Vår 2013

More documents

Recommendations

Info

Øving 9 a) Vis at m√ R er et fikspunkt til g(x) = 1 − R x m + R x m−1 . b) Finn √ 7/2 både ved å bruke fikspunktiterasjon og ved å bruke Newtons metode, begge med startverdi x 0 = 2. Stopp iterasjonene når feilen er mindre enn 10 −4 . Sammenlign resultatene. 4 Dersom sekantmetoden brukes på funksjonen f(x) = x 2 − 2 med x 0 = 0 og x 1 = 1, hva er x 2 ? 5 Gjennomfør én iterasjon med Newtons metode på følgende systemer. a) b) ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (0, 1) ved å starte med (x 0 , y 0 ) = (1, 1). 4x 2 − y 2 = 0 4xy 2 − x = 1 5xy 2 + x 2 y + x 4 = 3 x 3 y 5 − 2x 5 y − x 2 = −2 c) Frivillig: Implementer Newtons metode for systemer av to ligninger, og bruk implementasjonen til å verifisere svaret i (a) og (b). Tips: Se notatet “Newton’s method for systems of non-linear equations”. Frivillig Eksamen TMA4130, høsten 2011, Oppgave 5: Ligningssystemet x cos x + sin y cos y = 0 2x sin x + y cos y − 3 = 0 har en løsning nær punktet (x, y) = (π/2, 0). Utfør én iterasjon med Newtons metode for systemer anvendt på systemet ovenfor, med x = π/2 og y = 0 som startverdier. Frivillig Et alternativ til Newtons metode for å finne nullpunkt f(x) = 0 er halveringsmetoden (bisection method). Anta f(x) er en kontinuerlig funksjon på et intervall [a, b], og at f(a)f(b) < 0 (dvs. fortegnet i x = a og x = b er ulikt. Mellomverditeoremet gir da at f har et nullpunkt s mellom a og b. Vi kan tilnærme nullpunktet s ved å iterativt halvere intervallet der s ligger: • Sett a 0 = a og b 0 = b 26. april <strong>2013</strong> Side 2 av 3
Øving 9 • For n = 0, 1, 2, . . . , sett x n = (a n + b n )/2. • Hvis f(a n )f(x n ) < 0, sett a n+1 = a n , b n+1 = x n . Hvis f(x n )f(b n ) < 0, sett a n+1 = x n , b n+1 = b n . 1 a) Tilnærm løsningen av x = cos x ved å bruke tre iterasjoner av henholdsvis Newton og halverings-metoden. Sammenlign resultatene. b) Implementer halveringsmetoden i MATLAB for å tilnærme nullpunktene til de to funksjonene e −x = ln x og e x + x 4 + x = 2. Sett en feiltoleranse (dvs. en maksimumsverdi for (b − a) og et maksimalt antall iterasjoner. NB: Den siste funksjonen har to nullpunkt. Ved å velge a og b kan du styre hvilket som blir estimert. 1 Dersom f(x n), f(a n), eller f(b n) er 0 har vi allerede funnet et nullpunkt. 26. april <strong>2013</strong> Side 3 av 3
Page 1: Norges teknisk-naturvitenskapelige

Vår 2013

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?