Den deriverte til en funksjon

Den deriverte til en funksjon
Definisjon
Anta at en funksjon f er deriverbar i alle x ∈ D. Da kalles
funksjonen f ′ (x) den deriverte av f .
En funksjon er deriverbar på et åpent intervall dersom funksjonen
er deriverbar i alle punkter i intervallet.
En funksjon f er deriverbar på et lukket intervall [a, b] dersom f er
deriverbar i alle punkter i (a, b) og grensene
eksisterer.
f (a + h) − f (a)
lim
h→0 + h
og
f (b + h) − f (b)
lim
h→0 − h

Alternativ notasjon for den deriverte
f ′ (x) = d dx f (x) = D(f )(x) = D x(f )(x)
Høyere ordens deriverte
f ′′ (x) = f (2) (x) = d 2
dx 2 f (x) = D2 (f )(x) = D 2 x 2 (f )(x)

Daxboux’s Theorem
Theorem 2, side 131
Anta at f er deriverbar på intervallet I og at a og b tilhører I . Hvis
y er en verdi i intervallet mellom f ′ (a) og f ′ (b), da finnes c ∈ I
slik at f ′ (c) = y.

Derivasjonsregeler
◮ La k være en konstant. Da er funksjonen f (x) = k deriverbar
og f ′ (x) = dk
dx = 0.
◮ For alle tall n er funksjonen g(x) = x n deriverbar og
g ′ (x) = d(xn )
dx
= nx n−1 for alle x hvor x n og x n−1 er definert.
◮ Dersom u er en deriverbar funksjon og c er en konstant, er cu
deriverbar og d(cu)
dx
= c du
dx .
◮ Dersom u og v er deriverbare funksjoner er u + v deriverbar
og d(u+v)
dx
= du
dx + dv
dx .
◮ d(ex )
dx
= e x .
◮ Dersom u og v er deriverbare funksjoner er uv deriverbar og
d(uv)
dx
= u dv
dx + v du
dx .
◮ Dersom u og v er deriverbare funksjoner er u/v deriverbar i
alle punkter x der v(x) ≠ 0,og i et slik punkt er
d(u/v)
dx
= v du dv
−u dx dx
.
v 2
Står på side 128–129 i Rottmann.

Den deriverte som endringsrate
Definisjon
Den momentane vekstraten til f i et punkt er lik
f (x) − f (x 0 ) f (x 0 + h) − f (x 0 )
lim
= lim
= f ′ (x 0 )
x→x 0 x − x 0 h→0 h
dersom f er deriverbar i x 0 .

Litt fysikk
◮ Hastighet (Velocity) er endring av posisjon per tid.
◮ Fart (speed) er tallverdien til hastigheten.
◮ Akselerasjon (acceleration) er endring av hastighet per tid.
Eksempel (oppgave 7, avsnitt 3.3)
Til tiden t er en partikkels posisjon på s-aksen s = t 3 − 6t 2 + 9t
meter.
1. Hva er akselerasjonen til partikkelen når dens hastighet er 0?
2. Hva er farten til partikkelen når dens akselerasjon er 0?
3. Hvor langt har partikkelen beveget seg fra tiden t = 0 til
t = 2?

Derivasjon av trigonometriske funksjoner
◮ d dx
(sin x) = cos x Rottmann side 86 og 130
◮ d dx
(cos x) = − sin x Rottmann side 86 og 129
◮ d dx (tan x) = sec2 x = 1 Rottmann side 86 og 130
cos 2 x
◮ d dx (cot x) = − csc2 x = −1 Rottmann side 86 og 130
◮
◮
d dx
d
dx
sin 2 x
sin x
(sec x) = sec x tan x =
cos 2 x
− cos x
(csc x) = − csc x cot x =
sin 2 x

Kjerneregelen
Theorem 3, side 166
Anta at f er deriverbar i a og g er deriverbar i f (a). Da er den
sammensatte funksjonen g ◦ f deriverbar i a og
(g ◦ f ) ′ (a) = g ′ (f (a))f ′ (a).

Kjerneregelen versjon 2
Theorem 3, side 166
Anta at y er deriverbar mht. u og at u er deriverbar mht. x. Da er
y deriverbar mht. x og
dy
dx = dy du
du dx .
Eksempel
En kuleformet ballong fylles med luft. Da radien til ballongen er 10
cm økes radien med 1 cm per sekund. Hvor fort økes volumet av
ballongen på dette tidspunktet?

Parametriserte kurver
Definisjon
Hvis f og g er to funksjoner og D(f ) = D(g) = D er et intervall,
da kalles mengden
{(f (t), g(t)) | t ∈ D}
av punkter en parametrisert kurve.