0 then branch and link (into R 31) 

• BGEZAL >= 

° 几乎所有 的 比较都是与进行比较 ! 



MIPS 对 ALU 的 需求 

° Add, AddU, Sub, SubU, AddI, AddIU 

=> 带溢出检测和反向器 的 补码 加 法器 

° SLTI, SLTIU (set less than) 

=> 带反向器 的 补码 加 法器 , 检测结果 的 符号 

° BEQ, BNE (branch on equal or not equal) 

=> 带反向器 的 补码 加 法器 , 检测结果是否为零 

° And, Or, AndI, OrI 

=> 逻辑或、逻辑与 

° 上一讲介绍 的 ALU 支持这些操作 



MIPS 对 ALU 的 其他需求 

°Xor, Nor, XorI 

=> 逻辑异或、逻辑或非或者两步策略 : 

° (A OR B) XOR 1111....1111 

°Sll, Srl, Sra 

=> 需要进行 0~31 位 的 左移、右移、算术右移运算 

°Mult, MultU, Div, DivU 

=> 需要有符号、无符号 的 32 位乘法和除法 



对 ALU 增 加 异或功能 

° 扩展多路选择器 

CarryIn 

A 

B 

1-bit 

全 加 器 

多路选择器 

结果 

CarryOut 



三种移位器 

逻辑 (logical) 移入 的 数值总是 "0" 

"0" msb lsb "0" 

算术 (arithmetic) 在右移时 , 进行符号扩展 

msb lsb "0" 

循环 (rotating) 移出 的 位又从另一端移入 ( 在 MIPS 中不支持 ) 

msb 

left 

lsb 

right 

msb 

lsb 

注 : 需要一位移动。特定指令可能要求进行 032 位移动 ! 



使用多路选择器 的 组合移位器 

基本单元 

A B 

sel 1 0 

8 位右移器 

D 

A 6 

A 5 

A 4 

A 3 

A 2 

A 1 

A 0 

S 2 S 1 S 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 

R 7 

A 7 

R 0 

R 6 

R 5 

R 4 

R 3 

R 2 

R 1 

°MSBs 的 输入如何 ? 

°32 位移位器需要多少级 ? 

° 如果使用 4-1 多路选择器 , 结果如何 ? 



SHR: 

Q3 

0 

Q2 

Q3 

Q1 

Q2 

Q0 

Q1 

多路选择器 / 移位器 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

SHR/ 

don't 

shift 

D3 

D2 

D1 

D0 

( 5 inputs) 

Q3 

0 

0 

0 

Q2 

Q3 

0 

0 

Q1 

Q2 

Q3 

0 

Q0 

Q1 

Q2 

Q3 

0 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

SHR 0, 1, 2, 3 bits: 

D3 

D2 

D1 

D0 

Q3 

0 

Q2 

Q3 

Q1 

Q2 

Q0 

Q1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

x 1 x 2 

8 x 2:1 Mux 

2 stages 

D3 

D2 

D1 

D0 

算术右移如何做 ? 

shift amount 

(0,1,2,3) 

4 x 4:1 Mux 

1 stage 



通用右移策略 (16 位 ) 

S 0 

(0,1) 

S 1 

(0, 2) 

S 2 

(0, 4) 

S 3 

(0, 8) 

如果增 加 自右至左 的 连接 , 就可以支持循环移位 



32 位移位器 

使用上述配置对 32 位数据进行 0~31 位移位将导致 : 

如果使用 2:1 多路选择器 , 那么需要 5 级多路选择器 (x1, x2, x4, 

x8, x16) 

32 位 x 5 级 = 160 个 2:1 多路选择器 ! 

如果使用 2 级 4:1 多路选择器和 1 级 2:1 多路选择器 , 那么需要 3 级多 

路选择器 

32 x 4:1 + 32 x 4:1 + 32 x 2:1 

如果使用 1 级 8:1 多路选择器和 1 级 4:1 多路选择器 , 那么需要 2 级多 

路选择器 

32 x 8:1 + 32 x 4:1 



多位移位 

复合策略 , 每次循环完成多位 的 多重控制循环 

31 位移位 : 

使用 0、1 位移位器 

使用 0、1、2、3 位移位器 

使用 0、1、2、3、4、5、6、7 位移位器 

使用 015 位移位器 

31 次迭代 

11 次迭代 

5 次迭代 

3 次迭代 

实际上 , 大多数移位都比较短 ( 通常 , 实现 0-3) 

非常复杂 : 目前 , 只能进行右移 



漏斗移位器 (Funnel Shifter) 

代替从 64 位中抽取 32 位 . 

Y 

X 

右移 

°A 右移 i 位 ( sa = shift right amount ) 

° 逻辑 : Y = 0, X=A, sa=i 

° 算术 : Y = sign(A), X=A 

° 循环 : Y=A, X=A 

° 左移 : Y=A, X=0, sa= 32 - i 

R 

32 32 

右移 

32 



桶式移位器 (Barrel Shifter) 

依赖于技术工艺 的 解决方案 : 每个开关一个晶体管 

SR3 

SR2 

SR1 

SR0 

D3 

A6 

D2 

A5 

D1 

A4 

D0 

A3 A2 A1 A0 



总结 

° 指令系统驱动 ALU 设计 

° 移位器 : 从每次 1 位到桶式移位器逐步完善 

° 乘法 : 逐步完善 

• 32 位 加 法器、64 位移位寄存器、32 被乘数寄存器 

• 可处理有符号数 的 Booth 算法 

° 可以设计出每次运算多位 的 乘法算法 

° 移位器 : 每次 1 位 的 寄存器、桶式移位器

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