CHUYÊN ĐỀ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM - PHẠM MAI TRANG - ĐHSPHN2

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
http://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca = 1. Chứng
2 2 2
minh rằng: 10a + 10b + c ≥ 4 .
Phân tích:
Với 0 < α < 10 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
2
2 c
2 c
αa
+ ≥ 2 αa
. = 2α
ac
2 2
2
2
2 c
2 c
αb
+ ≥ 2 αb
. = 2α
bc
2
2
2
2
2
2
( 10 − α ) a + ( 10 − α ) b ≥ 2 ( 10 − α ) a ( 10 − α ) b = ( 20 − 2α
)ab
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
2 2 2
10a
+ 10b
+ c ≥ 2α ( ac + bc) + ( 20 − 2α
)ab
Cân bằng điều kiện giả thuyết có:
2
2α
= 20 − 2α
⇔ 2α
= 400 − 80α
+ 4α
⇒ α = 8
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
2
2 c
2 c
8a + ≥ 2 8a
. = 4ac
2 2
2
2
2 c
2 c
8b + ≥ 2 8b
. = 4bc
2 2
2
⇔ 2α
2 2
2 2
2a + 2b
≥ 2 2a
.2b
= 4ab
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
2 2 2
10a + 10b + c ≥ 4 ab + bc + ca = 4.1 = 4 ( đpcm)
( )
2
⎧ 2 c
⎪8a
=
⎪
2 ⎧ 1
2 a = b =
⎪ 2 c
⎪ 3
Dấu "=" xảy ra ⇔ ⎨8b
= ⇔ ⎨ .
⎪ 2 ⎪ 4
c
2 2 =
⎪ 2a
= 2b
⎪⎩
3
⎪
⎩
⎡α
= 8
− 41α
+ 200 = 0 ⇒ ⎢
⎢
25
α = > 10
⎣ 2
3 3
Ví dụ 6: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện: a + b ≤ 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A = a + 4b
.
Phân tích:
3 3
Dự đoán A đạt GTLN khi: a + b = 1
⎧a
= α
3 3
Giả sử A đạt GTLN khi: ⎨ . Ta có: α + β = 1 (1)
⎩b
= β
3
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: a và 2 số α ta có:
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM
HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial