Espectrales

Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Una breve introducción a los Métodos
Espectrales
Ricardo Becerril Bárcenas
Instituto de Fisica y Matemáticas
Universidad Michoacana
Pachuca, Hidalgo, agosto 2009.
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
1 Introducción
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
2 El sistema de Fourier
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
3 Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
1 Introducción
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
2 El sistema de Fourier
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
3 Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
1 Introducción
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
2 El sistema de Fourier
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
3 Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Introducción
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Blinova en 1944 propuso los métodos espectrales (MS) como una
herramienta para simulaciones a gran escala en dinámica de fluidos.
Después su uso de abandonó hasta que Orszag y Eliason los hicieron
resurgir a principios de los 70’s.
Los MS probaron ser particularmente útiles en estudios numéricos de la
dinámica de fluidos. Se utilizaron códigos espectrales en estudios de
turbulencia, modelaje global del comportamiento climático y en la
dinámica de los oceanos.
Con el trabajo de Gottlieb y Orszag que los condujo a la publicación del
libro “Numerical Analysis of Spectral Methods: theory and applications”
se presentaban los primeros fundamentos matemáticos después de los
cuales el uso de los MS alcanzó otras areas en los 80’s y entron en la
“corriente principal” de la computación científica en los 90’s.
El libro de Canto et al “Spectral methods in fluid dynamics” (1988) fue
un baluarte de los MS y contribuyó a su expansión. En la primera década
del siglo XXI, han aparecido varios libros sobre MS que le han ido dando
madurez.
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Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Por qué usar los métodos espectrales?
Una de las razones más importantes es el mayor grado de precisión de sus
soluciones que las logradas con otros métodos.
Pero los muchos decimales de precisión de los ME se requieren realmente
en la practica? La respuesta es: a veces.
En algunos problemas de fusión, en los pronósticos del clima, en
problemas de aereodinámica, en inestabilidades hidrodinámicas y
transiciones a la turbulencia, por citar algunos ejemplos, sí, si se necesita
un grado de precisión elevado.
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Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Introducción
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Entonces los ME son útiles sólo cuando se necesita una gran precisión?
La respuesta es no, porque también los ME minimizan el uso de memoria,
debido a la economía del número de grados de libertad.
Dada una precisión numérica se requieren menos grados de libertad que
en el caso de diferencias finitas.
Específicamente, podemos decir que los MS el número de puntos de la
red se reduce por un factor de 5 por cada dimensión espacial. De modo
que en el caso 3-D el número de puntos de la red se reducirá por un
factor de 5 3 = 125. Si uno considera un problema dinámico donde el paso
de tiempo de integración se escala por lo menos como N, donde N es el
número de grados de libertad, la ventaja se torna obvia.
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Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
En los métodos espectrales se buscan soluciones aproximadas u(x) a un
sistema de ecuaciones diferenciales en terminos de series (truncadas) de
funciones ortogonales conocidas
u(x) =
N∑
a n φ n (x) (1)
n=0
así que las incógnitas aquí son los coeficientes de la expansión a n . La
forma en que éstos se encuentran da lugar a los diferentes métodos
espectrales que se encuentran en la literatura. Los más conocidos son: el
método de colocación, de Galerkin y de Tau.
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Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Ejemplo ilustrativo
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Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Ejemplo simple:
dy
+ 2y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1. (2)
dx
La solución exacta es y(x) = e −2x .
Construyamos una solución de la forma
y N (x) =
N∑
a n T n (x) (3)
n=0
Donde T n (x) son los polinomios de Chebyshev T n (x) = cos(ncos −1 (x)),
especificamente
T 0 (x) = 1 , T 1 (x) = x, T 2 (x) = 2x 2 − 1
T 3 (x) = 4x 3 − 3x , T 4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1, ... (4)
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
En el método de Colocación se seleccionan N + 1 puntos en el dominio
para generar N + 1 ecuaciones para los coeficientes a n .
Una elección adecuada de estos puntos para la base de funciones de
Chebyshev es
x j = cos( πj ) , j = 0, ..., N
N
Así que T n (x j ) = cos(nπj/N). {x j } se usan para colocar la función en
esos puntos,
y N (x j ) = y(x j ). (5)
Es decir, se requiere que la ecuación diferencial se satisfaga exactamente
en los puntos de colocación {x j }.
Como el dominio del problema es [0, 1] y el de los polinomios T n (x) es
[−1, 1] se utiliza el mapeo ˜x = 2x − 1. Con este mapeo el problema se
convierte en
dy
+ y = 0, −1 ≤ ˜x ≤ 1, y(−1) = 1
d˜x
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Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Sustituya y N en la ecuación a resolver, y evalúe en los puntos de
colocación. Elejimos N = 4
Figura: Puntos de colocación x j = cos(πj/N) con N = 4.
N∑
n=0
a n
d
d˜x T n( ˜x j ) +
N∑
a n T n ( ˜x j ) = 0, j = 0, 1, ..., N − 1. (6)
n=0
T n (˜x) y d
d˜x T n(˜x) son conocidas.
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
(6) junto con la condición y N (−1) = 1, esto es
y N (−1) =
N∑
a n T n (−1) = 1 (7)
n=0
constituyen un sistema de N + 1 ecuaciones para los N + 1 coeficientes
a n . Con N = 4 el sistema específicamente es
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 5 10 17 a 0 0
1 1,707 2,828 2,292 −1
a 1
⎜ 1 1 −1 −3 1
⎟ ⎜ a 2
⎟
⎝ 1 0,292 −2,828 3,707 −1 ⎠ ⎝ a 3
⎠ = 0
⎜ 0
⎟ (8)
⎝ 0 ⎠
1 −1 1 −1 1 a 4 1
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Cuya solución es: a 0 =0.466129, a 1 = -0.41612 , a 2 =0.1 , a 3 =
-0.016129, a 4 =0.001613
La solución está dada en todo el dominio [−1, 1] y no sólo en los puntos
de colocación y ésta es
y 4 (˜x) =
4∑
a n T n (˜x)
y la solución en el dominio original se encuentra mapeando a x la
solución (˜x = 2x − 1).
n=0
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Usando diferencias finitas, 2do orden
Mismo ejemplo dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 en [0, 1], con solución exacta
y(x) = e −2x , con diferencias finitas. Para comparar con el MS, usaremos
también una red de 5 puntos, así que ∆x =0.25
Figura: Puntos de colocación x j = j/4.
y 0 = 1 ,
( ) dy
dx
i
( ) dy
dx
i
= y i+1 − y i−1
2∆x
= 3y i − 4y i−1 + y i−2
2∆x
i = 1, 2, 3
i = 4
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Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
Del que se obtiene el siguiente sistema lineal
⎛
⎞ ⎛
1 0 0 0 0 a 0
−1 1 1 0 0
a 1
⎜ 0 −1 1 1 0
⎟ ⎜ a 2
⎝ 0 0 −1 1 1 ⎠ ⎝ a 3
0 0 1 −4 4 a 4
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
que al resolver da la solución en los puntos de la red y 0 =1.0 , y 1 =0.619,
y 2 =0.3809, y 3 =0.238, y 4 =0.1428
y 0
y 1
y 2
y 3
y 4
⎞
⎟
⎠
(9)
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Método Espectral Tau
Por qué usar métodos espectrales?
