Sách tham khảo môn Toán - Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số 9 - Nguyễn Trung Kiên - FULLTEXT (518 trang)
https://app.box.com/s/yzu3ud00tjy8vh05qxbteg9bdhxw48gq
https://app.box.com/s/yzu3ud00tjy8vh05qxbteg9bdhxw48gq
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ<br />
Chương 1: Căn thức<br />
1.1 CĂN THỨC BẬC 2<br />
Kiến thức cần nhớ:<br />
<br />
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho<br />
2<br />
x<br />
a.<br />
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là<br />
một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :<br />
<br />
a 0 x<br />
0<br />
2<br />
<br />
a x x<br />
a<br />
Với hai số thực không âm ab , ta có: a b a b .<br />
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:<br />
+<br />
+<br />
A<br />
2 A<br />
<br />
A<br />
<br />
A<br />
nếu<br />
A 0<br />
A 0<br />
2<br />
A B A B A B với AB , 0;<br />
A0; B<br />
0<br />
A A. B A.<br />
B<br />
với AB 0, B 0<br />
B B B<br />
+<br />
2<br />
+<br />
M M.<br />
A<br />
A A<br />
với A 0<br />
M<br />
+<br />
M A B<br />
A<br />
B A<br />
B<br />
trục căn thức ở mẫu)<br />
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.<br />
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.<br />
Kiến thức cần nhớ:<br />
<br />
2<br />
A B A B A B với<br />
;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)<br />
<br />
với A, B 0,<br />
A B (Đây gọi là phép<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 1
Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho<br />
Cho 3 3 3 3<br />
a R;<br />
a x x a a<br />
Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.<br />
Nếu a 0 thì 3 a 0 .<br />
Nếu a 0 thì 3 a 0 .<br />
Nếu a 0 thì 3 a 0 .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
a<br />
b<br />
3<br />
a<br />
với mọi b 0 .<br />
3<br />
b<br />
ab a.<br />
b với mọi ab. ,<br />
3 3 3<br />
3 3<br />
a b a b .<br />
3<br />
A B<br />
3 3<br />
A B .<br />
A 3 AB 2<br />
3 với B 0<br />
B B<br />
3<br />
A<br />
<br />
B<br />
3 3<br />
3<br />
A<br />
3<br />
B<br />
1 A AB B<br />
<br />
A<br />
B A<br />
B<br />
3 2 3 3 2<br />
với A B.<br />
3<br />
x<br />
a<br />
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.<br />
Cho số a R, n N; n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy<br />
thừa bậc n của nó bằng a.<br />
Trường hợp n là số lẻ: n 2k 1,<br />
k N<br />
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:<br />
a x x a , nếu a 0 thì 2 k<br />
1 a 0 , nếu a 0 thì<br />
2k1 2k1<br />
2k1<br />
a 0 , nếu a 0 thì 2 k<br />
1 a 0<br />
Trường hợp n là số chẵn: n 2 k,<br />
k N .<br />
Mọi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn<br />
dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc<br />
chẵn âm kí hiệu là<br />
2<br />
k<br />
a x x 0 và<br />
2k<br />
a , 2 k<br />
a x x 0<br />
2k<br />
x<br />
a.<br />
và<br />
2k<br />
x<br />
a;<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 2
Một số ví dụ:<br />
Mọi số thực a 0 đều không có căn bậc chẵn.<br />
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
P<br />
4<br />
x <br />
4<br />
P <br />
3<br />
8x<br />
3 3<br />
P x x<br />
4 2<br />
<br />
1<br />
Lời giải:<br />
a) P x 2 2 x 2 2 x 2 x 2x<br />
2 2<br />
3<br />
b) P 2x 3 3 2x 34x <br />
2 2 3x<br />
3 .<br />
.<br />
2<br />
c) P x 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1<br />
.<br />
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:<br />
a)<br />
1<br />
A x x x khi x 0 .<br />
4<br />
b) B 4x 2 4x 1 4x 2 4x<br />
1 khi<br />
c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3<br />
Lời giải:<br />
1<br />
x .<br />
4<br />
a)<br />
+ Nếu<br />
+ Nếu<br />
1 1 <br />
1<br />
A x x x x x x x <br />
4 2 <br />
2<br />
1 1 1 1 1<br />
x x thì x x A .<br />
2 4 2 2 2<br />
1 1 1 1 1<br />
x 0 x thì x x A 2 x <br />
2 4 2 2 2<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 3
)<br />
B 4x 2 4x 1 4x 2 4x 1 4x 1 2 4x 1 1 4x 1 2 4x<br />
1 1<br />
2 2<br />
Hay <br />
B 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x<br />
1 1<br />
4x1 1 4x1 1<br />
+ Nếu<br />
ra B2 4x 1 .<br />
+ Nếu<br />
1<br />
4x 1 1 0 4x 11<br />
x thì 4x1 1 4x1 1 suy<br />
2<br />
1 1<br />
4x 1 1 0 4x 11<br />
x thì<br />
4 2<br />
4x1 1 4x1 1 suy ra B 2 .<br />
Suy ra<br />
c) Để ý rằng: 7 4 3 2 3 2<br />
7 4 3 2 3<br />
C 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3<br />
9 5 3 5 5 3 2<br />
.Hay<br />
C 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2<br />
Ví dụ 3) Chứng minh:<br />
a) A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên.<br />
84 84<br />
B 1 1 là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp<br />
9 9<br />
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).<br />
b)<br />
3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 4
a 1 8a 1 a 1 8a<br />
1<br />
c) Chứng minh rằng: x 3 a 3 a với<br />
3 3 3 3<br />
1<br />
a là số tự nhiên.<br />
8<br />
d) Tính x y<br />
biết x x 2 y y<br />
2<br />
<br />
2015 2015 2015 .<br />
Lời giải:<br />
Tacó<br />
a) Dễ thấy A 0,<br />
2<br />
2<br />
A <br />
14 2.5 4<br />
Suy ra A 2.<br />
7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6<br />
b) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u 3 v 3 3uv u v<br />
. Ta có:<br />
B<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
84 84 84 84 84 84 <br />
1 1 1 1 3 1 . 1<br />
9 9 9 9 9 9 <br />
<br />
3 3 3 3 3<br />
84 84 <br />
1 1<br />
. Hay<br />
9 9 <br />
<br />
3 3<br />
84 84 <br />
84<br />
2 3 <br />
1 1 . 2 3 1 2 2<br />
9 9 <br />
<br />
81<br />
3 3<br />
3<br />
3 3<br />
B 3<br />
B B B B B B B<br />
B B 2 B <br />
1 2 0 mà<br />
Vậy B là số nguyên.<br />
2 1 7<br />
B B 2 <br />
B<br />
<br />
0<br />
2<br />
4<br />
c) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u 3 v 3 3uv u v<br />
2<br />
suy ra B 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 5
Ta có<br />
<br />
3 3 2<br />
x a a x x a x a x x x a<br />
2 1 2 2 1 2 0 1 2 0<br />
Xét đa thức bậc hai<br />
với 18a<br />
0<br />
2<br />
x x 2a<br />
+ Khi<br />
1<br />
1 1<br />
a ta có x 3 3 1 .<br />
8<br />
8 8<br />
+ Khi<br />
Vậy với mọi<br />
số tự nhiên.<br />
1<br />
a , ta có 1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1<br />
8<br />
d) Nhận xét:<br />
1<br />
a 1 8a 1 a 1 8a<br />
1<br />
a ta có: x 3 a 3 a 1 là<br />
8<br />
3 3 3 3<br />
<br />
x 2 2015 x x 2 2015 x x 2 2015 x<br />
2 2015 .<br />
Kết hợp với giả thiết ta suy ra<br />
2 2<br />
x 2015 x y 2015 y<br />
2 2 2 2<br />
y y x x x x y y x y <br />
Ví dụ 4)<br />
2015 2015 2015 2015 0<br />
Giải:<br />
a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức:<br />
P <br />
b) Cho<br />
4 3 2<br />
x x x x<br />
4 6 12<br />
.<br />
2<br />
x 2x12<br />
x <br />
3<br />
1 2<br />
. Tính giá trị của biểu thức<br />
B x x x x<br />
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).<br />
c) Cho<br />
4 4 3 2<br />
2 3 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC<br />
3 3<br />
x 1 2 4 . Tính giá trị biểu thức:<br />
5 4 3 2<br />
P x x x x x<br />
4 2 2015<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 6
x<br />
2<br />
a) Ta có:<br />
2<br />
<br />
<br />
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
x <br />
8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1<br />
x 5 1. Từ đó ta suy ra 2 2<br />
x 1 5 x 2x<br />
4 .<br />
Ta biến đổi:<br />
2<br />
x x x x<br />
2 2<br />
2 2 2 12 2<br />
4 3.4 12 P <br />
2<br />
1 .<br />
x 2x12 4 12<br />
3<br />
b) Ta có 3 3 2<br />
biểu thức P thành:<br />
x 1 2 x 1 2 x 3x 3x<br />
3 0 . Ta biến đổi<br />
<br />
2 3 2 3 2 3 2<br />
P x x x x x x x x x x x<br />
( 3 3 3) 3 3 3 3 3 3 1945 1945<br />
c) Để ý rằng:<br />
3 2 3<br />
x 2 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận<br />
3 3 2 2<br />
dụng hằng đẳng thức: a b a ba ab b <br />
<br />
3 2 1 x 3 2 1 3 2 2 3 2 1<br />
. Khi đó ta có:<br />
3 3<br />
3<br />
3 3 2<br />
2 1 x 1 2x x 1 2x x 1 x 3x 3x<br />
1 0 .<br />
Ta biến đổi:<br />
<br />
5 4 3 2 2 3 2<br />
P x x x x x x x x x x<br />
4 2 2015 1 3 3 1 2016 2016<br />
Ví dụ 5) Cho x, y, z 0 và xy yz zx<br />
1.<br />
a) Tính giá trị biểu thức:<br />
1 y 2 1 z 2 1 z 2 1 x 2 1 x 2 1<br />
y<br />
2<br />
<br />
P x y z<br />
1x 1 y 1z<br />
b) Chứng minh rằng:<br />
Lời giải:<br />
2 2 2<br />
x y z 2<br />
<br />
xy<br />
x y z x y z<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
1 1 1 1 1 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 7
2 2<br />
a) Để ý rằng: 1 x x xy yz zx ( x y)( x z)<br />
2 2<br />
Tương tự đối với 1 y ;1 z ta có:<br />
2 2<br />
1 y 1z y x y z z x z y<br />
x x x y z<br />
2<br />
1 x x y x z<br />
<br />
Suy ra P x y z y z x z x y xy yz zx<br />
2 2.<br />
b) Tương tự như câu a)<br />
Ta có:<br />
x y z x y <br />
z<br />
2 2 2<br />
1 x 1 y 1 z x y x z x y y z z y z x<br />
<br />
2 2<br />
x y z y z x z x y xy xy<br />
<br />
Ví dụ 6)<br />
x y y z z x x y y zz x 1 x 2 1 y 2 1<br />
z<br />
2<br />
<br />
a) Tìm x1, x2,..., x<br />
n<br />
thỏa mãn:<br />
1<br />
x 1 2 x 2 .. n x n x x ...<br />
x<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1 2 n<br />
1 2<br />
n<br />
2<br />
4n<br />
4n<br />
1<br />
b) Cho f( n)<br />
<br />
với n nguyên dương. Tính<br />
2n1 2n1<br />
f (1) f (2) .. f (40) .<br />
Lời giải:<br />
a) Đẳng thức tương đương với:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x x x <br />
1 2<br />
n<br />
n n<br />
2 2 2<br />
1 1 2 2 ... 0<br />
<br />
<br />
<br />
Hay<br />
x 2, x 2.2 ,..., x 2. n<br />
1 2<br />
2 2<br />
n<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 8
) Đặt<br />
<br />
<br />
x n y n xy n <br />
2 2<br />
x y 2<br />
<br />
2 2<br />
x y 4n<br />
2<br />
2 1, 2 1 4 1<br />
.<br />
Suy ra<br />
2 2 3 3<br />
x xy y x y 1 1<br />
f ( n) x y 2n 1 2n<br />
1<br />
2 2<br />
x y x y 2 2<br />
<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
Áp dụng vào bài toán ta có:<br />
f 1<br />
1 f 2 .. f 40 3 <br />
3 1 3 5 3 3 3 .. 81 3 79<br />
3<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
1 3 3<br />
81 1 364<br />
2<br />
Ví dụ 7)<br />
1 1 1<br />
a) Chứng minh rằng: .... 4 . <strong>Đề</strong> thi<br />
1 2 3 4 79 80<br />
chuyên ĐHSP 2011<br />
1 1 1 1 1 <br />
b) Chứng minh rằng: ... 21<br />
<br />
1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1<br />
.<br />
1 1 1 1 1<br />
c) Chứng minh: 2 n 2 ... 2 n 1 với<br />
1 2 3 4 n<br />
mọi số nguyên dương n 2 .<br />
Lời giải:<br />
1 1 1<br />
a) Xét A ....<br />
,<br />
1 2 3 4 79 80<br />
1 1 1<br />
B ..<br />
<br />
2 3 4 5 80 81<br />
Dễ thấy A B.<br />
1 1 1 1 1<br />
Ta có A B ....<br />
<br />
1 2 2 3 3 4 79 80 80 81<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 9<br />
<br />
.
Mặt khác ta có:<br />
k1<br />
k<br />
<br />
1<br />
k1<br />
<br />
k k1 k 1 k k 1<br />
k<br />
Suy ra A B <br />
2 1 3 2 ... 81 80 81 1 8 . Do<br />
A B suy ra 2A A B 8 A 4 .<br />
k<br />
b) Để ý rằng:<br />
mọi k nguyên dương.<br />
1 1 1 1<br />
<br />
k k 1 k( k 1) k 1<br />
k 2k k 1<br />
<br />
<br />
với<br />
Suy ra<br />
1 1 1 1 1 1 <br />
VT 21 2 .. 2 21<br />
<br />
2 2 3 n n 1 n 1<br />
.<br />
c) Đặt<br />
1 1 1 1 1<br />
P ...<br />
<br />
1 2 3 4 n<br />
Ta có:<br />
2 1 2 2<br />
<br />
n n 1 n 2 n n n 1<br />
với mọi số tự nhiên n 2 .<br />
Từ đó suy ra<br />
n n 2 2 2 n n <br />
2 1 2 1<br />
n 1 n 2 n n n 1<br />
2 n 1 n 2 2 n n 1<br />
n<br />
Do đó: 2 2 1 3 2 ... 1<br />
<br />
<br />
T 1 2 2 1 3 2 .... n n 1<br />
n n <br />
T và<br />
<br />
.<br />
hay<br />
Hay 2 n 2 T 2 n 1.<br />
Ví dụ 8)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 10
a) Cho ba số thực dương abc , , thỏa mãn<br />
a 1 b b 1 c c 1 a .Chứng minh rằng:<br />
2<br />
2 2 2 3<br />
a b c .<br />
2<br />
a) Tìm các số thực x, y,<br />
z thỏa mãn điều kiện:<br />
Lời giải:<br />
2 2 2 3<br />
2 2 2<br />
x 1 y y 2 z z 3 x 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp<br />
10 chuyên <strong>Toán</strong>- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)<br />
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 2 2 a 1b b 1 c c 1<br />
a 3<br />
a 1b b 1 c c 1 a .<br />
2 2 2 2<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
a 1 b <br />
<br />
a 1b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
c 1a<br />
c<br />
1a<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b 1 c b 1 c a b c <br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
(đpcm).<br />
b) Ta viết lại giả thiết thành:<br />
2 2 2<br />
2x 1 y 2y 2 z 2z 3 x 6<br />
.<br />
Áp dụng bất đẳng thức :<br />
2 2<br />
2ab a b ta có:<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2x 1 y 2y 2 z 2z 3 x x 1 y y 2 z z 3 x 6<br />
. Suy ra VT VP<br />
khi:<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 11
2 2 2<br />
2 x, y, z 0<br />
x 1 y<br />
<br />
x y z 3; x, y, z 0<br />
2 2 <br />
2 2<br />
x y 1<br />
2 x y 1<br />
2 2 <br />
2 2<br />
y 2 z x 1; y 0; z 2<br />
y z 2 y z 2<br />
2<br />
<br />
z<br />
3 x<br />
2 2 2 2<br />
<br />
z x 3 <br />
z x 3<br />
x x 4 x 4 x 4 x 4 <br />
Ví dụ 9) Cho<br />
A <br />
x<br />
2<br />
8x16<br />
với x 4<br />
a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.<br />
Lời giải:<br />
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x 4 .<br />
4 2 4 2<br />
<br />
2 2 <br />
x x x x<br />
x 4 2 x 4 2 <br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x 4<br />
x 4<br />
<br />
x x 4 2 x 4 2<br />
x 4<br />
<br />
+ Nếu 4x<br />
8 thì x 4 2 0 nên<br />
<br />
x x 4 2 2 x 4 4x<br />
16<br />
A 4 <br />
x 4 x 4 x 4<br />
Do 4x<br />
8 nên 0 x 4 4 A 8.<br />
+ Nếu x 8 thì x 4 2 0 nên<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x 4 2 x 4 2 2x x 4 2x<br />
8<br />
A 2 x 4 2 16 8<br />
x4 x4 x4 x4<br />
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
8<br />
2 x 4 x 4 4 x 8 .<br />
x 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 12
Vậy GTNN của A bằng 8 khi x 8.<br />
16<br />
b) Xét 4x<br />
8 thì A 4<br />
, ta thấy A Z khi và chỉ khi<br />
x 4<br />
16<br />
Z x<br />
4 là ước số nguyên dương của 16. Hay<br />
x 4<br />
x <br />
x 4 1;2;4;8;16 5;6;8;12;20 đối chiếu điều kiện suy ra x 5<br />
hoặc x 6 .<br />
+ Xét x 8 ta có:<br />
<br />
<br />
A <br />
2<br />
2 m 4 8<br />
2<br />
2x<br />
x 4<br />
, đặt xm<br />
4<br />
x 4 m khi đó ta có:<br />
m<br />
2<br />
A 2m suy ra m2;4;8 x 8;20;68<br />
.<br />
m m<br />
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8;20;68<br />
.<br />
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
Câu 1. (<strong>Đề</strong> thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)<br />
Với x 0 , cho hai biểu thức<br />
2 x<br />
A và<br />
x<br />
x 1 2 x 1<br />
B .<br />
x x x<br />
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 64 .<br />
2) Rút gọn biểu thức B .<br />
A 3<br />
3) Tính x để<br />
B 2<br />
.<br />
Câu 2. (<strong>Đề</strong> thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)<br />
1) Cho biểu thức<br />
A <br />
x 4<br />
. Tính giá trị của biểu thức A .<br />
x 2<br />
x 4 x16<br />
2) Rút gọn biểu thức B <br />
<br />
<br />
:<br />
x 4 x 4 <br />
(với<br />
x 2<br />
x0, x 16 )<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 13
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của<br />
x để giá trị của biểu thức B A 1<br />
là số nguyên.<br />
Câu 3. (<strong>Đề</strong> thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).<br />
Cho<br />
x 10 x 5<br />
A , với 0, 25<br />
x5 x 25 x 5<br />
x<br />
x<br />
.<br />
1) Rút gọn biểu thức A<br />
2) Tính giá trị của A khi x 9 .<br />
1<br />
3) Tìm x để A .<br />
3<br />
Câu 4. (<strong>Đề</strong> thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).<br />
Cho<br />
x 2 x 3x<br />
9<br />
P , với x0, x 9 .<br />
x3 x3<br />
x 9<br />
1) Rút gọn P .<br />
1<br />
2) Tìm giá trị của x để P .<br />
3<br />
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .<br />
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)<br />
Thu gọn các biểu thức sau:<br />
5 5 5 3 5<br />
A <br />
5 2 5 1 3<br />
5<br />
x 1 2 6 <br />
B : 1 <br />
x 3 x x 3 x x 3 x <br />
<br />
x 0<br />
.<br />
Câu 6. (<strong>Đề</strong> thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 14
Thu gọn các biểu thức sau:<br />
x 3 x 3<br />
A <br />
<br />
. với x0, x 9 .<br />
x 3 x3 <br />
x 9<br />
2 2<br />
B 21 2 3 3 5 6 2 3 3 5 15 15 .<br />
Câu 7. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)<br />
Rút gọn biểu thức<br />
x 2 2x<br />
2<br />
P <br />
2 x<br />
x 2 x 2<br />
, với x0, x 2 .<br />
Câu 8. (<strong>Đề</strong> thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)<br />
Cho<br />
1 1 1 1<br />
A ...<br />
<br />
1 2 2 3 3 4 120 121<br />
và<br />
1 1<br />
B 1 ...<br />
.<br />
2 35<br />
Chứng minh rằng B<br />
A.<br />
Câu 9. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)<br />
Cho biểu thức<br />
3 3<br />
x y x y<br />
P <br />
. , x y .<br />
2 2 2 2<br />
x xy y x y<br />
1) Rút gọn biểu thức P .<br />
2) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 và y 4 2 3 .<br />
Câu 10. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)<br />
Cho các số thực dương ab; , a b.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 15
Chứng minh rằng:<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
a<br />
b<br />
b b 2a a<br />
3<br />
a b<br />
3a 3 ab<br />
<br />
a a b b<br />
b<br />
a<br />
0<br />
.<br />
Câu 11. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)<br />
x x 6 x 7 x 19 x 5 x<br />
A ; x 0, x 9 .<br />
x 9 x x 12 x 4 x<br />
Câu 12. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)<br />
Cho biểu thức<br />
1 1 2 x<br />
A <br />
2 x 2 x 4 x<br />
x 0, x 4<br />
<br />
.<br />
Rút gọn A và tìm x để<br />
1<br />
A .<br />
3<br />
Câu 13. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).<br />
3 3 x x x<br />
1) Cho biểu thức P . Tìm tất cả<br />
x 3 x x 3 x x 1<br />
các giá trị của x để P 2 .<br />
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho <br />
2<br />
d : y mx<br />
1<br />
P : y x và đường thẳng<br />
( m là <strong>tham</strong> số). chứng minh rằng với mọi giá trị của<br />
m , đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành<br />
độ x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn x1x2 2 .<br />
Câu 14. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)<br />
Cho biểu thức<br />
a 2 2<br />
C <br />
a 16 a 4 a 4<br />
.<br />
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .<br />
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a 9 4 5 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 16
Câu 15. (<strong>Đề</strong> thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)<br />
Cho biểu thức<br />
<br />
<br />
x0, x 4 .<br />
2 3 5 x 7 2 x 3<br />
A <br />
<br />
:<br />
x 2 2 x 1 2x 3 x 2 <br />
5x 10<br />
x<br />
1) Rút gọn biểu thức A .<br />
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.<br />
Câu 16. (<strong>Đề</strong> năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)<br />
1) Tính giá trị của biểu thức<br />
2) Cho biểu thức<br />
a) Chứng minh rằng<br />
A <br />
x 1<br />
x 1<br />
, khi x 9 .<br />
x2 1 x1<br />
P <br />
.<br />
x 2 x x 2 x 1<br />
x 1<br />
P .<br />
x<br />
b) Tìm các giá trị của x để 2P2 x 5 .<br />
với x 0 và x 1.<br />
Câu 17) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Chứng minh rằng<br />
a<br />
2<br />
2a 2 0 .<br />
Câu 18) Cho a 4 10 2 5 4 10 2 5 .<br />
Tính giá trị của biểu thức:<br />
T<br />
<br />
2 3 2<br />
a a a a<br />
4 6 4<br />
.<br />
2<br />
a 2a12<br />
Câu 19) Giả thiết x, y, z 0 và xy yz zx a .<br />
Chứng minh rằng:<br />
a y 2 a z 2 a z 2 a x 2<br />
a x 2 a y<br />
2<br />
<br />
x y z 2a<br />
.<br />
2 2 2<br />
a x a y a z<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 17
Câu 20. Cho<br />
3<br />
a 2 7 61 46 5 1.<br />
a) Chứng minh rằng:<br />
a<br />
14a<br />
9 0 .<br />
4 2<br />
5 4 3 2<br />
b) Giả sử f x x 2x 14x 28x 9x<br />
19 . Tính <br />
f a .<br />
Câu 21. Cho<br />
3 3<br />
a 38 17 5 38 17 5 .<br />
3<br />
Giả sử có đa thức 2016<br />
f x x 3x<br />
1940<br />
f a .<br />
. Hãy tính <br />
Câu 22. Cho biểu thức<br />
<br />
f n<br />
2n<br />
1<br />
n n 1<br />
<br />
n n1<br />
<br />
<br />
.<br />
Tính tổng S f 1 f 2 f 3 ... f 2016<br />
.<br />
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:<br />
1 1 1 1 5<br />
1 ... .<br />
2 2 2 2<br />
1 2 3 n 3<br />
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3, ta có<br />
1 1 1 1 65<br />
...<br />
.<br />
3 3 3 3<br />
1 2 3 n 54<br />
Câu 25) Chứng minh rằng:<br />
43 1 1 1 44<br />
...<br />
<br />
44 2 1 1 2 3 2 2 3 2002 2001 2001 2002 45<br />
(<strong>Đề</strong> thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)<br />
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:<br />
1 1 1 1<br />
... 1<br />
2 2 1 1 3 3 2 2 n 1 n 1 n n n 1<br />
.<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 18
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có:<br />
1 4 7 10 3n2 3n1 1<br />
. . . .... . <br />
3 6 9 12 3n 3n 3 3 n 1<br />
.<br />
1). Lời giải:<br />
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1<br />
1) Với x 64 ta có<br />
<br />
x.<br />
x x <br />
2 64 2 8 5<br />
A .<br />
64 8 4<br />
x 1 . x x 2 x 1 . x x x 2x 1 x 2<br />
B 1 <br />
x x x x 1 x 1<br />
Với x 0 , ta có:<br />
A 3 2 x 2 x 3 x 1 3<br />
: <br />
B 2 x x 1<br />
2 x 2<br />
2 x 2 3 x x 2 0 x 4 (do x 0 ).<br />
2. Lời giải:<br />
36 4 10 5<br />
1) Với x 36 , ta có A .<br />
36 2 8 4<br />
2) Với x0, x 16 ta có:<br />
4 4 4 <br />
x<br />
16 2<br />
x x x 2 x x x2<br />
B <br />
<br />
x 16 x 16 x 16 x 16 x 16<br />
x 16<br />
<br />
<br />
.<br />
3) Biểu thức B A 1<br />
x 2 x 4 x 2 2<br />
<br />
x16 x 2 <br />
x16<br />
B<br />
A 1<br />
nguyên, x nguyên thì 16<br />
x là ước của 2 , mà<br />
U 2 1; 2<br />
. Ta có bảng giá trị tương ứng:<br />
Kết hợp điều kiện, để B A 1<br />
nguyên thì 14;15;16;17<br />
<br />
x .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 19
3). Lời giải:<br />
<br />
<br />
x 10 x 5 x. x 5 10 x 5. x 5<br />
A <br />
x 5 x 25 x 5 x 5 x 5<br />
x 5 x 10 x 5 x 25 x 10 x 25<br />
<br />
<br />
x 5 x 5 x 5 x 5<br />
2<br />
x 5 <br />
x <br />
A<br />
<br />
5 . Với 9<br />
x 5 x 5<br />
x 5<br />
<br />
3 5 2 1<br />
A .<br />
3 5 8 4<br />
4). Lời giải:<br />
1)<br />
P <br />
<br />
x 3 x 3<br />
x ta có: x 3. Vậy<br />
x x 3 2 x x 3 3x<br />
9 3<br />
<br />
x 3<br />
1 3 1<br />
2) P 3 9 36<br />
3 x 3 3<br />
x x (thỏa mãn ĐKXĐ)<br />
<br />
3) Với x 0, P 3 3 1 max<br />
1<br />
x 3 0 3<br />
P khi x 0 (TM).<br />
<br />
5. Lời giải:<br />
5 5 5 3 5<br />
A <br />
5 2 5 1 3<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5 5 5 2 5 5 1 3 5 3 5<br />
<br />
5 2 5 2 5 1 5 1 3 5 3 5<br />
5 5 9 5 15 5 5 9 5 15<br />
3 5 5 3 5 5 <br />
4 4 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 20
3 5 5 5 2 5 5 .<br />
x 1 2 6 <br />
B : 1 <br />
x<br />
0<br />
x 3 x x 3 x x 3 x <br />
x 1 <br />
<br />
<br />
x<br />
2 6<br />
: <br />
<br />
<br />
x 3 x 3 <br />
<br />
x x<br />
x<br />
3<br />
<br />
<br />
x x <br />
x<br />
x<br />
<br />
2 3 6 <br />
x1 <br />
x<br />
: x 1 . 1 .<br />
x 3 <br />
3 x x<br />
<br />
<br />
6. Lời giải:<br />
Với x 0 và x 9 ta có:<br />
<br />
<br />
x 3 x 3 x 9 x 3 1<br />
A <br />
. 3.<br />
<br />
x3 x3<br />
x 9 x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
21<br />
B 4 2 3 6 2 5 3 4 2 3 6 2 5 15 15<br />
2<br />
21<br />
2 2<br />
3 1 5 1 3 3 1 5 1<br />
15 15<br />
2<br />
15 2<br />
3 5 15 15 60.<br />
2<br />
7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:<br />
<br />
<br />
2<br />
x 2<br />
<br />
x 2 x 2<br />
P 1.<br />
2x 2 x x 2 x 2 2<br />
x x 2<br />
8. Lời giải:<br />
<br />
Ta có:<br />
1 1 1 1<br />
A ...<br />
<br />
1 2 2 3 3 4 120 121<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 21
1 2 2 3 120 121<br />
...<br />
<br />
1 2 1 2 2 3 2 3 120 121 120 121<br />
1 2 2 3 120 121<br />
... <br />
1 1 1<br />
2 1 3 2 ... 121 120 1 121 10 (1)<br />
* 1 2 2<br />
k , ta có: 2 k1<br />
k<br />
Với mọi<br />
k k k k k 1<br />
Do đó B 1 <br />
1 1<br />
...<br />
<br />
2 35<br />
<br />
<br />
B 2 2 1 3 2 4 3 ... 36 35<br />
B 2 1 36 2 1 6 10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B A.<br />
9. Lời giải:<br />
<br />
1)<br />
3 3<br />
x y . x y x y<br />
P <br />
<br />
<br />
x<br />
2 xy y<br />
2<br />
x y x y x . y<br />
<br />
2) Với x 7 4 3 2 3 và y 4 2 3 3 1<br />
10.Lời giải:<br />
Thay vào P ta được:<br />
2 3 3 1 1 3<br />
2 3<br />
P .<br />
3<br />
2 3 3<br />
2 3 3 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 22
Ta có: Q <br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
a<br />
b<br />
b b 2a a<br />
3<br />
a b<br />
3a 3 ab<br />
<br />
a a b b<br />
b<br />
a<br />
3 3<br />
a b a b <br />
b b<br />
<br />
<br />
2a a<br />
3<br />
a b a a b<br />
0<br />
a b a ab b a b a b<br />
a a 3a b 3b a b b 2a a 3 a<br />
<br />
<br />
a b a ab b a b <br />
3 <br />
<br />
3a a 3a b 3b a 3a a 3a b 3b a<br />
<br />
11. Lời giải:<br />
a b a ab b<br />
0<br />
(ĐPCM).<br />
x x 6 x 7 x 19 x 5 x<br />
A <br />
x 9 x x 12 x 4 x<br />
x 2 x 7 x 19 x 5<br />
<br />
x 3 x 4<br />
x 3 x 4<br />
x 2 x 8 x 7 x 19 x 8 x 15<br />
<br />
x 3 x 4<br />
<br />
<br />
x 3 x 4<br />
x 1 x 4 x 1<br />
.<br />
x 3<br />
12. Lời giải:<br />
1 1 2 x 4 2 x 22<br />
x 2<br />
A . Với<br />
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 x<br />
1 2 1<br />
1<br />
A x 4 x 16 (nhận). Vậy A khi x 16 .<br />
3 2 x 3<br />
3<br />
13. Lời giải:<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 23
1) ĐKXĐ: x 3<br />
3 3 x x x<br />
P <br />
x 3 x x 3 x x 1<br />
3 x 3 3 3 3 x 3 3 x x x 1<br />
<br />
<br />
x3 x x 1<br />
<br />
<br />
Vì <br />
P 2 x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 1 0<br />
2<br />
<br />
<br />
6 x 3<br />
x x 2 x 3.<br />
3<br />
x 3 1 0 x 3 1 0 x 3 1 x 4 .Vậy x 3 và<br />
x 4.<br />
2) Phương trình hoành độ giao điểm của <br />
x<br />
2<br />
mx 1 0.<br />
P và d là:<br />
2<br />
có m 4 0 với mọi m , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân<br />
biệt x1,<br />
x<br />
2. Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2<br />
m và xx<br />
1 2<br />
1<br />
x 2 <br />
2 2 2 2<br />
1<br />
x2 m x1 x2 2x1x 2<br />
m<br />
2 4 2<br />
4. 1<br />
<br />
x x x x m x x m<br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2 2<br />
x x m<br />
<br />
1 2<br />
4 4 với mọi m x1 x2 2 với mọi m (ĐPCM).<br />
14. Lời giải:<br />
a<br />
0 a<br />
0<br />
<br />
a 16 0 a<br />
16<br />
1) Biểu thức C có nghĩa khi: a 0, a<br />
16 .<br />
a 4 0 a<br />
16<br />
<br />
a 40<br />
<br />
a<br />
0<br />
Rút gọn<br />
a 2 2<br />
a<br />
2 2<br />
C <br />
a 16 a 4 a 4 a 4 a 4<br />
a 4 a 4<br />
<br />
a 2 a 8 2 a 8 a 4 a<br />
<br />
<br />
a 4 a 4<br />
a 4 a 4 a 4 a 4<br />
a 2 a 4 2 a 4<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 24
4<br />
a 4 a 4<br />
a a a<br />
.<br />
a 4<br />
2) Giá trị của C khi a 9 4 5 .<br />
Ta có:<br />
a<br />
a 9 4 5 4 4 5 5 2 5 2<br />
a 2<br />
a 5 2 5 2<br />
Vậy C 9 4 5 .<br />
a 4 5 2 4 5 2<br />
<br />
15. Lời giải:<br />
<br />
1) Với x0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:<br />
2 3 5 x 7 2 3 3<br />
A <br />
<br />
:<br />
x 2 2 x 1 2x 3 x 2 <br />
5x 10<br />
x<br />
<br />
<br />
22 x 1 3 x 2 5 x 7<br />
2 x 3<br />
:<br />
x 22 x 1 5 x x 2<br />
2 x 3 5 x<br />
x 2 5 x<br />
.<br />
.<br />
x 22 x 1<br />
2 x 3 2 x 1<br />
Vậy với x0, x 4 thì<br />
5 x<br />
A <br />
2 x 1<br />
.<br />
2) Ta có x 0, x 0, x 4 nên<br />
<br />
<br />
2 5 5 2<br />
5 x<br />
A 0, x 0, x 4<br />
2 x 1<br />
5 x 5 5 5 5<br />
A , x 0, x 4 0 A , kết hợp với A<br />
2 x 1 2 2 2 x 1<br />
2<br />
2<br />
nhận giá trị là một số nguyên thì A 1,2<br />
.<br />
1 1<br />
A 1 5 x 2 x 1 x x thỏa mãn điều kiện.<br />
3 9<br />
A 2 5 x 4 x 2 x 2 x 4 không thỏa mãn điều kiện.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 25
Vậy với<br />
16. Lời giải:<br />
1<br />
x thì A nhận giá trị là nguyên.<br />
9<br />
1) Với x 9 ta có<br />
2) a)<br />
31 A 2 .<br />
31<br />
x1 . x2<br />
<br />
<br />
x 2 x x 1 x 1 x 1<br />
P . .<br />
.<br />
x x 2<br />
x 1 x x 2 x 1<br />
x<br />
<br />
b) Theo câu a)<br />
P <br />
x 1<br />
2 x 2<br />
2P 2 x 5 2 x 5<br />
x<br />
2 x 2 2x 5 x 2x 3 x 2 0 và x 0<br />
<br />
<br />
1 <br />
1 1<br />
x 2 x 0 x x .<br />
2 <br />
2 4<br />
17. Giải:<br />
x<br />
2<br />
a 3 5 2 3 3 5 2 3 2 9 5 2 3<br />
6 2 4 2 3<br />
2 2<br />
6 2 3 1 6 2 3 1 4 2 3 1 3<br />
. Do a 0 nên<br />
a 3 1. Do đó a 1 2<br />
3 hay a<br />
18. Giải:<br />
2<br />
2a 2 0 .<br />
2<br />
<br />
a nên 5 1<br />
2<br />
a <br />
8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1<br />
<br />
8 2 5 1 6 2 5 . Vì 0<br />
a<br />
2<br />
2<br />
<br />
a . Do đó 2<br />
a 1 5 hay<br />
2 2<br />
a 2a 3 a 2a<br />
4<br />
2<br />
4 3.4 4 1<br />
2a 4. Biểu diễn T .<br />
