Vår 2013

Øving 9
a) Vis at m√ R er et fikspunkt til
g(x) = 1 − R x m +
R
x m−1 .
b) Finn √ 7/2 både ved å bruke fikspunktiterasjon og ved å bruke Newtons metode,
begge med startverdi x 0 = 2. Stopp iterasjonene når feilen er mindre enn 10 −4 .
Sammenlign resultatene.
4 Dersom sekantmetoden brukes på funksjonen f(x) = x 2 − 2 med x 0 = 0 og x 1 = 1,
hva er x 2 ?
5 Gjennomfør én iterasjon med Newtons metode på følgende systemer.
a)
b)
ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (0, 1)
ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (1, 1).
4x 2 − y 2 = 0
4xy 2 − x = 1
5xy 2 + x 2 y + x 4 = 3
x 3 y 5 − 2x 5 y − x 2 = −2
c) Frivillig: Implementer Newtons metode for systemer av to ligninger, og bruk
implementasjonen til å verifisere svaret i (a) og (b). Tips: Se notatet “Newton’s
method for systems of non-linear equations”.
Frivillig Eksamen TMA4130, høsten 2011, Oppgave 5: Ligningssystemet
x cos x + sin y cos y = 0
2x sin x + y cos y − 3 = 0
har en løsning nær punktet (x, y) = (π/2, 0). Utfør én iterasjon med Newtons metode
for systemer anvendt på systemet ovenfor, med x = π/2 og y = 0 som startverdier.
Frivillig Et alternativ til Newtons metode for å finne nullpunkt f(x) = 0 er halveringsmetoden
(bisection method).
Anta f(x) er en kontinuerlig funksjon på et intervall [a, b], og at f(a)f(b) < 0 (dvs.
fortegnet i x = a og x = b er ulikt. Mellomverditeoremet gir da at f har et nullpunkt
s mellom a og b. Vi kan tilnærme nullpunktet s ved å iterativt halvere intervallet der
s ligger:
• Sett a 0 = a og b 0 = b
26. april 2013 Side 2 av 3