Binomialrekken

Binomialrekken
Binomialrekken er Taylorrekken rundt x = 0 til funksjonen
f (x) = (1 + x) m ,
der m er en konstant

Binomialrekken
Binomialrekken er Taylorrekken rundt x = 0 til funksjonen
f (x) = (1 + x) m ,
der m er en konstant
Viser seg å bli (se bok):
Binomialrekken
(1 + x) m =
( )
∞∑ m
x n , |x| < 1
n
der ( )
m m!
=
, dersom m ≥ 0.
n n!(m − n)!
Generelt:
n=0

Binomialrekken
Binomialrekken er Taylorrekken rundt x = 0 til funksjonen
f (x) = (1 + x) m ,
der m er en konstant
Viser seg å bli (se bok):
Binomialrekken
(1 + x) m =
( )
∞∑ m
x n , |x| < 1
n
der ( )
m m!
=
, dersom m ≥ 0.
n n!(m − n)!
Generelt:
( )
m
= 1,
0
( )
m
= m,
1
n=0
( )
m
=
n
m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)
n!

Binomialrekken – Eksempel
( )
1
∞∑
1 + x = (1 − −1
x)−1 = x n , |x| < 1
n
n=0
( ) ( ) ( )
−1 −1 −1
= + x + x 2 + · · ·
0 1 2

Binomialrekken – Eksempel
Har
( )
1
∞∑
1 + x = (1 − −1
x)−1 = x n , |x| < 1
n
n=0
( ) ( ) ( )
−1 −1 −1
= + x + x 2 + · · ·
0 1 2
( )
−1
=
n
( )
−1
= 1,
0
( )
−1
= −1
1
(−1)(−1 − 1)(−1 − 2) · · · (−1 − n + 1)
n!
= (−1) n n!
n! = (−1)n

Binomialrekken – Eksempel
Har
Dermed
( )
1
∞∑
1 + x = (1 − −1
x)−1 = x n , |x| < 1
n
n=0
( ) ( ) ( )
−1 −1 −1
= + x + x 2 + · · ·
0 1 2
( )
−1
=
n
( )
−1
= 1,
0
( )
−1
= −1
1
(−1)(−1 − 1)(−1 − 2) · · · (−1 − n + 1)
n!
= (−1) n n!
n! = (−1)n
∞
1
1 + x = ∑
(−1) n x n .
n=0

Mye brukte rekker
1
1 − x = ∑
x n ,
n=0
|x| < 1
∞∑
e x x n
=
n=0 n! , |x| < ∞
∞∑ (−1) n
sin x =
n=0 (2n + 1)! x2n+1 , |x| < ∞
∞∑ (−1) n
cos x =
n=0 (2n)! x2n , |x| < ∞
∞∑ (−1) n−1
ln(1 + x) =
x n ,
n=1 n
1 < x ≤ 1
∞∑
( )
(1 + x) m m
= x n ,
n=0 n
|x| < 1
∞∑
tan −1 (−1) n
x =
n=0 2n + 1 x2n+1 , |x| ≤ 1