2<br />
a 2a12 4 12 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 26
19. Giải:<br />
2 2<br />
Ta có: a x x xy yz zx x yx z<br />
2 2<br />
a y y x y z;<br />
a z z xz y<br />
.<br />
Từ đó ta có:<br />
.Tương tự ta có:<br />
2 2<br />
a y a z x y y z z xz y<br />
x x x x y . Tương<br />
tự:<br />
<br />
2<br />
a x x y x z<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a z a x a x a y<br />
y y<br />
2<br />
z x;<br />
z z<br />
2<br />
x y<br />
a y a z<br />
<br />
VT x y z y z x z x y 2 xy yz zx 2a<br />
.<br />
20. Giải:<br />
61 46 5 1 2 5 1<br />
2 5<br />
3<br />
a) Vì<br />
3<br />
3<br />
Từ đó a 2 7 1 2 5 1 2 5<br />
2<br />
2 2 4 2<br />
a 2 5 a 7 2 10 a 14a<br />
9 0 .<br />
b) Do f x x 4 x 2<br />
x<br />
<br />
21. Giải:<br />
được f a 1.<br />
14 9 2 1 và x<br />
4 2<br />
<br />
<br />
<br />
. Vậy<br />
14a<br />
9 0 nên ta<br />
Vì<br />
3 3 3<br />
a 38 17 5 38 17 5 3.3. 38 17 5. 38 17 5<br />
2012<br />
3 3 2016<br />
a 76 3a a 3a 76 f a 76 1940 2016 .<br />
22. Nhân cả tử và mẫu của <br />
f n với n1<br />
<br />
n, ta được:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 27
f n n 1 n 1 n n . Cho n lần lượt từ 1 đến 2016 , ta được:<br />
f f f <br />
Từ đó suy ra: S f f f f <br />
1 2 2 1 1; 2 3 3 2 2;...; 2016 2017 2017 2016 2016<br />
23. Giải:<br />
1 2 3 ... 2016 2017 2017 1.<br />
1 1 1 1 1<br />
Vì n là số nguyên dương nên: 1 ... 1<br />
2 2 2 2 2<br />
1 2 3 n<br />
1<br />
(1) . Mặt<br />
khác, với mọi k 1 ta có:<br />
1 4 4 1 1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 . Cho 2,3,4,...,<br />
k 4k 4k 1 2k 1 2k<br />
1 k n ta có:<br />
1 4 4 2 2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
2 4.2 4.2 1 2.2 1 2.2 1 3 5<br />
1 4 4 2 2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
3 4.3 4.3 1 2.3 1 2.3 1 3 7<br />
1 4 4 2 2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
4 4.4 4.4 1 2.4 1 2.4 1 7 9<br />
………….<br />
1 4 4 2 2 2 2<br />
<br />
4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1<br />
2 2 2<br />
n n n n n n n<br />
Cộng vế với vế ta được:<br />
1 1 1 1 2 2 2 5<br />
... 1 1 <br />
2 2 2 2<br />
1 2 3 n 3 2n1 3 3<br />
điều phải chứng minh.<br />
(2). Từ (1) và (2) suy ra<br />
24. Giải:<br />
1 1 1 1<br />
Đặt P ...<br />
3 3 3 3<br />
1 2 3<br />
n<br />
. Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái<br />
bằng cách làm giảm mẫu, ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 28
2 2 2 1 1<br />
, k<br />
1<br />
<br />
1 1 1 1<br />
3 3<br />
k k k k k k k k k<br />
Cho k 4,5,..., n thì<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 <br />
2P<br />
2 ...<br />
3 3 3 <br />
1 2 3 3.4 4.5 4.5 5.6 n 1 n nn<br />
1<br />
<br />
251 1 1 251 1 65<br />
65<br />
. Do đó P (đpcm).<br />
108 3.4 n n1 108 3.4 27<br />
64<br />
25. Giải:<br />
<br />
<br />
Đặt<br />
S n<br />
1 1 1<br />
...<br />
<br />
2 1 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1<br />
<br />
<br />
Để ý rằng :<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
k 1 k k k<br />
1<br />
1 k 1 k k k 1 k 1 k k k 1<br />
1 1<br />
, k<br />
<br />
k 1 k k k 1 k k1<br />
k k 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cho k 1, 2,..., n rồi cộng vế với vế ta có:<br />
S n<br />
1 1 1 1 1 1 1<br />
... 1<br />
1 2 2 3 n n 1 n 1<br />
Do đó S2001<br />
1<br />
1<br />
2002<br />
Như vậy ta phải chứng minh:<br />
43 1 44 1 1 1<br />
1 <br />
44 2002 45 45 2002 44<br />
44 2002 45 1936 2002 2025<br />
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 29
26. Giải:<br />
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:<br />
Bổ đề: với mọi số thực dương xy , ta có: x y y x x x y y .<br />
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương<br />
x y y x x x y y x x y y x y y x <br />
<br />
x x y y y x 0 x y x y 0<br />
x y x y 2 0.<br />
Bổ đề được chứng minh.<br />
Áp dụng bổ đề ta có:<br />
1 1 1 1<br />
n n n n n n n n<br />
<br />
1 <br />
1<br />
n n n n n n n n<br />
1 1 1 1<br />
Vì thế:<br />
1 1 1<br />
...<br />
<br />
2 2 1 1 3 3 2 2 n 1 n 1<br />
n n<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
...<br />
<br />
. Mà theo kết quả câu 25<br />
2 1 1 2 3 2 2 3 n 1<br />
n 1<br />
n n<br />
1 1 1 1<br />
thì: ... 1<br />
. Vậy bài<br />
2 1 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 n 1<br />
toán được chứng minh.<br />
Câu 27)<br />
Giải:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 30
Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến<br />
đẳng thức<br />
n n1<br />
2 2<br />
n n n 2 n 2<br />
. Kí hiệu<br />
n<br />
2 n<br />
1 4 7 10 3n2 3n1<br />
P . . . .... . . Ta có:<br />
3 6 9 12 3n<br />
3n<br />
3<br />
2 1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 4 7 10 3n 2 3n<br />
1<br />
<br />
P . . . ... . . . . ... . <br />
3 6 9 12 3n 3n 3 3 6 9 12 3n 3n<br />
3<br />
<br />
1 3 6 9 3n 3 3n 1 4 7 10 3n 2 3n<br />
1<br />
<br />
. . . ... . . . . ... . <br />
3 4 7 10 3n 2 3n 1 3 6 9 12 3n 3n<br />
3 <br />
1 1 3 6 7 9 3n 3 3n 2 3n 3n<br />
1<br />
1 1<br />
. . . . . ... . . . <br />
3 3 4 7 9 10 3n 2 3n 3n 1 3n<br />
3 3 3n3 9 n 1<br />
.<br />
Từ đây suy ra<br />
<br />
1<br />
P . Bất đẳng thức được chứng minh.<br />
3 n 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 31
Kiến thức cần nhớ:<br />
Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2<br />
1. Định nghĩa:<br />
Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất<br />
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó<br />
a và b là các số thực cho trước và a 0 .<br />
+ Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương<br />
quan tỉ lện thuận giữa y và x .<br />
2. Tính chất:<br />
a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R.<br />
b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch<br />
biến khi a 0 .<br />
3. Đồ thị hàm số y ax b<br />
với 0<br />
a .<br />
+ Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ<br />
bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng<br />
+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b<br />
4. <strong>Các</strong>h vẽ đồ thị hàm số y ax b .<br />
b<br />
.<br />
a<br />
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.<br />
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
là A ;0 , B0;<br />
b<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 30
+ Chú ý: Đường thẳng đi qua M m ;0<br />
song song với trục tung có phương<br />
, đường thẳng đi qua N0;<br />
<br />
trình: x m 0<br />
phương trình: yn<br />
0<br />
5. Kiến thức bổ sung.<br />
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ; , ; <br />
2 2<br />
. Điểm ; <br />
AB x x y y<br />
x<br />
2 1 2 1<br />
x x y y<br />
2 2<br />
1 2 1 2<br />
; y .<br />
n song song với trục hoành có<br />
A x y B x y thì<br />
1 1 2 2<br />
M x y là trung điểm của AB thì<br />
6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông<br />
góc.<br />
Cho hai đường thẳng d1 : y ax b<br />
aa , ' 0 .<br />
và đường thẳng <br />
d2 : y a ' x b'<br />
với<br />
<br />
1 2<br />
( d ) / /( d ) a a'<br />
và b b'<br />
.<br />
<br />
1 2<br />
( d ) ( d ) a a'<br />
và b b'<br />
.<br />
d 1<br />
cắt <br />
<br />
1 2<br />
d a a .<br />
2<br />
'<br />
( d ) ( d ) a. a' 1<br />
Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox , nếu a 0<br />
thì tan a .<br />
Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:<br />
Ví dụ 1) Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng<br />
2 : 2<br />
<br />
2 2<br />
d y m m x m m<br />
.<br />
a) Tìm m để ( d1) / /( d<br />
2)<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 31
) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ( d<br />
1)<br />
có hoành độ x 2 . Viết<br />
phương trình đường thẳng ( d3)<br />
đi qua A vuông góc với ( d<br />
1)<br />
.<br />
c) Khi ( d1) / /( d<br />
2)<br />
. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng<br />
<br />
1 2<br />
<br />
( d ), d .<br />
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( d<br />
1)<br />
và tính<br />
Lời giải:<br />
diện tích tam giác OMN với M,<br />
N lần lượt là giao điểm của ( d<br />
1)<br />
với các trục tọa độ Ox,<br />
Oy .<br />
a) Đường thẳng ( d1) / /( d<br />
2)<br />
khi và chỉ khi<br />
m<br />
m <br />
m<br />
m<br />
<br />
2<br />
2m<br />
m1 <br />
1 2 1 0 1<br />
m<br />
2<br />
<br />
.<br />
<br />
m m<br />
2 <br />
1 2 0 2<br />
1<br />
Vậy với m thì ( d1) / /( d<br />
2)<br />
.<br />
2<br />
b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng ( d<br />
1)<br />
có hoành độ x 2 suy ra<br />
tung độ điểm A l y 2 2 4 A2;4<br />
1<br />
.<br />
Đường thẳng d có hệ số góc là a 1, đường thẳng d có hệ số góc là<br />
a' a'.1 1 a' 1<br />
. Đường thẳng <br />
đi qua 2;4<br />
y x 6 .<br />
c)<br />
A suy ra 4 2 b b 6<br />
Khi (<br />
1) / /(<br />
2)<br />
3<br />
2 <br />
d có dạng y x b<br />
. Vậy đường thẳng <br />
. Vì d<br />
<br />
d là<br />
d d thì khoảng cách giữa hai đường thẳng d và <br />
chính là khoảng cách giữa hai điểm AB , lần lượt thuộc <br />
cho AB ( d ), AB d<br />
<br />
.<br />
1 2<br />
Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
d cũng<br />
d và <br />
(d 3 )<br />
A<br />
d sao<br />
2<br />
(d 1 )<br />
( d<br />
3)<br />
và ( d<br />
2)<br />
. Phương trình hoành độ giao điểm<br />
B<br />
(d 2 )<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 32
của <br />
2 <br />
d và <br />
d là:<br />
3<br />
1 25 23 25 23<br />
x 6 x x y B ;<br />
<br />
<br />
4 8 8 8 8 .<br />
Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:<br />
2 2<br />
25 23 9 2<br />
AB 2 4<br />
.<br />
8 8 8<br />
d) Gọi M,<br />
N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục<br />
tọa độ Ox,<br />
Oy . Ta có:<br />
Cho y 0 x 2 A 2;0<br />
, cho y 0 x 2 N 2;0<br />
1<br />
. Từ đó<br />
suy ra OM ON<br />
2 MN<br />
2 2 .Tam giác OMN vuông cân tại O . Gọi<br />
1<br />
H là hình chiếu vuông góc của O lên MN ta có OH MN 2 và<br />
2<br />
1<br />
SOMN<br />
OM. ON 2 ( đvdt).<br />
2<br />
Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH<br />
theo cách:<br />
Trong tam giác vuông OMN ta có:<br />
1 1 1<br />
(*). Từ đó để khoảng cách từ điểm O<br />
2 2 2<br />
OH OA OB<br />
N<br />
y<br />
H<br />
đến đường thẳng ( d ) ta làm theo cách:<br />
O<br />
M<br />
x<br />
+ Tìm các giao điểm M,<br />
N của ( d ) với các trục tọa<br />
độ<br />
+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác<br />
vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH .<br />
Bằng cách làm tƣơng tự ta có thể chứng minh đƣợc công thức sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 33
Cho ; <br />
M x y và đường thẳng ax by c 0 . Khoảng cách từ điểm M<br />
0 0<br />
đến đường thẳng là:<br />
d <br />
ax by c<br />
0 0<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
.<br />
Ví dụ 2:Cho đường thẳng <br />
mx 2 3m y m 1 0 ( d ).<br />
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( d ) luôn đi qua.<br />
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d ) là lớn<br />
nhất.<br />
c) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt các trục tọa độ Ox,<br />
Oy lần lượt tại<br />
Lời giải:<br />
ta có:<br />
AB , sao cho tam giác OAB cân.<br />
a) Gọi ; <br />
I x y là điểm cố định mà đường thẳng ( d ) luôn đi qua với<br />
0 0<br />
mọi m khi đó<br />
2 3 1 0 <br />
mx m y m m m x 3y 1 2y 1 0m<br />
0 0<br />
1<br />
x<br />
x0 3y0<br />
1 0<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 1 1<br />
<br />
. Hay I ;<br />
2y0<br />
1 0<br />
1<br />
.<br />
<br />
2 2<br />
y<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
0 0 0<br />
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng ( d ). Ta có:<br />
OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H I OI ( d)<br />
.<br />
Đường thẳng qua O có phương trình: y<br />
ax do<br />
I 1 1 1 1<br />
; . 1 :<br />
2 2 OI <br />
2 a <br />
2<br />
a OI y <br />
<br />
x .<br />
Đường thẳng ( d ) được viết lại như sau:<br />
<br />
mx 2 3m y m 1 0 2 3m y mx 1 m .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 34
+ Đế ý rằng với<br />
2<br />
m thì đường thẳng<br />
3<br />
Oy nên khoảng cách từ O đến ( d ) là 1 2 .<br />
+ Nếu<br />
kiện để ( d)<br />
cách<br />
2<br />
m đường thẳng ( d ) có thể viết lại:<br />
3<br />
m<br />
OI là<br />
1<br />
( d) : x 0 song song với trục<br />
2<br />
m m1<br />
y<br />
x<br />
3m2 3m 2<br />
. Điều<br />
1<br />
.1 1 m 2 3m m . Khi đó khoảng<br />
3m<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 1 2<br />
OI . Vậy<br />
2 2 2<br />
c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:<br />
1<br />
m là giá trị cần tìm.<br />
2<br />
2<br />
+ <strong>Các</strong>h 1: Dễ thấy m không thỏa mãn điều kiện (Do ( d ) không cắt<br />
3<br />
2<br />
Oy ). Xét m , đường thẳng ( d ) cắt Ox,<br />
Oy tại các điểm AB , tạo thành<br />
3<br />
tam giác cân OAB , do góc<br />
AOB<br />
0<br />
90 OAB vuông cân tại O . Suy ra<br />
hệ số góc của đường thẳng ( d ) phải bằng 1 hoặc 1 và đường thẳng ( d )<br />
không đi qua gốc O .<br />
m<br />
<br />
1<br />
m<br />
1<br />
3m<br />
2<br />
<br />
1 . Ta thấy chỉ có giá trị<br />
m m<br />
<br />
1 <br />
2<br />
3m<br />
2<br />
bài toán.<br />
1<br />
m là thỏa mãn điều kiện<br />
2<br />
2<br />
<strong>Các</strong>h 2: Dễ thấy m , m 0 không thỏa mãn điều kiện<br />
3<br />
2<br />
m m1<br />
Xét m 0; , đường thẳng ( d ) có thể viết lại: y<br />
x<br />
3<br />
3m2 3m 2<br />
.<br />
Đường thẳng ( d ) cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên<br />
m m 1 1 1 1<br />
0 m m <br />
x x A<br />
;0 OA <br />
m , đường<br />
3m 2 3m 2<br />
m m m<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 35
thẳng ( d ) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên<br />
m 1 1 1<br />
0;<br />
m m <br />
y B<br />
OB . Điều kiện để tam giác OAB<br />
3m 2 3m 2 3m<br />
2<br />
1<br />
1 1 m 1<br />
m<br />
<br />
m<br />
m <br />
cân là OA OB <br />
<br />
1 . Giá trị<br />
m 3m<br />
2 m 3m2<br />
m<br />
<br />
2<br />
m 1 không thỏa mãn , do đường thẳng ( d ) đi qua gốc tọa độ.<br />
Kết luận:<br />
1<br />
m .<br />
2<br />
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng<br />
( d ) : mx ( m 1) y 2m 1 0,( d ) : (1 m) x my 4m<br />
1 0<br />
1 2<br />
a) Tìm các điểm cố định mà ( d<br />
1)<br />
, ( d<br />
2)<br />
luôn đi qua.<br />
b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0;4) đến đường thẳng ( d<br />
1)<br />
là<br />
lớn nhất.<br />
c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm<br />
quỹ tích điểm I khi m thay đổi.<br />
d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác I AB với AB , lần lượt là<br />
Lời giải:<br />
các điểm cố định mà ,<br />
<br />
d d đi qua.<br />
1 2<br />
( d ) : mx ( m 1) y 2m 1 0 m x y 2 1 y 0.<br />
a) Ta viết lại <br />
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng<br />
1)<br />
1<br />
(d luôn đi qua điểm cố định: 1;1<br />
<br />
Tương tự viết lại <br />
suy ra (<br />
2)<br />
2<br />
A .<br />
( d ) : (1 m) x my 4m 1 0 m y x 4 1 x 0<br />
d luôn đi qua điểm cố định: 1;3 <br />
b) Để ý rằng đường thẳng (<br />
1)<br />
B .<br />
d luôn đi qua điểm cố định: A 1;1<br />
<br />
. Gọi<br />
H là hình chiếu vuông góc của P lên ( d<br />
1)<br />
thì khoảng cách từ A đến ( d<br />
1)<br />
là PH PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 36
P H PH d 1<br />
.Gọi y ax b là phương trình đường thẳng đi qua<br />
a.0 b 4 b<br />
4<br />
P0;4 , A 1;1<br />
ta có hệ : suy ra phương trình đường<br />
a.1 b 1 a<br />
3<br />
thẳng PA : y 3x<br />
4 .<br />
Xét đường thẳng ( d<br />
1) : : mx ( m 1) y 2m<br />
1 0 . Nếu m 1 thì<br />
d1 : x1 0 không thỏa mãn điều kiện. Khi m 1 thì:<br />
m 2m1<br />
d1<br />
: y x <br />
1m<br />
m 1<br />
. Điều kiện để ( d1)<br />
PA là<br />
m<br />
1<br />
3<br />
1 m<br />
1 m .<br />
4<br />
c) Nếu 0 d1 : 1 0 d2 : x1 0 suy ra hai đường<br />
thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I 1;1<br />
. Nếu m 1 thì<br />
d1 : x 1 0 và d2 : y3 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông<br />
góc với nhau và cắt nhau tại I 1;3<br />
. Nếu m 0;1<br />
thì ta viết lại<br />
m thì <br />
y và <br />
m 2m1<br />
m1 4m1<br />
d1<br />
: y x và d2<br />
: y x . Ta thấy<br />
1m<br />
m1<br />
m m<br />
m m1 1 nên d1 d2<br />
.<br />
(d 2 )<br />
1<br />
m m<br />
I<br />
<br />
Do đó hai đường thẳng này luôn cắt<br />
nhau tại 1 điểm I .<br />
(d 1 )<br />
Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai<br />
đường thẳng ,<br />
<br />
d d luôn vuông góc<br />
1 2<br />
A<br />
H<br />
K<br />
B<br />
và cắt nhau tại 1 điểm I . Mặt khác theo<br />
câu a) ta có ,<br />
<br />
d d lần lượt đi qua 2<br />
1 2<br />
điểm cố định AB , suy ra tam giác I AB vuông tại A . Nên I nằm trên<br />
đường tròn đường kính AB .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 37
2 2<br />
d) Ta có <br />
AB 11 31 2 2 . Dựng IH AB thì<br />
2<br />
1 1 1 AB AB<br />
S IAB<br />
IH. AB IK. AB . AB 2 . Vậy giá trị lớn nhất của<br />
2 2 2 2 4<br />
diện tích tam giác IAB là 2 khi và chỉ khi IH IK . Hay tam giác IAB<br />
vuông cân tại I .<br />
Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm<br />
GTLN, GTNN<br />
Ta có các kết quả quan trọng sau:<br />
+ Xét hàm số y f ( x)<br />
ax b với m x n khi đó GTLN, GTNN của<br />
hàm số sẽ đạt được tại x m hoặc x n. Nói cách khác:<br />
<br />
và max f ( x) max f m;<br />
f n<br />
min f ( x) min f m ; f n<br />
mxn<br />
mxn<br />
. Như vậy<br />
để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f ( x)<br />
ax b với m x n ta chỉ<br />
cần tính các giá trị biên là f m,<br />
<br />
GTLN, GTNN.<br />
f n và so sánh hai giá trị đó để tìm<br />
+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y f x<br />
ax b<br />
có f m, f n<br />
0 thì f x 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện:<br />
m x n .<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực 0 x, y, z 2. Chứng minh rằng:<br />
x y z xy yz zx<br />
2 4.<br />
Lời giải:<br />
Ta coi yz , như là các <strong>tham</strong> số, x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng<br />
f ( x) 2 y z x 2 y z yz 4 0 .<br />
minh có thể viết lại như sau: <br />
Để chứng minh f x 0 ta chỉ cần chứng minh:<br />
có:<br />
f<br />
<br />
f<br />
<br />
<br />
0 0<br />
. Thật vậy ta<br />
2 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 38
+ f y z yz y z <br />
0 2 4 2 2 0 với yzthỏa , mãn:<br />
0 yz , 2 .<br />
f 2 2 2 y z 2 y z yz 4 yz 0 với yzthỏa , mãn:<br />
+ <br />
0 yz , 2 .<br />
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
x; y; z 0;2;2<br />
hoặc các hoán vị của bộ số trên.<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x, y,<br />
z thỏa mãn điều kiện:<br />
x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P xy yz zx 2xyz<br />
.<br />
Lời giải:<br />
Không mất tính tổng quát ta giả sử min , , <br />
có<br />
x y 1z<br />
<br />
2 2<br />
0 xy .<br />
4 4<br />
P xy 1 2z x y z xy 1 2z z 1<br />
z<br />
ẩn số thì f xy xy 1 2z z 1<br />
z<br />
x y z<br />
1<br />
z x y z z . Ta<br />
3 3<br />
. Ta coi z là <strong>tham</strong> số xy là<br />
1<br />
z 2<br />
là hàm số bậc nhất của xy với<br />
0 xy . Để ý rằng: 12z<br />
0 suy ra hàm số<br />
4<br />
1 2 1<br />
<br />
f xy xy z z z luôn đồng biến . Từ đó suy ra<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
3 2<br />
1z 1z 2z z 1<br />
f xy f 1 2z z 1 2z<br />
<br />
4 <br />
<br />
4 4<br />
7 1 3 1 2 1 7 1 1 1 7<br />
z z 27 2 4 108<br />
z z <br />
. Dấu bằng xảy ra<br />
27 2 3 6 27<br />
1<br />
khi và chỉ khi x y z .<br />
3<br />
Ví dụ 3: Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn điều kiện: ab c 1.<br />
Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c<br />
3<br />
<br />
5 6 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 39<br />
2
Lời giải:<br />
Không mất tính tổng quát giả sử: a min a, b,<br />
c<br />
thức tương đương với<br />
suy ra<br />
2 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 3<br />
5 a b c 2bc 6 a b c 3bc b c 1<br />
1<br />
a . Bất đẳng<br />
3<br />
<br />
2 2 3<br />
3 2<br />
5a 1 a 2bc 6a 1 a 3bc 1 a 1 9a 4 bc 2a<br />
1 0<br />
<br />
. Đặt t bc thì<br />
2 2<br />
b c 1a<br />
<br />
0 t . Ta cần chứng minh:<br />
2 2 <br />
2<br />
<br />
f t 9a 4t 2a<br />
1 2<br />
1<br />
a <br />
0 với mọi t 0;<br />
<br />
2 <br />
. Do 9a 4 0 suy<br />
1<br />
a <br />
ra hàm số f t nghịch biến. Suy ra 2 1<br />
2<br />
f t f <br />
a3a<br />
1<br />
0 .<br />
<br />
2 <br />
4<br />
1<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .<br />
2<br />
Kiến thức cần nhớ.<br />
Vấn đề 2: HÀM SỐ BẬC HAI<br />
Hàm số<br />
y<br />
2<br />
ax a 0<br />
: Hàm số xác định với mọi số thực x<br />
Tính chất biến thiên:<br />
+) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 .<br />
+) Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 .<br />
Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục<br />
tung làm trục đối xứng. Khi a 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi<br />
a 0 thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới.<br />
y<br />
y<br />
O<br />
x<br />
y= ax<br />
http://dethithpt.com 2<br />
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Với a>0<br />
40
Ví dụ 1.<br />
2<br />
a) Hãy xác định hàm số y f x ax biết rằng đồ thị của nó đi qua<br />
điểm A 2;4<br />
.<br />
b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho<br />
c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.<br />
3<br />
d) Tìm m sao cho ; <br />
B m m thuộc Parabol.<br />
e) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa<br />
độ.<br />
Lời giải:<br />
A P 4 a.2 a 1<br />
a) Ta có <br />
2<br />
b) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ<br />
<br />
<br />
O 0;0 quay bề lồi xuống dưới, có trục<br />
9<br />
y<br />
y=x 2<br />
đối xứng là Oy đi qua các điểm<br />
1;1 , 1;1 , 3;9 , <br />
3;9<br />
M N E F<br />
-3<br />
-1<br />
1<br />
O<br />
1<br />
3<br />
x<br />
c) Gọi C là điểm thuộc P có tung độ bằng 16.<br />
Ta có:<br />
. Vậy C 4;16<br />
hoặc 4;16<br />
y x x<br />
2<br />
C<br />
16<br />
C<br />
16<br />
C<br />
4<br />
C .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 41
d) Thay tọa độ điểm B vào P ta được:<br />
3 2 3 2 2<br />
<br />
m m m m 0 m m 1 0 m 0 hoặc m 1.<br />
e) Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có:<br />
2<br />
, ; , <br />
d D Ox y x d D Oy x . Theo giả thiết ta có:<br />
2<br />
D D D<br />
D D D<br />
x x x 0 (loại) hoặc 1<br />
x . Vậy D 1;1<br />
hoặc 1;1<br />
D<br />
D .<br />
Ví dụ 2: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua<br />
một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và<br />
khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5 m( Bỏ qua độ dày của<br />
cổng).<br />
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabo <br />
2<br />
P : y ax với a 0 là<br />
hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1.<br />
2) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?<br />
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội<br />
2015-2016)<br />
Lời giải:<br />
1) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo<br />
đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA NA 2m<br />
.<br />
Theo giả thiết ta có OM ON<br />
2 5, áp dụng định lý Pitago ta tính được:<br />
OA 4 vậy M 2; 4 , N2; 4 . Do M 2; 4<br />
thuộc parabol nên tọa độ<br />
P : y ax hay<br />
điểm M thỏa mãn phương trình: <br />
2<br />
2<br />
P : y x<br />
.<br />
2<br />
4 a.2 a 1 và<br />
2) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.<br />
Xét đường thẳng <br />
3<br />
d : y <br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 42
(ứng với chiều cao của xe). Đường<br />
thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm<br />
y<br />
có tọa độ thỏa mãn hệ:<br />
2<br />
y<br />
x<br />
<br />
3<br />
y<br />
<br />
2<br />
2 3 3 2 3<br />
x x<br />
; y <br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
3 <br />
y <br />
3 2 3<br />
x ; y<br />
2 <br />
2 2<br />
suy ra tọa độ hai giao điểm là<br />
3 2 3 3 2 3 <br />
T <br />
; ; H ; HT 3 2 2,4<br />
2 2 2 2 <br />
. Vậy xe tải có thể đi qua<br />
<br />
cổng.<br />
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y 1 và điểm<br />
F<br />
<br />
IF .<br />
0;1<br />
<br />
Lời giải:<br />
. Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng<br />
Giả sử điểm I x;<br />
y . Khi đó khoảng cách từ I đến d bằng y 1 và<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
. Như vậy y x y <br />
IF x y<br />
y <br />
1<br />
4<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
1 1 . Từ đây suy ra<br />
. Do đó tập hợp tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến<br />
1<br />
P1<br />
: y x .<br />
4<br />
d bằng IF là đường Parabol <br />
2<br />
Ví dụ 4.<br />
a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol <br />
2<br />
đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I 0;1<br />
.<br />
N<br />
-2<br />
T<br />
O<br />
B<br />
-4 A<br />
H<br />
M<br />
y=-x 2<br />
P : y x sao cho độ dài<br />
2<br />
x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 43
) Giả sử điểm A chạy trên Parabol <br />
2<br />
Lời giải:<br />
điểm J của đoạn OA.<br />
a) Giả sử điểm M thuộc đường Parabol <br />
2<br />
Khi đó 2<br />
2 2 2 4 2<br />
IM m m 1 m m 1. Vậy<br />
2<br />
P : y x . Tìm tập hợp trung<br />
P : y x<br />
2 1 3 3<br />
IM <br />
m<br />
<br />
. Ta thấy IM nhỏ nhất bằng<br />
2 4 2<br />
hay<br />
M <br />
<br />
<br />
<br />
2 1 ;<br />
2 2<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
2<br />
b) Giả sử điểm ; <br />
điểm đoạn OA.Suy ra<br />
2<br />
A a a thuộc P : y x . Gọi ; <br />
a<br />
x1<br />
<br />
2<br />
<br />
a<br />
y<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2x1<br />
P1 : y 2x<br />
.<br />
đoạn OA là đường Parabol <br />
2<br />
2<br />
suy ra ; <br />
M m m .<br />
3<br />
2 khi 2<br />
m <br />
2<br />
I x y là trung<br />
1 1<br />
. Vậy tập hợp các trung điểm I của<br />
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên<br />
2<br />
parabol P : y x sao cho A, B O0;0<br />
điểm của đoạn AB .<br />
a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB .<br />
và OA OB . Giả sử I là trung<br />
b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.<br />
c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.<br />
Lời giải:<br />
2<br />
2<br />
a) Giả sử Aa;<br />
a và ; <br />
và OA OB ta cần điều kiện: ab 0 và<br />
B b b là hai điểm thuộc P . Để A, B O0;0<br />
2 2 2<br />
OA OB AB hay ab 0 và<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 44
2<br />
2<br />
2 4 2 4 2 2<br />
a a b b a b a b . Rút gọn hai vế ta được: ab 1.<br />
Gọi I x y là trung điểm đoạn AB . Khi đó:<br />
1;<br />
1<br />
a<br />
b<br />
x1<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
. Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn<br />
a b a b<br />
2ab<br />
2<br />
y1 2x1<br />
1<br />
2 2<br />
phương trình<br />
y<br />
2<br />
2x<br />
1.<br />
Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA OB theo cách sử dụng hệ số góc:<br />
Đường thẳng OA có hệ số góc là<br />
góc là<br />
k<br />
2<br />
2<br />
a<br />
k1<br />
a, đường thẳng OB có hệ số<br />
a<br />
2<br />
b<br />
b. Suy ra điều kiện để OA OB là ab . 1<br />
b<br />
b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là <br />
: x <br />
AB a y <br />
<br />
a<br />
b a b a<br />
AB : y a b x ab a b<br />
x 1<br />
thẳng AB : y a b<br />
x 1 luôn luôn đi qua điểm cố định <br />
2<br />
2 2<br />
. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường<br />
0;1 .<br />
hay<br />
c) Vì OA OB nên 1<br />
2 2 2<br />
ab . Độ dài đoạn 2<br />
AB a b a b hay<br />
AB a b ab a b a b<br />
2 2 4 4 2 2<br />
2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có<br />
2 2 2 2<br />
a b 2 a b 2ab<br />
,<br />
AB ab a b a b<br />
4 4 2 2<br />
a b 2a b . Ta có:<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2 2 . Vậy AB ngắn nhất bằng 2 khi<br />
. Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: A 1;1<br />
và 1;1<br />
<br />
2<br />
a b 2 , ab 1<br />
B .<br />
2<br />
Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x , trên P<br />
<br />
lấy hai điểm A 1;1 , B3;9<br />
.<br />
a) Tính diện tích tam giác OAB .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 45
) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của <br />
Lời giải:<br />
tam giác ABC lớn nhất.<br />
a) Gọi y ax b là phương<br />
trình đường thẳng AB .<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
<br />
a. 1 b1 a<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
a.3b9<br />
b<br />
3<br />
suy ra phương trình đường thẳng AB<br />
d : y 2x<br />
3. Đường thẳng AB cắt<br />
trục Oy tại điểm I 0;3<br />
. Diện tích tam giác OAB là:<br />
P sao cho diện tích<br />
1 1<br />
SOAB SOAI SOBI<br />
AH. OI BK.<br />
OI . Ta có AH 1; BK 3, OI 3 . Suy<br />
2 2<br />
ra SOAB<br />
6 (đvdt).<br />
2<br />
b) Giả sử ; <br />
C c c thuộc cung nhỏ <br />
giác:<br />