Ejemplo Ilustrativo
x e −2x Dif. Finitas ( % error) Colocación ( % error)
0.0 1.0 1.0 (0 %) 1.0 (0 %)
0.5 0.367879 0.380952 (3.5 %) 0.367742 (0.037 %)
1.0 0.135335 0.142857 (5.5 %) 0.135484 (0.11 %)
Cuadro: Comparación de la precisión con el mismo número de grados de
libertad usando DF y el método de colocación espectral en x = 0, 1/2, 1.
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Series de Fourier
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Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La serie de Fourier de una función general es
∞∑
∞∑
u(x) = a 0 + a n cos (nx) + b n sin (nx) (10)
donde los coeficientes se calculan con
n=1
n=1
a 0 = 1
2π
a n = 1 π
b n = 1 π
∫ π
−π
∫ π
−π
∫ π
−π
u(x)dx
u(x) cos (nx)dx
u(x) sin (nx)dx (11)
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
También puede tenerse la serie de Fourier en el interválo [0, 2π] y los
coeficientes se calculan con (11) cambiando los limites de integración de
0 a 2π. En la forma compleja, la serie de Fourier se escribe
u(x) =
∞∑
n=−∞
donde los coeficientes se calculan con
û n = 1
2π
∫ π
−π
û n e inx (12)
u(x)e −inx dx (13)
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Por supuesto que los coeficientes de las dos formas de la serie están
relacionados
⎧
⎨ a 0 , n = 0
û n = (a n − ib n )/2 , n > 0
⎩
(a −n + ib −n )/2 , n < 0
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Algunos casos de interés
1. Si la función u(x) es real, los coeficientes a n y b n son numeros reales,
consecuentemente û −n = û ∗ n.
2. Si u(x) es real y par (u(x) = u(−x)), b n = 0 para todo n y se tiene
una serie coseno
3. Si u(x) es real e impar (u(x) = −u(−x)), a n = 0 para todo n y se
tiene una serie seno
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Desde el punto de vista de los métodos espectrales, la pregunta relevante
es cúan bien la serie truncada de Fourier
P N u(x) =
∑
û n exp(inx) (14)
|n|≤N/2
aproxima a la función u(x). P N u(x) es una proyección al espacio de
dimensión finita
ˆB N+1 = span{exp(inx)||n| ≤ N/2}, dim(ˆB N ) = N + 1. (15)
Teorema
If ∑ |n|

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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
El hecho de que la serie truncada converja implica que el error es
dominado por la “cola” de la serie, es decir, se tiene que el error de
truncación es
||u − P N u|| 2 L 2 |0,2π| = 2π
∑
|û n | 2 (17)
|n|>N/2
De modo que el error cometido al reemplazar u(x) con la serie de Fourier
de N-ésimo orden depende solamente de qué tan rápido decaen los
coeficientes de la expansión de u(x).
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Teorema
Si u(x), sus primeras (m − 1) derivadas y sus extensiones periódicas son
continuas y si su m-ésima derivada u (m) (x) ∈ L 2 [0, 2π] entonces para
toda n ≠ 0 los coeficientes de Fourier û n de u(x) decaen como
|û n | ∝ ( )
1 m
n
Qué pasa si u(x) ∈ C ∞ [0, 2π]? En ese caso û n decae más rápido que
cualquier potencia negativa de n, esta propiedad se conoce como
convergencia espectral. Se sigue que entre más suave sea la función más
rápido converge la serie truncada.
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Ejemplos
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Considere la función antisimétrica f (x) = x
Figura: Función diente de sierra, antisimétrica y discontinua en ±π.
Los coeficientes del coseno se anulan a n = 0, y los coeficientes de la serie
seno son
b n = 1 π
∫ π
−π
xsin(nx)dx = (−1) n+1 2 n
(18)
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Sumas parciales de la serie de Fourier u N (x) para la función discontinua
diente de sierra para diferentes N’s. Por claridad se han “subido” las graficas.
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Los errores correspondientes u N (x) − u(x) para diferentes N’s.
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Ejemplos
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Considere la función rectificadora de media onda f (x) = sen(x) para
0 < t < π que se anula en π < t < 2π que se extiende a todo t
periódicamente.
Figura: Función media onda, extendida periódicamente.
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Esta función es continua en su dominio pero su primera derivada no lo es
en π, 2π, 3π, ....
Los coeficientes de la serie de Fourier de la función de media onda,
especificamente son
a 0 = 1/π , a 2n = −2/[π(4n 2 − 1)] y a 2n−1 = 0
El resto son b 1 = 1/2, b n = 0.
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Comparación de la función de media onda con u 4(t) = 0.318+ 0.5
sin(t)− 0.212 cos(2t)− 0.042 cos(4t) (linea negra), función exacta en rojo.
Las dos curvas son casi indistinguibles. Errores O(10 −2 ).
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La serie de la función de media onda converge más rápidamente que la
del diente de sierra porque es más suave. Esta última es de hecho no
continua y sus coeficientes decrecen como O(1/n) mientras que la
función de media onda en continua pero con su primera derivada
discontinua, así que sus coefcientes decaen como O(1/n 2 )
“Entre mas suave sea la función los coeficientes de Fourier decrecerán
más rápido”
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Método Espectral Tau
Ordenes de Covergencia
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Si los coeficientes de una serie son a n y si para n >> 1
a n ∼ O(1/n k )
entonces k es el índice de convergencia algebráica.
