LØSNINGSFORSLAG FOR EKSAMEN I TMA4105 MATEMATIKK 2

TMA4105 Matematikk 2 20080804 Side 4 av 4
Oppgave 7 Funksjonen er partiell deriverbar for alle x og y. De kritiske punktene er derfor
alle punkter (x, y) der både f x (x, y) = 0 og f y (x, y) = 0. Med andre ord: alle punkter (x, y)
som tilfredsstiller likningssystemet
Av (1): x = y/2 − y 2 .
Innsatt i (2):
(1) f x (x, y) = y − 2y 2 − 2x = 0
(2) f y (x, y) = x − 4xy − 4y 3 = 0
y
− 2 y2 − 2y 2 + 4y 3 − 4y 3 = 0 ⇔ y( 1 − 3y) = 0 ⇔ y = 0 eller y = 1.
2 6
For y = 0 blir x = y/2 − y 2 = 0. For y = 1 blir x = y/2 − y 2 = 1 − 1 = 2 = 1
6 12 36 36 18.
Funksjonen har derfor to kritiske punkter: (0, 0) og ( 1 , 1).
18 6
Klassisering av punktene:
∆(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) − [f xy (x, y)] 2
= −2(−4x − 12y 2 ) − [1 − 4y] 2 = 8x + 24y 2 − (1 − 4y) 2
∆(0, 0) = 8 · 0 + 0 − (1 − 0) 2 = −1 < 0,
∆( 1 18 , 1 6 ) = 8
18 + 24
36 − (1 − 4 6 )2 = 4 9 + 4 9 − 1 9 > 0.
Punktet (0, 0) er derfor et sadelpunkt og siden f xx ( 1 , 1) < 0: punktet ( 1 , 1 ) er et lokalt
18 6 18 6
maksimum.