ABC ABB ' A' ACC ' A' BCC ' B'<br />
P với 1 c 3. Diện tích tam<br />
S S S S . <strong>Các</strong> tứ giác ABB' A', AA' C ' C, CBB' C '<br />
đều là hình thang vuông nên ta có:<br />
2 2<br />
1 9 1 c 9 c<br />
2<br />
SABC<br />
.4 . c 1 . 3 c 8 2c<br />
1<br />
8 .Vậy diện tích<br />
2 2 2<br />
tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C 1;1<br />
.<br />
Ví dụ 10) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y x<br />
6 và<br />
P : y x .<br />
parabol <br />
2<br />
Lời giải:<br />
a) Tìm tọa độ các giao điểm của <br />
b) Gọi AB , là hai giao điểm của <br />
d và P .<br />
d và P . Tính diện tích tam<br />
giác OAB . (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hà Nội năm<br />
2014)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 46<br />
-3<br />
y=x 2<br />
9<br />
K<br />
I<br />
1<br />
A<br />
H<br />
A'<br />
-1 O<br />
y<br />
C'<br />
1<br />
C(c;c 2 )<br />
B<br />
B'<br />
3 x
1) Phương trình hoành độ giao điểm của <br />
6 6 0 x 2 x 3<br />
2 2<br />
x x x x<br />
Vậy tọa độ giao điểm của P và <br />
P và d là:<br />
.Ta có y y <br />
d là B 2;4<br />
và 3;9<br />
2 4; 3 9 .<br />
A .<br />
2) Gọi A', B ' lần lượt là hình chiếu của AB , xuống trục hoành.<br />
Ta có S OAB<br />
SAA' B' B<br />
S OAA' S<br />
OBB '<br />
Ta có A' B ' xB' xA' xB' xA'<br />
5; AA' yA 9; BB ' yB<br />
4<br />
AA' BB<br />
' 9 4 65<br />
1 27<br />
SAA'<br />
BB'<br />
. A' B ' .5 (đvdt), S OAA'<br />
A' A. A'<br />
O <br />
2 2 2<br />
2 2<br />
65 27 <br />
(đvdt) S OAB<br />
SAA' B' B<br />
S OAA' S<br />
OBB '<br />
4 <br />
15 (đvdt).<br />
2 2 <br />
Phƣơng trình bậc hai và định lý Viet<br />
Kiến thức cần nhớ:<br />
Đối với phương trình bậc hai ax 2 bx c 0a<br />
0<br />
2<br />
b 4ac<br />
.<br />
+ Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm.<br />
+ Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép<br />
có biệt thức<br />
b<br />
x .<br />
2a<br />
b<br />
<br />
+ Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1<br />
;<br />
2a<br />
x<br />
2<br />
b<br />
<br />
.<br />
2a<br />
Công thức nghiệm thu gọn : Khi<br />
b<br />
2 b'<br />
, ta xét<br />
2<br />
'<br />
b'<br />
ac . Khi đó:<br />
+ Nếu ' 0 thì phương trình vô nghiệm.<br />
+ Nếu ' 0 thì phương trình có nghiệm kép<br />
b'<br />
x .<br />
a<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 47
'<br />
'<br />
+ Nếu ' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1<br />
;<br />
2a<br />
x<br />
2<br />
b'<br />
'<br />
.<br />
2a<br />
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2<br />
Để chứng minh một phương trình bậc 2 có nghiệm. Thông thường ta chứng<br />
minh: 0 dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về<br />
dạng Ax B 2 0<br />
, kiến thức về bất đẳng thức , bất phương trình, trong<br />
một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam<br />
thức bậc 2 để vận dụng.<br />
Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề<br />
quan trọng sau:<br />
2<br />
+ Mọi tam thức bậc 2: f x ax bx c với a 0 đều có thể phân tích<br />
thành dạng<br />
b <br />
f x<br />
ax<br />
<br />
2a<br />
4a<br />
2<br />
với<br />
2<br />
b 4ac<br />
.<br />
+ Để chứng minh một phương trình bậc hai f x ax 2 bx c 0a<br />
0<br />
có nghiệm ngoài cách chứng minh 0 ta còn có cách khác như sau:”Chỉ<br />
af . 0 hoặc hai số thực ,<br />
sao cho:<br />
ra số thực sao cho <br />
f . f <br />
0”.<br />
Thật vậy ta có thể chứng minh điều này nhƣ sau:<br />
+ Ta có a f <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2a<br />
4a<br />
<br />
2<br />
2 b <br />
. a <br />
0<br />
2 <br />
2 2<br />
b b <br />
<br />
0 0 0<br />
2 2 <br />
2a 4a 4a 2a<br />
<br />
có nghiệm.<br />
suy ra phương trình<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 48
2<br />
+ Xét a. f a. f a f . f <br />
0<br />
trong hai số <br />
af có một số không dương, tức là af 0 hoặc 0<br />
phương trình có nghiệm.<br />
Ví dụ 1). Giải các phương trình sau:<br />
1)<br />
2)<br />
x<br />
2<br />
5x 6 0<br />
2<br />
2x<br />
3x1 0 .<br />
2<br />
3) x <br />
2 3 x 2 3 0<br />
2 2<br />
x m x m m<br />
2 1 0 .<br />
4) <br />
Lời giải:<br />
af và<br />
af <br />
1) Ta có 5 2<br />
4.1.6 1 1 .<br />
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt<br />
51 <br />
x1<br />
2<br />
2.1<br />
<br />
51 x2<br />
3<br />
2.1<br />
2 2<br />
2) Ta có x x<br />
<br />
2 3 1 0 3 4 2 .1 17 17 .<br />
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt<br />
3) Ta có:<br />
3 17 3<br />
17<br />
x1<br />
<br />
2. 2<br />
4<br />
<br />
<br />
3<br />
17 3<br />
17<br />
x2<br />
<br />
2. 2<br />
4<br />
2 2<br />
2 3 4.2 3 2 3<br />
2 3 . Phương trình có hai<br />
nghiệm phân biệt là:<br />
2 3 2 3<br />
x1<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 3 2 3<br />
x2<br />
<br />
<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 49<br />
3<br />
,
4) m 2 m 2 m<br />
2 1 4 1.<br />
2m<br />
11<br />
<br />
x1<br />
m1<br />
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:<br />
2<br />
<br />
2m<br />
11<br />
x2<br />
m<br />
2<br />
Ví dụ 2. Cho phương trình: m x 2<br />
m x m<br />
<br />
1 2 1 3 0 (1)<br />
1. Giải phương trình (1) khi m 2<br />
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.<br />
3. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.<br />
Lời giải:<br />
1. Với m 2 ta có phương trình:<br />
x<br />
2<br />
6x1 0 . Ta có<br />
' 3 2<br />
110<br />
nên phương trình có 2 nghiệm là: x 3 10 và<br />
x 3 10 .<br />
2. Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:<br />
<br />
<br />
<br />
m 1 0 m<br />
1 1<br />
<br />
<br />
2<br />
m <br />
' m 1 m 1 . m<br />
3<br />
0 6m<br />
2 0 3<br />
<br />
.<br />
3. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi<br />
m 1<br />
0 1<br />
<br />
m 1 m<br />
<br />
<br />
2<br />
3 .<br />
' m 1 m 1 . m<br />
3<br />
0 6m<br />
2 0<br />
<br />
<br />
m<br />
1<br />
Ví dụ 3. Cho a b 0, b c 0, a c 0 . Chứng minh rằng phương trình<br />
sau có nghiệm: a b c x 2 a 3 b 3 c 3 x a 2 b 2 c<br />
2<br />
<br />
Lời giải:<br />
2 3 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 50
Nếu ab c 0 thì từ giả thiết ta suy ra a b c 0. Do vậy phương<br />
trình có vô số nghiệm.<br />
Dưới đây ta xét trường hợp ab c 0 .<br />
Ta có: ' 3 a 3 b 3 c 3 a b c.<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
<br />
3 3 3<br />
2a b c aba b bcb c aca c<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b aba b b c bcb c a c aca c<br />
a b a b b c b c a c a c<br />
2 2 2<br />
. . . 0 .<br />
Do a b, b c, a c 0 . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm.<br />
2 3 3<br />
Ví dụ 4: Cho phương trình: ax bcx b c 4abc<br />
0 (1)<br />
<br />
a 0<br />
vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một<br />
2<br />
phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: ax bx c 0<br />
<br />
2<br />
2 và ax cx b 0 (3).<br />
Lời giải:<br />
Vì (1) vô nghiệm nên ta có:<br />
<br />
<br />
2 2 3 3 2 2<br />
1<br />
b c 4a b c 4abc 0 b 4ac c 4ab<br />
0(*)<br />
2<br />
Phương trình(2) có: 2 b 4 ac;<br />
Phương trình (3) có:<br />
<br />
2<br />
3<br />
c 4<br />
ab<br />
Nên (*) 2. 3<br />
0 trong hai số 2,<br />
3luôn có một số dương và một số<br />
âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có<br />
nghiệm và một phương trình vô nghiệm.<br />
Ví dụ 5)<br />
a) Cho các số dương abc , , thỏa mãn điều kiện a 2b 3c<br />
1. Chứng<br />
minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 51
4x 2 4 2a 1 x 4a 2 192abc<br />
1 0<br />
và<br />
4x 2 4 2b 1 x 4b 2 96abc<br />
1 0<br />
.<br />
b) Cho các số abc , , thỏa mãn điều kiện ab c 6 . Chứng minh<br />
rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :<br />
2 2<br />
x bx x cx<br />
1 0; 1<br />
0<br />
x<br />
2<br />
ax 1<br />
0;<br />
c) Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương<br />
trình có nghiệm:<br />
2<br />
cx ax b<br />
2 0 (3).<br />
Lời giải:<br />
2<br />
ax bx c<br />
a) Hai phương trình trên lần lượt có<br />
2<br />
2 0 (1) ; bx 2cx a 0 (2)<br />
<br />
' 16a 1 48 bc , ' 16b 1 24ac<br />
. Vì ab , là các số dương nên<br />
1 2<br />
' , ' lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1<br />
24ac . Mặt khác ta lại có<br />
1 2<br />
2<br />
1 48bc 1 24ac 2 24c a 2b 2 24c 13c 2 6c<br />
1 0 . Dẫn<br />
đến<br />
<br />
' '<br />
1 2<br />
0<br />
. Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.<br />
b). Ba phương trình đã cho lần lượt có<br />
Do đó<br />
Lại có<br />
.<br />
2 2 2<br />
1 2 3<br />
a b c 12<br />
a 4; b 4; c 4.<br />
2 2 2<br />
1 2 3<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
3 a b c a b c a b b c c a a b c .Suy<br />
2 2<br />
abc<br />
2 2 2<br />
ra a b c 12 . Do đó a b c 12 0 hay<br />
3 3<br />
1 2 3 0. Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có<br />
nghiệm.<br />
2 2 2 6<br />
c) Nếu Trong ba số abc , , có một số bằng 0, chẳng hạn a 0 (2)<br />
có<br />
nghiệm x 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 52
Ta xét a, bc , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba<br />
2 2 2<br />
phương trình bậc hai lần lượt có : ' b ac; ' c ab; '<br />
a bc .<br />
Xét tổng 1 2 <br />
3<br />
ta có:<br />
1 2 3<br />
1<br />
<br />
2 <br />
<br />
Suy ra trong ba số ' 1; ' 2; '<br />
3<br />
có ít nhất một số không âm hây ba phương<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
'<br />
1<br />
'<br />
2<br />
'<br />
3<br />
a b c ab bc ca a b b c c a 0<br />
trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.<br />
Ví dụ 6)<br />
Giải:<br />
2<br />
a) Cho tam thức bậc hai f x x bx c trong đó bc , là các số<br />
nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được<br />
2015 . 2016<br />
f k f f .<br />
2<br />
b) Cho tam thức bậc hai f x x bx c . Giả sử phương trình<br />
f x<br />
x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình<br />
f f x<br />
x có 4 nghiệm nếu: b 1 2<br />
4b c 1<br />
.<br />
a) Đây là bài toán khó: Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra<br />
tính chất:<br />
2<br />
Với mọi đa thức bậc 2 dạng f x x px q . Ta luôn có<br />
f f x<br />
x f x. f x 1<br />
với mọi x . Thật vậy ta có:<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
f x 2 f x. x<br />
2<br />
x b.<br />
f x<br />
bx c<br />
2<br />
f x 2 f x. x b.<br />
f x<br />
2<br />
x bx c<br />
2<br />
f x 2 f x.<br />
x bf x f x<br />
f x f x 2x b 1<br />
2<br />
f x x 2x 1 bx 1 c<br />
f x. f x<br />
1<br />
f f x x f x x b f x x c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Trở lại bài toán chọn x 2015 ta có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 53
2015<br />
2015 2015 . 2016<br />
f 2015<br />
2015 .<br />
2<br />
b) Ta có: <br />
f f f f . Ta suy ra số k cần tìm chính là:<br />
k<br />
f f x x f x bf x c x<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
Để ý rằng phương trình x b 1<br />
x b c 1 0 có<br />
f x f x x x f x x b f x x x bx c x hay<br />
f f x x f x x f x x b 1 f x x x b 1 x b c 1<br />
<br />
b 1 2<br />
4b c 1<br />
0 và f x x 0<br />
suy ra f f x<br />
x có 4 nghiệm.<br />
Chú ý:<br />
có 2 nghiệm phân biệt nên<br />
+ Để chứng minh trong n số a1, a2,... a n<br />
có ít nhất một số không âm (hoặc<br />
một số dương) ta chỉ cần chứng minh tổng k1a1 k2a2 .... k a 0 trong<br />
đó<br />
1 2<br />
k , k ... k 0 .<br />
n<br />
Ví dụ 7: Cho abc , , là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng<br />
phương trình sau luôn có nghiệm:<br />
a x a x c b x c x a c x a x b 0 (1)<br />
(1) a b c x 2 ab bc ca x 3abc<br />
0 (2)<br />
2<br />
<strong>Các</strong>h 1: <br />
Vì ab c 0 nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh<br />
phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh ' 0<br />
Ta có:<br />
ab bc ca 2 abca b c a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 abca b c<br />
' 3 <br />
1<br />
ab bc 2 bc ca 2 ca ab<br />
2 <br />
0 . Vậy phương trình đã cho luôn<br />
2 <br />
<br />
có nghiệm.<br />
n<br />
n<br />
<strong>Các</strong>h 2: Gọi<br />
f<br />
<br />
x là vế trái của phương trình (1). Ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 54
0 3 ; ; ;<br />
<br />
f abc f a a a b a c f b b b a b c f c c c a c b<br />
<br />
2<br />
f 0 . f a . f b . f c 3abc a b b c c a 0 trong bốn<br />
số f 0 , f a, f b,<br />
f c luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn<br />
đến phương trình đã cho luôn có nghiệm.<br />
Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn:3a 4b 6c<br />
0. CHứng minh rằng phương<br />
trình sau luôn có nghiệm: <br />
2<br />
<strong>Các</strong>h 1:<br />
f x ax bx c 0<br />
2 2 <br />
<br />
3 3<br />
* Nếu a 0 4b 6c 0 c b f x b x f x<br />
nghiệm<br />
có<br />
* Nếu a 0 ta có:<br />
a c a c<br />
2 2<br />
2<br />
3 6 3 6<br />
b 4ac 4ac 0 f x<br />
0 có nghiệm<br />
16 16<br />
<strong>Các</strong>h 2: Ta có:<br />
1 1 1 <br />
2 f 1 4 f 2a b c<br />
4 a b c 3a 4b 6c<br />
0<br />
2 4 2 <br />
1 1 1 2 1 <br />
f 1 2 f f 1 . f f 0 f x<br />
0 có nghiệm.<br />
2 2 2 2 <br />
<strong>Các</strong>h 3: Ta có<br />
2<br />
a b c c<br />
3 9 3 9a 12b 16c 3 3 4 6 2 c<br />
f 0 c;<br />
f a b c <br />
4 16 4 16 16 8<br />
Suy ra f 3<br />
0 . f <br />
0<br />
4<br />
<br />
suy ra phương trình luôn có nghiệm.<br />
Nhận xét:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 55
Với cách giải thứ hai thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng<br />
1<br />
thức: 2 f 1<br />
4 f <br />
1<br />
0.<br />
Tại sao ta xét 1,<br />
<br />
2<br />
<br />
f f <br />
<br />
và nhân thêm các hệ<br />
2<br />
<br />
số 2 và 4. Vậy ngoài hai giá trị<br />
f 1<br />
1,<br />
f <br />
<br />
ta còn có những giá trị nào<br />
2<br />
<br />
2 <br />
<br />
3<br />
<br />
khác không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét f 1 , f , f 0<br />
. Ta cần<br />
2<br />
xác định hệ số m, n, p 0 saocho: mf 1 nf <br />
pf 0<br />
3a 4b 6c<br />
.<br />
3<br />
<br />
Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương<br />
4<br />
<br />
m n 3<br />
9<br />
2 9 1<br />
trình:<br />
m n 4 m 1, n , p . Vậy ta<br />
3 2 2<br />
m n p 6<br />
<br />
<br />
<br />
có: 2 <br />
<br />
2 f 1 9 f f 0<br />
0 trong ba số 2 <br />
f 1 , f , f 0<br />
tồn tại một<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương<br />
hay phương trình có nghiệm.<br />
3<br />
<strong>Các</strong>h giải thứ 3: Tại sao ta chỉ ra được f <br />
<br />
<br />
. Điều này là hoàn toàn tự<br />
4<br />
<br />
nhiên nếu ta cần tạo ra một tỷ lệ 3 a: 4b để tận dụng giả thiết:<br />
3a 4b 6c<br />
0<br />
Ta xét bài toán tổng quát sau:<br />
Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m;<br />
mp n<br />
a b c<br />
và 0.<br />
m n p<br />
Chứng minh rằng phương trình: <br />
2<br />
(1) có nghiệm x 0;1<br />
f x ax bx c 0<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 56
Giải: Để chứng minh (1) có nghiệm x 0;1<br />
, ta sẽ chỉ ra các số thực<br />
, 0;1<br />
sao cho f . f <br />
0. Vì , 0;1<br />
n<br />
n m 1 nên dẫn đến ta xét:<br />
m<br />
và có giả thiết<br />
2<br />
n n n<br />
2<br />
m m m<br />
<br />
f a b c . Mặt khác<br />
<br />
2<br />
a b c m n n 1 m<br />
từ: 0 a. b c c 0<br />
2 2 <br />
2 <br />
m n p n m m p n <br />
2 2 2<br />
m n n pm n pm n pm n<br />
f c. 0 f c f 0<br />
2 <br />
2 <br />
n m pn m pm pm<br />
* Xét c 0<br />
- Nếu a 0 b 0 f x<br />
là đa thức không, do đó f <br />
trong 0;1<br />
<br />
- Nếu a 0, từ giả thiết b n<br />
1<br />
a<br />
m<br />
và<br />
b<br />
f x xax b 0 x 0;1<br />
a<br />
* Xét 0<br />
n pm n<br />
<br />
m pm<br />
2<br />
c ta có: f . f 0 f 0 0 f x<br />
n <br />
x 0; 0;1<br />
m <br />
<br />
2<br />
<br />
x sẽ có nghiệm<br />
có nghiệm<br />
VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC<br />
2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC<br />
GTLN,GTNN (Phƣơng pháp miền giá trị hàm số)<br />
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức<br />
2<br />
mx nx p 0 x<br />
.<br />
Phương pháp:<br />
y <br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
mx nx p<br />
với<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 57
Gọi y<br />
0<br />
là một giá trị của biểu thức: Khi đó<br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
0<br />
<br />
2<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
0<br />
y y m a x y n b x y p c<br />
mx nx p<br />
Ta xét 2 trường hợp:<br />
+ Nếu y0m a 0 y0<br />
a<br />
m<br />
thay vào <br />
một giá trị của biểu thức.<br />
. (*)<br />
a<br />
* ta tìm được x suy ra y0<br />
là<br />
m<br />
a<br />
+ Nếu y0m a 0 y0<br />
thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn x . Điều kiện<br />
m<br />
để phương trình có nghiệm là: 0 . Từ đó ta suy ra điều kiện của y<br />
0<br />
. Trên<br />
cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức.<br />
+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả<br />
sau: Ta có:<br />
Nếu 0<br />
2 2<br />
<br />
2 b <br />
2 b <br />
a.<br />
f x<br />
a x a x<br />
2 . Từ đó suy ra<br />
2a 4a <br />
2a<br />
4<br />
thì a. f x 0 a,<br />
f x<br />
luôn cùng dấu. Một kết quả thường<br />
2<br />
xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : f x ax bx c<br />
có<br />
<br />
a 0, 0 f x 0, x .”<br />
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:<br />
a)<br />
b)<br />
y <br />
P <br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
5x 7<br />
.<br />
8x7<br />
.<br />
2<br />
x 1<br />
c)<br />
2x 2xy 9y<br />
A <br />
2 2<br />
x 2xy 5y<br />
2 2<br />
với y 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 58
d)<br />
2<br />
2x<br />
12xy<br />
A biết<br />
2<br />
1 2xy<br />
2y<br />
x<br />
y 1 (<strong>Đề</strong> TS ĐH khối B- 2008)<br />
2 2<br />
Lời giải:<br />
2<br />
2 5<br />
3<br />
a) Do x 5x 7 x<br />
0 , x suy ra biểu thức y luôn xác<br />
2<br />
4<br />
định với mọi x . Gọi y<br />
0<br />
là một giá trị của biểu thức khi đó ta có:<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y 0 y<br />
2 0<br />
1<br />
x 5y0x 7y0<br />
0<br />
x 5x7<br />
* .<br />
7<br />
+ Nếu y0<br />
1 5x 7 0 x điều đó có nghĩa là y0 1 là một giá<br />
5<br />
trị của biểu thức nhận được.<br />
+ Nếu y0 1 thì (*) là một phương trình bậc 2 có<br />
5y 2<br />
4. y 1 .7y y 28 3y<br />
<br />
. Phương trình có nghiệm khi và<br />
0 0 0 0 0<br />
28<br />
chỉ khi 0 0 y0<br />
. Để ý rằng với mỗi giá trị y0 0 hoặc<br />
3<br />
28<br />
y0<br />
thì 0 nên<br />
3<br />
5y0<br />
+ GTNN của y là 0 khi và chỉ khi x 0 .<br />
2 y 1<br />
+ GTLN của y là 28<br />
b) ĐKXĐ x<br />
.<br />
3 khi và chỉ khi y <br />
x<br />
<br />
0<br />
<br />
28<br />
5.<br />
5y<br />
3 14<br />
.<br />
2 28<br />
0<br />
1 5<br />
2<br />
1<br />
3 <br />
0<br />
<br />
2<br />
x 8x7<br />
2<br />
Ta có P <br />
2<br />
P 1 x 8x P<br />
7<br />
0<br />
x 1<br />
phương trình bậc hai ẩn x .<br />
3<br />
Trường hợp 1: P1 0 P 1 thì x (*)<br />
4<br />
(1) . Coi (1) là<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 59
Trường hợp 2: P1 0 P 1 phương trình (1) có nghiệm khi<br />
<br />
2<br />
' 0 P 8P 9 0 P 1 P 9 0 1 P 9 (**).<br />
Kết hợp (*) và (**) ta có min P 1;max P 9 .<br />
c)<br />
2x 2xy 9y<br />
A <br />
2 2<br />
x 2xy 5y<br />
2 2<br />
. Biểu thức A có dạng đẳng cấp bậc 2.<br />
Ta chia tử số và mẫu số cho<br />
2<br />
t t t<br />
2<br />
2<br />
y và đặt<br />
x<br />
t thì A <br />
y t<br />
2<br />
2t<br />
2t9<br />
2<br />
. Ta có<br />
2t 5<br />
2 5 1 4 0 với mọi t . Gọi A<br />
0<br />
là một giá trị của biểu thức.<br />
2<br />
2t<br />
2t9<br />
0 2<br />
0 0 0<br />
2<br />
Khi đó ta có: <br />
+ Nếu A0 2 thì<br />
được.<br />
A A 2 t 2A 2 t 5A<br />
9 0 (*)<br />
t 2t5<br />
1<br />
t suy ra A0 2 là một giá trị của biểu thức nhận<br />
6<br />
+ Nếu A0 2 thì (*) là một phương trình bậc 2 có<br />
<br />
2 2<br />
0 0 0 0 0<br />
' A 1 A 2 5A 9 4A 21A<br />
17 . Điều kiện để phương<br />
trình có nghiệm là<br />
2<br />
17<br />
' 0 4A0 21A0 17 0 1 A0 4A0 17<br />
0 1 A0<br />
.Từ<br />
4<br />
A0<br />
1<br />
đó ta có GTNN của A là 1 khi và chỉ khi t 2 x 2y<br />
. GTLN<br />
A 2<br />
của A là 17 4 khi và chỉ khi A0<br />
1 7 7<br />
t x y .<br />
A 2 3 3<br />
d) Nếu y 0 thì<br />
Xét y 0 đặt x ty thì<br />
2 2<br />
x 1 P 2x<br />
2 .<br />
0<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
2x 12xy 2x 12xy<br />
2 t 6t<br />
2 2 2 2<br />
1 2xy 2y x 2xy 3y t 2t<br />
3<br />
A <br />
.<br />
Giải tương tự như câu b) Ta có 6 A 3. Suy ra GTNN của A là 6 đạt<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 60
3 2<br />
3 2<br />
được khi và chỉ khi x ; y hoặc x ; y . GTLN của<br />
13 13<br />
13 13<br />
3 1<br />
A là 3 đạt được khi và chỉ khi x ; y hoặc<br />
10 10<br />
3 1<br />
x ; y .<br />
10 10<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực x, y,<br />
z thỏa mãn điều kiện:<br />
GTLN, GTNN của x .<br />
Lời giải:<br />
Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:<br />
yz 8 x 5<br />
x<br />
<br />
y z 5 x<br />
<br />
<br />
yz 8 x y z<br />
<br />
y z 5 x<br />
<br />
xy yz zx<br />
8<br />
. Tìm<br />
x y z 5<br />
<br />
(*) hay<br />
(*). Vì x, y,<br />
z là các số thực thỏa mãn * nên suy ra yz ,<br />
là hai nghiệm của phương trình: <br />
Điều kiện để phương trình (**) có nghiệm là:<br />
t 2 5 x t 8 5x x<br />
2 0 (**).<br />
x 2 x x 2 x 2 x x x<br />
5 4 85 3 10 7 0 7 3 1 0 hay<br />
7<br />
1 x .<br />
3<br />
Khi x 1 t 2 y z 2 nên GTNN của x là 1.<br />
Khi<br />
7 4 4<br />
x t y z suy ra GTLN của<br />
3 3 3<br />
7<br />
x .<br />
3<br />
Ví dụ 3) Cho các số thực x, y,<br />
z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm<br />
GTLN của biểu thức: P 9xy 10yz 11zx<br />
.<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 61
Thay z 1 x y vào P ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
P 9xy z 10y 11x 9xy 1 x y 10y 11x<br />
11x 2 1112y x 10y 2 10y<br />
hay<br />
<br />
11x 2 12y 11 x 10y 2 10y P 0<br />
. Để phương trình có nghiệm điều<br />
kiện là y 2 y 2 y P<br />
0 12 11 4.11 10 10 0 hay<br />
<br />
2<br />
296 y 176 y 121 44P<br />
0<br />
2<br />
2<br />
<br />
P y y y <br />
74 22 121 74 11 495 495<br />
<br />
. Do đó<br />
11 37 296 11 27 148 148<br />
GTLN của P là 495<br />
148 đạt được khi 25 11 27<br />
x ; y ; z .<br />
74 37 74<br />
Ví dụ 4) Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c 3 . Chứng minh<br />
rằng:<br />
Lời giải:<br />
9<br />
a ab 2abc<br />
.<br />
2<br />
Từ giả thiết ta suy ra b 3 a c . Ta biến đổi bất đẳng thức thành:<br />
9 2 2<br />
9<br />
a a3 a c 2ac3 a c 0 2c 1 a 2c 5c 4a<br />
0<br />
2 2<br />
coi đây là hàm số bậc 2 của a . Xét 2 1 2 5 4<br />
ta có hệ số của<br />
2<br />
a là 2c 1 0 và ta có:<br />
2 2<br />
2c 2 5c 4 182c 1 2c 1 c 2 4c<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2c 1 c c 3 c 2 0 do 0 c 3<br />
ra khi và chỉ khi<br />
Kiến thức cần nhớ:<br />
3 1<br />
a , b 1,<br />
c .<br />
2 2<br />
f a c a c c a <br />
2<br />
. Suy ra f a 0<br />
ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2<br />
2 2 9<br />
, dấu bằng xảy<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 62
Định lý Viet: Nếu x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của phương trình<br />
2<br />
ax bx c a<br />
0, 0 thì<br />
<br />
<br />
b<br />
x1 x2<br />
<br />
a<br />
<br />
c<br />
xx<br />
1.<br />
2<br />
<br />
a<br />
Ghi chú: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện<br />
phương trình có nghiệm, nghĩa là 0 .<br />
Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet<br />
+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai:<br />
c<br />
Nếu ab c 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 1;<br />
x2<br />
.<br />
a<br />
c<br />
Nếu a b c 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 1;<br />
x2<br />
.<br />
a<br />
(*)<br />
+ Tính giá trị của biểu thức g x , x trong đó , <br />
1 2<br />
xứng giữa hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
của phương trình (*):<br />
g x x là biểu thức đối<br />
1 2<br />
Bước 1: Kiểm tra điều kiện 0 , sau đó áp dụng định lý Viet.<br />
Bước 2: Biểu diễn biểu thức , <br />
được , <br />
g x x .<br />
1 2<br />
g x1 x<br />
2<br />
theo S x1 x2, P x1.<br />
x2<br />
Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thƣờng gặp:<br />
2<br />
x x x x 2x x S 2P<br />
;<br />
2 2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
3<br />
<br />
x x x x 3x x x x S 3SP<br />
;<br />
3 3 3<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
2<br />
<br />
từ đó tính<br />
x x x x 2x x S 2P 2P S 4S P 2P<br />
;<br />
4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 63
2 2 2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
x x x x x x 4x x S 4 P,...<br />
+ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1,<br />
x<br />
2<br />
cho trước:<br />
Bước 1: Tính S x1 x2;<br />
P x1x<br />
2<br />
.<br />
Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
là<br />
2<br />
X S X P<br />
. 0.<br />
+ Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) ( abc , , phụ thuộc vào <strong>tham</strong> số<br />
m ), có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn một điều kiện cho trước h<br />
x1, x2<br />
0<br />
(1)<br />
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là 0 . Sau<br />
b<br />
c<br />
đó áp dụng định lý Viet để tính S x1 x2<br />
(2) và P x1.<br />
x2<br />
(3)<br />
a<br />
a<br />
theo m .<br />
Bước 2: Giải hệ phương trình (1),(2),(3) (thường sử dụng phương pháp thế)<br />
để tìm m , sau đó chú ý kiểm tra điều kiện của <strong>tham</strong> số m ở bước 1.<br />
+ Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình (*) có hai<br />
nghiệm<br />
1,<br />
2<br />
2<br />
x x thì ax bx c a x x .<br />
x x <br />
.<br />
1 2<br />
+ Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc 2<br />
ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:<br />
Nếu: x m x x m x m<br />
.<br />
1 2 1 2<br />
0<br />
Nếu<br />
Nếu<br />
x1x 2<br />
2m<br />
m x1 x2<br />
<br />
x1 m x2<br />
m<br />
0<br />
x1x 2<br />
2m<br />
x1 x2<br />
m <br />
x1 m x2<br />
m<br />
0<br />
Một số ví dụ:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 64
Ví dụ 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm<br />
a)<br />
b)<br />
x<br />
2<br />
13x 20 0<br />
c)<br />
2<br />
3x<br />
5x 2 0<br />
2<br />
5x<br />
7x1 0<br />
Lời giải:<br />
a) Ta có:<br />
c<br />
P x1. x2<br />
20 0<br />
a<br />
<br />
b<br />
S x1 x2<br />
13 0<br />
<br />
a<br />
Vì P 0 nên hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu<br />
dương.<br />
c 2<br />
b) Ta có: P x1. x1<br />
0 nên hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
trái dấu.<br />
a 3<br />
c) Ta có:<br />
c 1<br />
P x1x2<br />
0<br />
a 5<br />
<br />
b<br />
7<br />
S x1 x2<br />
0<br />
<br />
a 5<br />
Vì P 0 nên hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu<br />
âm.<br />
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br />
2<br />
4 2<br />
a) f x 3x 5x<br />
2<br />
b) g x x x<br />
P x; y 6x 11xy 3y<br />
d)<br />
c) <br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
Q x; y 2x 2y 3xy x 2y<br />
.<br />
Lời giải:<br />
a) Phương trình<br />
2<br />
3x<br />
5x<br />
2 0<br />
<br />
<br />
<br />
5 4<br />
có hai nghiệm x 1 hoặc<br />
2 <br />
<br />
3 <br />
Suy ra f x 3 x 1 x 3x 2 x 1<br />
2<br />
x <br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 65<br />
.
hoặc<br />
b) Phương trình 2<br />
4 2 2 2 2<br />
x x x x x <br />
5 4 0 5 4 0 1<br />
2<br />
x 4 .Suy ra g x x 2 1 x 2 4 x 1 x 1 x 2x<br />
2<br />
c) Ta coi phương trình<br />
x .<br />
Ta có 2 2 2<br />
.<br />
2 2<br />
6x 11xy 3y<br />
0<br />
là phương trình bậc hai ẩn<br />
x 11y 4.18y 49y<br />
0 . Suy ra phương trình có nghiệm là<br />
11 y 7 y y 3y<br />
x x hoặc x . Do đó<br />
12 3 2<br />
y 3y<br />
P x; y 6 x x 3x y 2x 3y<br />
3 2 <br />
<br />
2 2 2 2<br />
2x 2y 3xy x 2y 0 2x 1 3y x 2y 2y<br />
0<br />
d) Ta có <br />
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn x và có:<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
x 13y 8 2y 2y 25y 10y 1 5y<br />
1 0<br />
3y1<br />
5y1<br />
Suy ra phương trình có nghiệm là x x 2y<br />
hoặc<br />
4<br />
y<br />
1<br />
y<br />
1<br />
x<br />
Q x; y 2 x 2y x x 2y 2x y 1<br />
2<br />
2 <br />
. Do đó <br />
Ví dụ 3: Phân tích đa thức <br />
4 2 2<br />
tam thức bậc hai ẩn x .<br />
Lời giải:<br />
Ta có <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 66<br />
<br />
f x x 2mx x m m thành tích của hai<br />
4 2 2 2 2 4<br />
x mx x m m m x m x x<br />
2 0 2 1 0<br />
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có:<br />
2<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
<br />
m 2x 1 4 x x 4x 4x 1 2x<br />
1 0<br />
Suy ra<br />
<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
2x1<br />
2<br />
0 1<br />
f x m x x hoặc<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
2x1<br />
2<br />
m x x<br />
.Do đó f x m x 2 x 1m x 2 x<br />
Ví dụ 4:<br />
2<br />
<br />
.
2<br />
a) Cho phương trình 2x<br />
mx 5 0 , với m la <strong>tham</strong> số. Biết phương<br />
trình có một nghiệm là 2 , tìm m và tìm nghiệm còn lại.<br />
b) Cho phương trình <br />
x 2 2 m 1 x m<br />
2 1 0 , với m là <strong>tham</strong> số.<br />
Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.<br />
c) Cho phương trình<br />
Lời giải:<br />
2<br />
x x x m<br />
4 2 2 5 , với m là <strong>tham</strong> số. Xác<br />
định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.<br />
a) Vì x 2 là nghiệm của phương trình nên thay x 2 vào phương<br />
13<br />
5<br />
trình ta được 8 2m 5 0 m . Theo hệ thức Viet ta có: xx<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
5 13<br />
mà x1 2 nên x2<br />
.Vậy m và nghiệm còn lại là 5 4 2<br />
2 .<br />
b) Phương trình có hai nghiệm dương<br />
m<br />
1<br />
' 2m<br />
2 0<br />
<br />
1<br />
S 2m 1 0 m m 1<br />
<br />
2<br />
2<br />
P m 1 0<br />
<br />
<br />
m1 m<br />
1<br />
Vậy với m 1 thỏa mãn bài toán.<br />
2 2<br />
c) Ta có <br />
2<br />
x 4x 2 x 2 m 5 x 4x 4 2 x 2 m<br />
1<br />
x 2 2 x 2 m<br />
1 (1)<br />
Đặt t x 2 0. Khi đó (1) thành:<br />
2<br />
t t m<br />
2 1 0 (2)<br />
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là<br />
0 4m<br />
0<br />
<br />
phải có: P 0 1 m 0 1 m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.<br />
S<br />
0 <br />
2 0<br />
Ví dụ 5)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 67
a) Tìm m để phương trình <br />
nghiệm phân biệt<br />
1,<br />
2<br />
2 2<br />
3x 4 m 1 x m 4m<br />
1 0<br />
có hai<br />
1 1 1<br />
1 2<br />
x<br />
x<br />
2 x x .<br />
x x thỏa mãn: <br />
1 2<br />
b) Chứng minh rằng phương trình: ax 2 bx c 0a<br />
0<br />
(1) có hai<br />
nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp kk 1<br />
lần nghiệm kia khi và chỉ<br />
khi 2 2<br />
1k ac kb .<br />
2 2<br />
c) Tìm các giá trị của m để phương trình x mx m m 3 0 có<br />
hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông<br />
Lời giải:<br />
ABC , biết độ dài cạnh huyền BC 2 .<br />
a) Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên:<br />
2<br />
' m 4m1 0<br />
<br />
<br />
2<br />
c m 4m<br />
1<br />
<br />
0<br />
m<br />
a<br />
3<br />
2<br />
m<br />
m <br />
2<br />
4 1 0<br />
4m1 0<br />
<br />
2<br />
41 m m 4m1<br />
có: S x1 x2 ; P x1x<br />
2<br />
<br />
3 3<br />
1 1 1 x1<br />
x2<br />
1<br />
x1 x2 x1 x2<br />
x x 2 x x 2<br />
(*). Khi đó theo định lý Viet ta<br />
Ta có: x x x x <br />
1 2 1 2<br />
<br />
1<br />
<br />
2 1 2<br />
2 0<br />
x1x2<br />
0<br />
m<br />
1<br />
(do xx 1 2<br />
0 ) <br />
m 1; m 1; m 5<br />
2<br />
xx 1 220 m 4m 5 0<br />
Thay vào (*) ta thấy m 1 không thỏa mãn.<br />
Vậy m1; m 5 là giá trị cần tìm.<br />
b) Giả sử (1) có hai nghiệm x1,<br />
x2và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia<br />
thì ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 68
x1 kx2 x1 kx2<br />
0<br />
x1 kx2 x2 kx1<br />
0<br />
x2 kx<br />
<br />
<br />
1 x2 kx1<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
1 k x1x 2<br />
k x1 x2 0 1 k x1x2 k x1 x2 2x1x<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 k k 2 0 1 k ac k b 2ac 1 k ac kb<br />
a <br />
a a <br />
2<br />
2 c b c<br />
2 2 2<br />
2<br />
Giả sử 2 2<br />
1k ac kb ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được. Ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 4k<br />
2 2<br />
k 1<br />
b 4ac b b b 0. Vậy ta có điều phải chứng<br />
2 2<br />
k1 k1<br />
minh.<br />
c) Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x1, x2<br />
0.<br />
Theo định lý Viet, ta có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 69<br />
<br />
<br />
x1 x2<br />
m 0<br />
<br />
x x m m<br />
2<br />
1. 2<br />
3 0<br />
trình có nghiệm là: <br />
2<br />
(1). Điều kiện để phương<br />
2 2 2<br />
m 4 m m 3 0 3m 4m<br />
12 0 (2).<br />
2 2<br />
Từ giả thiết suy ra 2<br />
<br />
<br />
x x 4 x x 2 x . x 4 . Do đó<br />
1 2 1 2 1 2<br />
m 2 m 2 m m 2 m m<br />
2 3 4 2 2 0 1<br />
3<br />
Thay m 1 3 vào (1) và (2) ta thấy m 1 3.<br />
Vậy giá trị cần tìm là m 1 3.<br />
Ví dụ 7: Cho phương trình x 4 mx 3 m x 2 mm x m<br />
2<br />
1 1 1 0 .<br />
a) Giải phương trình khi m 2.<br />
b) Tìm tất cả các giá trị của <strong>tham</strong> số m sao cho phương trình có bốn<br />
nghiệm đôi một phân biệt.<br />
Lời giải:<br />
4 3 2<br />
a) Khi m 2, ta có phương trình: x 2x x 2x<br />
1 0<br />
Kiểm tra ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình<br />
Chia hai vế của phương trình cho<br />
2<br />
x ta được:<br />
x<br />
2<br />
1 1<br />
2 1 1 0<br />
2 <br />
x x
1<br />
Đặt t x , suy ra x<br />
x<br />
2<br />
t t t<br />
1<br />
t 2 . Thay vào phương trình trên ta được:<br />
x<br />
2 2<br />
2<br />
2 1 0 1. Với t 1 ta được<br />
1 1<br />
5<br />
. Vậy với m 2 phương tình có<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x 1 x x 1 0 x<br />
nghiệm<br />
1<br />
5<br />
x .<br />
2<br />
b) Nếu 0<br />
m 1 0<br />
x phương trình đã cho thành: 2<br />
Khi m 1 phương trình vô nghiệm.<br />
Khi m 1 thì x 0 là một nghiệm của phương trình đã cho và khi đó<br />
4 3 x<br />
0<br />
phương trình đã cho có dạng x x 0 . Trong trường hợp này<br />
x<br />
1<br />
phương trình chỉ có hai nghiệm nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.<br />
Do đó x 0 và m 1. Chia hai vế của phương trình cho<br />
t<br />
m<br />
1<br />
x . Ta thu được phương trình: t mt m<br />
<br />
Với 1<br />
x<br />
t ta được x 2 x m<br />
<br />
Với t m 1<br />
1 0 (1)<br />
ta được x 2<br />
m x m<br />
<br />
1 1 0 (2)<br />
2<br />
x 0 và đặt<br />
2 t<br />
1<br />
1 0 <br />
t<br />
m 1<br />
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong<br />
các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng<br />
không có nghiệm chung.<br />
Để (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:<br />
<br />
<br />
1 4 m 1 0<br />
<br />
m 1<br />
2<br />
m1 4m1<br />
0<br />
(*)<br />
Khi đó nếu x<br />
0<br />
là một nghiệm chung của (1) và (2) thì:<br />
2<br />
m 1<br />
x0 x0<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
m x m x<br />
0 0<br />
hoặc m 2 hoặc x0 0 .<br />
. Suy ra 0<br />
m2 x 0 điều này tương đương với<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 70
Nếu x0 0 thì m 1 (không thỏa mãn). Nếu m 2 thì (1) và (2) cùng<br />
1<br />
5<br />
có hai nghiệm x <br />
2<br />
Do đó kết hợp với (*), suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt<br />
khi và chỉ khi 2 m 1.<br />
Ví dụ 8) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:<br />
a) mx 2<br />
m x m<br />
<br />
x 2x<br />
1.<br />
1 2<br />
2 1 3 2 0 có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
x 2 2m 1 x m<br />
2 2 0 có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
b) <br />
c)<br />
<br />
3x x 5 x x 7 0 .<br />
1 2 1 2<br />
2<br />
x x m<br />
<br />
3 0 có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
2 2<br />
x1 x2 x2 x1<br />
<br />
2 2<br />
d) <br />
Lời giải:<br />
1 1 19 .<br />
3x 4 m 1 x m 4m<br />
1 0 có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa<br />
1 1 1<br />
1 2<br />
x<br />
x<br />
2 x x .<br />
mãn <br />
1 2<br />
a) Nếu m 0 thì phương trình đã cho thành: 2x6 0 x<br />
3<br />
(không thỏa mãn)<br />
Nếu 0<br />
2 2<br />
' m 1 m.3 m 2 2m 4m<br />
1<br />
m . Ta có <br />
2 6 2 6<br />
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là ' 0 m <br />
2 2<br />
(*). Với điều kiện (*) giả sử x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của phương trình.<br />
2 m 1<br />
x1x2<br />
2 m<br />
Từ yêu cầu bài toán và áp dụng Viet ta có: m x2<br />
<br />
m<br />
x<br />
1<br />
2x<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 71
2 m<br />
Thay x vào phương trình ta được ( m 26m 4<br />
0 m 2 hoặc<br />
m<br />
2<br />
2<br />
m . Đối chiếu điều kiện ta được m 2 hoặc m thỏa mãn yêu cầu<br />
3<br />
3<br />
bài toán.<br />
2 2<br />
b) Ta có: <br />
2m 1 4 m 2 4m<br />
7<br />
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là<br />
Theo định lý Viet ta có:<br />
<br />
<br />
2<br />
x1x2<br />
m<br />
<br />
7<br />
0 m <br />
4<br />
<br />
2<br />
thay vào hệ thức<br />
x 1<br />
x 2<br />
2m<br />
1<br />
3x1x 2<br />
5 x1 x2<br />
7 0 , ta được 3m 10m 8 0 m hoặc m 2<br />
3<br />
Đối chiếu điều kiện ta được m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.<br />
c) Ta có: m<br />
9 4.1 9 4m<br />
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là<br />
Ta có: <br />
2 4<br />
4<br />
0 m <br />
9<br />
x 1 x x 1 x 19 x x . x x x . x 19<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 2 2 1 1 2 2 2 2 1<br />
x x x . x x . x 19 x x x . x x x 19<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2<br />
2<br />
x x x x x x x x <br />
2 19 . Theo định lý Viet ta có:<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
x1x2<br />
3<br />
<br />
x1.<br />
x2<br />
m<br />
2<br />
. Thay vào hệ thức x x x x x x x x <br />
2<br />
được: <br />
<br />
2 . 19 ta<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
3 2 m m .3 19 5m 10 m 2<br />
Đối chiếu điều kiện ta được m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.<br />
2 2 2<br />
' 4 m 1 3 m 4m 1 m 4m<br />
1<br />
d) Ta có: <br />
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: ' 0 m 2 3 hoặc<br />
1 1 1<br />
x1 x2 x1 x2<br />
m 2 3. Ta có: x1 x2 . Theo định lý<br />
x x 2 x . x 2<br />
1 2 1 2<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 72
4 m 1<br />
x1 x2<br />
<br />
<br />
3<br />
x1 x2 x1 x2<br />
Viet ta có: <br />
. Thay vào hệ thức , ta<br />
2<br />
m<br />
4m1<br />
xx<br />
1. 2<br />
2<br />
xx<br />
1 2<br />
<br />
3<br />
được:<br />
4m1 3 4m1 2<br />
2m 1m 4m<br />
5<br />
3<br />
2<br />
m 4m1 6<br />
2<br />
3m 4m1<br />
m <br />
2<br />
m m <br />
m 1 m 1 m 5<br />
. 0<br />
2 1 4 5 <br />
2<br />
m 4m1 0 <br />
m 2 3<br />
ta được m 1 hoặc m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.<br />
2 2<br />
x m m m<br />
Ví dụ 9) Cho phương trình <br />
. Đối chiếu điều kiện<br />
1 2 0 , với m là <strong>tham</strong> số.<br />
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với<br />
mọi m .<br />
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1,<br />
x<br />
2. Tìm m để biểu<br />
Lời giải:<br />
thức<br />
3 3<br />
x <br />
1<br />
x <br />
2<br />
A <br />
x x<br />
2 1 <br />
đạt giá trị lớn nhất.<br />
2 1<br />
3<br />
a) Xét a. c m m 2 m 0, m<br />
2<br />
4<br />
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m .<br />
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1,<br />
x<br />
2.<br />
Theo câu a) thì xx<br />
1 2 0 , do đó A được xác định với mọi x1,<br />
x<br />
2.<br />
Do x1,<br />
x<br />
2<br />
trái dấu nên<br />
3<br />
x<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<br />
t<br />
<br />
2<br />
với t 0 , suy ra<br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
1<br />
3<br />
<br />
0<br />
<br />
, suy ra A 0<br />
x <br />
1<br />
x <br />
Đặt <br />
2<br />
1<br />
1<br />
t , với t 0, suy ra . Khi đó A t mang giá<br />
x2<br />
<br />
x1<br />
t<br />
t<br />
trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi A có giá trị nhỏ nhất. Ta có<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 73
1<br />
A t 2 , suy ra A 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
t<br />
1<br />
1 1. Với t 1, ta có<br />
t<br />
2<br />
t t t<br />
3<br />
x <br />
1<br />
x1<br />
x1 x2 x1 x2<br />
m m <br />
x2 x2<br />
1 1 0 1 0 1.<br />
<br />
Vậy với m 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là 2 .<br />
2 2<br />
Ví dụ 10) Cho phương trình 2x 2mx m 2 0 , với m là <strong>tham</strong> số. Gọi<br />
x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của phương trình.<br />
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,<br />
x<br />
2<br />
không phụ thuộc vào m .<br />
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức<br />
2xx<br />
1 2<br />
3<br />
A x<br />
2 x<br />
2<br />
2 x x 1<br />
Lời giải:<br />
<br />
1 2 1 2<br />
Ta có m 2<br />
m m<br />
2<br />
4 1 2 0 , với mọi m .<br />
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .<br />
Theo hệ thức Viet, ta có: x1x 2<br />
m và x1x<br />
2m<br />
1<br />
<br />
a) Thay m x1 x2<br />
vào x1x<br />
2m<br />
1, ta được x1x 2<br />
x1 x1 1<br />
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1,<br />
x<br />
2<br />
không phụ thuộc vào m là x1x 2<br />
x1 x1 1.<br />
Suy ra<br />
2<br />
b) Ta có: <br />
x x x x 2x x m 2 m 1 m 2m<br />
2 .<br />
2 2 2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2x x 3 2m<br />
1<br />
A <br />
<br />
x x 2 x x 1 m 2<br />
. Vì<br />
1 2<br />
2 2 2<br />
1 2 1 2 <br />
2<br />
2m 1 2m 1 m 2<br />
m<br />
1 2<br />
A1 1 0, m<br />
2 2 2<br />
m 2 m 2 m 2<br />
Suy ra A 1, m . Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi m 1<br />
Và<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 m 1 m 2 m 2<br />
1 2m<br />
1 1<br />
A 0, m<br />
2 2 2<br />
2 m 2 2 2 m 2 2 m 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 74
1<br />
Suy ra A , m . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2. Vậy GTLN<br />
2<br />
1<br />
của A bằng 1 khi m 1 và GTNN của A bằng khi m 2.<br />
2<br />
Ví dụ 11) Cho phương trình <br />
2 2<br />
x m x m m<br />
2 1 2 3 1 0 , với m là<br />
<strong>tham</strong> số. Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:<br />
9<br />
x1 x2 x1x2<br />
.<br />
8<br />
Lời giải:<br />
Ta có ' m 1 2 2m 2 3m 1 m 2 m m1<br />
m<br />
. Để phương trình<br />
có hai nghiệm ' 0 0 m 1. Theo định lý Viet ta có:<br />
<br />
<br />
x1 x2 2 m 1 và x x m m . Ta có<br />
2<br />
1 2<br />
2 3 1<br />
<br />
2<br />
x1 x2 x1x 2<br />
2 m 1 2m 3m<br />
1<br />
2 2 m 1 1 9<br />
2m m 1 2 m 2<br />
<br />
m<br />
<br />
<br />
2 2 4 16<br />
2<br />
Vì<br />
1 1 3<br />
0 m1 m suy ra<br />
4 4 4<br />
2 2<br />
1 9 1 9<br />
m m <br />
0<br />
4 16 4 16<br />
Do đó<br />
2 2 2<br />
1 9 9 1 9 1 9<br />
x1 x2 x1x 2<br />
2 m 2 m 2 m <br />
4 16 16 4 8 4 8<br />
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
m .<br />
4<br />
Ví dụ 13) Cho phương trình <br />
x 2 2m 1 x m<br />
2 1 0 , với m là <strong>tham</strong> số.<br />
tìm tất cả các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
xx<br />
1 2<br />
sao cho biểu thức P x x<br />
1 2<br />
có giá trị là số nguyên.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 75
Lời giải:<br />
2 2<br />
Ta có <br />
phân biệt<br />
x x<br />
2m 1 4 m 1 4m<br />
3 . Để phương trình có hai nghiệm<br />
2<br />
1 2m<br />
1<br />
3<br />
0 m . Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2m<br />
1 và<br />
4<br />
2<br />
x1x 2<br />
m 1 2m<br />
1 5<br />
. Do đó P <br />
. Suy ra<br />
x x 2 m 1 4 4 2 m 1<br />
1 2<br />
5<br />
4P<br />
2m1<br />
2 m . Do 3<br />
m nên 2m 1<br />
1<br />
1 4<br />
Để P thì ta phải có 2 1<br />
Thử lại với m 2 , ta được P 1 (thỏa mãn).<br />
Vậy m 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.<br />
Ví dụ 14)<br />
a) Tìm m để phương trình<br />
thức: Q x 2 x 1 x 2<br />
x 1<br />
1 1 2 2<br />
m là ước của 5 , suy ra 2m1 5 m<br />
2<br />
0 có hai nghiệm x 1<br />
, x 2<br />
và biểu<br />
2<br />
x x m<br />
đạt giá trị lớn nhất.<br />
b) Cho phương trình <br />
x 2 2 m 1 x m<br />
2 2 0, với m là <strong>tham</strong> số.<br />
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
sao cho<br />
<br />
1 2 1 2<br />
<br />
P x x 2 x x 6 đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
c) Gọi<br />
1,<br />
2<br />
2<br />
x x là hai nghiệm của phương trình: <br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x x <br />
Lời giải:<br />
<br />
<br />
2x 3a 1 x 2 0.<br />
3 2 x1<br />
x2<br />
1 1 <br />
<br />
1 2<br />
2<br />
<br />
2 2 x1 x2<br />
<br />
a) Phương trình có nghiệm khi 0 1 4m<br />
0<br />
1<br />
m<br />
(*).<br />
4<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 76
S x1 x2<br />
1<br />
Khi đó theo định lý Viet: . Ta có:<br />
P x1x2<br />
m<br />
<br />
<br />
Q S S 3P S 2P m (do (*))<br />
4<br />
1 1<br />
m . Vậy m là giá trị cần tìm.<br />
4 4<br />
2 2 1<br />
2 2<br />
b) Ta có <br />
' m 1 m 2 2m<br />
1<br />
Để phương trình có hai nghiệm<br />
ta có: x1 x2 2m<br />
2 và<br />
x x<br />
1<br />
max<br />
Q đạt được khi<br />
4<br />
1<br />
' 0 m (*). Theo định lý Viet<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
m 2<br />
. Ta có<br />
2<br />
<br />
2<br />
P x x 2 x x 6 m 2 2 2m<br />
2 6<br />
1 2 1 2<br />
2<br />
m 4m 8 m 2 12 12 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2<br />
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy với m 2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất<br />
bằng 12 .<br />
c) Ta có: a 2<br />
3 1 16 0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân<br />
3a<br />
1 biệt. Theo định lý Viet thì: x1 x2 ; x1x<br />
2<br />
1 . Ta có<br />
2<br />
2 <br />
2<br />
2 x1x 2<br />
x1 x2 x1 x2<br />
<br />
2<br />
1 2 2<br />
6<br />
1 2 <br />
xx<br />
1 2<br />
3<br />
P x x x x<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
2<br />
3a<br />
1<br />
<br />
6 <br />
x1 x2 4x1x<br />
<br />
2<br />
6 4<br />
24 . Đẳng thức xảy ra khi<br />
<br />
<br />
<br />
4 <br />
1<br />
3a1 0 a . Vậy minP=24.<br />
3<br />
Ví dụ 14: Giả sử phương trình<br />
Chứng minh rằng:<br />
Lời giải:<br />
2<br />
x ax b<br />
2<br />
a a 2b 2 b<br />
.<br />
ba1 1<br />
b<br />
0 có 2 nghiệm lớn hơn 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 77
Theo định lý Vi et ta có:<br />
dạng :<br />
<br />
x1 x 2 xx<br />
2<br />
1 2<br />
<br />
1x 1x 1<br />
xx<br />
1 2 1 2<br />
1 1 2 1<br />
2 xx<br />
1 2<br />
x1 x2<br />
1<br />
<br />
1 x1 1 x2 1 xx<br />
1 2<br />
x x 1 2 x x 1<br />
có:<br />
1 2 1 2<br />
x1<br />
x2<br />
a<br />
. Bất đẳng thức cần chứng minh có<br />
x1.<br />
x2<br />
b<br />
. Để chứng minh <br />
1 1 2<br />
<br />
1x 1x 1<br />
xx<br />
1 2 1 2<br />
trên tương đương với 2<br />
x1 x 2 xx<br />
2<br />
1 2<br />
. Hay 1 1 2<br />
1x 1x 1<br />
xx<br />
<br />
<br />
2 1 1 2<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si ta<br />
* ta quy về chứng minh:<br />
với x1, x2<br />
1. Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức<br />
x x 1 x x 0( Điều này là hiển nhiên<br />
1 2 1 2<br />
đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
Ví dụ 15: Giả sử phương trình bậc hai<br />
<br />
<br />
x x a b .<br />
2<br />
1 2<br />
4<br />
2<br />
ax bx c<br />
0;3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br />
2 2<br />
18a 9ab b<br />
Q <br />
2<br />
9a 3ab ac<br />
Lời giải:<br />
0 có hai nghiệm thuộc<br />
Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên a 0 . Biểu thức Q có dạng đẳng<br />
cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho a 2<br />
thì<br />
b b<br />
18 9<br />
<br />
a a<br />
Q <br />
<br />
b c<br />
9 <br />
a a<br />
2<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 78
x1 x2<br />
<br />
a<br />
Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: <br />
.<br />
c<br />
xx<br />
1 2<br />
a<br />
2<br />
b b<br />
18 9<br />
<br />
a a 18 9 x x x x<br />
Vậy : Q <br />
<br />
<br />
b c<br />
9 <br />
9 3<br />
x1 x2 x1x2<br />
a a<br />
* Ta GTLN của Q: Ta đánh giá x<br />
x 2<br />
1 2<br />
<br />
<br />
x , x 0;3 .<br />
<br />
1 2 1 2<br />
qua xx<br />
1 2với điều kiện<br />
1 2<br />
x<br />
x x<br />
0 x x 3 x x x x 2x x 9 3x x<br />
<br />
2<br />
1 1 2 2 2 2<br />
1 2 <br />
2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
x2<br />
9<br />
Giảsử <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
18 9 x x 3x x 9<br />
1 2 1 2<br />
Q <br />
9 3 x x x x<br />
1 2 1 2<br />
Ta cũng có thể đánh giá theo cách:<br />
x1<br />
x13<br />
0<br />
<br />
x x <br />
3.<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
x1 x2 3<br />
x1 x2 2 2<br />
0 x1; x2 3 x2 x2 3 0 <br />
x1 x2 x1x2<br />
9<br />
<br />
x1x 2<br />
9 3( x1 x2)<br />
1 3<br />
2 3 0<br />
2<br />
x x 3x x 9. Suy ra<br />
Q<br />
1 2 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
18 9 x1 x2 x1 x2 18 9 x1 x2 9 3x1x2<br />
<br />
xảy ra<br />
9 3 x x x x 9 3 x x x x<br />
1 2<br />
<br />
x1 x2<br />
<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
2<br />
3. Đẳng thức<br />
b<br />
b<br />
6<br />
x<br />
x 3<br />
<br />
a b6a<br />
3<br />
a b3a<br />
hay hoặc <br />
0; 3 c c 9a<br />
9 <br />
c<br />
c 0<br />
0 <br />
a<br />
a<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 x1 x2 x1 x2<br />
Ta có Q 2 0 Q<br />
2 . Đẳng thức xảy ra<br />
9 3 x x x x<br />
<br />
<br />
1 2 1 2<br />
x1 x2 0 b c 0. Vậy GTLN của Q là 3 và GTNN của Q là 2.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 79
Ví dụ 16: Cho phương trình <br />
2<br />
f x ax bx c 0 , trong đó a,b,c là các số<br />
nguyên và a 0 , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Tìm giá trị<br />
nhỏ nhất của a.<br />
Giải: Gọi<br />
1, 2 0;1<br />
f x a x x1 x x2<br />
. Vì abc , , là các số nguyên và<br />
a 0 f 0 c ax x , f 1 a b c a1 x 1<br />
x <br />
x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho<br />
là các số nguyên<br />
1 2 1 2<br />
dương.<br />
Áp dụng BĐT Cauchy<br />
1 1<br />
1<br />
tacó: x1 1 x1 ; x2 1 x2<br />
x1x 2 1 x1 1 x2<br />
(2) (Vì<br />
4 4<br />
16<br />
2<br />
a<br />
2<br />
nên không có đẳng thức). Từ (1) và (2) 1 a 16<br />
16<br />
a 5<br />
f x 5x x 1 1, ta thấy<br />
do x 1<br />
x 2<br />
(a là số nguyên dương). Xét đa thức <br />
f( x ) thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.<br />
Ví dụ 17: Chứng minh:<br />
với mọi số tự nhiên lẻ.<br />
a n<br />
n<br />
3 5 3 5 <br />
2<br />
2 2 <br />
<br />
n<br />
là số chính phương<br />
Lời giải:<br />
Ta có<br />
a n<br />
Xét dãy<br />
3 5 3 5 1 5 1<br />
5 <br />
2 <br />
<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
S n<br />
n n n n<br />
n<br />
1<br />
5 1<br />
5 <br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
1<br />
5 1<br />
5<br />
Xét x1 , x2<br />
ta có<br />
2 2<br />
của phương trình:<br />
2<br />
x x1 0.<br />
n<br />
2<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
, ta chứng minh b<br />
n<br />
là một số nguyên.<br />
x1x2<br />
1<br />
<br />
x1. x2<br />
1<br />
suy ra x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 80
n1 n1 n n n1 n1<br />
Ta có Sn<br />
1<br />
x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2<br />
<br />
S S S<br />
n1 n n1<br />
hay<br />
. Ta có 2<br />
S 1, S x x 2x x 3, S S S 2. Từ<br />
1 2 1 2 1 2 3 2 1<br />
đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được S<br />
n<br />
là số nguyên . Suy ra<br />
a<br />
n<br />
S<br />
2<br />
là số chính phương.<br />
n<br />
CÁC BÀI TOÁN TƢƠNG GIAO ĐƢỜNG THẲNG VÀ PARABOL<br />
Kiến thức cần nhớ: Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng<br />
<br />
<br />
d và Parabol<br />
( P) : y ax<br />
2<br />
ta cần chú ý:<br />
a) Nếu đường thẳng d là y<br />
dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào<br />
m (song song với trục Ox ) ta có thể<br />
2<br />
ax<br />
m .<br />
b) Nếu đường thẳng d : y mx n ta thường xét phương trình hoành<br />
độ giao điểm của P và d là:<br />
2 2<br />
ax mx n ax mx n<br />
xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình<br />
bằng cách xét dấu của .<br />
0 từ đó ta<br />
2<br />
ax mx n<br />
0<br />
Trong trường hợp đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phân<br />
biệt ,<br />
AB thì A x ; mx n, B x ; mx n<br />
khi đó ta có:<br />
1 1 2 2<br />
2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
AB x2 x1 m x2 x1 m 1 x1 x2 4x1x<br />
<br />
<br />
2<br />
. Mọi câu<br />
<br />
hỏi liên quan đến nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
ta đều quy về định lý Viet.<br />
Chú ý: Đường thẳng <br />
y a x x y<br />
dạng: <br />
0 0<br />
d có hệ số góc a đi qua điểm ; <br />
M x y thì có<br />
0 0<br />
Ví dụ 1) Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm I 0;1<br />
và cắt<br />
parabol ( P ) :<br />
y<br />
MN .<br />
2<br />
x tại hai điểm phân biệt M và N sao cho 2 10<br />
(Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2000-2001).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 81
Lời giải:<br />
Đường thẳng d qua I với hệ số góc a có dạng: y ax<br />
1<br />
Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là:<br />
2 2<br />
2<br />
x ax 1 x ax 1 0 (1). Vì a 4 0 với mọi a , (1) luôn có<br />
hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt<br />
M x ; y , N x ; y hay M x ; ax 1 , N x ; ax 1<br />
1 1 2 2<br />
ta có: x1 x2 a, x1x<br />
2<br />
1.<br />
. Theo định lý Viet<br />
1 1 2 2<br />
<br />
2 2<br />
MN 2 10 x x ax 1 ax 1 40<br />
2 1 2 1<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
a 1a 4<br />
40 a 4 a 2<br />
2 2<br />
a 1 x2 x1 40 a 1 x1 x2 4x1x<br />
<br />
2<br />
40<br />
<br />
.<br />
1<br />
P : y x và đường thẳng<br />
2<br />
1<br />
d : y mx m m 1.<br />
2<br />
a) Với m 1, xác định tọa độ giao điểm AB , và d và P .<br />
b) Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có<br />
Ví dụ 2: Cho parabol <br />
2<br />
<br />
2<br />
hoành độ x1,<br />
x<br />
2<br />
sao cho x1x2 2 . (Trích đề tuyển sinh lớp 10 –<br />
thành phố Hà Nội năm 2014).<br />
Lời giải:<br />
a) Với m 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của <br />
P và <br />
là:<br />
1 2 3 2<br />
x x x 2x 3 0 x 1 hoặc x 3 (do ab c 0 )<br />
2 2<br />
1 9<br />
1<br />
y 1 ; y 3 . Vậy tọa độ các giao điểm là A <br />
1; <br />
<br />
2 2<br />
2 và<br />
Ta có <br />
B 9<br />
3; <br />
<br />
2 .<br />
b) Phương trình hoành độ giao điểm của <br />
P và d là<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 82<br />
d
1 2 1 2 2 2<br />
x mx m m 1 x 2mx m 2m<br />
2 0 (*)<br />
2 2<br />
Để P cắt d tại hai điểm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thì phương trình (*) phải có<br />
hai nghiệm phân biệt.<br />
2 2<br />
Khi đó ' m m 2m 2 0 m 1<br />
<strong>Các</strong>h 1:<br />
2 2<br />
m ta có: 2<br />
Khi 1<br />
<br />
x x 2 x x 2x x 4 x x 4x x 4<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
<br />
4m 4 m 2m 2 4 8m 4<br />
m .<br />
2<br />
<strong>Các</strong>h 2:<br />
2 2 1<br />
b ' b '<br />
Khi m 1 ta có: x1 x2<br />
2 2 ' 2 2m<br />
2<br />
a a'<br />
Theo yêu cầu bài toán ta có:<br />
1<br />
2 2m 2 2 2 m 2 2 2m 2 1<br />
m .<br />
2<br />
P : y <br />
1 x<br />
2<br />
Ví dụ 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol <br />
2<br />
M m ;0<br />
với m là <strong>tham</strong> số khác 0 và điểm 0; 2<br />
đường thẳng d đi qua hai điểm ,<br />
P tại hai điểm phân biệt ,<br />
Lời giải:<br />
, điểm<br />
I .Viết phương trình<br />
M I . Chứng minh rằng d luôn cắt<br />
AB với độ dài đoạn AB 4 .<br />
2<br />
Phương trình đường thẳng d : y x 2. Phương trình hoành độ giao<br />
m<br />
1 2 2<br />
điểm của đường thẳng d và Parabol là: 2<br />
2 x m<br />
x<br />
2<br />
2<br />
mx 4x 4m<br />
0 . Ta có ' 4 4m<br />
0, m suy ra d luôn cắt P<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 83
tại hai điểm phân biệt<br />
2 2<br />
x<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
A x1; , B x2;<br />
<br />
2 2 <br />
2 2 1 2 1 2<br />
2 1<br />
2<br />
AB x2 x1 x2 x 1 x1 x2 4x1x 2<br />
1 x1 x2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
4 <br />
<br />
4 Theo định lý Viet ta có: x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
, x<br />
1 x<br />
2<br />
4 .<br />
m<br />
2 16 4 <br />
Vậy AB 16 1 16<br />
2 <br />
2 nên AB 4 .<br />
m m <br />
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P có phương trình<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
. Gọi <br />
d là đường thẳng đi qua I 0; 2<br />
và có hệ số góc k .<br />
a) Viết phương trình đường thẳng <br />
d . Chứng minh đường thẳng d<br />
luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt AB , khi k thay đổi.<br />
b) Gọi H,<br />
K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của AB , trên trục<br />
hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I .<br />
Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 2006-2007<br />
Lời giải:<br />
a) Đường thẳng d : y kx<br />
2<br />
Xét phương trình<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
kx 2 x 2kx<br />
4 0 (1). Ta<br />
2<br />
có: ' k 4 0 với mọi k , suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.<br />
Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.<br />
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
Suy ra A x ; y , B x ; y thì ;0 , ;0<br />
1 1 2 2<br />
H x K x . Khi đó<br />
1 2<br />
2<br />
IH x 4, IK x 4, KH x x . Theo định lý Viet thì xx<br />
1 2<br />
4<br />
nên<br />
2 2 2 2 2<br />
1 2 1 2<br />
IH IK x x KH . Vậy tam giác IHK vuông tại I .<br />
2 2 2 2 2<br />
1 2<br />
8<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 84
Ví dụ 4: Cho Parabol<br />
( P) : y x<br />
2<br />
và đường thẳng ( d) : y mx 4<br />
.<br />
a) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân<br />
biệt AB , .Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là hoành độ của các điểm AB , . Tìm giá trị<br />
2 x x<br />
7<br />
lớn nhất của Q <br />
.<br />
x<br />
<br />
<br />
1 2<br />
2 2<br />
1<br />
x2<br />
b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 .<br />
Lời giải:<br />
a). Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là:<br />
2 2<br />
2<br />
x mx 4 x mx 4 0 . Ta có m 16 0 , với mọi m nên<br />
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng d luôn cắt<br />
<br />
<br />
P tại hai điểm phân biệt. Theo định lý Viet ta có:<br />
x1x2<br />
m<br />
<br />
x1. x2<br />
4<br />
ta có<br />
2m<br />
7<br />
Q . (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng<br />
m<br />
2<br />
8<br />
dụng trong bài toán GTLN, GTNN) ta dễ tìm được giá trị lớn nhất của Q là<br />
1 và GTNN của Q là<br />
b) Để ý rằng đường thẳng <br />
1<br />
đạt được khi m 1 và m 8 .<br />
8<br />
d luôn đi qua điểm cố định I 0;4<br />
nằm trên<br />
trục tung. Ngoài ra nếu gọi ; , ; <br />
A x1 y1 B x2 y<br />
2<br />
thì<br />
1 2<br />
xx . 4 0 nên hai<br />
giao điểm AB , nằm về hai phía trục tung. Giả sử x1 0<br />
x2<br />
thì ta có:<br />
1 1<br />
SOAB SOAI SOBI<br />
AH. OI BK.<br />
OI với H,<br />
K lần lượt là hình chiếu<br />
2 2<br />
vuông góc của điểm AB , trên trục Oy . Ta có<br />
OI 4, AH x x , BK x x<br />
. Suy ra S 2 x x <br />
1 1 2 2<br />
<br />
OAB<br />
2 1<br />
2<br />
2 2<br />
SOAB<br />
4 x1 x2 4 x1 x2 4x1x<br />
<br />
<br />
2<br />
. Theo định lý Viet ta có:<br />
<br />
x x m, x x 4<br />
2 2<br />
. Thay vào ta có:<br />
OAB <br />
1 2 1 2<br />
S 4 m 16 64 m 0 .<br />
Nếu thay điều kiện S 8 thành diện tích tam giác OAB nhỏ nhất ta cũng có<br />
kết quả như trên. Vì m 2 S 2 m<br />
2<br />
<br />
0 4 16 64 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 85
Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng<br />
2<br />
2<br />
d : 2x y a 0 và parabol P : y ax<br />
a) Tìm a để <br />
( a 0) .<br />
d cắt P tại hai điểm phân biệt AB. , Chứng minh<br />
rằng A và B nằm bên phải trục tung.<br />
b) Gọi x , x là hoành độ của A và B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu<br />
A<br />
B<br />
4 1<br />
thức T <br />
x x x . x<br />
A B A B<br />
Hà Nội năm học 2005-2006)<br />
Lời giải:<br />
<br />
. (Trích <strong>Đề</strong> thi vòng 1 THPT chuyên – TP<br />
2 2<br />
2 2<br />
a) Xét phương trình ax 2x a ax 2x a 0 (1)<br />
d cắt P .tại hai điểm phân biệt AB , khi (1) có hai nghiệm phân biệt<br />
' 0 a 1. Kết hợp với điều kiện ta có 0a<br />
1 khi đó (1) có hai<br />
nghiệm dương nên AB , nằm ở bên phải trục Oy .<br />
b) Theo định lý Vi et ta có:<br />
2<br />
xA<br />
xB<br />
0<br />
1<br />
a .Ta có: T 2a theo bất đẳng thức Cô si cho 2 số<br />
a<br />
xA. xB<br />
a<br />
0<br />
1<br />
1<br />
dương ta có: 2a<br />
2 2 . Vậy min T 2 2 khi a .<br />
a<br />
2<br />
2<br />
Ví dụ 6) Cho parabol P : y x và đường thẳng d : y mx 1<br />
a) Chứng minh rằng đường thẳng <br />
điểm phân biệt với mọi giá trị m .<br />
.<br />
d luôn cắt parabol P tại hai<br />
b) Gọi A x1;<br />
y<br />
1<br />
và B x2;<br />
y<br />
2<br />
là các giao điểm của <br />
giá trị lớn nhất của biểu thức M y 1 y 1<br />
.<br />
1 2<br />
d và P . Tìm<br />
(Trích đề TS lớp 10 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 2009)<br />
Lời giải:<br />
a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là:<br />
2 2<br />
x mx 1 x mx 1 0 (1)<br />
2<br />
m 4 0 với mọi m nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra <br />
cắt <br />
P tại hai điểm phân biệt A x ; y và ; <br />
1 1<br />
B x y .<br />
2 2<br />
d luôn<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 86
) Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 m; x1x<br />
2<br />
1<br />
2<br />
M y 1 y 1 x 1 x 1 x x 2x x x x 1 m<br />
0<br />
2 2 2 2 2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
Vậy max M 0 khi m 0.<br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
2 2<br />
x m x m m<br />
1) Cho phương trình <br />
2 1 8 0 có nghiệm x 2 .<br />
Tìm các giá trị của m và tìm nghiệm còn lại của phương trình.<br />
2) Cho phương trình<br />
x<br />
2<br />
3x 2 0 (1)<br />
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt<br />
b) Gọi các nghiệm của phương trình là x1,<br />
x<br />
2. Không tính giá trị của<br />
x1,<br />
x<br />