Para n >> 1 se tiene los siguientes ordenes de convergencia
⎧
log(|a n |)
⎨ ∞ , supergeometrico
= constante , geometrico
n ⎩
0 , subgeometrico
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: |a n| vs n para cuatro ordenes de convergencia. Convergencia algebraica
k = 2 (círculos), convergencia subgeométrica (lineas punteadas), convergencia
geométrica (linea continua), convergencia supergeométrica (cruces).
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Convergencia geométrica de la función u(x) =
3
5−4cos(x)
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Si no se conoce la solución exacta, el error de truncación puede estimarse
(si la serie tiene convergencia geométrica) con el siguiente criterio
|u − P N u| ∼ O(|a N |)
Claro que la prueba final de una solución numérica es repetir el cálculo
con diferentes N’s y hacer comparaciones. El criterio aquí mencionado
sólo tiene la intención de proveer de una forma rápida de estimar el error
en un cálculo simple: si |a N | no es pequeño comparado con la precisión
deseada, entonces se necesita un N mas grande, si sí lo es, y los |a n |
decrecen suavemente hacia |a N |, es muy probable que la simulación sea
correcta.
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Comportamiento de a n para u = 3/(5 − 4cos(x)), el último término de
la expansión |a 32|O ∼ 10 −9 − 10 −10 así que el error de truncación se espera de
ese orden.
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Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Error de truncación para N = 2 (negro), N = 4 (rojo), N = 8 (verde),
N = 16 (azul), para N = 32 (naranja) en efecto, el error de truncación es
∼ 10 −10 . Para N ≥ 8 se observa una convergencia muy rápida.
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Sobre la convergencia
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Uno espera que la solución numérica |u N − u(x)| → 0 a medida que
N → 0, pero u(x) = u exacta no se conoce generalmente, así que uno
verifica convergencia a través del residuo del sistema. En el caso del
ejemplo dy/dx = −2y, el residuo es
Res = dy N
dx + 2y N
y en la norma L 2 : |f | 2 =
√ ∫
D f 2 dx se verifica la convergencia cuando
|Res| 2 → 0
N → ∞
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Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Comportamiento del error en el residuo en función de N, que es el
último término en la truncación espectral: u N = P N
n=0
anTn(x). En el caso del
ejemplo con N = 10 ya se tiene una solución con una alta precisión
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La aplicabilidad de los ME se da mayormente en ecuaciones parabólicas y
eĺıpticas, pero se aplican también en hiperbólicas si no aparecen
discontinuidades.
La aplicación de ME en gravitación puede verse en
Spectral methods in general relativistic astrophysics S. Bonazzola, E.
Gourgoulhon, J. Marck aiXiv:gr-qc/9811089v1.
Los textos mas conocidos son
1.Spectral methods in single domains C. Canuto ...
2.Chebyshev and Fourier Spectral Methods J. Boyd
3. Spectral methods for Time-independent problems J. Hesthaven,...
La arena en que se trabajan los aspectos teóricos son los espacios de
Sobolev.
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Método de Galerkin
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Para una función bien comportada generalmente su desarrollo en
términos de una serie truncada de un conjunto ortogonal {Φ n } los
coeficientes de la expansión decrecen muy rápidamente.
Al sustituir la expansión u N (x, t) = ∑ N
n=0 a n(t)Φ n (x) en la ecuación, se
tiene que el Residuo R(x, t, a n ) no se anula
R = ∂u N(x, t)
∂t
− O(x, t)u N (x, t) ≠ 0 (19)
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Esta función residual puede expandirse, como cualquier función, en
términos de un conjunto ortogonal,
R(x, t, a 0 , ..., a N ) =
∞∑
r k (a 0 , ..., a N )Φ k (x) (20)
k=0
donde, debido a la ortogonalidad de la base de funciones Φ k (x), los
coeficientes r k se determinan por el producto interno
∫
r n = (R, Φ n ) = RΦ n (x)dx. (21)
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
En el método espectral Galerkin, se pide que el residuo sea pequeño, en
el sentido de que los primeros (N + 1) términos de la serie espectral (20)
se anulen.
Presumiblemente todos los r k para k > N serán muy pequeños para N
grandes. Así que, forzar que los primeros r k sean cero, minimiza a R(x).
En el ĺımite en el que N → ∞ R(x) → 0, y por lo tanto, la
aproximación, debe converger muy rápido a la solución exacta. Todo esto
entonces se traduce a:
“Para minimizar el residuo se pide que (R, Φ n ) = 0 para n = 0, 1, 2, ...N”.
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

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Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
En el método Galerkin, se pide que la base (o un arreglo de esta base)
cumplan de entrada las condiciones de frontera. Por ejemplo, con
condiciones de frontera periódicas, lo natural es elegir una base de
Fourier.
Un ejemplo muy simple: considere la siguiente ecuación hiperbólica y
lineal (ecuación de advección)
∂u
∂t = ∂u
∂x
en el interválo x ∈ [0, 2π], condiciones periódicas, y condición inicial
u(x, 0) = g(x).
(22)
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Una breve introducción a los Métodos Espectrales

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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Se busca una solución de la forma
u N (x, t) = ∑ n
a n (t)Φ n (x)
La condición de minimización del residuo
es en este caso
R(x, t, a n ) =
( ∂
∂t − ∂ )
∑ N
a k (t)e ikx . (23)
∂x
k=0
1
2π
∫ 2π
0
[ ( ∂
∂t − ∂ ) N
]
∑
a k (t)e ikx e −inx dx = 0. (24)
∂x
k=0
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Haciendo la derivada espacial, esta relación se convierte en
∫ [
1 2π ∑ N ( ) ]
dak
2π
dt − ika k e ikx e −inx dx = 0. (25)
0
k=0
Como la base es ortogonal, la integral en x es proporcional a una delta de
Kronecker, dando por resultado un conjunto de ecuaciones diferenciales
para los coeficientes a k , a saber
da k
dt − ika k = 0 (26)
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La condición inicial u(x, 0) = g(x) = ∑ N
n=0 a n(t = 0)Φ n (x) nos da las
condiciones iniciales a k (0) para este conjunto de ecuaciones al multiplicar
por Φ k e integrar la expansion
a k (0) =
∫ 2π
0
g(x)Φ k (x)dx (27)
El problema consiste en evaluar a k (0) y resolver las ecuaciones
diferenciales (26)
da k
dt − ika k = 0
para encontrar las a k (t) a todo tiempo.
