Vår 2013

Norges teknisk–naturvitenskapelige
universitet
Institutt for matematiske fag
TMA4123/TMA4125
Matematikk 4M/4N
Vår 2013
Øving 9
Øvingen inneholder oppgaver merket som frivillige. Disse blir hverken rettet eller veiledet.
1 Vi ønsker å løse ligningen f(x) = e x + x 2 − x − 4 = 0 ved hjelp av fikspunktiterasjon.
Ligningen kan skrives om til formen g(x) = x ved å f.eks. la
(i) g(x) = ln(4 + x − x 2 )
(ii) g(x) = √ −e x + x + 4
(iii) g(x) = e x + x 2 − 4
For hver av disse kan vi lage fikspunktiterasjonsskjemaet
x n+1 = g(x n ), n = 0, 1, 2, . . . .
Utfør 5 iterasjoner for hånd og/eller 20 iterasjoner i MATLAB. Bruk x 0 = 1.5 som
startverdi. Eksempelkode:
g = @(x) log(4+x-x.^2);
Nmax = 20;
x=1.5
for n=1:Nmax
x=g(x)
end
Hvilke skjemaer konvergerer og hvilke konvergerer ikke? Bruk Teorem 1, Kap. 19.2
for å bekrefte de numeriske resultatene.
2 Funksjonen f(x) = x 3 − 5x 2 + 1.01x + 1.88 har nullpunkt i nærheten av 1, −1 og 5.
Bruk Newtons metode for på ligningen f(x) = 0 ved å starte med x 0 = 5, 4, 1, −3.
Diskuter resulatet.
3 Den m-te roten av et tall R er en løsning av ligningen
Vi antar at m ≥ 0 og R > 0.
x m − R = 0.
26. april 2013 Side 1 av 3

Øving 9
a) Vis at m√ R er et fikspunkt til
g(x) = 1 − R x m +
R
x m−1 .
b) Finn √ 7/2 både ved å bruke fikspunktiterasjon og ved å bruke Newtons metode,
begge med startverdi x 0 = 2. Stopp iterasjonene når feilen er mindre enn 10 −4 .
Sammenlign resultatene.
4 Dersom sekantmetoden brukes på funksjonen f(x) = x 2 − 2 med x 0 = 0 og x 1 = 1,
hva er x 2 ?
5 Gjennomfør én iterasjon med Newtons metode på følgende systemer.
a)
b)
ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (0, 1)
ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (1, 1).
4x 2 − y 2 = 0
4xy 2 − x = 1
5xy 2 + x 2 y + x 4 = 3
x 3 y 5 − 2x 5 y − x 2 = −2
c) Frivillig: Implementer Newtons metode for systemer av to ligninger, og bruk
implementasjonen til å verifisere svaret i (a) og (b). Tips: Se notatet “Newton’s
method for systems of non-linear equations”.
Frivillig Eksamen TMA4130, høsten 2011, Oppgave 5: Ligningssystemet
x cos x + sin y cos y = 0
2x sin x + y cos y − 3 = 0
har en løsning nær punktet (x, y) = (π/2, 0). Utfør én iterasjon med Newtons metode
for systemer anvendt på systemet ovenfor, med x = π/2 og y = 0 som startverdier.
Frivillig Et alternativ til Newtons metode for å finne nullpunkt f(x) = 0 er halveringsmetoden
(bisection method).
Anta f(x) er en kontinuerlig funksjon på et intervall [a, b], og at f(a)f(b) < 0 (dvs.
fortegnet i x = a og x = b er ulikt. Mellomverditeoremet gir da at f har et nullpunkt
s mellom a og b. Vi kan tilnærme nullpunktet s ved å iterativt halvere intervallet der
s ligger:
• Sett a 0 = a og b 0 = b
26. april 2013 Side 2 av 3

Øving 9
• For n = 0, 1, 2, . . . , sett x n = (a n + b n )/2.
• Hvis f(a n )f(x n ) < 0, sett a n+1 = a n , b n+1 = x n . Hvis f(x n )f(b n ) < 0, sett
a n+1 = x n , b n+1 = b n . 1
a) Tilnærm løsningen av x = cos x ved å bruke tre iterasjoner av henholdsvis
Newton og halverings-metoden. Sammenlign resultatene.
b) Implementer halveringsmetoden i MATLAB for å tilnærme nullpunktene til de
to funksjonene e −x = ln x og e x + x 4 + x = 2. Sett en feiltoleranse (dvs. en
maksimumsverdi for (b − a) og et maksimalt antall iterasjoner. NB: Den siste
funksjonen har to nullpunkt. Ved å velge a og b kan du styre hvilket som blir
estimert.
1 Dersom f(x n), f(a n), eller f(b n) er 0 har vi allerede funnet et nullpunkt.
26. april 2013 Side 3 av 3