2, hãy tính các giá trị của biểu thức sau:<br />
A x x<br />
2 2<br />
1 2<br />
1 1<br />
C x 1 x 1<br />
1 2<br />
B x x<br />
3 3<br />
1 2<br />
x2 2 m 2 x 1 m 0 , m là <strong>tham</strong> số.<br />
3) Cho phương trình bậc hai <br />
2<br />
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.<br />
b) Gọi hai nghiệm phân biệt là x1,<br />
x<br />
2. Tính giá trị của biểu thức P sau<br />
theo m :<br />
2xx<br />
3<br />
2 1<br />
1 2<br />
P x<br />
2 2<br />
1 x<br />
2 x<br />
1 x<br />
2<br />
<br />
. Từ đó tìm các giá trị của m để P đạt giá<br />
trị lớn nhất và tìm các giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
2 2<br />
x m x m m<br />
4) Cho phương trình <br />
2 2 1 4 4 3 0 . Tìm các giá trị<br />
của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một<br />
nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 87
2<br />
5) Cho phương trình x 2x m 0, m là <strong>tham</strong> số. tìm điều kiện của<br />
<strong>tham</strong> số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
x 2x<br />
1.<br />
1 2<br />
6) Cho phương trình x 2 mx m <br />
2 5 4 0 , với m là <strong>tham</strong> số. Xác<br />
định các giá trị của m để phương trình có:<br />
a) Nghiệm bằng 0 .<br />
b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu.<br />
c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương.<br />
2<br />
7) Cho phương trình x x 3m<br />
0, với m là <strong>tham</strong> số. Xác định các<br />
giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa<br />
mãn x1 1 x2.<br />
2<br />
2<br />
8) Cho các phương trình x ax b 0 (1); x cx d 0 (2), trong<br />
đó các hệ số a, b, c,<br />
d đều khác 0 . Biết ab , là nghiệm của phương<br />
9)<br />
trình (2) và cd , là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng<br />
2 2 2 2<br />
a b c d 10 .<br />
a) Cho phương trình ax 2 bx c 0a<br />
0<br />
mãn ax1 bx2 c 0<br />
có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa<br />
3<br />
Chứng minh rằng ac a c b b<br />
3 0.<br />
b) Giả sử pq , là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ít<br />
nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm<br />
2 2<br />
x px q x qx p<br />
0; 0 .<br />
10) Tìm các số ab , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:<br />
a) Hai phương trình x<br />
chung;<br />
b) a b bé nhất.<br />
11)<br />
2<br />
ax 11 0 và x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 88<br />
2<br />
bx 7 0 có nghiệm
a) Cho các số abc , , thỏa mãn<br />
2<br />
a 0, bc 4 a ,2a b c abc<br />
. Chứng<br />
6<br />
minh rằng a .<br />
2<br />
b) Cho abc , , là ba số khác nhau và c 0 . Chứng minh rằng nếu các<br />
12)<br />
2<br />
2<br />
phương trình x ax bc 0 và x bx ac 0 có đúng một<br />
nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của<br />
phương trình<br />
2<br />
x cx ab<br />
0 .<br />
a) Cho f x ax 2 bx c a<br />
0<br />
, biết rằng phương trình <br />
2<br />
vô nghiệm. chứng minh rằng phương trình <br />
vô nghiệm.<br />
f x x<br />
af x bf x c x<br />
b) Cho các số a1, a2, b1 , b<br />
2<br />
sao cho các phương trình sau vô nghiệm:<br />
2<br />
x a1x b1 0<br />
và<br />
2<br />
x a1 a2 x b1 b2<br />
2<br />
x a2x b2 0<br />
. Hỏi phương trình<br />
1 1<br />
0 có nghiệm hay không? Vì sao?<br />
2 2<br />
13) Cho phương trình<br />
2<br />
x mx m<br />
2 2 0 ( x là ẩn số)<br />
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với<br />
mọi m .<br />
b) Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức<br />
24<br />
M x x 6<br />
x x<br />
2 2<br />
1 2 1 2<br />
đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
14) Cho phương trình <br />
x 2 2 m 2 x m<br />
2 0 , với m là <strong>tham</strong> số.<br />
1) Giải phương trình khi m 0.<br />
2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x<br />
1<br />
và x<br />
2<br />
với x1 x2, tìm tất cả các nghiệm của m sao cho x1 x2 6 .<br />
15) Cho phương trình<br />
2 2<br />
x 2x 3m<br />
0 , với m là <strong>tham</strong> số<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 89
1) Giải phương trình khi m 1.<br />
2) Tìm tất các các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm<br />
x1 x2<br />
8<br />
x1, x2<br />
0 và thỏa điều kiện .<br />
x x 3<br />
2 1<br />
16) Cho phương trình bậc hai:<br />
2 2<br />
x mx m m<br />
2 1 0 ( m là <strong>tham</strong> số).<br />
a) Giải phương trình khi m 2 .<br />
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn:<br />
x x 3x x 1.<br />
2 2<br />
1 2 1 2<br />
17) Cho phương trình: <br />
x 2 2 m 1 x 2m 4 m<br />
2 0 ( m là <strong>tham</strong> số).<br />
a) Giải phương trình khi m 1.<br />
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với<br />
mọi m .<br />
18) Cho phương trình: <br />
x 2 2 m 1 x m<br />
2 4 0 ( m là <strong>tham</strong> số)<br />
a) Giải phương trình với m 2 .<br />
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
<br />
2 2<br />
1 2<br />
<br />
x 2 m 1 x 3m<br />
16 .<br />
19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y mx<br />
3 <strong>tham</strong><br />
P : y x .<br />
số m và parabol <br />
2<br />
a) Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm 1;0<br />
<br />
b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol <br />
A .<br />
có hoành độ lần lượt là x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn x1x2 2 .<br />
P tại hai điểm phân biệt<br />
20) Cho phương trình:<br />
2<br />
x x m<br />
5 0 (1) ( m là <strong>tham</strong> số, x là ẩn)<br />
1) Giải phương trình (1) với m 4 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 90
2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2<br />
0 thỏa<br />
mãn:<br />
6 m x1 6 m x2<br />
10<br />
.<br />
x x 3<br />
2 1<br />
21) Cho phương trình:<br />
2<br />
x x m<br />
2 3 0 ( m là <strong>tham</strong> số).<br />
1) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3. Tìm nghiệm còn lại.<br />
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
x<br />
3 3<br />
1<br />
x2 8<br />
.<br />
2<br />
22) Chứng minh rằng phương trình: <br />
hai nghiệm phân biệt<br />
1,<br />
2<br />
không phụ thuộc vào m .<br />
23) Cho phương trình <br />
số).<br />
x 2 m 1 x m 4 0 luôn có<br />
x x và biểu thức M x 1 x x 1<br />
x <br />
2 2<br />
x m x m m<br />
1 2 2 1<br />
2 1 3 2 0 (1) ( m là <strong>tham</strong><br />
1) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.<br />
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt<br />
x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
x<br />
2 2<br />
1<br />
x2 12<br />
.<br />
24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol <br />
2<br />
d y 2 m x 1 ( m là <strong>tham</strong> số).<br />
3 3<br />
thẳng : 1<br />
1) Chứng minh rằng mỗi giá trị của m thì <br />
tại hai điểm phân biệt.<br />
2) Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là hoành độ giao điểm P và d , đặt<br />
1<br />
3 2<br />
f x x m x x<br />
.<br />
P : y x và đường<br />
P và d luôn cắt nhau<br />
1<br />
Chứng minh rằng: f x 3<br />
1<br />
f x2 x1 x2<br />
.(Trích đề thi vào<br />
2<br />
lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 91
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
1) Vì x 2 là nghiệm của phương trình nên ta có:<br />
<br />
2<br />
2<br />
4 2 2m 1 m m 8 0 m 5m 6 0 m 1 hoặc m 6.<br />
Với m 1 ta có phương trình:<br />
nghiệm x 2 , nghiệm còn lại là 3<br />
2<br />
x x 6 0. Phương trình đã cho có 1<br />
x (vì tích hai nghiệm bằng 6<br />
)<br />
2<br />
Với m 6, ta có phương trình x 13x 22 0 , phương trình đã cho có<br />
một nghiệm x 2 , nghiệm còn lại là x 11 (vì tích hai nghiệm bằng 22)<br />
2<br />
2) Xét 3 4. 2<br />
3 4 2 0 . Vậy phương trình có hai<br />
nghiệm phân biệt<br />
Chú ý: Có thể nhận xét ac 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt<br />
trái dấu<br />
b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:<br />
<br />
x1 x2<br />
3<br />
<br />
x1. x2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 3 2 2<br />
3 2 2<br />
3<br />
2<br />
<br />
A x x x x x x <br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
B x x x x 3x x x x 3 3 2 3 3 3 3 6<br />
3 3<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
1 1 x x 2 x x 2 3 2<br />
<br />
1 1 1 1 1 2 3 1<br />
1 2 1 2<br />
C x<br />
1 x<br />
2 x<br />
1 x<br />
2 x<br />
1 x<br />
2 x<br />
1 x<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
3) a) Ta có m 4m 1 m 4m 4 m<br />
2<br />
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2<br />
0 m 2 . Theo hệ<br />
x1x2<br />
m<br />
thức Viet ta có: . Khi đó P <br />
x1. x2<br />
m<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 92<br />
<br />
2xx<br />
1 2<br />
3 2m<br />
1<br />
<br />
2 2<br />
x x<br />
2<br />
m 2<br />
1 2<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
m 2 m 1 m 1<br />
2m<br />
1<br />
Ta có P 1 1. Dấu đẳng thức xảy<br />
m<br />
2 2 2<br />
2 m 2 m 2<br />
ra khi m 1 nên giá trị lớn nhất max P 1. Tương tự ta có giá trị nhỏ nhất
1<br />
min P , đạt được khi m 2.(Xem thêm phần phương pháp miền giá<br />
2<br />
trị hàm số)<br />
4)<br />
<strong>Các</strong>h 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2m 1 4m 4m 3 4 0, m<br />
. Vậy phương trình có hai<br />
<br />
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . Gọi hai nghiệm của phương trình là<br />
x1,<br />
x<br />
2. Theo hệ thức Viet ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
x1 x2<br />
2 2m<br />
1 1<br />
<br />
x x m m<br />
2<br />
1. 2<br />
4 4 3 2<br />
Có thể giả sử x1 2x2<br />
(3). Khi đó từ (1) và (3)có<br />
2 2 2<br />
.<br />
<br />
2 2m<br />
1<br />
x2<br />
<br />
3<br />
<br />
. Thay<br />
42m<br />
1<br />
x1<br />
<br />
3<br />
2m<br />
1<br />
vào (2) ta có phương trình 8. 4m 4m 3 4m 4m<br />
35 0<br />
9<br />
Giải phương trình ta được<br />
5<br />
m hoặc<br />
2<br />
7<br />
m (thỏa mãn điều kiện).<br />
2<br />
<strong>Các</strong>h 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra x1 2x2<br />
hoặc x2 2x1,<br />
tức là: x x x x x x x x 2<br />
2 2 0 9 2 0<br />
1 2 2 1 1 2 1 2<br />
<br />
áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình<br />
2<br />
4m<br />
4m<br />
35 0<br />
.<br />
5)<br />
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0 1 m 0 m<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 93
Theo hệ thức Viet, ta có:<br />
(3). Từ (1) và (3) ta có được<br />
thảo mãn điều kiện<br />
6)<br />
21 <br />
<br />
x1x2<br />
<br />
<br />
x1. x2<br />
m 2<br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
. Ta có x1 2x2 1 x1 1<br />
2x2<br />
. Thay vào (2) ta có được m 3<br />
a) Phương trình có nghiệm<br />
4<br />
x 0 5m 4 0 m .<br />
5<br />
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu<br />
4<br />
1. 5m 4<br />
0 m<br />
5<br />
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2<br />
' 0<br />
<br />
2<br />
m 5m 4 0 m 1 m 4 0 m 4 hoặc 1<br />
m .<br />
Theo hệ thức Viet ta có:<br />
x1x2<br />
2m<br />
<br />
x1. x2<br />
5m<br />
4<br />
Hai nghiệm của phương trình cùng dương<br />
2m<br />
0 4<br />
m <br />
5m<br />
4 0 5<br />
Kết hợp với điều kiện ta có 4 m<br />
1 hoặc m 4 .<br />
5<br />
7) <strong>Các</strong>h 1. Đặt x1 t, ta có<br />
x 1 x x 1 0 x 1 t 0 t<br />
1 2 1 2 1 2<br />
Phương trình ẩn x là<br />
2<br />
x x m<br />
3 0 được đưa về phương trình ẩn t :<br />
<br />
2 2<br />
t 1 t 1 3m 0 t t 3m<br />
0 . Phương trình ẩn t phải có hai<br />
nghiệm trái dấu 3m 0 m<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 94
Vậy m 0<br />
<strong>Các</strong>h 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt<br />
1<br />
x1, x2<br />
0 112m 0 m . Khi đó theo hệ thức Viet ta có:<br />
12<br />
x1x2<br />
1<br />
<br />
x1. x2<br />
3m<br />
(1). Hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
thỏa mãn<br />
x 1 x x 1 0 x 1 x 1 và x2 1 trái dấu<br />
1 2 1 2 1<br />
x x x x x x <br />
1 1 0 1 0 (2). Thay (1) vào (2) ta có:<br />
1 2 1 2 1 2<br />
3m11 0 m 0 .<br />
Kết hợp với điều kiện ta có m 0 là các giá trị cần tìm.<br />
Chú ý:<br />
Nếu hai nghiệm x1, x2<br />
1 thì phương trình ẩn t có hai nghiệm đều là số âm.<br />
Nếu hai nghiệm x1, x2<br />
1 thì phương trình ẩn t có hai nghiệm đều là số<br />
dương.<br />
8) Giải:<br />
Áp dụng hệ thức Viet ta có: a b c; ab d; c d a;<br />
cd b .<br />
Ta có:<br />
c d a c a d<br />
b<br />
d<br />
a b c a b c<br />
Kết hợp với ab<br />
d và cd b suy ra a 1, c 1<br />
Do a b c và c d a suy ra b 2, d 2<br />
2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Do đó a b c d <br />
9)<br />
1 2 1 2 10 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 95
a) Vì a 0 nên<br />
2<br />
<br />
3 2 2 3 3 c c bc <br />
aca c 3b<br />
b ac a c b 3abc a <br />
3<br />
2 (*). Theo<br />
a a a <br />
b c<br />
hệ thức Viet, ta có: x 1<br />
x 2<br />
; x1x<br />
2<br />
a<br />
a<br />
. Khi đó (*) thành:<br />
3<br />
3 <br />
a x x x x x x x x x x<br />
<br />
3 2 2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
3 3 2 2<br />
3 1 2 2 1<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 2 3 3 3 2 2<br />
a x x x x x x a x x x x<br />
ac a c b b a x x x x<br />
Mà theo giả thiết ta có<br />
Suy ra<br />
ax bx c<br />
2<br />
2 2<br />
0<br />
bx c ax ax x x<br />
2 2<br />
2 2 1 2 1<br />
0<br />
<br />
<br />
và ax bx c a<br />
<br />
1 2<br />
0 0<br />
ac a c 3b b 0<br />
. Do đó <br />
3<br />
b) Vì pq , nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là<br />
p<br />
q hoặc p q.<br />
Nếu p q suy ra p q 1<br />
Vậy trong trường hợp này phương trình<br />
Tương tự trường hợp p<br />
(đpcm).<br />
2 2<br />
2<br />
.Khi đó p q q q q<br />
<br />
q thì phương trình<br />
4 1 4 1 0 .<br />
2<br />
x px q<br />
0 có nghiệm.<br />
2<br />
x qx p<br />
0 có nghiệm<br />
10)<br />
a) Theo điều kiện đầu bài thì ta gọi x<br />
0<br />
là nghiệm chung hai phương<br />
trình, ta có:<br />
2<br />
<br />
x0 ax0 11 0<br />
2<br />
<br />
2x0 a b<br />
x<br />
2<br />
0<br />
18 0<br />
x0 bx0<br />
7<br />
0<br />
2<br />
Do đó phương trình <br />
Khi đó a<br />
b 2 144 0<br />
2x a b x 18 0 có nghiệm (*)<br />
hay ab<br />
12 .<br />
Mặt khác, ta có a b a b 12. Vậy a b bé nhất bằng 12 khi và chỉ<br />
khi a và b cùng dấu.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 96
Với ab 12 , thay vào (*) ta được:<br />
có nghiệm kép x 3.<br />
2<br />
2x<br />
12x<br />
18 0<br />
Thay x 3 vào các phương trình đã cho ta được<br />
. Phương trình trên<br />
20 16<br />
a ; b .<br />
3 3<br />
2<br />
Với ab 12 thay vào (*) ta được: 2x<br />
12x18 0 . Phương trình trên<br />
có nghiệm kép x 3<br />
20 16<br />
Thay x 3 vào phương tình ta được: a ; b . Vậy các cặp số sau<br />
3 3<br />
20 16 20 16 <br />
thỏa mãn điều kiện bài toán: ab<br />
; ; , ; <br />
3 3 3 3 .<br />
11)<br />
a) Từ giả thiết ta có:<br />
bc<br />
2<br />
4a<br />
và<br />
b c abc a a a a a<br />
3 2<br />
2 4 2 2 2 1 . Suy ra ,<br />
trình <br />
x 2 4a 3 2a x 4a<br />
2 0 . Khi đó<br />
2 2<br />
<br />
2 2 2 2 6<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 97<br />
<br />
bc là nghiệm của phương<br />
' a 2a 1 4a 0 2a 1 4 a (vì a 0 ).<br />
2<br />
b) Giả sử x<br />
0<br />
là nghiệm chung, tức là<br />
a b x ca b a b x c<br />
ta có: c 2 bc ca 0 c a b c<br />
0,<br />
2<br />
<br />
x0 ax0<br />
bc 0<br />
<br />
2<br />
x0 bx0<br />
ca 0<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
0 . Vì a b nên x0<br />
c. Khi đó<br />
Do c 0 nên<br />
a b c 0 a b c . Mặt khác theo định lý Viet, phương trình<br />
2<br />
x ax bc<br />
0 còn có nghiệm x b;<br />
phương trình<br />
2<br />
x bx ac<br />
0 còn có<br />
nghiệm x a.Theo định lý đảo của định lý Viet, hai số a và b là nghiệm<br />
2<br />
của phương trình: <br />
12)<br />
x a b x ab 0 hay<br />
2<br />
x cx ab<br />
0 (đpcm).<br />
a) Vì phương trình f x<br />
x vô nghiệm, nên suy ra f x<br />
x hoặc<br />
f x x,<br />
x<br />
<br />
af x bf x c f x x,<br />
x<br />
hoặc<br />
2<br />
Khi đó <br />
<br />
<br />
2<br />
af x bf x c f x x,<br />
x<br />
.Tức là phương trình<br />
2<br />
af x bf x c x<br />
vô nghiệm.
) Từ giả thiết suy ra<br />
a<br />
4b<br />
0 và a<br />
2<br />
1 1<br />
2 2<br />
2 a1 a1 4b1<br />
1 1<br />
x a x b x 0, x<br />
<br />
2 4<br />
4b<br />
0. Do đó<br />
2<br />
2 2<br />
. và<br />
2<br />
2 a2 a2 4b2<br />
x a2x b2<br />
x 0, x<br />
nên<br />
2 4<br />
2 1 1 1 2 2<br />
x a1 a2 x b1 b2 x a1x b1 x a2x b2<br />
<br />
0<br />
2 2 2 <br />
<br />
.<br />
2 1 1<br />
x a1 a2 x b1 b2<br />
0 vô nghiệm.<br />
2 2<br />
Do vậy phương trình <br />
13)<br />
2<br />
2 1 7<br />
a) ' m m 2 <br />
m<br />
<br />
0 với mọi m Vậy phương trình luôn<br />
2<br />
4<br />
có hai nghiệm với mọi m .<br />
b) Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 2 m; x1x 2<br />
m 2<br />
24 24 24<br />
M <br />
x x 6 x x x x 2x x 6x x x x 8x x<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
24 24 6<br />
2<br />
. Dấu “=” xảy ra khi<br />
2 2 8 2 1 2<br />
3<br />
2<br />
m m 4m<br />
8m16<br />
m<br />
<br />
m 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của M 2 khi m 1.<br />
14)<br />
2<br />
1) Khi m 0 phương trình thành: x 4x 0 x 0 hoặc x 4 .<br />
2) m 2 m 2 m 2 m m 2 m <br />
' 2 2 4 4 2 2 1 2<br />
m<br />
2<br />
2 1 2 0, m.Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với<br />
S x x 2 2 m ; P x x m<br />
0<br />
mọi m .Ta có <br />
2<br />
Ta có<br />
1 2 1 2<br />
x x 6 x 2 x x x 36<br />
2 2<br />
1 2 1 1 2 2<br />
x x x x x x m m<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 36 4 2 36 2 9<br />
1 2 1 2 1 2<br />
m 1 m 5.<br />
15)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 98
1) Khi m 1 phương trình thành:<br />
a b c 0).<br />
2) Với<br />
1, 2<br />
0<br />
x<br />
x<br />
2 x<br />
1<br />
2x 3 0 <br />
x<br />
3<br />
1 2<br />
2 2<br />
x x ta có: <br />
<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 99<br />
x<br />
x 8<br />
3 x x 8x x<br />
x 3<br />
1 2 1 2<br />
2<br />
3 x x x x 8x x . Ta có a. c 3m<br />
0 nên 0, m<br />
b<br />
c 2<br />
Khi 0 , ta có: x1 x2 2 và x1. x2<br />
3m<br />
0<br />
a<br />
a<br />
Phương trình có hai nghiệm 0 do đó m 0 0 và xx<br />
1 2<br />
0 . Giả sử<br />
x<br />
x<br />
1 2<br />
Với a 1 x1<br />
b<br />
' ' và x2 b' ' x1 x2 2 ' 2 1<br />
3m<br />
và m 0<br />
2 2<br />
Do đó yêu cầu bài toán 3.2 2 1 3m<br />
8. 3m<br />
<br />
2<br />
m<br />
1<br />
4 2<br />
4m 3m 1 0 <br />
1<br />
2 1 m .<br />
m<br />
() l<br />
4<br />
16)<br />
a) Khi m 2 ta có phương trình:<br />
2<br />
x 4x 3 0 x 2 x 3x 3 0 x x 1 3 x 1<br />
0<br />
x<br />
1<br />
x1 x 3<br />
0 <br />
x<br />
3<br />
2 2<br />
b) Ta có <br />
' m m m 1 m 1.<br />
(do<br />
. Phương trình có tập nghiệm là: S 1;3<br />
<br />
Để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
thì<br />
' 0 m1 0 m 1.Khi đó theo hệ thức Viet ta có:<br />
x1x2<br />
2m<br />
<br />
. Theo bài ra:<br />
2<br />
x1x2<br />
m m 1<br />
x x 3x x 1 x x 2x x 3x x 1<br />
2<br />
2 2<br />
1 2 1 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2 2 2<br />
x1 x2 x1x 2<br />
m m m <br />
5 1 0 4 5 1 1<br />
0<br />
2 m<br />
1<br />
<br />
m 5m 4 0 m 1 m 4 0 <br />
m<br />
4<br />
2
Đối chiếu điều kiện m 1 ta có m 4 thỏa mãn bài toán.<br />
17)<br />
a) Khi m 1 phương trình thành:<br />
x<br />
2<br />
4x1 0 có<br />
2<br />
' 2 1 5 0<br />
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2 5; x2<br />
2 5<br />
b) Ta có:<br />
1 1<br />
2 2<br />
4 4 2 2<br />
' 2m 2m 1 2m 2m 2m 2m<br />
<br />
2 2<br />
2 1 1<br />
2 m<br />
2 m <br />
0<br />
2 2<br />
, m . Nếu<br />
<br />
m 0<br />
2<br />
' 0 <br />
1<br />
m 0<br />
2<br />
2 1<br />
nghiệm). Do đó ' 0, m . Vậy phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt<br />
với mọi m .<br />
18)<br />
a) Với m 2 , ta có phương tình:<br />
x<br />
2 x<br />
2<br />
6x 8 0 .<br />
x<br />
4<br />
2 2<br />
b) Xét phương trình (1) ta có: <br />
' m 1 m 4 2m<br />
3<br />
3<br />
Phương trình (1) có hai nghiệm x1,<br />
x2<br />
m<br />
.Theo hệ thức Viet:<br />
2<br />
x1 x2<br />
2 m 1<br />
<br />
2<br />
x1x<br />
2m<br />
4<br />
<br />
2<br />
<br />
. Theo giả thiết: <br />
x 2 2<br />
1<br />
x1 x2 x2 3m<br />
16<br />
x x x x 3m 16 x x x x 3m<br />
16<br />
2 2 2 2 2<br />
1 1 2 2 1 2 1 2<br />
2 2<br />
<br />
x x x x m m m m <br />
2 2 2<br />
1 2 1 2<br />
3 16 4 1 4 3 16<br />
8m16 m 2 . Vậy 3 m<br />
2 .<br />
2<br />
19)<br />
x<br />
2<br />
1) Đường thẳng d đi qua điểm 1;0<br />
<br />
2) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa <br />
2<br />
mx 3 0 m 12 , nên d cắt <br />
. Có<br />
hoành độ lần lượt là x1,<br />
x<br />
2<br />
khi<br />
(vô<br />
A nên có: 0 m.1 3 m<br />
3<br />
d và P :<br />
P tại hai điểm phân biệt có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 10<br />
0
m<br />
2 3<br />
12 0 12 m 2 3 . Áp dụng hệ thức<br />
m 2 3<br />
2 2<br />
m m <br />
Viet ta có:<br />
x1x2<br />
m<br />
. Theo bài ra ta có:<br />
xx<br />
1 2<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
x x 2 x x 4 x x 4x x 4<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
2 2<br />
m 4.3 4 m 16 m 4 (TM). Vậy 4<br />
Có<br />
20)<br />
1) Thay m 4 vào phương trình ta có:<br />
x<br />
2<br />
m là giá trị cần tìm.<br />
x1<br />
0<br />
2<br />
1 4.1.1 5 . Vậy phương trình có 2 nghiệm:<br />
1<br />
5 1<br />
5<br />
x1 ; x2<br />
.<br />
2 2<br />
2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:<br />
21<br />
1 4m 5<br />
0 m . Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 1 (1);<br />
4<br />
x x m<br />
(2)<br />
1 2<br />
5<br />
Xét:<br />
2 2<br />
6 m x 6 m x x x<br />
6 m x1 6 m x2<br />
10 1 2 1 2 10<br />
<br />
x x 3 x . x<br />
3<br />
2 1 1 2<br />
2<br />
6 m x x x x 2x x 10<br />
xx<br />
3<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
1 2<br />
<br />
1 6 m 1 2 m5 10 3m<br />
17 10<br />
Thay (1),(2) vào ta có:<br />
<br />
m5 3 m5 3<br />
m 1 (thỏa mãn).Vậy với m 1 thì bài toán thỏa mãn.<br />
21)<br />
1) Phương trình có nghiệm x 3<br />
2<br />
3 2.3 m 3 0 6 m 0 m 6<br />
Ta có: x1 x2 2 3 x2 2 x2<br />
1.Vậy nghiệm còn lại là x 1.<br />
2) m<br />
<br />
' 1 3 m<br />
2<br />
Để phương trình có hai nghiệm m 2 0 m 2<br />
x1 x2 8 x1 x <br />
2<br />
x1 x2 3x1x<br />
<br />
2<br />
8<br />
<br />
<br />
3 3<br />
Khi đó: 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 101
2<br />
Áp dụng hệ thức Viet ta được: m<br />
<br />
m <br />
2 2 3 3 8 2 4 3 9 8<br />
86m 18 8 6m 18 0 m 3 (thỏa mãn). Vậy m 3 là<br />
giá trị cần tìm.<br />
22)<br />
2<br />
a) Phương trình: <br />
có <br />
x 2 m 1 x 4m<br />
3 0 (1)<br />
2 2<br />
' m 1 4m 3 m 2m 1 4m<br />
3<br />
m 2 m m<br />
2<br />
2 1 3 1 3 0 với mọi m . Suy ra phương trình (1)<br />
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .<br />
b). Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1,<br />
x<br />
2<br />
S 2<br />
Theo hệ thức Viet ta có: S x1 x2<br />
2m 2 m (2)<br />
2<br />
P 3 S2 P3<br />
P x1x 2 4m 3 m 2S 4 P 3.<br />
4 2 4<br />
<br />
2S P 7 2 x x x x x x 7<br />
<br />
1 2 1 2 1 2<br />
23) Phương trình <br />
2 2<br />
x m x m m<br />
2 1 2 2 1 0<br />
Có 2 2 2 2 2<br />
' m 1 2m 2m 1 m 2m 1 2m 2m 1 m<br />
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 0 .<br />
Theo định lý Vi et ta có:<br />
x x 2 m 1<br />
<br />
x x m m<br />
<br />
<br />
2<br />
1 2 2 2<br />
x1 x2 x<br />
2<br />
1<br />
x2 x1x<br />
2<br />
1. 2<br />
2 2 1<br />
Hay <br />
12 2 12 0<br />
2 2 1<br />
4 m 1 2 2m 2m 1 0 m .<br />
2<br />
24)<br />
2<br />
y<br />
x<br />
<br />
2 1 1<br />
y<br />
<br />
3 3<br />
a) Xét hệ phương trình: m<br />
<br />
<br />
y x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
3x 2 m 1 x 1 10<br />
<br />
1<br />
(1) Có hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi m<br />
nên P và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 10<br />
2
) Theo hệ thức Viet:<br />
<br />
<br />
2 m 1<br />
x<br />
3<br />
1x2<br />
<br />
x x<br />
<br />
3 m<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
xx<br />
3xx<br />
1 2<br />
<br />
1 21<br />
3<br />
Ta có: 3 3 1 2 2<br />
<br />
3 3 2 2<br />
<br />
f x f x x x m x x x x<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
2 f x f x 2x 2x 3 x x x x 2x 2x<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
1 2<br />
<br />
<br />
<br />
x x 3x x x x 2 x x x x x x 2 x x<br />
3 3 3 3<br />
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
x 3 3 2 2<br />
3<br />
1<br />
x2 3x1x 2<br />
x1 x2 x1 x2 x1 x2 2x1x 2<br />
x1 x2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
Nên f x 3<br />
1<br />
f x2 x1 x2<br />
.<br />
2<br />
<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 103
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH<br />
BẬC NHẤT HAI ẨN<br />
Kiến thức cần nhớ<br />
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:<br />
ax by c<br />
<br />
.<br />
a ' x b' y c<br />
'<br />
+ Cặp số ; <br />
x y được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là<br />
0 0<br />
nghiệm chung của cả hai phương trình đó.<br />
+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị<br />
trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.<br />
+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc<br />
phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.<br />
Một số ví dụ<br />
Ví dụ 1. Xác định các hệ số ab , của hàm số y ax b để:<br />
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm A1;3 , B 2;4<br />
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục<br />
hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 .<br />
Lời giải:<br />
1) Thay tọa độ các điểm AB , vào phương trình của đường thẳng ta<br />
được:<br />
3 a b b 3 a a<br />
1<br />
<br />
. Vậy a 1, b 2 .<br />
4 2a b 4 2a 3 a b 3 a 2<br />
4 a.0 b b 4 a<br />
2<br />
2) Tương tự phần (1) ta có hệ: <br />
0 2a b 2a b 4 b<br />
4<br />
Vậy a 2, b 4 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:<br />
a)<br />
1 1<br />
3<br />
x y<br />
<br />
3 2 1<br />
x y<br />
b)<br />
x y<br />
3<br />
x 1 y 1<br />
<br />
x 3y<br />
1<br />
<br />
x1 y1<br />
c)<br />
<br />
1<br />
2x<br />
1 2<br />
x<br />
y<br />
<br />
1<br />
2 2x<br />
1 1<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
Lời giải:<br />
a) Đặt<br />
1 1<br />
u ; v<br />
x<br />
y<br />
. Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:<br />
u v 3 <br />
v3u<br />
5u 5 u<br />
1<br />
<br />
3u 2v 1 <br />
3u 23 u<br />
1<br />
v 3 u v<br />
2 .<br />
Từ đó suy ra:<br />
1 x 1;<br />
u<br />
1 1<br />
y v<br />
2<br />
.<br />
x y<br />
b) Đặt u ; v<br />
. Theo bài ra ta có hệ phương trình:<br />
x1 y 1<br />
u v 3 u 3 v u 3 v u<br />
2<br />
.<br />
u 3v 1 3 v 3v 1 4v 4 v<br />
1<br />
x<br />
2 x<br />
2<br />
x<br />
1<br />
x2x2<br />
<br />
Từ đó suy ra: <br />
y<br />
<br />
1 .<br />
<br />
y 1<br />
y<br />
1 <br />
y<br />
<br />
y 1<br />
2<br />
<br />
c). Điều kiện<br />
a<br />
2x1<br />
1<br />
x , 0<br />
2 x y<br />
. Đặt <br />
1<br />
b<br />
<br />
x<br />
y<br />
ta có hệ phương trình mới<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2x<br />
1 1<br />
a b 2 a 1 <br />
x<br />
1<br />
1 .<br />
2a b 1 b 1 1<br />
y<br />
0<br />
x<br />
y<br />
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 1; y 0<br />
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình:<br />
x2y<br />
5<br />
<br />
mx y 4<br />
1<br />
2<br />
Giải:<br />
a) Giải hệ phương trình với m 2 .<br />
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy , trong đó xy ,<br />
trái dấu.<br />
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy ; thỏa mãn<br />
x<br />
y .<br />
a) Với m 2 ta có hệ phương trình:<br />
x 2y 5 <br />
x2y5<br />
x 2y 5 x<br />
1<br />
<br />
2x y 4 <br />
22y 5<br />
y<br />
4 3y 6 y<br />
2<br />
b) Từ phương trình (1) ta có x 2y 5. Thay x 2y 5 vào phương trình<br />
(2) ta được: <br />
m 2y 5 y 4 2m 1 . y 4 5m<br />
(3)<br />
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này<br />
1<br />
4<br />
5m<br />
tương đương với: 2m1 0 m . Từ đó ta được: y <br />
2<br />
2m<br />
1<br />
;<br />
3<br />
x 5 2y<br />
2m<br />
1<br />
. Ta có: 34 5m<br />
xy . . Do đó<br />
2m<br />
1<br />
2<br />
4<br />
x, y 0 4 5m 0 m (thỏa mãn điều kiện)<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c)Ta có:<br />
3 4 5m<br />
x y <br />
2m1 2m1<br />
(4)<br />
Từ (4) suy ra<br />
1<br />
2m1 0 m . Với điều kiện<br />
2<br />
1<br />
m ta có:<br />
2<br />
1<br />
m<br />
4 5m<br />
3 5<br />
4 4 5m<br />
3 <br />
4 5m<br />
3 7<br />
m <br />
5<br />
<br />
l<br />
. Vậy<br />
7<br />
m .<br />
5<br />
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình:<br />
x my m 1<br />
<br />
mx y 3m<br />
1<br />
1<br />
2<br />
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ<br />
phương trình có nghiệm duy nhất?<br />
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m .<br />
c) Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất<br />
<br />
<br />
xy , mà xy , đều là số nguyên.<br />
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất xy , thì điểm<br />
<br />
<br />
M x,<br />
y luôn chạy trên một đường thẳng cố định.<br />
e) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho xy . đạt giá trị nhỏ<br />
Lời giải:<br />
nhất.<br />
a) Từ phương trình (2) ta có y 3m 1 mx . Thay vào phương trình (1) ta<br />
được: <br />
x m m mx m m x m m<br />
2 2<br />
3 1 1 1 3 2 1 (3)<br />
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất ,<br />
tức là<br />
m<br />
2<br />
1 0 m 1.<br />
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ<br />
1 m 2<br />
khi : m 1 m 1<br />
m 1<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Từ phương trình (2) ta có y 3m 1 mx . Thay vào phương trình (1) ta<br />
được: <br />
x m m mx m m x m m<br />
2 2<br />
3 1 1 1 . 3 2 1 (3)<br />
Trường hợp 1: m 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất<br />
m<br />
13m<br />
1<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
<br />
3m1 m1<br />
<br />
y 3m 1 m.<br />
<br />
<br />
m 1 m 1<br />
2<br />
3m 2m 1 3m<br />
1<br />
2<br />
m 1 m 1 . m 1 m 1<br />
Trường hợp 2: m 1. Khi đó phương trình (3) thành: 0. x 0 .<br />
Vậy hệ có vô số nghiệm dạng x;2 x,<br />
x .<br />
Trường hợp 3: m 1 khi đó phương trình (3) thành: 0. x 4<br />
(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.<br />
c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1.<br />
3m<br />
1 2<br />
x 3 <br />
m1 m1<br />
Ta có: <br />
m 1 2<br />
y 1 <br />
<br />
m1 m1<br />
nguyên. Do đó m 1 chỉ có thể là 2; 1;1;2<br />
hoặc m 1 (loại)<br />
Vậy m nhận các giá trị là 3; 2;0 .<br />
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất xy , ta có:<br />
. Vậy xy , nguyên khi và chỉ khi<br />
2<br />
m 1<br />
. Vậy m 3; 2;0 (thỏa mãn)<br />
2 2 <br />
x y 3 1 <br />
2<br />
m1 m1<br />
Vậy điểm M x;<br />
y luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình<br />
y x 2 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
e) Khi hệ có nghiệm duy nhất ; <br />
2<br />
2<br />
xy x. x 2 x 2x 11 x 1 1 1<br />
xy theo (d) ta có: y x 2 . Do đó:<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:<br />
x 2 2<br />
1 3 1 2 1 1 0<br />
m1 m1<br />
m m .<br />
Vậy với m 0 thì xy . đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ x y 2 theo cách khác: Khi hệ<br />
phương trình<br />
x my m 1<br />
<br />
mx y 3m<br />
1<br />
1<br />
2<br />
có nghiệm duy nhất m<br />
<br />
phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được:<br />
<br />
m 1 x m 1 y 2 m 1 x y 2<br />
1 lấy<br />
x my 2<br />
4m<br />
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình: <br />
. Chứng minh rằng với mọi<br />
mx y 3m<br />
1<br />
m hệ phương trình luôn có nghiệm. Gọi x y là một cặp nghiệm của<br />
0;<br />
0<br />
2 2<br />
phương trình: Chứng minh: x y x y <br />
5 10 0 . (Trích đề tuyển<br />
0 0 0 0<br />
sinh vào lớp 10 chuyên <strong>Toán</strong> - ĐHSP Hà Nội 2015).<br />
Lời giải:<br />
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có y 3m 1 mx thay vào<br />
phương trình <br />
1 của hệ ta có: <br />
2 2<br />
m x m m<br />
1 3 3 2 . Do<br />
2<br />
m 1 0 với<br />
mọi m nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất x<br />
0<br />
. Suy ra hệ luôn<br />
có nghiệm với mọi m .<br />
Gọi x y là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có:<br />
0;<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x0 2 m y0<br />
4<br />
<br />
.Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với 3 x 0 ,<br />
y0 1<br />
m 3<br />
x0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
phương trình thứ hai với y0 4<br />
rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được:<br />
2 2<br />
x x y y x y x y <br />
3 2 4 1 0 5 10 0 .<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:<br />
d : x my 4m 2 0, d ' : mx y 3m<br />
1 0<br />
được đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định: 2;4<br />
d ' luôn đi qua điểm cố định : B 3;1<br />
. Ta dễ dàng chứng minh<br />
A và đường thẳng<br />
. Mặt khác ta cũng dễ chứng minh<br />
đường thẳng ( d ) và đường thẳng ( d ') vuông góc với nhau nên hai đường<br />
thẳng này luôn cắt nhau. Gọi ; <br />
M x y là giao điểm của hai đường thẳng<br />
0 0<br />
thì tam giác M AB vuông tại M . Gọi I là trung điểm của AB thì<br />
5 5<br />
I <br />
<br />
; <br />
2 2 , AB 10 suy ra 2 2<br />
1 <br />
2 2 5 5 <br />
IM AB 4IM AB 4 x0 y0<br />
10<br />
.<br />