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Usando como condición inicial g(x) = u(x, 0) = sin (π cos x), es posible
probar que los coeficientes tienen la forma
a k (t) = sin ( kπ 2 )J k(π)e ikt (28)
donde J k (t) son las funciones de Bessel de orden k, cuyas propiedades
asintóticas implican k m a k (t) → 0 cuando k → ∞ para todo natural m.
Esto nos dice que la serie truncada de Fourier converge mas rápido que
cualquier potencia finita de 1/N, que es la propiedad conocida como
convergencia espectral
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Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Errores máximos en terminos de N para la ecuación de advección en
t = 2π usando el método de Galerkin.
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Método Espectral Tau
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
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Método de Colocación
Figura: Decaimiento de |û n| al tiempo t = 2π.
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Expansión Discreta de Fourier EDF
Las series de Fourier continuas de una función arbitraria u(x) requieren
de la evaluación de los coeficientes
û n = 1
2π
∫ 2π
0
u(x)e −inx dx
que en general no se conocen en forma cerrada y deben aproximarse.
También es necesario recuperar en el espacio fisico la información que se
calcula en el espacio transformado o espectral y con las no-linealidades
eso se complica.
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Siendo más precisos, si se conoce los coeficientes a n y b n de las
expansiones
f (x) =
N∑
a n φ n (x) y g(x) =
n=0
cuales son los coeficientes del producto fg ?
(fg)(x) =
N∑
p n φ n (x)
n=0
N∑
b k φ k (x)
Teoremas de convolución no son tan eficientes, y son practicamente
imposibles con nolinealidades como
1 du
u 2 dx . (29)
Estas inconveniencias se pueden superar con las transformadas discretas
de Fourier.
k=0
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Dado N par, considere los puntos x j = 2πj
N
con j = 0, 1, ..., N − 1
La transformada de Fourier discreta de una función u(x) es
ũ n = 1 N−1
∑
u(x j )e −inx j
n = −N/2, ..., N/2 − 1 (30)
N
j=0
Se puede mostrar que la fórmula de inversión es
u(x j ) =
N/2−1
∑
n=−N/2
ũ n e inx j
j = 0, 1, ..., N − 1. (31)
En consecuencia se define en polinomio interpolante trigonométrico de
orden N/2 de u en los nodos x j como
I N u(x) =
N/2−1
∑
n=−N/2
ũ n e inx (32)
es decir I N (x j ) = u(x j ) con j = 0, ..., N − 1. (32) también se conoce como
serie de Fourier discreta de u.
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La transformada discreta de Fourier es el mapeo entre los N números
complejos {u(x j )}, j = 0, 1, ..., N − 1 y el conjunto {ũ k }
k = −N/2, ..., N/2 − 1. (30) se conoce como la transformada inversa de
Fourier.
La transformación discreta de Fourier (TDF) (30) y (31) requiere de
O(N 2 ) operaciones, pero se realiza eficientemente con el algoritmo de la
transformada de Fourier rápida 5Nlog 2 (N).
ũ n puede considerarse como una aproximación a û n .
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Método Espectral Tau
El fenómeno de aliasing
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Cómo se conectan las transformadas de Fourier continuas y discretas
basadas en N par?
Nótese que los modos discretos de Fourier se basan en {x j = 2πj/N} para
los cuales el (n + Nm)-ésimo modo es indistinguible del n-ésimo modo
e i(n+Nm)x j
= e inx j
e i2πmj = e inx j
Este fenómeno se conoce como aliasing .
Si la serie de Fourier de ∑ ∞
n=−∞ ûne inx converge a u(x) en cada nodo x j ,
entonces (33) implica
ũ k = û k +
∞∑
m=−∞,m≠0
û k+Nm k = −N/2, ..., N/2 − 1 (33)
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Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Figura: Fenómeno de aliasing. Tres ondas sinusoidales que tienen la misma
interpretación de k = −2 sobre una red con N = 8. Los puntos nodales están
representados por círculos negros. Las ondas con k = 6 (verde) y k = −10
(azul) se confunden con la de k = −2 (roja) sobre la red.
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Una formulación equivalente de
ũ k = û k +
es I N u = P N u + R N u con
R N u =
N/2−1
∑
k=−N/2
⎛
⎝
∞∑
m=−∞,m≠0
∞∑
m=−∞,m≠0
û k+Nm k = −N/2, ..., N/2 − 1
û k+Nm
⎞
⎠ e ikx k = −N/2, ..., N/2 − 1
llamado el error aliasing. Puede probarse que es ortogonal al error de
truncación así que
|u − I N u| 2 = |u − P N u| 2 + |R N u| 2
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Aliasing
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|u − I N u| 2 = |u − P N u| 2 + |R N u| 2
Aunque el error debido a interpolación es siempre mayor que el error
debido a la truncación de la serie de Fourier, se ha demostrado que el
error de truncación y de interpolación decaen al menos con la misma
razón.
Para el caso de la ecuación de advección
∂u
∂t = ∂u
∂x
Usando como condición inicial g(x) = u(x, 0) = sin (π cos x), los
coeficientes calculados anaĺıticamente son
a k (t) = sin ( kπ 2 )J k(π)e ikt (34)
Al calcular ã n con la TDF se tiene que la diferencia más grande entre
a n − ã n ∼ O(10 −9 ) aun para N moderadas.
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Los polinomios de Chebyshev (PCH) de orden k, que tienen dominio en
[−1, 1] se define como
T k (x) = cos(k cos −1 x) k = 0, 1, 2, ... (35)
Haciendo x = cos θ, se tiene que T k (x) = cos kθ, de modo que los
polinomios de Chebyshev son funciones coseno. De este hecho, es fácil
determinar los primeros PCH
T 0 = 1, T 1 = cos θ = x, T 2 = cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1 = 2x 2 − 1, ...
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Aliasing
Polinomios de Chebyshev
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La expresión T k = cos (kθ) para estos polinomios nos permite usar
relaciones trigonométricas para obtener relaciones de recurrencia para T k .
Por ejemplo cos (k + 1)θ + cos (k − 1)θ = 2 cos θ cos kθ conduce a
T k+1 (x) − 2xT k (x) + T k−1 (x) = 0, k ≥ 1, (36)
que se emplea para generar cualquier T k (x) a partir de T 0 (x) = 1 y
T 1 (x) = x.
