skjæringssetningen kontinuerlig

MA1102 Analyse II 2012-05-30
Løsning
Oppgave 4
a.
lim x =
θ→±3π/2
lim
θ→±3π/2
lim y =
θ→±3π/2
cosθ
cos 1 3 θ = 0 0 =
lim
θ→±3π/2
lim
θ→±3π/2
sinθ
cos 1 3 θ = ∓∞
−sinθ
− 1 3 sin 1 3 θ = −3
(Pass på ensidige grenser i nummer 2: Fra venstre i 3π/2, og fra høyre i −3π/2.)
Den håndtegnede figuren til høyre er ikke helt symmetrisk om x-aksen, slik
den burde vært.
b.
A = 1 2
∫ π
−π
dθ
cos 2 (θ/3) = [ 3
2 tan θ 3
] π
−π = 3 3
Oppgave 5
(3 2 )! = 362880, så det er plausibelt at det er nok å ta med leddene n = 0, 1, 2 i begge summene.
For den første summen er dette korrekt, på grunn av alternerende rekketest med tilhørende feilestimat.
En god nok tilnærming til den første summen er dermed
1 − 1 + 1 4! = 1
24 ≈ 0.041667
For den andre summen er det også korrekt, men der må vi jobbe litt hardere: Merk for eksempel at
forholdet mellom ledd nummer n + 1 og ledd nummer n er
(n 2 )!
((n + 1) 2 )! = 1
(n 2 + 1)(n 2 + 2)···(n + 1) 2 < 1
(n + 1) 2 ≤ 1
16
for n ≥ 3, så vi kan sammenligne med geometrisk rekke:
∑ 1
n=3 (n 2 )! < ∑ 1
n=3 (3 2 )! · 16 n = 16
9! · 15 < 10−4
med (svært!) god margin. En god nok tilnærming til den andre summen er dermed
1 + 1 + 1 4! = 2 1
24 ≈ 2.041667
2 versjon 0.3