2 2 2 <br />
2 2<br />
0 0 0 0<br />
<br />
x y 5 x y 10 0 .<br />
<br />
Ví dụ 6. Cho hệ phương trình:<br />
x<br />
my<br />
3<br />
<br />
mx y 2m<br />
1<br />
(1)<br />
(2)<br />
Hệ có nghiệm duy nhất xy, , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau<br />
đây:<br />
a)<br />
b)<br />
P x y<br />
2 2<br />
3 (1).<br />
4 4<br />
Q x y (2).<br />
Lời giải:<br />
Từ phương trình (2) ta suy ra: y 2m 1 mx . Thay vào phương trình (1)<br />
ta được:<br />
<br />
x m m mx m x m m<br />
2 2<br />
2 1 3 1 . 2 3 (3).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất,<br />
điều đó xảy ra khi và chỉ khi:<br />
m<br />
2<br />
1 0 m 1.<br />
Khi đó<br />
m<br />
12m<br />
3<br />
<br />
2<br />
2m m 3 2m<br />
3 1<br />
x 2 <br />
2<br />
m 1 m 1 . m 1 m 1 m 1<br />
<br />
.<br />
2m<br />
3 1<br />
<br />
y 2m 1 m.<br />
<br />
<br />
m 1 m 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
a) Ta có: P x x x x x <br />
P 3 khi<br />
3 2 4 12 12 2 3 3 3<br />
3 2m<br />
3 3<br />
x 4m 6 3m 3 m 3<br />
.<br />
2 m 1 2<br />
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.<br />
4 4 4<br />
b) Ta có: 4<br />
đặt t x 1.<br />
Khi đó<br />
Q x y x x 2<br />
<br />
4 4 4 3 2 4 3 2 4 2<br />
Q t 1 t 1 t 4t 6t 4t 1 t 4t 6t 4t 1 2t 12t<br />
2 2<br />
2m<br />
3<br />
Q 2 t 0 x 1 1 2m 3 m 1 m 2<br />
.<br />
m 1<br />
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2.<br />
mx m 1 y 1<br />
Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: <br />
. Chứng minh hệ<br />
m 1 x my 8m<br />
3<br />
luôn có nghiệm duy nhất xy ; và tìm GTLN của biểu thức<br />
2 2<br />
P x y 4 2 3 y<br />
<br />
.<br />
Lời giải:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Xét hai đường thẳng<br />
<br />
d : mx m 1 y 1 0; d : m 1 x my 8m<br />
3 0 .<br />
1 2<br />
+ Nếu 0<br />
góc với d .<br />
m thì d y và <br />
2 <br />
+ Nếu 1<br />
1<br />
: 1 0<br />
d 5 0<br />
2<br />
:<br />
m thì d x và <br />
2 <br />
vuông góc với d .<br />
1<br />
: 1 0<br />
+ Nếu m 0;1<br />
thì đường thẳng ,<br />
<br />
m<br />
a1 , a2<br />
m1<br />
m1<br />
<br />
m<br />
1 2<br />
suy ra<br />
1. 2<br />
1<br />
Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng <br />
hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.<br />
x suy ra <br />
d 11 0<br />
2<br />
:<br />
d luôn vuông<br />
y suy ra <br />
d d lần lượt có hệ số góc là:<br />
aa do đó d<br />
d<br />
<br />
1 <br />
.<br />
1 2<br />
d luôn vuông góc với d<br />
<br />
1<br />
d luôn<br />
1<br />
2<br />
. Nên<br />
Xét hai đường thẳng<br />
d : mx m 1 y 1 0; d : m 1 x my 8m<br />
3 0 luôn vuông góc<br />
<br />
1 2<br />
với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất. Gọi giao điểm là<br />
I x;<br />
y , đường thẳng d đi qua 1;1<br />
d luôn<br />
1 <br />
A cố định, đường thẳng 2 <br />
đi qua B 3; 5<br />
cố định suy ra I thuộc đường tròn đường kính AB . Gọi<br />
AB<br />
2 2<br />
1 2 13 (*).<br />
2<br />
M 1; 2<br />
là trung điểm AB thì MI x y <br />
2 2<br />
1 2 2 2 3 5 8 2 3 <br />
P x y x y x y <br />
x<br />
y <br />
hay P 10 4 3 2 <br />
<br />
x 1 3 y 2<br />
8 2 1 3 2 1<br />
2 3<br />
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 3 y 2<br />
<br />
1 3 x 1 y 2 52 x 1 3 y 2 <br />
<br />
52 2 13 Vậy P 10 2 3 2 13 .<br />
.<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chủ đề 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ<br />
PHƯƠNG TRÌNH<br />
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực<br />
hiện theo các bước sau:<br />
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).<br />
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập<br />
phương trình hoặc hệ phương trình.<br />
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.<br />
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.<br />
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:<br />
Kiến thức cần nhớ:<br />
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.<br />
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:<br />
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi<br />
được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường<br />
cần đi của 2 xe.<br />
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là<br />
A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe<br />
từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi<br />
được của xe từ B bằng quãng đường AB<br />
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý:<br />
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.<br />
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước<br />
(Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)<br />
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở<br />
về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn<br />
thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.<br />
Lời giải:<br />
1<br />
Đổi 30 phút giờ.<br />
2<br />
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x 0 ). Thời gian xe<br />
đi từ A đến B là 24 x<br />
(giờ).<br />
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về<br />
24<br />
A là (giờ)<br />
x 4<br />
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:<br />
24 24 1<br />
. Giải phương trình:<br />
x x<br />
4 2<br />
24 24 1 2 x<br />
12<br />
x 4x192 0 <br />
x x<br />
4 2<br />
<br />
x<br />
16<br />
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.<br />
Ví dụ 2: Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe<br />
máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi<br />
gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút<br />
nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt<br />
chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.<br />
(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013).<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) Điều kiện x 0 .<br />
Gọi vận tốc ô tô là y (k,/h). Điều kiện y 0.<br />
Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: 210<br />
x<br />
định đi từ B đến A là: 210 giờ.<br />
y<br />
giờ. Thời gian ô tô dự<br />
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là : 4x<br />
(km).<br />
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là :<br />
210 210 9<br />
4<br />
9<br />
4<br />
4 y (km). Theo giả thiết ta có hệ phương trình: <br />
x y<br />
<br />
9<br />
x 2y<br />
210<br />
4<br />
<br />
<br />
9 9<br />
210 210 7<br />
<br />
<br />
<br />
4x y 4x y<br />
<br />
4 4 7<br />
x y 4 <br />
<br />
x y 4<br />
9<br />
4x<br />
y 210<br />
9<br />
<br />
4 4x<br />
y 210<br />
4<br />
ta suy ra<br />
1<br />
2<br />
. Từ phương trình (1)<br />
9 9<br />
4x y 4x y<br />
4 4 7 9y<br />
4x<br />
3<br />
0 x y. Thay vào<br />
x y 4 4x y 4<br />
phương trình (2) ta thu được: 12 y 9 y 210 y 40 , x 30 .<br />
4 4<br />
Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.<br />
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến<br />
B. Đi được 3 4<br />
xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc<br />
kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng<br />
ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3 4<br />
quãng đường đầu không đổi và vận tốc<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
xe máy trên 1 4<br />
quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc<br />
mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội<br />
năm 2015)<br />
Lời giải:<br />
Gọi vận tốc trên 3 4<br />
Thì vân tốc trên 1 4<br />
quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: x 10<br />
quãng đường sau là x 10 (km/h)<br />
Thời gian trên 3 4 quãng đường ban đầu là 90 x (h)<br />
Thời gian đi trên 1 4 quãng đường sau là: 30<br />
x 10<br />
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút<br />
(h)<br />
giờ.<br />
90 30 9<br />
Nên ta có phương trình: <br />
x x10 2<br />
Giải phương trình ta được x 30 thỏa mãn điều kiện<br />
Do đó thời gian đi trên 3 4 quãng đường ban đầu 90 3<br />
30 (giờ)<br />
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.<br />
9<br />
<br />
2<br />
Ví dụ 4. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với<br />
vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dong 11 km với cùng vận<br />
tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng<br />
nước.<br />
Lời giải:<br />
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x 0 )<br />
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên<br />
78<br />
thời gian đi là (giờ).<br />
x<br />
y<br />
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên<br />
44<br />
thời gian đi là (giờ).<br />
x<br />
y<br />
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta<br />
78 44<br />
có phương trình: 5<br />
(1).<br />
x y x y<br />
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:<br />
13 11<br />
1<br />
x y x y<br />
(2)<br />
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:<br />
78 44<br />
5<br />
x y x y x y 26 x<br />
24<br />
.<br />
13 11 x y 22 y 2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x y x y<br />
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.<br />
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.<br />
Ví dụ 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự<br />
định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so<br />
với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ<br />
so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.<br />
Lời giải:<br />
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x 3) và thời gian dự định đi từ A<br />
đến B là y (giờ, y 2 ). Khi đó quãng đường từ A đến B dài xy (km).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là x 3 (km/h). khi đó<br />
thời gian đi sẽ là: y 2 (giờ).<br />
Ta có phương trình: 3 2<br />
x y xy (1)<br />
Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có<br />
phương trình: 3 3<br />
x y xy (2)<br />
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình<br />
3 2<br />
3 3<br />
x y xy<br />
<br />
x y xy<br />
Giải hệ ta được<br />
x<br />
15<br />
. Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.<br />
y<br />
12<br />
Vậy quãng đường AB dài là: 12.15 180 (km).<br />
Chú ý rằng: Trong bài toán này, vì các dữ kiện liên quan trực tiếp đến sự<br />
thay đổi của vận tốc và thời gian nên ta chọn là ẩn và giải như trên. Nếu đặt<br />
độ dài quãng đường và vận tốc dự định là ẩn số ta cũng lập được hệ hai<br />
phương trình hai ẩn và vẫn giải được bài toán, tuy nhiên sẽ khó khăn hơn.<br />
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG, CÔNG<br />
VIỆC.<br />
Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa<br />
ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động thời gian<br />
Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng<br />
từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng<br />
hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên<br />
công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải<br />
chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định<br />
công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15<br />
tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015)<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK:<br />
1 x15,<br />
x )<br />
x<br />
1 là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.<br />
180 28<br />
<strong>Số</strong> xe thực tế phải điều động là: (xe)<br />
x<br />
<strong>Số</strong> xe cần điều động theo dự định là: 180 x 1<br />
(xe)<br />
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:<br />
208 180<br />
2 2<br />
1 208x 208 180x x x x 29x<br />
208 0<br />
x x1<br />
x 1<br />
13 (tm) hoặc x2 16 (loại vì x 15)<br />
Vậy theo dự định cần điều động: 180 <br />
180 15<br />
x 1 131<br />
(xe).<br />
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự<br />
định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa<br />
đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và<br />
mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu<br />
chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào<br />
lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)<br />
Lời giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x *, x<br />
140<br />
<strong>Số</strong> tàu <strong>tham</strong> gia vận chuyển là x 1 (chiếc)<br />
<strong>Số</strong> tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định 280<br />
x<br />
(tấn)<br />
<br />
<strong>Số</strong> tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế 286 x 1<br />
(tấn)<br />
Theo bài ra ta có phương trình: 280 <br />
286 2<br />
x x1<br />
2 x<br />
10<br />
x x xx x x<br />
280 1 286 2 1 4 140 0 . Vậy<br />
x<br />
14( l)<br />
đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một<br />
khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó<br />
phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản<br />
phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự<br />
định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao<br />
nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.<br />
Lời giải:<br />
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x0 x 20<br />
.<br />
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là 85 x<br />
(giờ)<br />
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi<br />
giờ là x 3.<br />
Do đó 96 sản phẩm được làm trong<br />
96<br />
x 3<br />
(giờ)<br />
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút<br />
1<br />
85 96 1<br />
giờ nên ta có phương trình <br />
3<br />
x x<br />
3 3<br />
Giải phương trình ta được x 15 hoặc x 51<br />
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm x 51.<br />
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.<br />
Ví dụ 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6<br />
giờ. Sau 2 giờ làm chung thì thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một<br />
tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm<br />
riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?<br />
Lời giải:<br />
Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, x 6 ).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, y 6)<br />
Mỗi giờ tổ một làm được 1 x<br />
(phần công việc)<br />
Mỗi giờ tổ hai làm được 1 y<br />
(phần công việc)<br />
Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có<br />
phương trình:<br />
6 6<br />
1 . (1). Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2<br />
x y<br />
giờ và tổ một làm trong 2 10 12 (giờ), ta có phương trình: 12 <br />
2 1<br />
x y<br />
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:<br />
x<br />
15<br />
thỏa mãn điều kiện.<br />
y<br />
10<br />
6 6<br />
1<br />
x y<br />
. Giải hệ ta được:<br />
12 2<br />
1<br />
x y<br />
Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn<br />
thành công việc trong 10 giờ.<br />
Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn<br />
thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người<br />
(hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1.<br />
+ Năng suất công việc =1: thời gian.<br />
+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.<br />
Chú ý:<br />
Trong bài toán trên có thể thay điều kiện x 6 bằng điều kiện x 10<br />
hoặc<br />
thậm chí là x 12 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Có thể thay phương trình (2) bằng phương trình 10 2 vì phần việc còn lại<br />
x 3<br />
riêng tổ một làm là 2 3<br />
. Ta có ngay x 15 .<br />
Ví dụ 5. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở<br />
để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi<br />
chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai<br />
chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?<br />
Lời giải<br />
Đổi 4 giờ 48 phút =<br />
<strong>Các</strong>h 1: Lập hệ phương trình<br />
4<br />
4 giờ = 24<br />
5 5 giờ<br />
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong x (giờ,<br />
24<br />
x )<br />
5<br />
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong y (giờ,<br />
24<br />
y )<br />
5<br />
Biết hai vòi cùng chảy thì sau 24<br />
5<br />
giờ thì đầy bể nên ta có phương trình:<br />
24 24<br />
1 (1)<br />
5x<br />
5y<br />
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có<br />
phương trình:<br />
x y 4 (2)<br />
24 24<br />
1<br />
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 5x<br />
5y<br />
x<br />
y 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải hệ trên ta được:<br />
x<br />
8<br />
<br />
y<br />
12<br />
(thỏa mãn điều kiện)<br />
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình<br />
trong 12 giờ thì đầy bể.<br />
<strong>Các</strong>h 2: Lập phương trình<br />
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ,<br />
24<br />
x )<br />
5<br />
Khi đó trong một giờ vòi một chảy được 1 x<br />
(phần bể)<br />
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong x 4 (giờ) nên trong một giờ chảy<br />
1<br />
được: (phần bể)<br />
x 4<br />
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được 1 1 (phần bể) (3)<br />
x x 4<br />
Sau 4 giờ 48 phút = 24<br />
5<br />
giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ<br />
chảy được 5 24<br />
(phần bể) (4)<br />
Từ (3) và (4) ta có phương trình 1 <br />
1 <br />
5<br />
x x<br />
4 24<br />
Giải phương trình ta được<br />
12<br />
x (loại) hoặc x 8 (thỏa mãn)<br />
5<br />
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một<br />
mình đầy bể là 84 12 (giờ).<br />
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công<br />
nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu<br />
làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong<br />
bao lâu?<br />
Ví dụ 6. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều<br />
dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.<br />
Lời giải:<br />
<strong>Các</strong>h 1: Lập phương trinh<br />
Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x ( mx , 0)<br />
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 7m nên chiều dài của<br />
mảnh đất hình chữ nhật là x 7 (m)<br />
Biết độ dài đường chéo là 13m nên theo định lý Pitago ta có phương trình:<br />
x<br />
x 2<br />
7 13<br />
2 2<br />
Giải phương trình ta được x 5 hoặc x 12. Đối chiếu với điều kiện ta<br />
có chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài mảnh đất đó là<br />
12m.<br />
<strong>Các</strong>h 2: Lập hệ phương trình<br />
Gọi chiều dài của mảnh đất đó là x và chiều rộng của mảnh đất đó là y<br />
(m, x y 0 )<br />
y7<br />
x<br />
Khi đó ta có hệ phương trình <br />
. Giải hệ ta được<br />
2 2 2<br />
x<br />
y 13<br />
x<br />
12<br />
.<br />
y<br />
5<br />
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ<br />
nhật là 5m và chiều dài là 12m.<br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:<br />
1). Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. sau 1 giờ 30 phút thì một<br />
xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc<br />
với xe tải. Tính quãng đường AB.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2). Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ<br />
hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc<br />
của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h.<br />
3). Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và<br />
một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi<br />
hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô<br />
và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.<br />
4). Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi<br />
giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người<br />
thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và<br />
sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của<br />
các tay đua.<br />
5). Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng<br />
20km/h thì đến sớm 1 giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ.<br />
Tính quãng đường AB.<br />
6). Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với<br />
vận tốc bằng 2 3<br />
vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô<br />
tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?<br />
7). Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ<br />
bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B,<br />
ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. tính<br />
vận tốc riêng của ca nô.<br />
8) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày.<br />
Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc<br />
trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B<br />
làm lâu hơn A là 9 ngày.<br />
9) Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết<br />
quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường<br />
A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường<br />
có bao nhiêu thí sinh dự thi?<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
10) Có hai loại quặng sắt. quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa<br />
50% sắt. người ta trộn một lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B<br />
thì được hỗn hợp chứa 8 sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại<br />
15<br />
A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng<br />
chứa 17 sắt. Tính khối lượng quặng mỗi loại đem trộn lúc đầu.<br />
30<br />
1). Lời giải:<br />
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
Gọi độ dài quãng đường AB là x (đơn vị km, x 0 )<br />
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là 45<br />
x (giờ)<br />
Thời gian xe con đi từ A đến B là 60<br />
x (giờ)<br />
3<br />
Vì xe con xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút giờ nên ta có phương trình:<br />
2<br />
x x 3 x 3<br />
x 270 (thỏa mãn điều kiện)<br />
45 60 2 180 2<br />
Vậy độ dài quãng đường AB là 270km.<br />
2). Gọi vận tốc của người đi chậm là xkm / h, x 0 . Vận tốc của người đi<br />
nhanh là x 3 (giờ). Vì người đi chậm đến muộn hơn 30 phút = 1 2<br />
giờ nên<br />
ta có phương trình:<br />
30 30 1<br />
<br />
x x<br />
3 2<br />
<br />
2 2<br />
60 x 3 60x x 3x x 3x<br />
180 0<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 4. 180 729 27 2 27<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 27<br />
<br />
x 15<br />
2<br />
<br />
3 27 x 12<br />
2<br />
So sánh với điều kiện suy ra chỉ có nghiệm x 12 thỏa mãn.<br />
Vậy vận tốc của người đi chậm là 12km/h, vận tốc của người đi nhanh là<br />
15km/h.<br />
3). Lời giải:<br />
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), của xe máy là y (km/h) với xy , 0.<br />
Sau một thời gian, hai xe gặp nhau tại C, xe ô tô phải chạy tiếp hai giờ nữa<br />
thì tới B nên quãng đường CB dài 2x km, còn xe máy phải đi tiếp 4 giờ 30<br />
phút hay 4,5 giờ mới tới A nên quãng đường CA dài 4,5y km. Do đó ta có<br />
phương trình: 2x4,5y<br />
180<br />
Ô tô chạy với vận tốc x km/h nên thời gian đi quãng đường AC là 4,5y<br />
x<br />
giờ, xe máy đi với vận tốc y km/h thì thời gian đi quãng đường CB là 2x<br />
y<br />
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C nên tại lúc gặp nhau hai<br />
xe đã đi được một khoảng thời gian như nhau và ta có phương trình:<br />
4,5y<br />
2x<br />
<br />
x y<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy ta có hệ phương trình:<br />
2x4,5y180<br />
<br />
2x4,5y 180 2x<br />
4,5 180<br />
4,5y<br />
2x<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
9y<br />
4x<br />
3y<br />
2x<br />
x y<br />
<br />
<br />
<br />
15y<br />
180<br />
3y 4,5y 180 2 y<br />
24<br />
.<br />
3y 2x 3y x 36<br />
x <br />
2<br />
So sánh với điều kiện ta thấy các giá trị x36, y 24 đều thỏa mãn.<br />
Vậy vận tốc của ô tô là 36km/h, vận tốc của xe máy là 24km/h.<br />
4). Lời giải:<br />
Gọi vận tốc của người thứ hai là x (km/h), x 3 thì vận tốc của người thứ<br />
nhất là x 15(km/h), vận tốc của người thứ ba là x 3 (km/h)<br />
Gọi chiều dài quãng đường là y (km, y 0)<br />
Thời gian người thứ hai đi hết đường đua là y x (giờ)<br />
Thời gian người thứ nhất đi hết đường đua là<br />
y<br />
x 15<br />
(giờ)<br />
Thời gian người thứ ba đi hết đường đua là<br />
y<br />
x 3<br />
(giờ)<br />
Người thứ hai đi đến đích chậm hơn người thứ nhất là 12 phút = 1 5<br />
giờ nên<br />
ta có phương trình:<br />
y y 1<br />
<br />
x x15<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vì y 0 nên phương trình này tương đương với 1 <br />
1 <br />
1<br />
x x 15 5y<br />
(1).<br />
Người thứ hai đến đích sớm hơn người thứ ba là 3 phút = 1 20<br />
giờ nên ta có<br />
y y 1<br />
phương trình: <br />
x<br />
3 x 20<br />
Vì y 0 nên phương trình này tương đương với<br />
Từ (1) và (2) ta có: 1 1 4<br />
1 1 <br />
<br />
x x 15 x 3<br />
x <br />
1 1 1<br />
<br />
x 3 x 20y<br />
(2).<br />
15 12<br />
15 x 3 12 x 15 5x 3 4x 15<br />
x 75<br />
x x<br />
<br />
15 xx<br />
3<br />
Nghiệm x 75 thỏa mãn điều kiện, từ (1) ta có y 90 .<br />
Vậy vận tốc của người thứ hai là 75km/h, vận tốc của người thứ nhất là<br />
90km/h, vận tốc của người thứ ba là 72km/h.<br />
5). Lời giải:<br />
Để tính quãng đường AB ta tính đại lượng là vận tốc dự định và thời gian<br />
dự định.<br />
Gọi vận tốc dự định là x giờ, thời gian dự định là y km/h ( x10, y 1).<br />
Quãng đường AB dài là xy . (km)<br />
Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì đến sớm 1 giờ, quãng đường được tính<br />
bằng công thức:<br />
x 20 . y 1<br />
(km)<br />
Nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ, quãng đường đi được tính<br />
bằng công thức x 10 . y 1<br />
(km)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có hệ:<br />
<br />
10 1<br />
<br />
x 20 y 1 xy xy x 20y 20 xy<br />
<br />
<br />
x y xy xy x 10y 10<br />
xy<br />
x 20y 20 10 y 30 y<br />
3<br />
<br />
x 10y 10 x 10y 10 x<br />
40<br />
So sánh với điều kiện ta thấy giá trị x40, y 3 thỏa mãn<br />
Vậy vận tốc dự định là 40km/h, thời gian dự định là 3 giờ. Quãng đường<br />
AB dài là: 40.3 120<br />
km.<br />
6).. Lời giải:<br />
Gọi thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là x giờ x 5<br />
.<br />
Vận tốc xe ô tô thứ nhất là AB<br />
x<br />
Vận tốc xe ô tô thứ hai là 2 .<br />
3<br />
AB<br />
x<br />
(km/h)\<br />
(km/h)<br />
Sau 5 giờ hai xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai xe đi được bằng<br />
AB 2 AB<br />
quãng đường AB, ta có phương trình: 5. 5. . AB<br />
x 3 x<br />
1 10 1 25 1 25 1<br />
5. . 1 . 1 x 8 (thỏa mãn điều kiện x 5)<br />
x 3 x 3 x 3 3<br />
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là:<br />
25<br />
3.<br />
2AB<br />
3x<br />
3 1<br />
12<br />
3x 2 2 2<br />
.<br />
Vậy thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là<br />
thứ hai đi hết quãng đường AB là 12 giờ 30 phút.<br />
7). Lời giải:<br />
1<br />
8 3<br />
giờ, thời gian xe<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi vận tốc ca nô là x (km/h), x 3. Vận tốc ca nô xuôi dòng là x 3<br />
(km/h)<br />
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là<br />
40<br />
x 3<br />
(giờ)<br />
Vận tốc ca nô ngược dòng là x 3 (km/h)<br />
Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là : 40 8 32<br />
km<br />
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là:<br />
Ta có phương trình:<br />
2<br />
x x x<br />
15 3 12 3 9<br />
40 32 8 5 4 1<br />
<br />
x 3 x 3 3 x 3 x 3 3<br />
32<br />
x 3<br />
(giờ)<br />
2 x<br />
27<br />
x 27x <br />
x<br />
0<br />
So sánh với điều kiện thì chỉ có nghiệm x 27 thỏa mãn, suy ra vận tốc của<br />
ca nô là 27km/h.<br />
8). Lời giải:<br />
Gọi thời gian A,B làm riêng xong công việc lần lượt là xy , (ngày),<br />
xy , 0.<br />
Mỗi ngày đội A làm riêng được 1 x<br />
công việc.<br />
Mỗi ngày đội B làm riêng được 1 y<br />
công việc.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có hệ phương trình:<br />
yx6<br />
<br />
x<br />
9<br />
1 1 1 <br />
<br />
y 18<br />
x y 6<br />
<br />
<br />
Vì A làm 9 ngày xong nên 3 ngày làm được 1 3<br />
công việc.<br />
Vì B làm 18 ngày xong nên 3 ngày B làm được 1<br />
18<br />
xong 2 2 1<br />
công việc còn lại là : 12<br />
3 3 18 ngày.<br />
9. Lời giải:<br />
Gọi số thí sinh <strong>tham</strong> dự của trường A và trường B lần lượt là<br />
<br />
<br />
x, y x, y *; x, y 350 . Ta có hệ phương trình<br />
x<br />
y 350<br />
<br />
x<br />
200<br />
97 96 <br />
x y 338 y<br />
150<br />
100 100<br />
10. Lời giải:<br />
công việc, số ngày làm<br />
Gọi khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại A là x (tấn), quặng loại<br />
B là y (tấn), x0, y 10 .<br />
Ta có hệ phương trình:<br />
60 50 8<br />
x y x y<br />
100 100 15<br />
x<br />
10<br />
(thỏa mãn).<br />
60 50 17 y 20<br />
x 10 y 10 x 10 y 10<br />
<br />
100 100 30<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ<br />
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình<br />
đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:<br />
1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:<br />
x<br />
<br />
f<br />
F x 0 f x. g x<br />
0 <br />
g x<br />
0<br />
0<br />
Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:<br />
2 2 3 3<br />
<strong>Các</strong>h 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: a b 0, a b<br />
0,...<br />
<strong>Các</strong>h 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x<br />
a là một nghiệm của<br />
phương trình f x 0 thì ta luôn có sự phân tích: f x x a g x<br />
dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:<br />
Chú ý:<br />
. Để<br />
<strong>Các</strong>h 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho<br />
phương trình bậc bốn.<br />
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách<br />
xử lý sau:<br />
<br />
Phương trình dạng:<br />
4 2<br />
x ax bx c<br />
Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng:<br />
trình trở thành:<br />
( x m) (2 m a)<br />
x bx c m<br />
2 2 2 2<br />
2mx<br />
m khi đó phương<br />
2 2<br />
Ta mong muốn vế phải có dạng:<br />
( Ax B)<br />
2<br />
2ma0<br />
m<br />
2 2<br />
b 4(2 m a)( c m ) 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình dạng:<br />
4 3 2<br />
x ax bx cx d<br />
Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
2<br />
2<br />
x x m<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
Bằng cách khai triển biểu thức:<br />
2 2<br />
2 a 4 3 a 2 2<br />
<br />
x x m<br />
x ax 2m x amx m . Ta thấy cần thêm<br />
2 4 <br />
vào hai vế một lượng:<br />
thành:<br />
2<br />
a <br />
2m x amx m<br />
4 <br />
2 2<br />
khi đó phương trình trở<br />
2 2<br />
2 a a 2 2<br />
<br />
x x m<br />
2 m bx ( am c)<br />
x m d<br />
2 4 <br />
Bây giờ ta cần:<br />
2<br />
a<br />
2m b<br />
0<br />
4<br />
<br />
m<br />
?<br />
2<br />
2 a <br />
<br />
2<br />
VP ( am c) 4 2m b m d 0<br />
<br />
<br />
<br />
4 <br />
Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ<br />
sau:<br />
Ví dụ 1)<br />
Giải các phương trình:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
4 2<br />
x x x<br />
10 20 0 .<br />
4 2<br />
x x x<br />
22 8 77 0<br />
4 3 2<br />
x x x x<br />
6 8 2 1 0 .<br />
4 3 2<br />
x 2x 5x 6x<br />
3 0 .<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a)<br />
4 2 4 2<br />
x x x x x x<br />
10 20 0 10 20<br />
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:<br />
2mx<br />
m<br />
2 2<br />
Khi đó phương trình trở thành:<br />
4 2 2 2 2<br />
x 2 mx m (10 2 m) x x m 20<br />
Ta có VP 1 4( m 20)(10 2 m) 0 m . Ta viết lại phương trình<br />
2<br />
thành:<br />
2 9<br />
2 2 2<br />
4 2 9 2 1 2 9 1 <br />
x 9x x x x x 0<br />
2 4 2 2 <br />
2 2 1<br />
17<br />
( x x 5)( x x 4) 0 x . và<br />
2<br />
1<br />
21<br />
x .<br />
2<br />
b)<br />
4 2 4 2<br />
x x x x x x<br />
22 8 77 0 22 8 77<br />
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:<br />
2mx<br />
m<br />
2 2<br />
Khi đó phương trình trở thành:<br />
4 2 2 2 2<br />
x 2 mx m (22 2 m) x 8x m 77 .<br />
Ta có<br />
2<br />
1 4(22 2 )( 77) 0 9 .<br />
VP<br />
m m m<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
<br />
4 2 2 2<br />
x x x x x x<br />
18 81 4 8 4 9 2 2 0<br />
<br />
2 2<br />
x 1<br />
2 2<br />
( x 2x 7)( x 2x<br />
11) 0 <br />
x 12 3<br />
c) Phương trình có dạng:<br />
4 3 2 4 3 2<br />
x 6x 8x 2x 1 0 x 6x 8x 2x<br />
1<br />
Ta tạo ra vế trái dạng:<br />
( x 3 x m) x 6 x (9 2 m) x 6mx m<br />
2 2 4 3 2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
Tức là thêm vào hai vế một lượng là: (9 2 m) x 6mx m phương trình<br />
2 2 2 2<br />
trở thành: ( x 3 x m) (2m 1) x (6m 2) x m 1. Ta cần<br />
2<br />
' (3 1) (2 1)( 1) 0 0 . Phương trình trở thành:<br />
VP<br />
m m m m<br />
2 2<br />
2 2 2 ( x 4x 1)( x 2x<br />
1) 0 <br />
x <br />
( x 3 x) ( x 1)<br />
x<br />
2<br />
3<br />
<br />
x<br />
2<br />
3<br />
1 2<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
d) Phương trình đã cho được viết lại như sau:<br />
4 3 2<br />
x x x x<br />
2 5 6 3<br />
Ta tạo ra phương trình:<br />
2 2 2 2<br />
( x x m) (2m 6) x (2m 6) x m 3<br />
2m<br />
6 0<br />
Ta cần: m 1<br />
2 2<br />
'<br />
VP ( m 3) (2m 6)( m 3) 0<br />
Phương trình trở thành:<br />
( x x 1) (2x<br />
2)<br />
2 2 2<br />
3 21<br />
x<br />
<br />
2<br />
3 21<br />
x<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
( x 3x 3)( x x 1) 0 <br />
<br />
Ví dụ 2)<br />
4 2<br />
a) Giải phương trình: x 4x 12x<br />
9 0 (1).<br />
4 2<br />
b) Giải phương trình: x 13x 18x<br />
5 0<br />
4 3 2<br />
c) Giải phương trình: 2x 10x 11x x 1 0 (4)<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4<br />
a) Ta có phương trình 2<br />
x 2x3 0 (1.1)<br />
2<br />
x<br />
x <br />
2 2<br />
2 3 0<br />
x 2x 3x 2x 3<br />
0 <br />
x 1; x 3. Vậy<br />