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Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
La relación trigonometrica 2 sin θcoskθ = sin (k + 1)θ − sin(k − 1)θ tiene
su contraparte de Chebyshev
2T k (x) = 1
k + 1 T ′ k+1(x) − 1
k − 1 T ′ k−1(x) (37)
de la que se tiene una relación de recurrencia muy útil
2ka k = c k−1 a (1)
k−1 − a(1) k+1 , k ≥ 1 (38)
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
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Método de Colocación
donde
c k =
{ 2 if k = 0,
1 if k ≥ 1
(39)
y a (1)
k
son los coeficientes de la expansion de la derivada espacial de u(x)
N−1
∑
u ′ (x) = a (1)
k T k(x) (40)
k=0
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
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Método de Colocación
Nótese que como
u(x) =
N∑
a k T k (x) (41)
k=0
es un polinomio de grado N, entonces u ′ (x) es un polinomio de grado
N − 1 por eso en su expansion k corre de 0 to N − 1.
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Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
En general, los coeficientes de la expansión de la q-ésima derivada de u
pueden calcularse con
c k a (q)
k
= a (q)
k+2
+ 2(k + 1)a(q−1)
k+1
(42)
Aunque hay expresiones explicitas para calcular a n
(q)
eficiente para calcularlos es usando (42).
la forma más
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Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Los PCH son mutuamente ortogonales sobre (−1, 1) con respecto al peso
w = (1 − x 2 ) −1/2 y con el producto escalar (u, v) w = ∫ 1
−1 uvwdx:
(T k , T j ) w =
∫ 1
−1
T k (x)T j (x)w = (1 − x 2 ) −1/2 dx = π 2 c kδ k,j . (43)
donde δ k,j es la delta de Kronecker. Para la implementación de
condiciones de frontera, las siguientes relaciones son muy útiles
T n (±1) = (±1) n T ′ k(±1) = (±1) k+1 k 2 (44)
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Método de Colocación Espectral
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Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
En este método se asume que la solución aproximada u N satisface la
ecuación diferencial en cuestión en algunos puntos x 1 , x 2 , ..., x N , llamados
puntos de colocación del dominio respectivo.
Es decir, se sustituye la expansión
N−1
∑
u(x) = a k T k (x) (45)
k=0
en el sistema O(u N (x i )) = f (x i ), que junto con las condiciones de
frontera, forman un sistema lineal de ecuaciónes (N + 1) × (N + 1) para
los coeficientes a n .
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Aliasing
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Método de Colocación
Resolveremos la ecuación de Helmholtz −d 2 u/dx 2 + λu = f (x), donde
λ > 0 es una constante con valores de frontera (λ = 0 y se tiene Poisson)
La solución la queremos de la forma
u(−1) = F 1 u(1) = F 2 (46)
u(x) =
N∑
a n T n (x) (47)
n=0
Sean {x i } un conjunto finito de puntos interiores al dominio [−1, 1], a
estos puntos se les llama puntos de colocación, La red que se utiliza para
definir estos puntos es x i = cos (πi/N).
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Aliasing
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Método de Colocación
Al sustituir (47) en la ecuación diferencial d 2 u/dx 2 = f (x), y al evaluar
en los puntos de colocación x i = cos(iπ/N) se obtiene
N∑
n=0
a n
d 2
dx 2 T n(x i ) = f (x i ) (48)
que junto con las condiciones de frontera forman un sistema lineal de
ecuaciones (N + 1) × (N + 1) para los coeficientes a n .
Veamos mas de cerca. Digamos que N = 5, los puntos de colocación son
x 0 = 1, x 1 = cos(π/5) =0.809016, x 2 = cos(2π/5) =0.309,
x 3 = cos(3π/5) = -0.309, x 4 = cos(4π/5) = -0.809016,
x 1 = cos(π) = −1 Estos valores se usan en (48) para obtener el sistema
lineal AX = b donde la primera fila corresponde a i = 0, la segunda fila a
i = 1 y asi sucesivamente. La primera y última fila corresponden a las
condiciones de frontera. El sistema específicamente es
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Aliasing
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⎛
⎜
⎝
T 0 (1) T 1 (1) T 2 (1) T 3 (1) T 4 (1) T 5 (1)
T 0 (x 1 ) T 1 (x 1 ) T 2 (x 1 ) T 3 (x 1 ) T 4 (x 1 ) T 5 (x 1 )
T 0 (x 2 ) T 1 (x 2 ) T 2 (x 2 ) T 3 (x 2 ) T 4 (x 2 ) T 5 (x 2 )
T 0 (x 3 ) T 1 (x 3 ) T 2 (x 3 ) T 3 (x 3 ) T 4 (x 3 ) T 5 (x 3 )
T 0 (x 4 ) T 1 (x 4 ) T 2 (x 4 ) T 3 (x 4 ) T 4 (x 4 ) T 5 (x 4 )
T 0 (−1) T 1 (−1) T 2 (−1) T 3 (−1) T 4 (−1) T 5 (−1)
⎞ ⎡
⎟ ⎢
⎠ ⎣
ó bien, puesto que T n (1) = 1 y T n (−1) = (−1) n para toda n, se tiene
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
T 0 (x 1 ) T 1 (x 1 ) T 2 (x 1 ) T 3 (x 1 ) T 4 (x 1 ) T 5 (x 1 )
T 0 (x 2 ) T 1 (x 2 ) T 2 (x 2 ) T 3 (x 2 ) T 4 (x 2 ) T 5 (x 2 )
T 0 (x 3 ) T 1 (x 3 ) T 2 (x 3 ) T 3 (x 3 ) T 4 (x 3 ) T 5 (x 3 )
T 0 (x 4 ) T 1 (x 4 ) T 2 (x 4 ) T 3 (x 4 ) T 4 (x 4 ) T 5 (x 4 )
1 −1 1 −1 1 −1
⎞ ⎡
⎟ ⎢
⎠ ⎣
a 0
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
⎤
a 0
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
⎤
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎡
F 2
f (x 1 )
f (x 2 )
f (x 3 )
f (x 4 )
F 1
F 2
f (x
f (x
f (x
f (x
F 1
⎤
⎥
⎦
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Al invertir la matriz A se tendrán los coeficientes a n , y de ese modo la
solución (47) estará completa.
Cómo invertir la matriz? Nótese primero que la matriz es densa (de
hecho no tiene ningún cero) Se puede utilizar el método de
descomposición LU. Éste consiste en escribir la matriz A como A = LU
donde L es una matriz Lower triangular, es decir, tiene sólo ceros arriba
de la diagonal, y U es una matriz Upper triangular, es decir, tiene sólo
ceros abajo de la diagonal. De este modo el problema original AX = b se
escribe AX = (LU)X = L(UX ) = b, y dividimos el proceso de solución
en dos pasos. Primero se resuelve LY = b y despúes UX = Y (nótese
que es el mismo problema, pues la primera ecuación b = LY al usar la
segunda Y = UX da AX = b. La ventaja de tener dos pasos en el
proceso de solución es que en éstos, se lidia con conjuntos triangulares de
ecuaciones, que son sencillitos de resolver. La descomposición matricial la
hace la rutina ludcmp.c y la solución la da lubksb.c.
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Aliasing
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Buscamos una solución de la forma
u(x, y) =
N∑
n=0 m=0
N∑
a nm T n (x)T m (y) (49)
Para encontrar los coeficientes a nm , sustituimos la expansión en la
ecuación de Poisson ∇ 2 u(x, y) = f (x, y), y asumimos que en los puntos
de colocación se cumple la ecuación, así que al sustituir la expansión y
evaluarla en los puntos de colocación se tiene:
N∑
N∑
n=0 m=0
[ d 2 T n (x i )
a nm
dx 2 T m (y j ) + T n (x i ) d 2 ]
T m (y i )
dy 2 = f (x i , y j ) (50)
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Junto con las condiciones de frontera (que es el perímetro del cuadrado
de lado 2 centrado en el origen)
u(x = ±1, y = ±1) (51)
se tendrán (N + 1) 2 ecuaciones lineales para las (N + 1) 2 incógnitas a nm ,
asi que se tendrá que resolver una ecuación matricial del tipo A ⃗ X = ⃗ b,
donde el vector columna ⃗ X tiene como elementos ⃗ X = (a 00 , a 01 , ..., a NN ).
Parte importante de la elaboración del código, será visualizar como
arreglar en el vector X = (X 1 , X 2 , ..., X (N+1) 2) los coeficientes a nm , y
como escribir los elementos de la matriz A. La manera natural de arreglar
el vector es
X = (a 00 , a 01 , ...a 0N , ..., a N0 , a N1 , ..., a NN ) (52)
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Nótese que para n = 0, se tiene que en a 00 , a 01 , ...a 0N hay N + 1
elementos que asociamos con X 1 , X 2 , ..., X N+1 , asi que aquí se escribiría
X m+1 = a 0m para m = 0, 1, 2, ..., N
Cuando n = 1, se tiene que los N + 1 elementos a 10 , a 11 , ...a 1N se asocian
con X (N+1)+1 , X (N+1)+2 , ..., X 2(N+1) , así que escribiríamos (recuerde que
n = 1) X (N+1)+(m+1) = a 1m para m = 0, 1, ..., N
Cuando n = 2, se tiene que los N + 1 elementos a 20 , a 21 , ...a 2N se asocian
con X 2(N+1)+1 , X 2(N+1)+2 , ..., X 3(N+1) , así que escribiríamos (recuerde que
n = 2) X 2(N+1)+(m+1) = a 2m para m = 0, 1, ..., N
Cuando se tiene un n ≤ N arbitrario, se tiene que los N + 1 elementos
a n0 , a n1 , ...a nN se asocian con X n(N+1)+1 , X n(N+1)+2 , ..., X (n+1)(N+1) ,
así que escribiríamos X n(N+1)+(m+1) = a nm para m = 0, 1, ..., N
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Ahora veamos como a partir del sistema de ecuaciones lineales
N∑
N∑
n=0 m=0
[ d 2 T n (x i )
a nm
dx 2 T m (y j ) + T n (x i ) d 2 ]
T m (y i )
dy 2 = f (x i , y j )
junto con las condiciones de frontera u(x ± 1, y ± 1), debemos escribir los
elementos de la matriz A. La primera fila se obtiene cuando i = 0, j = 0,
la segunda cuando i = 0, j = 1, la tercera i = 0, j = 2, y
así sucesivamente. Siguiendo el mismo razonamiento para construir el
vector X , dada un valor arbitrario de i y de j, la fila correspondiente
será α = i(N + 1) + (j + 1). La columna β de la matriz A se localiza
dados los valores de n y m, a saber β = n(N + 1) + (m + 1). De este
modo, dados los valores de los indices i, j, n, m los elementos de matriz
son (para i,j=0,N, estamos en la frontera)
A αβ = A i(N+1)+(j+1),n(N+1)+(m+1) = d 2 T n (x i )
dx 2 T m (y j ) + T n (x i ) d 2 T m (y i )
dy 2 (53)
con tal de que i, j ≠ 0, N.
Ricardo Becerril Bárcenas
Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método de Galerkin
Expansión Discreta de Fourier
Aliasing
Polinomios de Chebyshev
Método de Colocación
Una vez que se tiene, la matriz, y se usa ludcmp y lubksb, se tendran los
coeficientes a nm , esa es la busqueda fundamental en los métodos
espectrales: los coeficientes. Una vez obtenidos, se tiene la solución
buscada u(x, y) que debe guardarse en un archivo de datos para graficar.
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Una breve introducción a los Métodos Espectrales

Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
El método de Tau es una versión modificada del método de Galerkin, que
resuelve un sistema un poco diferente (al de Galerkin) para poder
incorporar eficientemente las condiciones de frontera en la solución.
Nuevamente, se toma una base ortogonal de funciones Φ n (x), en este
método se utiliza una solución aproximada de la forma
u N (x, t) =
N+K
∑
n=0
a n (t)Φ n (x) (54)
donde N es el número de términos de la expansiń y K es el número de
condiciones de frontera del problema.