2<br />
x<br />
2x 3 0<br />
phương trình có hai nghiệm x1; x<br />
3<br />
b) Phương trình x 4 x 2 x 2 x <br />
4 4 9 18 9 0<br />
2 2<br />
x 2 x x 2 x x 2 x <br />
2 3 3 0 3 5 3 1 0<br />
3 29<br />
2<br />
x <br />
x<br />
3x 5 0 <br />
2<br />
<br />
<br />
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm<br />
2<br />
x<br />
3x1 0 3<br />
5<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
29 3<br />
5<br />
x ; x .<br />
2 2<br />
c) Ta có phương<br />
trình<br />
2 2<br />
2 5 1 1 2 3 9 1 3 2 1 2<br />
<br />
x x x x x x 2x <br />
2 4 4 4 16 2 4 2 <br />
x 3x<br />
1 0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x <br />
2x<br />
4x1 0 <br />
2<br />
<br />
.<br />
2<br />
x<br />
3x1 0 3 13<br />
x<br />
<br />
2<br />
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:<br />
Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương<br />
trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình<br />
bậc cao về phương trình bậc thấp hơn.<br />
Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ.<br />
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax 4 bx 2 c 0a<br />
0<br />
(1)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với dạng này ta đặt<br />
(2)<br />
2 2<br />
t x , t 0 ta chuyển về phương trình: at bt c 0<br />
Chú ý: <strong>Số</strong> nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm<br />
của (2)<br />
Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):<br />
4 3 2 2<br />
ax bx cx kbx k a k<br />
<br />
<br />
0 0 . Với dạng này ta chia hai vế phương<br />
2<br />
<br />
2 k k <br />
x x ta được: a x bx c <br />
x x<br />
2<br />
trình cho 0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
k<br />
. Đặt t x<br />
x<br />
2<br />
2 k k <br />
2<br />
với t 2 k ta có: x x 2k t 2k<br />
2 thay vào ta được<br />
x x<br />
2<br />
phương trình: <br />
a t 2k bt c 0<br />
Dạng 3: Phương trình: x a x b x c x d e,<br />
trong đó a+b=c+d<br />
<br />
x a b x ab <br />
<br />
x c d x cd <br />
e .<br />
2 2<br />
Phương trình <br />
2<br />
Đặt t x a b<br />
x , ta có: <br />
t ab t cd e<br />
Dạng 4: Phương trình x a x b x cx d ex<br />
2 , trong đó ab cd .<br />
2<br />
Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 0<br />
tương đương:<br />
x x . Phương trình<br />
2 2 2 ab cd <br />
<br />
<br />
x a b x ab <br />
<br />
<br />
x c d x cd <br />
<br />
ex <br />
<br />
x a b x c d e<br />
x <br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
Đặt<br />
ab<br />
t x x<br />
x<br />
cd<br />
x<br />
t a b t c d e<br />
. Ta có phương trình: <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 4<br />
Dạng 5: Phương trình <br />
phương trình trùng phương<br />
x a x b c . Đặt<br />
a<br />
b<br />
xt ta đưa về<br />
2<br />
Ví dụ 1: Giải các phương trình:<br />
1)<br />
2) x<br />
x<br />
<br />
4 3 2<br />
2x 5x 6x 5x<br />
2 0<br />
4 4<br />
1 3 2<br />
3) x x x x <br />
1 2 3 24<br />
4)<br />
<br />
2<br />
x 2 x 3 x 4 x 6 6x<br />
0<br />
Lời giải:<br />
1) Ta thấy x 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình<br />
cho<br />
2<br />
x ta được:<br />
1 1<br />
<br />
x x<br />
2<br />
2 x 5 x 6 0<br />
2<br />
. Đặt<br />
2<br />
2 <br />
2<br />
2<br />
1 1 1<br />
t x , t 2<br />
x x 2 t 2 . Ta<br />
x x x <br />
có: <br />
t<br />
2<br />
. Với t <br />
2<br />
2 2<br />
2 t 2 5t 6 0 2t 5t<br />
2 0 1<br />
1<br />
t x x x <br />
x<br />
2<br />
2 2 2 1 0<br />
2) Đặt xt 2 ta<br />
được: <br />
4 4 4 2<br />
t 1 t 1 2 t 6t 0 t 0 x 2<br />
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2.<br />
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có<br />
BĐT:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 4<br />
a b a b<br />
4<br />
<br />
<br />
2 4 với ab<br />
0.<br />
Áp dụng BĐT này với: a x 1, b x 3 VT VP . Đẳng thức xảy ra<br />
khi x 2.<br />
3) Ta có phương trình: x 2 xx 2 x <br />
3 3 2 24 . Đặt<br />
2<br />
t x 3x<br />
. Ta<br />
t t 2 24 t 2t 24 0 t 6, t 4<br />
được: <br />
2<br />
*<br />
t x x<br />
2<br />
6 3 6 0 phương trình vô nghiệm<br />
2<br />
* t 4 x 3x 4 0 x 1; x 4 . Vậy phương trình có hai nghiệm<br />
x1; x 4 .<br />
4) Phương trình <br />
x 2 x x 2 x x<br />
2 <br />
2 12 12 6 0<br />
Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình<br />
cho x 2 ta được:<br />
12 12 <br />
12<br />
x 4 x 1<br />
6 0 . Đặt t x , ta có:<br />
x x <br />
x<br />
2 t<br />
1<br />
t 4t 1 6 0 t 3t<br />
2 0<br />
<br />
t<br />
2<br />
*<br />
*<br />
2 x<br />
4<br />
12<br />
t 1 x 1 x x 12 0 <br />
x<br />
<br />
x<br />
3<br />
t x x x <br />
2<br />
2 2 12 0 1 13<br />
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 3; x 4; x 1<br />
13<br />
Ví dụ 2)<br />
2 2<br />
a) Giải phương trình: 3x 2 x 1 2x 1 5x<br />
3 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
6 5 4 3 2<br />
b) Giải phương trình: x 3x 6x 21x 6x 3x<br />
1 0<br />
c) Giải phương trình: x x x 2<br />
x x<br />
<br />
d) Giải phương trình: 3<br />
Lời giải:<br />
1 2 3 4 5 360<br />
3 3<br />
x x x x<br />
5 5 5 24 30 0.<br />
a) Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho<br />
3<br />
x 1 ta được:<br />
2<br />
x x 1 x 1<br />
<br />
2<br />
x 1 x x 1<br />
3 2<br />
. Đặt<br />
x x1 2 1<br />
<br />
x1 t<br />
3<br />
2<br />
2<br />
t 3t 5 3t 5t 2 0 t 2, t<br />
*<br />
*<br />
2 3<br />
13<br />
t 2 x 3x 1 0 x <br />
2<br />
1<br />
t x x<br />
3<br />
2<br />
3 2 4 0 phương trình vô nghiệm<br />
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể<br />
áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối<br />
xứng.<br />
Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương<br />
trình cho<br />
3<br />
x ta được:<br />
3 1 2 1 1 <br />
1<br />
x 3 x 6 x 21 0<br />
3 <br />
2 . Đặt t x , t 2 . Ta<br />
x x x <br />
x<br />
2 1 2 3 1 2<br />
x t 2; x t t 3<br />
2 3<br />
x<br />
x<br />
nên phương trình trở<br />
có: <br />
2 2<br />
thành: <br />
t t 3 3 t 2 6t<br />
21 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2 t<br />
3<br />
2<br />
<br />
t 3t 9t 27 0 t 3 t 3 0 <br />
t<br />
3<br />
1 2<br />
3 5<br />
* t 3 x 3 x 3x 1 0 x <br />
x<br />
2<br />
2 3<br />
5<br />
* t 3 x 3x 1 0 x . Vậy phương trình có bốn nghiệm<br />
2<br />
3<br />
5 3<br />
5<br />
x ; x .<br />
2 2<br />
c) Phương trình x 2 x x 2 x x 2 x <br />
6 5 6 8 6 9 360<br />
Đặt<br />
, ta có phương trình: y y y <br />
2<br />
t x 6x<br />
5 8 9 360<br />
<br />
2 2 x<br />
0<br />
<br />
y y 22y 157 0 y 0 x 6x<br />
0 <br />
x<br />
6<br />
Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x 6 .<br />
3 3<br />
d) Ta có: <br />
đương<br />
x 5x 30 5 x 5x 5 x 5 nên phương trình tương<br />
3<br />
<br />
3 3 3<br />
x x x x x x<br />
hệ:<br />
5 5 5 24 24 30 0 . Đặt<br />
3<br />
u x x<br />
5 5. Ta được<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
u 5u 5 x<br />
3<br />
x 5x 5<br />
u<br />
2 2<br />
<br />
u x u ux x 6 0 u x .<br />
<br />
x là<br />
3 2<br />
x 4x 5 0 x 1 x x 5 0 x 1. Vậy 1<br />
nghiệm duy nhất của phương trình.<br />
Dạng 6:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ax bx<br />
a) Phương trình: c<br />
2 2<br />
x mx p <br />
x nx p<br />
với abc 0.<br />
Phương pháp giải: Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình.<br />
Với x 0 , ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được:<br />
2<br />
a b<br />
k 2 2 k<br />
c<br />
. Đặt t<br />
p p<br />
x t x 2k 2 k 2k<br />
2<br />
x m x n <br />
x<br />
x<br />
.<br />
x x<br />
Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo t .<br />
b) Phương trình:<br />
2 ax <br />
x <br />
<br />
x<br />
a<br />
2<br />
b<br />
với a 0, x a .<br />
2 2<br />
Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức 2<br />
phương trình thành:<br />
a b a b 2ab<br />
. Ta viết lại<br />
2 2 2<br />
2<br />
2<br />
ax x x x<br />
x 2 a. b 2a b 0 . Đặt<br />
x a x a x a x a<br />
về phương trình bậc 2.<br />
2<br />
x<br />
t x a<br />
quy<br />
Ví dụ 1) Giải các phương trình:<br />
a)<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
25x<br />
2<br />
x 5<br />
<br />
2<br />
11<br />
. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh<br />
Hóa 2013).<br />
12x<br />
3x<br />
1. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên <strong>Đại</strong><br />
x 4x 2 x 2x<br />
2<br />
học Vinh 2010).<br />
b)<br />
2 2<br />
c)<br />
d)<br />
<br />
x<br />
2<br />
x 2<br />
<br />
Nội 2008).<br />
x<br />
3<br />
<br />
2<br />
3x<br />
6x<br />
3<br />
2<br />
3 2<br />
x 3x<br />
2 0<br />
3<br />
x 1<br />
x 1<br />
<br />
<br />
(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải:<br />
a) Điều kiện x 5<br />
Ta viết lại phương trình thành<br />
2 2 2<br />
2<br />
2<br />
5x 10x x 10x<br />
x<br />
11 0 11 0 . Đặt<br />
x 5 x 5 x 5 x 5<br />
t<br />
1<br />
phương trình có dạng t<br />
2 10t11 0 <br />
t<br />
11<br />
2<br />
x<br />
t thì<br />
x 5<br />
Nếu t 1 ta có:<br />
2<br />
x<br />
t 11 11<br />
x 5<br />
2<br />
x<br />
2 1<br />
21<br />
1 x x 5 0 x . Nếu<br />
x 5 2<br />
2<br />
x 11x 55 0 phương trình vô nghiệm.<br />
b) Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số<br />
12 3<br />
2<br />
vế trái cho x thì thu được: 1. Đặt t x 2 thì<br />
2 2<br />
x 4 x 2<br />
x<br />
x x<br />
phương trình trở thành:<br />
12 3 2 2 t<br />
1<br />
1 12 t 3 t 6 t 2 t t 7 t 6 0 <br />
t 2 t<br />
.<br />
<br />
t<br />
6<br />
Với t 1 ta có:<br />
2 2 1<br />
2 2 0<br />
x t t vô nghiệm. Với t 6 ta có:<br />
x<br />
2 2 6<br />
2 4 2 0 2 2<br />
x x x x .<br />
x<br />
2<br />
x 2 x x<br />
<br />
x 2 2x 1 0 x 3 3x<br />
1 <br />
0<br />
x 2 x 2 x 2 <br />
.<br />
c) <br />
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là<br />
3<br />
3<br />
x 6; x .<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
thành:<br />
3 3<br />
3<br />
d) Sử dụng HĐT a b a b 3ab a b<br />
<br />
<br />
ta viết lại phương trình<br />
3 2 3 2 2<br />
3 x 3x x x x 3x<br />
x x x<br />
3<br />
hay<br />
2 0 3 2 0<br />
1 x 1 <br />
<br />
x<br />
x 1<br />
<br />
x 1 x 1<br />
x 1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3 2 0 1 1 1 1 x 2x 2 0<br />
x x x x x<br />
<br />
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1<br />
. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.<br />
Giải các phương trình sau:<br />
1) x 2 x x 2 x <br />
2 3 6 .<br />
2) x 2<br />
x x<br />
<br />
6 7 3 4 1 1.<br />
4 4<br />
3) x x<br />
<br />
1 3 82 .<br />
4) x x x x <br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:<br />
1 2 4 5 10 .<br />
5) <br />
x 2 x 2 x 2 2x 2 2x<br />
2 .<br />
x 2 x 1 x 8 x 4 4x<br />
.<br />
6) <br />
2<br />
2 2<br />
7) <br />
8)<br />
9)<br />
3 x 2 2x 1 2 x 2 3x 1 5x<br />
2 0<br />
.<br />
4 3 2<br />
3x 4x 5x 4x<br />
3 0<br />
.<br />
4 3 2<br />
2x 21x 34x 105x<br />
50 0<br />
.<br />
10) 1 1 1 1 1 0 .<br />
x x 1 x 2 x 3 x 4<br />
x 4 x 4 x 8 x 8 8<br />
11) .<br />
x 1 x 1 x 2 x 2 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x 1 x 6 x 2 x 5<br />
12) <br />
.<br />
2 2 2<br />
xx 2 x 12x 35 x 4x 3 x 10x<br />
24<br />
2 2 2 2<br />
x x 1 x 2x 2 x 3x 3 x 4x<br />
4<br />
13) 0 .<br />
x 1 x 2 x 3 x 4<br />
4x<br />
3x<br />
14) <br />
1<br />
2 2<br />
4x 8x 7 4x 10x<br />
7<br />
15) <br />
2x 2 3x 1 2x 2 5x 1 9x<br />
2 .<br />
x 5x 1 x 4 6 x 1 .<br />
2 2<br />
16) 2<br />
4 3 2<br />
17) x 9x 16x 18x<br />
4 0 .<br />
x<br />
2<br />
18)<br />
x 2 <br />
12<br />
<br />
2<br />
2<br />
3x<br />
6x<br />
3<br />
2x<br />
13x<br />
19) 6<br />
.<br />
2 2<br />
3x 5x 2 3x x 2<br />
20) x 2 x 4 x<br />
2<br />
<br />
1 2 1 0 .<br />
2 2 2<br />
x 2 x 2 x 4<br />
21) 20 5 20 0.<br />
2<br />
x 1 x 1 x 1<br />
.<br />
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
1) Đặt<br />
. Phương trình đã cho thành tt<br />
<br />
2<br />
x x 2 t<br />
t<br />
2<br />
1 6 .<br />
t<br />
3<br />
Với t 2 thì<br />
Với t 3 thì<br />
2 2 0 0 hoặc x 1.<br />
2 2<br />
x x x x x<br />
2 2 1<br />
21<br />
x x 2 3 x x 5 0 x .<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là<br />
<br />
1<br />
21 1<br />
21<br />
S 1;0; ; .<br />
<br />
2 2 <br />
2) Biến đổi phương trình thành<br />
x 2 x x 2 x <br />
36 84 49 36 84 48 12 . Đặt<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
36 84 48 thì phương trình trên thành tt<br />
<br />
t x x<br />
t<br />
3<br />
1 12<br />
.<br />
t<br />
4<br />
Với t 3 thì 36x 84x 48 3 36x 84x 45 0 x hoặc<br />
2<br />
5<br />
2 2<br />
x . Với t 4 thì 36x 84x 48 4 36x 84x<br />
52 0 ,<br />
6<br />
phương trình này vô nghiệm.<br />
2 2 3<br />
5 3<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; <br />
6 2 .<br />
3) Đặt y x 1 thì phương trình đã cho thành<br />
4 2 y1 x0<br />
24y<br />
48y<br />
216 82 <br />
y 1<br />
.<br />
x 2<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;0<br />
.<br />
4) Đặt<br />
<br />
x 1 x 2 x 4 x 5<br />
y x 3 thì phương trình trở thành:<br />
4<br />
<br />
2 2 4 2<br />
y 6 x 6 3<br />
y 4 y 1 10 y 5y<br />
6 0 .<br />
y<br />
6 x 6 3<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6 3; 6 3<br />
.<br />
5) Do x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho<br />
2<br />
x ta được<br />
thành y y <br />
2 2 <br />
x 1 x 2<br />
2 . Đặt<br />
x x <br />
2<br />
y x thì phương trình trở<br />
x<br />
2<br />
x 0<br />
y<br />
0 x x 1<br />
1 2 2 <br />
y 3 2<br />
.<br />
x 2<br />
x 3 <br />
x<br />
6) Biến đổi phương trình thành<br />
<br />
<br />
x x x x x x x x x x<br />
2 2 2 2<br />
2 4 1 8 4 6 8 9 8 4 .<br />
Do x 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho<br />
được:<br />
2<br />
x ta<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
8 8 <br />
x 6 x 9<br />
4 . Đặt<br />
x x <br />
2 y 5<br />
y 6 y 9 4 y 15y<br />
50 0<br />
8<br />
y x thì phương trình trở thành<br />
x<br />
<br />
y 10<br />
8<br />
2<br />
x 5 x 5x<br />
8 0 (vô nghiệm). Với y 10 thì<br />
x<br />
8 <br />
2<br />
x 5 17<br />
x 10 x 10 x 8 0 .<br />
x<br />
x 5 17<br />
. Với y 5 thì<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 17;5 17 .<br />
7) Do x 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương<br />
2 2<br />
2 1 1 <br />
trình cho x ta được 3 x 2 2 x 3<br />
5 0 . Đặt<br />
x x <br />
phương trình trở thành:<br />
2 2 2 y 1<br />
3 y 2 2 y 3<br />
5 0 y 1 0 . Suy ra<br />
y 1<br />
1 1<br />
5<br />
<br />
x 1 x<br />
<br />
x<br />
2<br />
. Vậy tập nghiệm của phương trình là<br />
1 <br />
x 1<br />
1<br />
5<br />
x <br />
x <br />
2<br />
1<br />
5 1<br />
5 <br />
S ; .<br />
<br />
2 2 <br />
8) Phương trình không nhận x 0 là nghiệm, chia hai vế cho<br />
1 1<br />
<br />
x x<br />
2<br />
3 x 4 x 5 0<br />
2<br />
2<br />
3t<br />
4t1 0<br />
1<br />
y x ,<br />
x<br />
2<br />
x được<br />
1<br />
. Đặt t x thì phương trình trở thành<br />
x<br />
2<br />
3t 4t 1 0 t 1<br />
hoặc<br />
Với t 1 thì<br />
1<br />
t .<br />
3<br />
1 1<br />
5<br />
hoặc<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x 1 x x 1 0 x<br />
1<br />
5<br />
x .<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với<br />
x<br />
4<br />
1<br />
t thì<br />
3<br />
1<br />
37<br />
.<br />
2<br />
1 1 1<br />
37<br />
hoặc<br />
x 3 2<br />
2<br />
x 3x x 3 0 x3<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là<br />
1 5 1 5 1 37 1<br />
37 <br />
S ; ; ; .<br />
<br />
2 2 2 2 <br />
9)<br />
4 3 2<br />
2x 21x 34x 105x<br />
50 0<br />
(8).<br />
Lời giải:<br />
105<br />
2 50<br />
Ta thấy k 5<br />
và k 25 nên phương trình (8) là phương trình<br />
21<br />
2<br />
2 25 5 <br />
bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ. 8 2 x 21 x 34 0<br />
2 . Đặt<br />
x x<br />
5<br />
2 2 25<br />
t x suy ra t x <br />
2 10 . Phương trình (9) trở thành<br />
x<br />
x<br />
2<br />
9<br />
2t 21t 54 0 t 6 hoặc t . Với t 6 thì<br />
2<br />
5<br />
2 2<br />
x 6 x 6x 5 x 6x<br />
5 0 . Phương trình có hai nghiệm<br />
x<br />
9 5 9 2<br />
x1 3 14; x2<br />
3 14 . Với x thì x 2x 9x<br />
10 0 .<br />
2 x 2<br />
9 161 9 161<br />
Phương trình có hai nghiệm x3 ; x4<br />
. Vậy PT (8) có<br />
4 4<br />
tập nghiệm<br />
<br />
9 161 9 161<br />
S 3 14;3<br />
14; ; .<br />
<br />
4 4 <br />
10) Điều kiện x 1; 2; 3; 4;0<br />
. Ta biến đổi phương trình thành<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x<br />
x<br />
<br />
1 1 1 1 1 2 2 2 2 1<br />
0 0<br />
2 2<br />
x x 4 x 1 x 3 x 2 x 4x x 4x 3 x 2<br />
1 1 1<br />
0<br />
2 2 2<br />
x 4x x 4x 3 2( x 4x<br />
4)<br />
<br />
2<br />
. Đặt u x 4x<br />
, phương trình<br />
trở thành<br />
1 1 1<br />
0<br />
u u 3 2 u 4<br />
<br />
<br />
<br />
25 145<br />
2<br />
u <br />
5u<br />
25u24 <br />
10<br />
0 <br />
.<br />
2u u<br />
3u<br />
4<br />
25 145<br />
u<br />
<br />
10<br />
<br />
2 25 145<br />
x<br />
4x<br />
10<br />
Do đó <br />
. Tìm được tập nghiệm của phương trình là<br />
<br />
2 25 145<br />
x<br />
4x<br />
<br />
10<br />
<br />
15 145 15 145 15 145 15 145 <br />
<br />
S 2 ; 2 ; 2 ; 2<br />
<br />
10 10 10 10<br />
<br />
<br />
.<br />
11) Biến đổi phương trình thành<br />
5 5 10 10 8 10 40 8<br />
.<br />
2 2<br />
x 1 x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 4 3<br />
Đặt u x 2<br />
u 1, u 4; u 0<br />
dẫn đến phương trình<br />
u<br />
16<br />
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là<br />
u <br />
4<br />
2<br />
4u<br />
65u<br />
16 0 1<br />
1 1 <br />
S ; 4; ;4<br />
2 2 .<br />
12)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Điều kiện x 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0<br />
. Biến đổi phương trình thành<br />
x 1 x 6 x 2 x 5<br />
<br />
x x x x x x x x<br />
2 5 7 1 3 4 6<br />
x1 1 1 x6 1 1 <br />
<br />
2 x x 2 2 x 5 x 7 <br />
x2 1 1 x5 1 1 <br />
<br />
2 x 1 x 3 x x 4 x 6 <br />
1 1 1 1 1 1 1 1<br />
<br />
x x 2 x 5 x 7 x 1 x 3 x 4 x 6<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 <br />
<br />
x x 7 x 2 x 5 x 1 x 6x x 3 x 4 <br />
1 1 1 1 <br />
2x<br />
7<br />
0<br />
2 2 2 2 <br />
x 7 x 7x 10 x 7x 6 x 7x<br />
12<br />
<br />
7<br />
<br />
x <br />
2<br />
.<br />
1 1 1 1<br />
0(*)<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x 7x x 7x 10 x 7x 6 x 7x<br />
12<br />
Đặt<br />
2<br />
u x 7x<br />
thì phương trình (*) có dạng<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 <br />
0 0<br />
u u 10 u 6 u 12 u u 6 u 10 u 12<br />
<br />
2<br />
u 18u 90 0 .<br />
Mặt khác u 2 u u<br />
2<br />
18 90 9 9 0 với mọi u . Do đó phương trình (*)<br />
vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất<br />
13) .<br />
Lời giải:<br />
7<br />
x .<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Điều kiện x 4; 3; 2; 1<br />
. Biến đổi phương trình thành<br />
1 2 3 4 1 4 2 3 <br />
0 0<br />
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 4 x 2 x 3 <br />
x<br />
0<br />
3 1 <br />
x<br />
0<br />
x<br />
2 2 <br />
<br />
3 1 .<br />
5 x 4 x 5 x 6 0(*)<br />
2 2<br />
x 5x 4 x 5x<br />
6<br />
Đặt<br />
2<br />
u x 5x<br />
Từ đó ta có<br />
thì phương trình (*) trở thành<br />
2 5<br />
3<br />
2x 10x 11 0 x .<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là<br />
14)<br />
3 1 11<br />
0 u<br />
u 4 u 6 .<br />
<br />
2<br />
<br />
5 3 5 3 <br />
S 0; ; .<br />
<br />
2 2 <br />
Do x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi<br />
7<br />
phân thức ở vế trái của phương trình cho x , rồi đặt y 4x ta được<br />
x<br />
4 3<br />
1.<br />
y8 y10<br />
Phương trình trên có 2 nghiệm y 16, y 9 .<br />
Với y 9 thì<br />
7<br />
. Phương trình này vô nghiệm.<br />
x<br />
2<br />
4x 9 4x 9x<br />
7 0<br />
7<br />
2<br />
Với y 16 thì 4x 16 4x 16x<br />
7 0 . Phương trình này có hai<br />
x<br />
1 7<br />
nghiệm x1 ; x2<br />
.<br />
2 2<br />
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là<br />
1 7<br />
S ; <br />
2 2 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
15) Đặt<br />
t x x<br />
2<br />
2 1, phương trình (1) thành<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
t 4x t 4x 9x t 16x 9x t 25x t 5x<br />
hoặc<br />
t 5x.<br />
Với t 5x<br />
thì<br />
2 2 3<br />
7<br />
2x x 1 5x 2x 6x 1 0 x .<br />
2<br />
Với t 5x<br />
thì<br />
2 2 2<br />
2<br />
2x x 1 5x 2x 4x 1 0 x .<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là<br />
3<br />
7 2 2 <br />
; .<br />
<br />
2 2 <br />
16) Lời giải:<br />
Đặt u<br />
x 1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát<br />
<br />
u 2 7u 3 u 2 2u 3 6u<br />
2 .<br />
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác<br />
như sau<br />
x 4 5x 5 x 4 6 x 1 0 .<br />
2 2<br />
Viết phương trình đã cho về dạng 2<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
x 4 , phương trình thành<br />
<br />
2<br />
t x t x x t x t x<br />
5 5 6 6 1 0 6 6 1 0<br />
2 2<br />
x<br />
3<br />
7<br />
t 6x 6 x 4 6x 6 x 6x<br />
2 0 <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
t x 1 x 4 x 1 x x 5 0<br />
1<br />
21 .<br />
<br />
x<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của PT(2) là<br />
1<br />
21 1<br />
21 <br />
S ;3 7; ;3<br />
7 .<br />
<br />
2 2 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
17) PTtương đương với <br />
x 4 9x x 2 2 16x<br />
2 4 0.<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
x 2 thì t 2 x 4 x<br />
2<br />
4 4, PT trên thành<br />
<br />
2 2<br />
t xt x t x t x<br />
9 20 0 4 5 0<br />
2 2<br />
x<br />
2<br />
6<br />
t 4x x 2 4x x 4x<br />
2 0 <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
t 5x x 2 5x x 5x 2 0<br />
5 33 .<br />
<br />
x<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của phương trình là<br />
<br />
5 33 5 33 <br />
2 6; ;2 6; .<br />
<br />
2 2 <br />
18) Điều kiện x 2 . Khử mẫu thức ta được phương trình tương<br />
đương:<br />
3x 4 6x 3 16x 2 36x 12 0 3x 4 6x x 2 6 16x<br />
2 12 0<br />
.<br />
2<br />
đặt t x 6 thì t 2 x 4 12x<br />
2 36 , suy ra<br />
PT trên thành<br />
<br />
2<br />
3t 6xt 20t 0 t 3t 6x 20 0 t 0<br />
<br />
<br />
<br />
4 2 2<br />
3x 3t 36x<br />
108<br />
,<br />
hoặc 3t<br />
6x 20 .<br />
Với t 0 thì<br />
3t<br />
6x 20 ta có<br />
2<br />
x 6 0, suy ra 6<br />
2<br />
3x<br />
18 6x<br />
20<br />
x (thỏa mãn đk). Với<br />
2<br />
hay 3x<br />
6x 2 0 suy ra<br />
3<br />
3<br />
x (thỏa mãn đk). Vậy tập nghiệm của PT(4) là<br />
3<br />
3<br />
3 3 3 <br />
S <br />
; 6; ; 6.<br />
<br />
3 3 <br />
2x<br />
13x<br />
19) 6<br />
(5).<br />
2 2<br />
3x 5x 2 3x x 2<br />
Lời giải: Đặt<br />
t<br />
2<br />
3x<br />
2 PT(5) trở thành<br />
2x<br />
13x<br />
6<br />
. ĐK: t 5, x t x .<br />
t 5x t x<br />
Khử mẫu thức ta được PT tương đương<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
2t 13tx 11x 0 t x 2t 11x<br />
0<br />
t<br />
x hoặc<br />
11<br />
t x (thỏa mãn ĐK)<br />
2<br />
Với t<br />
x thì<br />
2 2<br />
3x 2 x 3x x 2 0<br />
phương trình vô nghiệm.<br />
11<br />
2 11 1<br />
Với t x thì 3x 2 x 6x 11x 2 0 x hoặc<br />
2<br />
2 2<br />
1 4<br />
tập nghiệm của PT(5) là ; <br />
2 3 .<br />
20) PT x 2 x 2 x 2 x<br />
2<br />
<br />
1 1 2 1 0<br />
x 4 x 2 x 4 x<br />
2<br />
<br />
2 1<br />
0<br />
2<br />
x 4 x 2 x 4 x<br />
2<br />
<br />
2 1<br />
0<br />
2<br />
x 4 x 2 1 0 x 4 x<br />
2 1 0.<br />
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5 1 5 1<br />
<br />
; .<br />
2 2 <br />
21) Lời giải:<br />
Điều kiện x 1.<br />
Đặt<br />
x2 x2<br />
y;<br />
z, PT có dạng:<br />
x1 x1<br />
2<br />
2 2<br />
20 5 20 0 5 2 0 2<br />
y z yz y z y z<br />
4<br />
x .Vậy<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Dẫn đến<br />
x2 x2<br />
2. 2x 2x 1 x 2x<br />
1<br />
x1 x1<br />
2 2 2<br />
9 73<br />
2x 6x 4 x 3x 2 x 9x<br />
2 0 x hoặc<br />
2<br />
9 73<br />
x (thỏa mãn điều kiện).<br />
2<br />
Vậy tập nghiệm của PT(2) là<br />
9 73 9 73 <br />
; .<br />
<br />
2 2 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ<br />
TỶ<br />
1. Phương trình vô tỷ cơ bản:<br />
gx<br />
( ) 0<br />
f ( x) g( x)<br />
<br />
f x g x<br />
2<br />
( ) ( )<br />
Ví dụ 1: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
2<br />
x x x<br />
2 6 2 1<br />
b) 2x 1 x 4x<br />
9<br />
Lời giải:<br />
a). Phương trình tương đương với:<br />
x 2<br />
2<br />
b). Điều kiện: x 0 . Bình phương 2 vế ta được:<br />
x<br />
8<br />
<br />
4(2 x x) ( x 8)<br />
2 2<br />
3x 1 2 2x x 4x 9 2 2x x x 8<br />
2 2<br />
x 4<br />
x 8<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
16 . Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có<br />
7x<br />
12x 64 0 x<br />
<br />
7<br />
x 4 là nghiệm của phương trình.<br />
Ví dụ 2: Giải các phương trình:<br />
II. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƢỜNG GẶP<br />
1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Dấu hiệu:<br />
n<br />
+ Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng: f ( x) <br />
m<br />
g( x) h( x) 0<br />
Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những<br />
phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn.<br />
+ Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng<br />
máy tính cầm tay)<br />
Phương pháp:<br />
<br />
Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có)<br />
Ví dụ: Đối phương trình:<br />
2 2<br />
x 3 3 2x 7 2x<br />
.<br />
+ Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy:<br />
Phương trình xác định với mọi x<br />
R. Nhưng đó chưa phải là điều kiện<br />
chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là:<br />
+ Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
x x x<br />
3 2 7 2 3<br />
2 2<br />
Để ý rằng: x 3 2x<br />
7 0 do đó phương trình có nghiệm khi<br />
3<br />
2x 3 0 x<br />
2<br />
Nếu phương trình chỉ có một nghiệm x<br />
0<br />
:<br />
Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành:<br />
n<br />
f ( x) <br />
n<br />
f ( x ) g( x) g( x ) h( x) h( x ) 0<br />
m<br />
m<br />
0 0 0<br />
Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý:<br />
3 3 3 3<br />
+ <br />
a b a ab b a b<br />
2 2 3<br />
2<br />
+ a b a b a b<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Nếu hx ( ) 0 có nghiệm x x0<br />
thì ta luôn phân tích được<br />
h( x) ( x x ) g( x)<br />
0<br />
Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung x x0<br />
thì phương trình<br />
ban đầu trở thành:<br />
( x x ) A( x) 0<br />
xx<br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
Ax <br />
<br />
0<br />
( ) 0<br />
Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để<br />
kết luận Ax ( ) 0 vô nghiệm.<br />
Nếu phương trình có 2 nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
theo định lý viet đảo ta có nhân<br />
tử chung sẽ là:<br />
Ta thường làm như sau:<br />
2<br />
x ( x1 x2) x x1.<br />
x2<br />
+ Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong n<br />
f( x ) ta trừ đi một lượng<br />
ax b . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của<br />
n<br />
f ( x) ( ax b)<br />
+ Để tìm ab , ta xét phương trình: n<br />
f ( x) ( ax b) 0 . Để phương trình có<br />
hai nghiệm x1,<br />
x<br />
2<br />
ta cần tìm ab , sao cho<br />
+ Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại:<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các phương trình:<br />
n<br />
ax1b f ( x1)<br />
<br />
ax<br />
n<br />
2<br />
b f ( x2)<br />
a)<br />
b)<br />
3 3<br />
5x 1 2x 1 x 4 0<br />
x x x x <br />
2<br />
2 4 2 5 3<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a).<br />
Phân tích: Phương trình trong đề bài gồm nhiều biểu thức chứa căn nhưng<br />
không thể quy về 1 ẩn. Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu 3 , thì sẽ tạo ra<br />
phương trình tối thiểu là bậc 6. Từ đó ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu<br />
thức liên hợp để tách nhân tử chung.<br />
Điều kiện x <br />
1 3<br />
5<br />
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: x 1. Khi đó<br />
3 3<br />
5x<br />
1 5 1 2; 2x1 2 1 1<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
3 3<br />
5x 1 2 2x 1 1 x 1 0<br />
3<br />
5x<br />
5 2x2<br />
x 1<br />
0<br />
<br />
3 2<br />
5x 1 2 0 3<br />
3<br />
2x1 2x1 1<br />
2<br />
<br />
5( x x1) 2<br />
( x 1) 1<br />
0<br />
3<br />
3<br />
2<br />
5x 1 2 3<br />
2x1<br />
2x1 1<br />
<br />
<br />
<br />
Dễ thấy :<br />
Với điều kiện x 1 3 thì<br />
5<br />
<br />
2<br />
5( x x 1) 2<br />
1 0<br />
<br />
3 2<br />
5x 1 2 3<br />
3<br />
2x1 2x1 1<br />
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2<br />
b). Điều kiện: x 2;4<br />
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: x 3. Khi đó<br />
x 2 3 2 1; 4 x 4 3 1<br />
Từ đó ta có lời giải như sau:<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
Phương trình đã cho tương đương với: x 2 11 4 x 2x 5x<br />
3<br />
x3 x3<br />
( x 3)(2x1)<br />
x 2 1 1 4 x<br />
1 1<br />
<br />
x 3 (2x1) <br />
0<br />
x 2 1 1 4 x <br />
x<br />
3<br />
<br />
<br />
1 1<br />
(2x<br />
1) 0<br />
<br />
x 2 1 1 4 x<br />
Để ý rằng: Với điều kiện x 2;4<br />
thì<br />
1 1<br />
1; 1;2 x 1<br />
5 nên<br />
x 2 1 1 4 x<br />
1 1<br />
(2x<br />
1) 0<br />
x 2 1 1 4 x<br />
Từ đó suy ra: x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.<br />
Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng<br />
A<br />
các ước lượng cơ bản: AB A với B 0 từ đó suy ra 1<br />
A<br />
B với mọi<br />
AB0<br />
số AB , thỏa mãn <br />
B<br />
0<br />
Ví dụ 2: Giải các phương trình:<br />
x 1 x x 2<br />
a) 3 2 3<br />
x 2 x x 4 x 7 3x<br />
28 0<br />
3 2 3<br />
b) <br />
Giải:<br />
a). Điều kiện:<br />
x 3<br />
2 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta nhẩm được nghiệm x 3. Nên phương trình được viết lại như sau:<br />
x 1 2 x 3 x 2 5<br />
3 2 3<br />
2 3<br />
x 9 x 27<br />
x 3 <br />
3 2 3 2 3<br />
x 1 2 x 1 4 x 2 5<br />
2<br />
x 3 x 3x<br />
9 <br />
( x 3) <br />
1 0<br />
3 2 3 2 3<br />
x 1 2 x 1 4 x 2 5<br />
x<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
x 3 x 3x<br />
9<br />
1 0<br />
3 2 3 2 3<br />
x 1 2 x 1 4 x 2 5<br />
Ta dự đoán:<br />
một giá trị<br />
2<br />
x 3 x 3x<br />
9<br />
1<br />
0 ( Bằng cách thay<br />
x 1 2 x 1 4 x 2 5<br />
3 2 3 2 3<br />
x 3<br />
2 ta sẽ thấy<br />
2<br />
x 3 x 3x<br />
9<br />
1<br />
0)<br />
x 1 2 x 1 4 x 2 5<br />
3 2 3 2 3<br />
x 3<br />
Ta sẽ chứng minh: 1<br />
3<br />
x 2<br />
1 2 3<br />
x 2<br />
1 4<br />
Thật vậy:<br />
và<br />
2<br />
x 3x9<br />
2<br />
3<br />
x 25<br />
+ Ta xét<br />
3<br />
<br />
x<br />
x 3<br />
2 3<br />
<br />
1 2 x 1 4<br />
<br />
2<br />
2<br />
3 2<br />
3 2 2<br />
1 x 1 2 x 1 x 1<br />
x 1 t 0 x t 1 . Bất phương trình tương đương với<br />
Đặt 3 2 3<br />
2 3 4 3 2<br />
t t t t t t t<br />
2 1 1 3 6 4 0 . Điều này là hiển nhiên đúng.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Ta xét:<br />
x<br />
2<br />
x<br />
3x9<br />
<br />
3<br />
25<br />
2 3 4 3 2<br />
2 x 3x 1 2 x 2 x 2x 7x 6x<br />
9 0<br />
x<br />
0(*) . Điều này luôn đúng.<br />
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: x 3<br />
b.) Điều kiện: x 7 .<br />
Để đơn giản ta đặt<br />
x t x t<br />
3 3<br />
7<br />
3<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
2 3 3 3 3 2 3 3<br />
t 2 t ( t 4) t 7 3t 28 0 3t t 2t 28 ( t 4) t 7 0<br />
Nhẩm được t 2. Nên ta phân tích phương trình thành:<br />
<br />
3 2 3 3<br />
4t t 2t 32 ( t 4) t 7 1 0<br />
<br />
t 2t4<br />
<br />
<br />
<br />
t 71<br />
2<br />
2 3<br />
( t 2) 4t 7t 16 ( t 4) <br />
0<br />
3<br />
Để ý rằng<br />
<br />
2<br />
4t<br />
7t<br />
16 0<br />
<br />
và t 3 7 nên ta có<br />
t<br />
2t4<br />
<br />
2<br />
2 3<br />
4t 7t 16 ( t 4) <br />
0<br />
3<br />
<br />
duy nhất t 2 x 8.<br />
t<br />
71<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
. Vì vậy phương trình có nghiệm<br />
Nhận xét: Việc đặt 3 x t trong bài toán để giảm số lượng dấu căn đã giúp<br />
đơn giản hình thức bài toán .<br />
Ngoài ra khi tạo liên hợp do<br />
các thao tác tính toán được đơn giản hơn.<br />
Ví dụ 3: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
2<br />
4 x 3 19 3x x 2x<br />
9<br />
3<br />
( t 4) 0 nên ta tách nó ra khỏi biểu thức để
)<br />
c)<br />
d)<br />
2x<br />
11<br />
3x8 x1<br />
<br />
5<br />
x <br />
x<br />
2<br />
3 x 7<br />
<br />
2 x1<br />
<br />
<br />
(Tuyển sinh vòng 1 lớp 10 Trường THPT<br />
chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012)<br />
3 2<br />
x 5x 4x<br />
2 2<br />
x x<br />
2 <br />
x<br />
2x3<br />
2<br />
a). Điều kiện:<br />
19<br />
3<br />
x <br />
3<br />
Ta nhẩm được 2 nghiệm là x1, x 2 nên ta phân tích để tạo ra nhân tử<br />
chung là: x<br />
như sau:<br />
2<br />
x 2 . Để làm được điều này ta thực hiện thêm bớt nhân tử<br />
+ Ta tạo ra 4 x 3 ( ax b) 0 sao cho phương trình này nhận<br />
x1, x 2 là nghiệm.<br />
Để có điều này ta cần:<br />
4<br />
a <br />
ab8 3<br />
<br />
2a b<br />
4 20<br />
b <br />
3<br />
+ Tương tự 19 3 x ( mx n) 0 nhận x1, x 2 là nghiệm.<br />
Tức là<br />
1<br />
a <br />
mn5 3<br />
<br />
2m n<br />
5 13<br />
b <br />
3<br />
Từ đó ta phân tích phương trình thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 20 13<br />
x <br />
<br />
3 3 3 3 <br />
2<br />
4 x 3 x 19 3x x x 2 0<br />
4 3 19 3 x (13 x)<br />
2<br />
3 x 3 x 5<br />
x x 2<br />
0<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 x 3 x 5 33 19 3 x (13 x)<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4 x x 2 x x 2<br />
2<br />
x x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 0<br />
<br />
<br />
2 4 1 1<br />
<br />
x x 2 . 1<br />
0<br />
3 3 x 3 x 5<br />