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Ecuación de Calor
Estructura
Introducción
El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Ejemplo simple para ilustrar la implementación del método
∂u
∂t = ∂u2 ,
∂x
2
|x| ≤ 1 (55)
con las condiciones de frontera
y condición inicial
u(±1, t) = 0 (56)
u(x, 0) = 1 2 (1 − x 2 ) sin 2πx
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Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Desarrollamos u(x, t) en términos de N + 1 polinomios de un conjunto
ortogonal de funciones, usaremos los polinomios de Chebyshev
Para minimizar el residuo
u N (x, t) =
N∑
a n (t)T n (x) (57)
n=0
R(x, t) = ∂u N
∂t
− ∂2 u N
∂x 2 (58)
uno demanda que R(x, t) sea ortogonal al espacio expandido por
{T k (x)} N−2
k=0
, es decir
∫ 1
−1
dx
R(x, t)T k (x) √ = 0 0 ≤ k ≤ N − 2 (59)
1 − x
2
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
debido a la ortogonalidad de los polinomios T k (x), la integral anterior se
convierte en
ȧ k = a (2)
k
0 ≤ k ≤ N − 2 (60)
donde a (2)
k
= f k (a n ) son los coeficientes de la expansión de la segunda
derivada de u(x, t) con respecto a la variable espacial x. Como hemos
dicho, la manera más eficiente de calcularlos es usando la relación de
recurrencia
con
c k a (2)
k
= a (2)
k+2
+ 2(k + 1)a(1)
k+1 . (61)
c k =
{ 2 if k = 0,
1 if k ≥ 1
(62)
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Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Las condiciones de frontera u(x = −1, t) = u(x = 1, t) = 0 en términos
de los coeficientes son
u(−1, t) =
N∑
a n = 0 u(−1, t) =
n=0
N∑
(−1) n a n = 0 (63)
donde se usó T k (±1) = (±1) −k , (63) es equivalentes al par de ecuaciones
∑ ∑
a k = 0, a k = 0. (64)
n=0
n par
n=1
n impar
n=0
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El sistema de Fourier
Método Espectral Tau
Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
El sistema de ecuaciones diferenciales
ȧ n = a (2)
n (a k ) 0 ≤ n ≤ N − 2
Evoluciona a los coeficientes a n 0 ≤ n ≤ N − 2, y con las condiciones de
frontera
∑ ∑
a k = 0, a k = 0.
n=0
n par
n=1
n impar
se encuentra a N y a N−1 a cada paso temporal.
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Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Figura: Se muestra el residuo en función de la N para verificar convergencia de
la solución.
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Ecuación de Burgers
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Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Vamos a resolver la ecuación diferencial de Burgers usando el método de
Tau
∂u
∂t + u ∂u
∂x = ν ∂u2 ,
∂x
2
|x| ≤ 1 (65)
con las condiciones de frontera
y condición inicial
donde ν es la viscosidad.
u(±1, t) = 0 (66)
u(x, 0) = − sin πx (67)
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Ecuación de Calor
Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Para viscosidades pequeñas, la solución se desarrolla como una onda de
“diente de sierra” en el origen. La solución teórica de este problema es
conocida, la obtuvo J. D. Cole y fue compilada por Benton y Platzmann
[ ∑ ]
∞
n=1
u(x, t) = 4πν
na ne −n2 π 2 tν sin nπx
a 0 + 2 ∑ ∞
n=1 a , (68)
ne −n2 π 2 tν
cos nπx
donde a n = (−1) n I n (1/2πν) e I n (ξ) denota las funciones de Bessel
modificadas del primer tipo. A veces se piensa que una solución anaĺıtica
es siempre mucho mejor que una númerica, pero esto no es siempre así,
para graficarla con una computadora, la solución (68) es intratable para
valores pequeños de t y ν, donde I n (ξ), cuando ξ → ∞, se comporta
asintóticamente como e ξ (2πξ) −1/2 independiente de n.
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Ecuación de Burgers
Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Una representación manejable de la solución es
I (x, t)
u(x, t) = −
J(x, t)
donde I (x, t) y J(x, t) están definidas por
(69)
I (x, t) =
J(x, t) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
sin [π(x − η)]f (x − η) exp (−η 2 /4νt)dη (70)
f (x − η) exp (−η 2 /4νt)dη (71)
donde f (ξ) = exp (− cos(πξ/2πν)).
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Implementación del método Tau
Convección Marangoni
Esta solución exacta nos permitirá comparar nuestra solución numérica.
Usaremos el método trapezoidal con limites finitos. Debido al hecho de
que los integrandos decaen muy rápidamente cuando |η| aumenta, la
integración se hará en un intervalo entre [−n, n] y luego en [−2n, 2n] y si
no cambia el resultado dentro de una tolerancia previamente establecida
(por ejemplo 10 −10 ), entonces ahí nos detenemos.
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Como se ha dicho, empezamos desarrollando u(x, t) en terminos de los
primeros N + 1 polinomios de un conjunto ortogonal de funciones. En
este caso usamos los polinomios de Chebyshev
A fin de minimizar el residuo
u N (x, t) =
R(x, t) = ∂u N
∂t
N∑
a n (t)T n (x) (72)
n=0
+ u N
∂u N
∂x − ν ∂2 u N
∂x 2 (73)
uno demanda que R(x, t) sea ortogonal al espacio expandido por
{T k (x)} N−2
k=0
, es decir
∫ 1
−1
dx
R(x, t)T k (x) √ = 0 0 ≤ k ≤ N − 2 (74)
1 − x
2
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Implementación del método Tau
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esta integral, debido a la ortogonalidad de los polinomios T k (x), nos
conduce a
ȧ k = ˆN k + νa (2)
k
0 ≤ k ≤ N − 2 (75)
donde ˆN = −(u N ∂ x u N ) k , y a (2)
k
son los coeficientes de la expansión de la
segunda derivada de u(x, t) con respecto a la variable espacial x. La
manera más eficiente de calcularlos es usando la relación de recurrencia
c k a (2)
k
= a (2)
k+2
+ 2(k + 1)a(1)
k+1 . (76)
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El sistema de ecuaciones (75) junto con las condiciones de frontera
u(x = −1, t) = u(x = 1, t) = 0, constituyen un conjunto completo para
calcular los coeficientes de la expansión a todo tiempo con la condición
inicial dada. Las condiciones de frontera en terminos de los coeficientes
son
N∑
a n =
n=0
n=0
n par
N∑
(−1) n a n = 0 (77)
n=0
que son equivalentes al par de ecuaciones
∑ ∑
a k = 0, a k = 0. (78)
n=1
n impar
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El sistema (75) evoluciona a los coeficientes a n para 0 ≤ N − 2, y con las
condiciones de frontera (78), se calculan a N−1 y a N a cada paso de
tiempo.
El termino no lineal de (75) requiere de trato especial. Tanto u(x, t)
como ∂ x u(x, t) tienen su expansión en terminos de los polinomios T n y
tienen sus coeficientes respectivos a n y a n
(1) . La pregunta es, cuáles son
los coeficientes < u∂u > k = b k de la expansión del producto u∂ x u
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u N
∂u N
∂x
N = ∑
b k T k (x), (79)
k=0
en términos de a k y a (1)
k
. En principio podría usarse la relación
⎡
⎤
b k =< u∂u > k = 1 ⎣ ∑
a p a q (1) + ∑
a p a q
(1) ⎦ (80)
2
p+q=k
|p−q|=k
que puede demostrarse facilmente con ayuda de las propiedades de los
polinomios de Chebyshev. Sin embargo, es mucho más eficiente utilizar
un cálculo pseudo-espectral con la ayuda de las Transformadas de Fourier
Rápidas (TFR). El proceso del cálculo se sistematiza a continuación
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Cálculo de < u∂ x u > k = b k dados los coeficientes a k
1. Use la relación de recurrencia
c k a (1)
k
= a (1)
k+2 + 2(k + 1)a k+1 (81)
para calcular los coeficientes de la expansión de la primera
derivada con respecto a x de u(x, t)
2. Las TFR necesitan de “entrada” los coeficientes de la
expansión de una función u(x, t), y dan de salida la función
valuada en varios puntos (de “colocación”) u N (x i ). Así que,
teniendo a k y a (1)
k
, utilice las TFR y obtenga u N(x i ) y
(∂u N /∂x)(x i ) (esto es, u y su derivada con respecto a x en el
espacio físico).
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Implementación del método Tau
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a k −→ u N (x i ) a (1)
k
−→ ∂u N(x i )
∂x
3. Realice los productos en el espacio fisico:
(82)
u N (x i ) ∂u N
∂x (x i) (83)
4. A través de la TFR inversas, regrese al espacio espectral. La
TFR inversa tienen por entrada los valores dados por (83), y
por salida los coeficiientes < u∂ x u > k = b k
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∂u N (x i )
−→< u∂ x u > k = b k (84)
∂x
Esta “danza” entre el espacio espectral y el físico, se realiza a cada paso
de tiempo. La evolución temporal se realizará usando el esquema
Adams-Bashforth para el término no lineal, y el esquema Crank-Nicolson
para el termino lineal. De este modo se tiene el esquema ABCN
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a n (t + ∆t) = a n (t) + ∆t
2 [b n(t − ∆t) − 3b n (t)]
+ ν∆t [
]
a n (2) (t) + a n
(2) (t + ∆t) 0 ≤ n ≤ N − 2(85)
2
que puede re-escribirse como
(
a (2)
n − λa n
)
(t + ∆t) = f n (a n , b n , t, t − ∆t) 0 ≤ n ≤ N − 2 (86)
donde λ = 2/ν∆t y la función f n es expĺıcitamente
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Si usamos la ecuación
f n = −λa n (t) − 1 ν [b n(t − ∆t) − 3b n (t)] − a (2)
n (t) (87)
a (2)
k
= 1 c k N ∑
p=k+2
(p+k)par
en 86, sta última se escribiría como
1
c k
N ∑
p=k+2
(p+k)par
p(p 2 − k 2 )a p (88)
p(p 2 − k 2 )a p − λa k = f k k = 0, ..., N − 2 (89)
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Usando (78) y (89) llegamos a un sistema de ecuaciones lineales de la
forma
LX = b (90)
donde L es una matriz triangular superior, cuya solución requiere N 2
operaciones. Un procedimiento de solución más eficiente se consigue
rearreglando las ecuaciones 86 con ayuda de la relación de recurrencia
la ecuación 86 queda
2ka (1)
k
= c k−1 a (2)
k−1 − a(2) k+1
(91)
2ka (1)
k
= c k−1 [−f k−1 + λa k−1 ] − [−f k+1 + λa k+1 ] k = 1, ..., N − 3.
(92)
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Despúes, usando la relación de recurrencia (??) para la primera derivada,
en combinación con la (92), resulta una ecuación con solamente los
coeficientes a k , a saber
donde
[
c n−2 λ
4n(n − 1) a n−2 − 1 + λβ n
= − c n−2
4n(n − 1) f n−2 +
]
a n + λβ n+2
4n(n + 1) a n+2
2(n 2 − 1)
β n
2(n 2 − 1) f n − β n+2
4n(n + 1) f n+2,
k = 2, .., N(93)
β n =
{ 1 0 ≤ n ≤ N − 2
0 n > N − 2
(94)
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Note que los coeficientes pares e impares están desacoplados en 93 y en
78. El sistema de ecuaciones que surge para los coeficientes pares e
impares resulta ser uno con una matriz tridiagonal con una “trenza” (en
la primera fila). Un procedimiento muy eficiente (más que el de Gauss) se
expone en el apéndice, y es el que se usó para integrar en el tiempo la
ecuación de Burgers.
Para manejar el error de “aliasing” explicado en el apéndice A, se usĺa
regla de 2N/3. Es decir, en la expansión de u N (x, t) se tienen 32
términos, realmente se usarán 21; si se tienen 64, realmente se usarán 42,
etc.
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La ecuación de evolución para la altura de la interface h(x, t) la derivó J.
Swift y S. Van-Hook, y ésta es
∂h
∂t + ∂ { }
3D(1 + F )h
2
∂h ∂h
∂x 2(1 + F − Fh) 2 − h3
∂x ∂x + h3 ∂h
= 0 (95)
B ∂x
O bien, ∂h
∂x
donde D ≡ σ T △ T /ρgd 2 , B ≡ ρg(L/2π)/σ y
F ≡ (1 − k g /k)/(d g /d + k g /k).
∂t ≡ ∂J(x,t)
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Figura: Puntos de colocación x j = cos(πj/N) con N = 4.
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En el protocolo experimental, para tener diferentes valores de d se
sobrellenaba o medio llenaba el contenedor que tenía una altura fija, de
este modo, la superficie inicial no es plana ni aun en la ausencia de
gradientes de temperatura.
Además el fluido permanecía adherido a las paredes laterales del
contenedor de modo que h(x ± 1) = h 0 . A fin de incorporar éstas
características del experimento, se resuelve la ecuación Swift-Van-Hook
con las condiciones de frontera adecuadas y partiendo de una superficie
no plana.
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