33 19 3 x (13 x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
19<br />
Dễ thấy với 3<br />
x thì<br />
3<br />
1<br />
0<br />
33 19 3 x (13 x)<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
3 x 3 x<br />
5<br />
<br />
0,<br />
Nên<br />
4 . 1 <br />
1 1 0 .<br />
3 3 x 3 x 5<br />
33 19 3 x (13 x)<br />
<br />
<br />
<br />
Phương trình đã cho tương đương với<br />
x<br />
2 x<br />
1<br />
x 2 0 <br />
x<br />
2<br />
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 3, x 8 .<br />
b). Điều kiện:<br />
8<br />
x .<br />
3<br />
Phương trình được viết lại như sau: 5 3x 8 5 x 1 2x<br />
11<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta nhẩm được 2 nghiệm x 3, x 8 nên suy ra nhân tử chung là:<br />
x<br />
2<br />
11x<br />
24<br />
Ta phân tích với nhân tử 5 3x 8 như sau:<br />
+ Tạo ra x ax b<br />
5 3 8 0 sao cho phương trình này nhận x 3, x 8<br />
là nghiệm. Tức là ab , cần thỏa mãn hệ:<br />
+ Tương tự với 5 x 1 ( mx n) 0 ta thu được:<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
3a b 5 a<br />
3<br />
<br />
8a b 20 b<br />
4<br />
3m n 10 m<br />
1<br />
<br />
8m n 15 n<br />
7<br />
2 2<br />
9( x 11x 24) x 11x<br />
24<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1 0 0<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1<br />
2<br />
9 1 <br />
x 11x 24<br />
<br />
0<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1<br />
2<br />
x<br />
x <br />
11 24 0<br />
<br />
<br />
9 1<br />
0<br />
<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1<br />
Ta xét<br />
9 1<br />
Ax ( ) <br />
<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1<br />
Ta chứng minh: Ax ( ) 0 tức là:<br />
5 3x 8 3x 4 9( x 7 5 x 1) 0<br />
9 1<br />
<br />
0<br />
5 3x 8 (3x 4) ( x 7) 5 x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
25 275<br />
3x 8 5 3x 8 x 45 x 1 0<br />
4 4<br />
2<br />
5 275<br />
3x 8 x 45 x 1 0 . Điều này là hiển nhiên đúng.<br />
2<br />
4<br />
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 3, x 8 .<br />
Chú ý:<br />
Những đánh giá để kết luận Ax ( ) 0 thường là những bất đẳng thức không<br />
chặt nên ta luôn đưa về được tổng các biểu thức bình phương.<br />
Ngoài ra nếu tinh ý ta có thể thấy: 5 3x 8 3x 4 9( x 7 5 x 1) 0<br />
5 3x 8 3x 4 9x 63 5 81x<br />
81 Nhưng điều này là hiển nhiên đúng<br />
do: 5 3x 8 5 81x 81;3x 4 9x<br />
63 với mọi<br />
c). Điều kiện: x 0<br />
8<br />
x <br />
3<br />
Ta nhẩm được x1; x 3 nên biến đổi phương trình như sau:<br />
Ta có: khi 1<br />
vế thì thu được:<br />
x<br />
x <br />
2 x 1<br />
<br />
2<br />
7<br />
2 , khi<br />
<br />
<br />
2<br />
x 7<br />
x 3 2nên ta trừ 2 vào 2<br />
2 x 1<br />
2 2 2<br />
3 x 7 x 3 2 x x 4x<br />
3<br />
x 2 2 <br />
x 2 x 1 x 2( x 1)<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
x<br />
x <br />
4 3 4 3 4 3 0<br />
<br />
3 2 2( x 1)<br />
3 2 2( 1)<br />
3 3<br />
x x x x x x x<br />
(1)<br />
(2)<br />
Giải (1) suy ra x1, x<br />
3<br />
Giải (2) ta có:<br />
3<br />
x x x x<br />
3 2 2( 1)<br />
3 3<br />
x x x x x <br />
3 2 3 4 0 1<br />
Kết luận: Phương trình có nghiệm là x1; x<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nhận xét: Ta cũng có thể phân tích phương trình như câu a,b .<br />
d). Ta có:<br />
3 2 2<br />
x x x x x x x<br />
5 4 2 ( 3)( 2 3) 5 7 nên phương trình<br />
tương đương với<br />
3 2<br />
x 5x 4x 2 2 2<br />
5x<br />
7<br />
x x 2 x 3 x 2x<br />
3 0<br />
2 2<br />
x 2x 3 x 2x<br />
3<br />
1 1 <br />
5x<br />
7 0<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
( x 3) x x 2 x 2x3<br />
<br />
<br />
5x<br />
7<br />
0<br />
1 1 <br />
<br />
<br />
0 (1)<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
( x 3) x x 2 x 2x3<br />
<br />
Giải (1) :<br />
1 1<br />
x 2x3<br />
2<br />
( x 3) x x 2<br />
2 0.<br />
2 2<br />
x x x x <br />
2<br />
Đặt<br />
2<br />
t x x <br />
2 0. Phương trình trở thành:<br />
t<br />
2 t<br />
2<br />
t 2 0 x<br />
t<br />
1( L)<br />
2<br />
x<br />
1<br />
x 2 0 <br />
x<br />
2<br />
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm:<br />
7<br />
x ; x 1; x 2<br />
5<br />
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:<br />
a)<br />
3 3<br />
x 15 2 x 8 3x<br />
b) 3x 1 x 3 1 x 0<br />
a). Phương trình được viết lại như sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 3 3<br />
x 15 2 x 8 3x x 15 x 8 3x<br />
2 .Để phương trình<br />
2<br />
có nghiệm ta cần: 3x 2 0 x . Nhẩm được x 1 nên ta viết lại<br />
3<br />
phương trình thành:<br />
3 3<br />
x x x<br />
x 2 x 1 x 2 x 1<br />
15 4 8 3 3 3<br />
<br />
<br />
( x 1) <br />
3<br />
0<br />
3 3<br />
<br />
x 15 4 x 8 3 <br />
x 2 x 1 x 2 x 1<br />
<br />
Để ý rằng:<br />
x<br />
duy nhất x 1<br />
3<br />
0 nên phương trình có nghiệm<br />
15 4 x 8 3<br />
3 3<br />
b). Điều kiện<br />
1<br />
x <br />
<br />
3;<br />
<br />
3<br />
<br />
Ta viết lại phương trình như sau: 3x 1 x 3 1 x 0<br />
2 x 2 <br />
1 0 2 2<br />
1 1 <br />
x x <br />
0<br />
3x 1 x 3 3x 1 x 3 2<br />
<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
3x1 x 3 2<br />
Xét phương trình: 3x1 x 3 2 . Bình phương 2 vế ta thu được:<br />
x<br />
0<br />
4x 4 2 (3x 1)( x 3) 4 (3x 1)( x 3) 2x<br />
2<br />
x<br />
10x 3 0<br />
x 5<br />
2 7<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x1, x 5<br />
2 7<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nhận xét:<br />
+ Ta thấy phương trình có nghiệm x 1. Nếu ta phân tích phương trình<br />
thành 3x 1 2 2 x 3 4 4x<br />
0 thì sau khi liên hợp phương trình<br />
3x3 1x<br />
mới thu được sẽ là: 4 4x<br />
0<br />
3x1 2 2 x<br />
3<br />
3 1 <br />
x 1<br />
4<br />
0 .Rõ ràng phương trình hệ quả<br />
3x1 2 2 x<br />
3 <br />
3 1<br />
4<br />
0 phức tạp hơn phương trình ban đấu rất<br />
3x1 2 2 x<br />
3<br />
nhiều.<br />
+ Để ý rằng khi x 1 thì 3x1 x 3 nên ta sẽ liên hợp trực tiếp biểu<br />
thức 3x1 x 3 .<br />
2. Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phƣơng trình:<br />
Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như:<br />
+<br />
2 3 2<br />
ax bx c d px qx rx t (1)<br />
+<br />
2 4 3 2<br />
ax bx c d px qx rx ex h (2)<br />
+<br />
2 2 2<br />
A ax bx c B ex gx h C rx px q (*)<br />
Thực chất phương trình (*) khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng<br />
(1) hoặc (2).<br />
Để giải các phương trình (1), (2).<br />
Phương pháp chung là:<br />
+ Phân tích biểu thức trong dấu thành tích của 2 đa thức P( x), Q( x )<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Ta biến đổi<br />
2<br />
ax bx c mP x nQ x<br />
( ) ( ) bằng cách đồng nhất hai vế.<br />
Khi đó phương trình trở thành: mP( x) nQ( x) d P( x). Q( x)<br />
Chia hai vế cho biểu thức Qx ( ) 0 ta thu được phương trình:<br />
P( x) P( x)<br />
m n d . Đặt<br />
Q( x) Q( x)<br />
Px ( )<br />
t 0 thì thu được phương trình:<br />
Qx ( )<br />
2<br />
mt dt n<br />
0 .<br />
Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng:<br />
n ( ) n ( ) n <br />
aP x bQ x cP k ( x) Q k ( x) d<br />
2 n P( x). Q( x) 0 thì ta luôn giải được<br />
theo cách trên.<br />
Một số ví dụ:<br />
Ví dụ 1: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
b)<br />
2 3<br />
2( x 3x 2) 3 x 8<br />
2<br />
x 1 x 4x 1 3 x<br />
c) 4x 2 3x 2 x x 1 2x<br />
3 1<br />
Lời giải:<br />
a). Điều kiện: x 2.<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
2( x 3x 2) 3 ( x 2)( x 2x<br />
4)<br />
Giả sử<br />
2 2<br />
x x m x n x x<br />
3 2 ( 2) ( 2 4) . Suy ra mn , phải thỏa mãn<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
n<br />
1<br />
m<br />
1<br />
m<br />
2n<br />
3 <br />
n 1<br />
2m4n2<br />
<br />
<br />
Phương trình đã cho có dạng:<br />
2 2<br />
2( x 2) 2( x 2x 4) 3 ( x 2)( x 2x<br />
4) 0 .<br />
Chia phương trình cho<br />
x<br />
2<br />
2x 4 0 ta thu được:<br />
x2 ( x2)<br />
2<br />
3 2 0<br />
2 <br />
2<br />
x 2x 4 ( x 2x<br />
4)<br />
( x 2)<br />
Đặt t <br />
2<br />
( x 2x4)<br />
0<br />
ta thu được phương trình:<br />
<br />
2<br />
2t<br />
3t<br />
2 0<br />
t<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
t <br />
2<br />
do<br />
1 ( x 2) 1<br />
t t x x x <br />
2 ( x 2x4) 2<br />
2<br />
0 2 4 4( 2)<br />
2<br />
.<br />
<br />
2<br />
x 3 13<br />
x 6x 4 0 <br />
x 3 13<br />
x<br />
0<br />
b). Điều kiện: 2<br />
x<br />
4x1 0<br />
Bình phương 2 vế của phương trình ta thu được:<br />
2 2 2<br />
x 2x 1 2( x 1) x 4x 1 x 4x 1<br />
9x<br />
<br />
2 2 2<br />
2x 11x 2 2 ( x 2x 1)( x 4x<br />
1) 0<br />
Giả sử<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
mn2<br />
1<br />
m <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
5<br />
m n 2 <br />
n <br />
2<br />
2 2 2<br />
2x 11x 2 m( x 2x 1) n( x 4x 1) 2m 4n<br />
11<br />
Phương trình trở thành:<br />
1 5<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( x 2x 1) ( x 4x 1) 2 ( x 2x 1)( x 4x<br />
1) 0<br />
Chia phương trình cho<br />
x<br />
2<br />
2x1 0 ta thu được:<br />
2 2<br />
x 4x 1 x 4x<br />
1<br />
1 5 4 0<br />
2 2 . Đặt<br />
x 2x 1 x 2x<br />
1<br />
t <br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
4x1<br />
0<br />
2x1<br />
ta có<br />
Phương trình<br />
t<br />
1<br />
<br />
t t t <br />
t<br />
<br />
5<br />
2<br />
5 4 1 0 1<br />
2<br />
1 x 4x1 1<br />
2 <br />
5 x 2x<br />
1 25<br />
1<br />
x <br />
<br />
<br />
x<br />
4<br />
2<br />
24x<br />
102x<br />
24 0 4<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm<br />
1<br />
x , x<br />
4<br />
4<br />
Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi:<br />
là vì x 1<br />
0<br />
2 2 2<br />
( x 1) x 4x 1 ( x 2x 1)( x 4x<br />
1)<br />
c). Điều kiện: x 1<br />
Ta viết lại phương trình thành: <br />
2<br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
2x 2x 2 3x x 1 0<br />
x 1 2x 2x 2 3x x 1<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Xét phương trình:<br />
2 2<br />
2x 2x 2 3x x 1 0 2x 3x x 1 2( x 1) 0<br />
.<br />
Dễ thấy x 1 không phải là nghiệm.<br />
Xét x 1 ta chia cho x 1 thì thu được phương trình:<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x x<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2 3 2 0 <br />
x 1 x 1<br />
x<br />
<br />
1<br />
x 1<br />
(1)<br />
(2)<br />
x x<br />
0<br />
Giải (1): 2 <br />
x 2 2 2<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
4x 4 0<br />
x x<br />
0<br />
Giải (2): 1 <br />
x 2 2 2<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
4x 4 0<br />
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:<br />
x1; x 2 2 2<br />
Ví dụ 2: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2 2 3<br />
4(2x 1) 3( x 2 x) 2x 1 2( x 5 x)<br />
2 2<br />
5 4 3 18 5<br />
x x x x x<br />
2 2<br />
5x 14x 9 x x 20 5 x 1<br />
Lời giải:<br />
a). Điều kiện<br />
1<br />
x <br />
2<br />
Phương trình đã cho được viết lại như sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2<br />
2x 8x 10x 4 3 x( x 2) 2x<br />
1 0<br />
<br />
2<br />
( x 2)(2x 4x 2) 3 x( x 2) 2x<br />
1 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
( x 2) (2x 4x 2) 3x 2x<br />
1 0<br />
x<br />
20<br />
<br />
<br />
2<br />
(2x 4x 2) 3x 2x<br />
1 0<br />
Xét phương trình:<br />
2 2 2<br />
2x 4x 2 3x 2x 1 0 2x 4x 2 3 x (2x<br />
1) 0<br />
Ta giả sử:<br />
2 2 m<br />
2<br />
2x 4x 2 mx n(2x<br />
1)<br />
<br />
n<br />
2<br />
Phương trình trở thành:<br />
2 2<br />
2x 2(2x 1) 3 x (2x<br />
1) 0<br />
. Chia cho<br />
2<br />
x <br />
0<br />
2x1<br />
2x1<br />
2x<br />
1<br />
Ta có: 2 2. 3 0<br />
2 <br />
. Đặt t 0 phương trình mới<br />
2<br />
2<br />
x x<br />
x<br />
t<br />
2<br />
2<br />
là: 2t<br />
3t 2 0 <br />
<br />
1<br />
t <br />
2<br />
Với<br />
1<br />
t ta có:<br />
2<br />
2x<br />
1 1<br />
<br />
2<br />
x 4 2 3<br />
x 8x<br />
4 0<br />
2 <br />
x 2 x 4 2 3<br />
Nhận xét:<br />
+ Đối với phương trình<br />
đưa x vào trong dấu<br />
2<br />
2x 4x 2 3x 2x<br />
1 0<br />
ta có thể không cần<br />
khi đó ta phân tích:<br />
2 2<br />
2x 4x 2 mx n(2x<br />
1)<br />
và chia như trên thì bài toán vẫn được giải quyết. Việc đưa vào là giúp<br />
các em học sinh nhìn rõ hơn bản chất bài toán.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Ngoài ra cần lưu ý rằng: Khi đưa một biểu thức Px ( ) vào trong dấu 2n<br />
thì điều kiện là Px ( ) 0 . Đây là một sai lầm học sinh thường mắc phải khi<br />
giải toán.<br />
b). Điều kiện:<br />
2<br />
x<br />
x <br />
3 18 0<br />
x<br />
0 x 6.<br />
2<br />
5x<br />
4x0<br />
Phương trình đã cho được viết lại thành:<br />
2 2<br />
5 4 3 18 5<br />
x x x x x<br />
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được:<br />
2 2<br />
2x 9x 9 5 x( x 3x<br />
18) 0<br />
Nếu ta giả sử<br />
n<br />
2<br />
<br />
m<br />
3n<br />
9<br />
<br />
18n<br />
9<br />
2 2<br />
2x 9x 9 mx n( x 3x<br />
18)<br />
thì mn , phải thỏa mãn<br />
điều này là hoàn toàn vô lý.<br />
Để khắc phục vấn đề này ta có chú ý sau :<br />
đó<br />
x x x x x x x x x<br />
2<br />
x x x x<br />
2 2<br />
( 3 18) ( 6)( 3) ( 6 )( 3)<br />
3 18 ( 6)( 3) khi<br />
Bây giờ ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
2x 9x 9 5 ( x 6 x)( x 3) 0<br />
Giả sử:<br />
m<br />
2<br />
<br />
m<br />
2<br />
<br />
<br />
n 3<br />
n 3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2x 9x 9 m( x 6 x) n( x 3) 6m n 9<br />
Như vậy phương trình trở thành:<br />
2 2<br />
2( x 6 x) 3( x 3) 5 ( x 6 x)( x 3) 0<br />
Chia cho x 3 0 ta thu được:<br />
2 2<br />
x 6x x 6x<br />
<br />
2 5 3 0<br />
x3 x3<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt<br />
2<br />
t<br />
1<br />
x<br />
6x<br />
2<br />
t 0 2t 5t<br />
3 0 <br />
3<br />
x 3 <br />
t<br />
<br />
2<br />
Trường hợp 1:<br />
7 61<br />
2<br />
x <br />
x 6x<br />
<br />
2<br />
2<br />
t 1 1 x 7x<br />
3 0 <br />
x 3 <br />
7 61<br />
x<br />
<br />
2<br />
Suy ra<br />
7 61<br />
x thỏa mãn điều kiện.<br />
2<br />
Trường hợp 2:<br />
2<br />
x<br />
9<br />
3 x<br />
6x<br />
3<br />
t x x <br />
3 x <br />
2 x 3 2<br />
x<br />
<br />
4<br />
2<br />
4 33 27 0 9<br />
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là:<br />
7 61<br />
x và x 9<br />
2<br />
c). Điều kiện x 5.<br />
Chuyển vế bình phương ta được: 2x 2 5x 2 5 x 2 x 20 x 1<br />
Giả sử: 2x 2 5x 2 mx 2 x 20 nx<br />
1<br />
Khi đó ta có :<br />
m<br />
2<br />
<br />
m n 5 không tồn tại mn , thỏa mãn hệ.<br />
20m<br />
n 2<br />
Nhưng ta có :<br />
x 2 x 20 x 1 x 4x 5x 1 x 4x 2 4x<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giả sử: 2x 2 5x 2 x 2 4x 5 x<br />
4<br />
. Suy ra<br />
m<br />
2<br />
m<br />
2<br />
4m<br />
n 5 <br />
n 3<br />
5m<br />
4n<br />
2<br />
<br />
<br />
Ta viết lại phương trình: <br />
Chia hai vế cho x 4 0 ta thu được:<br />
2 2<br />
x 4x 5 x 4x<br />
5 <br />
2 5 3 0<br />
x4 x4<br />
<br />
2 2<br />
2 x 4x 5 3 x 4 5 ( x 4x 5)( x 4)<br />
.<br />
Đặt t <br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
4x5<br />
0<br />
x 4 <br />
t<br />
1<br />
<br />
t <br />
2<br />
2<br />
2t<br />
5t<br />
3 0 3<br />
ta thu được phương trình:<br />
Trường hợp 1:<br />
Trường hợp 2:<br />
5 61<br />
2<br />
x <br />
x 4x5 <br />
2<br />
2<br />
t 1 1 x 5x<br />
9 0 <br />
x 4 5 61<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
x<br />
8<br />
3 x 4x5 9 2<br />
t 4x 25x<br />
56 0 <br />
7<br />
2 x 4 4<br />
x <br />
4<br />
Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:<br />
5 61<br />
x8;<br />
x<br />
2<br />
Ví dụ 3: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
2 2<br />
x x x x x<br />
2 2 1 3 4 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
)<br />
3 2 3<br />
x x x x<br />
3 2 ( 2) 6 0<br />
Lời giải: a). Điều kiện:<br />
1<br />
x .<br />
2<br />
Bình phương 2 vế phương trình ta thu được:<br />
2 2 2 2 2<br />
x x x x x x x x x x x<br />
4 1 2 ( 2 )(2 1) 3 4 1 1 ( 2 )(2 1) 0<br />
Ta giả sử:<br />
m<br />
1<br />
<br />
m<br />
1<br />
1 ( 2 ) (2 1) 1<br />
<br />
n 1<br />
2m2n0<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x m x x n x n<br />
Phương trình trở thành:<br />
2x1 2x1<br />
<br />
<br />
x 2x x 2x<br />
<br />
2 2<br />
( x 2 x) (2x 1) ( x 2 x)(2x<br />
1) 0 1 0<br />
2 2<br />
Đặt<br />
2x<br />
1 <br />
1<br />
5<br />
<br />
x 2x<br />
2<br />
2<br />
t 0 t t 1 0 t<br />
2<br />
Về cơ bản đến đây ta hoàn toàn tìm được x . Nhưng với giá trị<br />
1<br />
0 như vậy việc tính toán sẽ gặp khó khăn.<br />
3<br />
3x<br />
1<br />
2<br />
Để khắc phục ta có thể xử lý theo hướng khác như sau:<br />
Ta viết lại:<br />
2 2<br />
( x 2 x)(2x 1) ( x 2)(2 x x)<br />
lúc này bằng cách phân<br />
tích như trên ta thu được phương trình:<br />
1 1 2 2<br />
2 2 x2 x2<br />
2 2<br />
2 2<br />
x x x x<br />
(2 x x) ( x 2) ( x 2)(2 x x) 0 2 1 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt<br />
2<br />
2x<br />
x<br />
t t t t x x x x x <br />
x 2<br />
2 2 2<br />
0 2 1 0 1 2 2 1 0<br />
1<br />
5<br />
x . Kiểm tra điều kiện ta thấy chỉ có giá trị<br />
2<br />
mãn điều kiện.<br />
1<br />
5<br />
x là thỏa<br />
2<br />
b). Điều kiện: x 2.<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
3 3<br />
x 3 x( x 2) 2 ( x 2) 0<br />
Để ý rằng:<br />
Nếu ta đặt y x 2 thì phương trình trở thành:<br />
3 2 3<br />
x 3xy 2y<br />
0 . Đây<br />
là một phương trình đẳng cấp bậc 3 . Từ định hướng trên ta có lời giải cho<br />
bài toán như sau:<br />
+ Xét trường hợp: x 0 không thỏa mãn phương trình:<br />
+ Xét x 0 . Ta chia phương trình cho<br />
3<br />
x thì thu được:<br />
3<br />
( x 2) ( x 2)<br />
1 3 2 0.<br />
2 3<br />
x x<br />
Đặt<br />
x 2<br />
t ta có phương trình:<br />
x<br />
1<br />
t <br />
<br />
<br />
t<br />
1<br />
3 2<br />
2t<br />
3t<br />
1 0 2<br />
Trường hợp 1:<br />
1<br />
t <br />
2<br />
x 2 1<br />
x<br />
0<br />
2 x 2 x <br />
x 2 2 3<br />
2<br />
x 2 x 4x 8 0<br />
Trường hợp 1: t 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x 2<br />
x<br />
0<br />
1 x 2 x <br />
x 2<br />
2<br />
x x x 2<br />
0<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: x 2; x 2 2 3<br />
Ví dụ 4: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
b)<br />
3 2 5 4<br />
2x x 3x 1 x x 1<br />
4 2<br />
5 x 8x 4x<br />
8<br />
Lời giải:<br />
a). Hình thức bài toán dễ làm cho người giải bối rối nhưng để ý thật kỹ ta<br />
thấy:<br />
Chìa khóa bài toán nằm ở vấn đề phân tích biểu thức: x<br />
x<br />
5 4<br />
1<br />
Ta thấy do vế trái là biểu thức bậc 3 nên ta nghỉ đến hướng phân tích:<br />
5 4 2 3 2<br />
x x x ax x bx cx<br />
1 ( 1)( 1) . Đồng nhất hai vế ta thu được:<br />
a 1; b 0; c 1. Nên ta viết lại phương trình đã cho thành:<br />
3 2 3 2<br />
2( x x 1) ( x x 1) ( x x 1).( x x 1) 0<br />
Chia cho<br />
x<br />
2<br />
x1 0 ta thu được:<br />
3 3<br />
x x 1 x x 1<br />
2. 1 0<br />
2 2 . Đặt t <br />
x x 1 x x 1<br />
phương trình:<br />
t<br />
1<br />
<br />
2<br />
2t<br />
t1 0 <br />
1<br />
t ( L )<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
x<br />
3<br />
2<br />
x1<br />
0<br />
x1<br />
ta có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải<br />
x<br />
0<br />
x x1<br />
t x x x <br />
<br />
x <br />
x x1<br />
<br />
<br />
x 2<br />
3<br />
1<br />
3 2<br />
1<br />
2<br />
2 0 1<br />
Kết luận: Thử lại ta thấy 3 nghiệm: x 0, x 1; x 2 đều thỏa mãn.<br />
b). Điều kiện:<br />
x<br />
4 x<br />
0<br />
8x 0 <br />
x<br />
2<br />
Ta thấy chìa khóa bài toán nằm ở việc phân tích biểu thức:<br />
<br />
4 3 2 2 2<br />
x x x x x x x x x x x x<br />
8 8 2 2 4 2 2 4 Giả sử<br />
mn4<br />
<br />
<br />
<br />
4m<br />
8<br />
2 2 2<br />
4x 8 m( x 2x 4) n( x 2 x) 2m 2n 0 m n 2<br />
Phương trình trở thành:<br />
2 2 2 2<br />
2( x 2x 4) 2( x 2 x) 5 ( x 2x 4)( x 2 x) 0<br />
. Chia hai vế cho<br />
2 2<br />
x 2x x 2x<br />
2 2<br />
x x x x <br />
2<br />
x 2x 4 0 ta thu được: 2 5 2 0. Đặt<br />
2 4 2 4<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x 2x<br />
2<br />
t <br />
0<br />
ta có phương trình: 2t<br />
5t 2 0 <br />
2<br />
1<br />
x 2x4<br />
t <br />
2<br />
Trường hợp 1:<br />
x 2x<br />
t x x <br />
x 2x4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4 3<br />
2<br />
10 16 0<br />
vô nghiệm<br />
Trường hợp 2:<br />
5 37<br />
2<br />
x <br />
1 x 2x<br />
1<br />
<br />
2<br />
3<br />
t 3x 10x<br />
4 0 <br />
2<br />
2 x 2x4 4 5 37<br />
x<br />
<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là:<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
5 37<br />
3<br />
5 37<br />
3<br />
Nhận xét: Ta có thể phân tích:<br />
<br />
<br />
x 4 x x x 3 x x x 2 x x 2 x x 2 x<br />
8 8 ( 2)( 2 4) ( 2 )( 2 4)<br />
Chú ý rằng: Trong một số phương trình: Ta cần dựa vào tính đẳng cấp của<br />
từng nhóm số hạng để từ đó phân tích tạo thành nhân tử chung.<br />
Ví dụ 5: Giải các phương trình:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2<br />
( x 2)( 2x 3 2 x 1) 2x 5x<br />
3 1 0<br />
2 2<br />
( x 4) 2x 4 3x 6x<br />
4<br />
2 2 2<br />
( x 6x 11) x x 1 2( x 4x 7) x 2<br />
Giải:<br />
a). Đặt 2x 3 a, x 1 b a, b 0<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
2 2 2 2<br />
( a b )( a 2 b) ( a ab 2 b ) 0<br />
( a 2 b)( a b)( a b) ( a b)( a 2 b) 0 ( a 2 b)( a b)( a b 1) 0<br />
Ta quy bài toán về giải 3 phương trình cơ bản là:<br />
2x 3 x1 0<br />
<br />
2 2x 3 x1 0<br />
<br />
<br />
2x 3 x1 1 0<br />
Với điều kiện: x 1 a 1, b 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trường hợp 1: 2x 3 x 1 0 2x 3 x 1 x 2( L)<br />
Trường hợp 2:<br />
11<br />
2 2x 3 x 1 0 8x 12 x 1 x ( L)<br />
7<br />
Trường hợp 3: 2x 3 x1 1 0 . Vì 2x 3 1, x 1 0 VT<br />
0<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1.<br />
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất x 1<br />
b). Điều kiện x 2<br />
Ta thấy rằng nếu bình phương trực tiếp sẽ dẫn đến phương trình bậc 5<br />
Để khắc phục ta sẽ tìm cách tách<br />
2<br />
x 4 ra khỏi 2x 4<br />
Từ đó ta viết lại phương trình như sau:<br />
2 2 2<br />
( 4) 2 4 4 4 6<br />
x x x x x<br />
<br />
2 2 2<br />
( x 4)( 2x 4 1) 2 x(2x 3) ( x 4)( 2x 4 1) 2 x( (2x<br />
4) 1)<br />
<br />
2<br />
( x 4)( 2x 4 1) 2 x( 2x 4 1)( 2x<br />
4 1)<br />
Do 2x 4 1 0 . Phương trình đã cho tương đương với<br />
2<br />
2 2<br />
x x x x x x x x x <br />
4 2 ( 2 4 1) 2 4 2 2 4 0 2 4 0<br />
x x x x x <br />
2<br />
2 4 0 2 4 0 1 5<br />
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x 1<br />
5<br />
c). Điều kiện: x 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giả sử<br />
m<br />
1<br />
<br />
6 11 ( 1) ( 2) 6 1, 5<br />
<br />
m<br />
2n<br />
11<br />
2 2<br />
x x m x x n x m n m n<br />
p 1<br />
<br />
4 7 ( 1) ( 2) 4 1, 3<br />
<br />
p 2q<br />
7<br />
2 2<br />
x x p x x q x p q p q<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
( x x 1) 5( x 2) x x 1 2 ( x x 1) 3( x 2) x 2 0<br />
Chia phương trình cho<br />
2 3<br />
( x x 1) ta thu được:<br />
x 2 x 2 x 2 <br />
1 5. 2 6 0<br />
2 2 2 <br />
x x 1 x x 1 x x 1<br />
3<br />
x 2<br />
Đặt t 0<br />
2<br />
x x1<br />
Ta thu được phương trình:<br />
<br />
t<br />
1<br />
<br />
1<br />
t t t t<br />
<br />
3<br />
<br />
t<br />
<br />
1 ( L ) 2<br />
3 2<br />
6 5 2 1 0<br />
+ Nếu<br />
+ Nếu<br />
t a b x x VN<br />
2<br />
1 2 3 0( )<br />
1<br />
10 19 0 5 6<br />
3<br />
2<br />
t x x x<br />
Kết luận: x 5<br />
6<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2. Giải phƣơng trình vô tỷ bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn<br />
toàn.<br />
+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong<br />
phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một<br />
2<br />
phương trình bậc 2: mt g( x) t h( x) 0 ( phương trình này vẫn còn ẩn<br />
x )<br />
+ Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị m bằng bao nhiêu để phương<br />
trình bậc 2 theo ẩn t có giá trị chẵn Ax ( ) <br />
theo x sẽ được dễ dàng.<br />
+ Thông thường khi gặp các phương trình dạng:<br />
<br />
2<br />
<br />
như thế viêc tính t<br />
2 2<br />
ax bx c dx e px qx r<br />
( ) 0 thì phương pháp đặt ẩn phụ không<br />
hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả:<br />
+ Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách:<br />
- Đặt<br />
f x t t f x<br />
2<br />
( ) ( )<br />
- Ta tạo ra phương trình:<br />
2<br />
mt g x t h x<br />
( ) ( ) 0<br />
Ta có 2 2<br />
g( x) 4 m. h( x) f ( m) x g ( m) x h ( m)<br />
. Để có dạng<br />
Ax ( ) 2<br />
thì điều kiện cần và đủ là<br />
2<br />
<br />
m<br />
g1( m) 4 f1( m). g1( m) 0 m<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình:<br />
1 1 1<br />
a)<br />
2 2<br />
x x x x<br />
1 ( 1) 2 3 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
)<br />
c)<br />
2<br />
2 2x 4 4 2 x 9x<br />
16<br />
2<br />
(2x 7) 2x 7 x 9x<br />
7 (Trích đề TS lớp 10 <strong>Chuyên</strong> Tự nhiên –<br />
ĐHQG Hà Nội 2009)<br />
Giải:<br />
a) Đặt<br />
2 2 2<br />
t x x t x x<br />
2 3 0 2 3<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
2<br />
x x t<br />
1 ( 1) 0<br />
Ta sẽ tạo ra phương trình:<br />
2 2 2<br />
mt x t x m x x<br />
( 1) 1 ( 2 3) 0<br />
(Ta đã thêm vào<br />
2<br />
mt nên phải bớt đi một lượng<br />
Phương trình được viết lại như sau:<br />
2 2<br />
mt x t m x mx m<br />
( 1) (1 ) 2 13 0<br />
2 2<br />
mt m x x<br />
( 2 3) )<br />
2 2<br />
( x 1) 4 m <br />
(1 m) x 2mx 13m<br />
<br />
<br />
Ta mong muốn<br />
2 2 2 2<br />
(4m 4m 1) x (2 8 m ) x 12m 4m<br />
1<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
(Ax B) m<br />
(1 4 m ) (12m 4m 1)(4m 4m 1) 0 m 1<br />
Phương trình mới được tạo ra là: t 2 ( x 1) t 2x<br />
2 0<br />
Ta có<br />
x 6x 9 ( x 3)<br />
2 2<br />
x1 ( x<br />
3)<br />
<br />
t <br />
2<br />
2<br />
Từ đó ta có: <br />
x1 ( x<br />
3)<br />
t x 1<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Trường hợp 1:<br />
t x x x x x <br />
2 2<br />
1 2 3 2 2 1 0 1 2<br />
+ Trường hợp 2:<br />
t x x x x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
1 2 3 1<br />
2 2<br />
x x x x<br />
Phương trình vô nghiệm.<br />
<br />
2 3 2 1<br />
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: x 1<br />
2<br />
b) Điều kiện: 2 x 2<br />
Bình phương 2 vế phương trình và thu gọn ta được:<br />
2 2<br />
9x 16 8 2x 8x<br />
32 0<br />
.<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
8 2x<br />
ta tạo ra phương trình là:<br />
2 2 2<br />
mt t m x x x<br />
16 (8 2 ) 9 8 32 0<br />
2 2<br />
mt t m x x m <br />
16 (9 2 ) 8 8 32 0<br />
2<br />
64 m <br />
(9 2 m) x 8x 8m<br />
32<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
( 2m 9 m) x 8mx 8m 32m<br />
64<br />
Ta mong muốn<br />
2<br />
' ( Ax B)<br />
0<br />
phải có nghiệm kép . Tức là:<br />
m m m m m m m <br />
2 2 2<br />
16 ( 2 9 )(8 32 64) 0 4<br />
Từ đó suy ra phương trình mới là:<br />
<br />
2 2<br />
4t 16t x 8x<br />
0<br />
Tính được:<br />
2 2<br />
' 4x 32x 64 (2x<br />
8) <br />
8 (2x8)<br />
x<br />
<br />
t <br />
4 2<br />
8 (2x8)<br />
x<br />
t 4<br />
4 2<br />
+ Trường hợp 1:<br />
x<br />
x x<br />
0 4 2<br />
<br />
2 2 4(8<br />
2 x ) x 3<br />
2<br />
t 8 2x <br />
x<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Trường hợp 2:<br />
x<br />
x x<br />
8<br />
2 2 4(8 2 x ) ( x<br />
8)<br />
2<br />
t 4 8 2x 4 <br />
VN<br />
2 2<br />
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất<br />
x <br />
4 2<br />
3<br />
c). Đặt 2x7<br />
t ta tạo ra phương trình:<br />
<br />
2 2<br />
mt x t x m x m<br />
2 7 9 2 7 7 0<br />
Làm tương tự như trên ta tìm được m 1. Nên phương trình có dạng<br />
2 2 2 t<br />
x7<br />
2<br />
<br />
t 2x 7 t x 7x 0 2x 7 4 x 7x<br />
49 <br />
t<br />
x<br />
giải theo các trường hợp của t ta tìm được x 1 2 2 là nghiệm của<br />
phương trình.<br />
Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2 2<br />
10x 9x 8x 2x 3x<br />
1 3 0<br />
3 2 3<br />
x 6x 2x 3 (5x 1) x 3 0<br />
4 x 1 1 3x 2 1 x 1<br />
x<br />
2<br />
Lời Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
x <br />
2<br />
Đặt<br />
t x x<br />
2<br />
2 3 1 ta tạo ra phương trình:<br />
2 2<br />
mt xt m x m x m<br />
8 (10 2 ) (3 9) 3 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có<br />
x m <br />
m x m x m<br />
<br />
2 2<br />
16 (10 2 ) (3 9) 3<br />
x m <br />
m x m x m<br />
<br />
2 2<br />
16 (10 2 ) (3 9) 3<br />
2 2 2 2<br />
(2m 10m 16) x (9m 3 m ) x m 3m<br />
Ta cần :<br />
m m m m m m m m <br />
2 2 2 2<br />
(9 3 ) 4(2 10 16)( 3 ) 0 3<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
2<br />
t x<br />
<br />
<br />
t<br />
2x<br />
2 2<br />
3t 8xt 4x<br />
0 3<br />
Trường hợp<br />
1<br />
2 2<br />
x0 x0<br />
2<br />
t x 2x 3x 1<br />
x <br />
<br />
2 2 2<br />
3 3 9(2x 3x 1) 4x 14x 27x<br />
9 0<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
7<br />
<br />
<br />
Trường hợp 2:<br />
2 x<br />
0 1<br />
t 2x 2x 3x 1 2x x <br />
3x<br />
1 0 3<br />
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm:<br />
3 3 1<br />
x , x , x<br />
2 7 3<br />
3 3 2<br />
b) Điều kiện: x 1. Đặt t x 3 0 x t 3 . Do hệ số của<br />
trong phương trình là: 1. Phương trình đã cho trở thành:<br />
2 2<br />
t (5x 1) t 6x 2x<br />
0<br />
3<br />
x<br />
2 2 2 2<br />
(5x 1) 4(6x 2 x) x 2x 1 ( x 1) .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra:<br />
(5x1) ( x1)<br />
<br />
t <br />
2x<br />
2<br />
<br />
(5x1) ( x1)<br />
t 3x<br />
1<br />
2<br />
Trường hợp 1:<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
x<br />
0 3<br />
21<br />
<br />
<br />
<br />
x 4x<br />
3 0 <br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
21<br />
x<br />
( L )<br />
2<br />
3<br />
x 3 2x <br />
x<br />
3 2<br />
Trường hợp 2:<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
<br />
3<br />
x 3 3x 1 3<br />
x<br />
4 2 3<br />
3 2<br />
x x x <br />
x L<br />
9 6 2 0<br />
4 2 3( )<br />
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm:<br />
3<br />
21<br />
x 1, x , x 4 3 2<br />
2<br />
a) Điều kiện: 1<br />
x 1. Ta viết phương trình thành:<br />
4 x 1 2 1 x 3x 1 1 x<br />
2<br />
.<br />
Bình phương 2 vế ta thu được phương trình mới:<br />
16( x 1) 4(1 x) 16 1 x 9x 6x 1 2(3x 1) 1 x 1<br />
x<br />
2 2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
8x 6x 18 (6x 18) 1 x 0<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
1 x ta tạo ra phương trình:<br />
2 2<br />
mt x t m x x m<br />
(6 18) (8 ) 6 18 0<br />
Có<br />
x m <br />
m x x m<br />
<br />
2 2<br />
' (3 9) (8 ) 6 18<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta mong muốn<br />
2 2 2<br />
(9 8 m m ) x (54 6 m) x m 18m<br />
81<br />
<br />
2 2 2 2<br />
( Ax B) '<br />
m<br />
(3m 27) (9 8 m m )( m 18m<br />
81) 0<br />
Từ đó tính được m 8<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
<br />
2<br />
8 t (6x 18) t 6x<br />
10 0<br />
Ta có<br />
Suy ra<br />
' (3x 9) 8(6x 10) (3x<br />
1)<br />
2 2<br />
3x 9 (3x 1) 3x<br />
5<br />
<br />
t <br />
<br />
8 4<br />
<br />
3x 9 (3x1)<br />
t <br />
1<br />
<br />
8<br />
Trường hợp 1:<br />
t x x<br />
2<br />
1 1 1 0 thỏa mãn điều kiện<br />
Trường hợp 2:<br />
3x<br />
5<br />
2 2 2<br />
t 4 1 x 3x 5 16(1 x ) 9x 30x<br />
25<br />
4<br />
16(1 x ) 9x 30x 25 25x 30x 9 0 x <br />
5<br />
Thử lại ta thấy:<br />
2 2 2 3<br />
3<br />
x thỏa mãn phương trình:<br />
5<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm<br />
3<br />
x 0, x <br />
5<br />
Chú ý: Ở bước cuối cùng khi giải ra nghiệm ta phải thử lại vì phép bình<br />
phương lúc đầu khi ta giải là không tương đương.<br />
Ví dụ 4) Giải các phƣơng trình:<br />
a)<br />
2<br />
5 x x 5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
)<br />
4 2<br />
x x x<br />
2 3 3 3 0<br />
<br />
2 2<br />
8x 3x 4x x 2 x 4 4<br />
Giải:<br />
x<br />
5<br />
a) Điều kiện: 2<br />
x<br />
5<br />
<br />
Bình phương 2 vế ta thu được:<br />
2 2 4<br />
5 (2x 1).5 x x 0<br />
Ta coi đây là phương trình bậc 2 của 5 ta có:<br />
(2x 1) 4( x x ) 4x 4x 1 (2x<br />
1)<br />
2 2 4 2 2<br />
Từ đó suy ra<br />
1 2 2<br />
<br />
5 (2x 1 2x 1) x x<br />
2<br />
<br />
1 <br />
2<br />
2 2<br />
5 (2x 1 2x 1) x x 1<br />
Trường hợp 1:<br />
Trường hợp 2:<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1<br />
21<br />
x<br />
<br />
2<br />
x 5 0 <br />
1<br />
21<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
17<br />
x<br />
<br />
2<br />
x 4 0 <br />
1<br />
17<br />
x<br />
<br />
2<br />
Đối chiếu với điều kiện ta có 4 nghiệm đều thỏa mãn phương trình.<br />
b) Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 4<br />
3 (2x 1) 3 x x 0<br />
Ta coi đây là phương trình bậc 2 của<br />
3 ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
(2x 1) 4( x x ) 4x 4x 1 (2x<br />
1)<br />
2 2 4 2 2<br />
Từ đó suy ra<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
3 (2x 1 2x 1) x x 1<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
3 (2x 1 2x 1) x x<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
3 0<br />
1 2<br />
2 2 x x1 3 0<br />
Giải 2 phương trình trên ta thu được các nghiệm của phương trình đã cho<br />
là:<br />
1<br />
1<br />
4 3<br />
x hoặc<br />
2<br />
c) Điều kiện x 4<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
<br />
<br />
1<br />
4 3 3<br />
x <br />
2<br />
x x x x x x<br />
2 2<br />
4 4 2 4 8 2 8 0 . Coi đây là phương trình<br />
bậc 2 ẩn x 4 thì<br />
2 2 2<br />
4x x 2 48x 2x 8 4x x 6<br />
2 2<br />
.<br />
Từ đó suy ra<br />
x 4 2x<br />
<br />
x 4 2x1<br />
Giải 2 trường hợp ta thu được các nghiệm của phương trình là:<br />
1<br />
65<br />
x<br />
<br />
8<br />
3 57<br />
x<br />
<br />
8<br />
Ví dụ 5: Giải các phƣơng trình:<br />
a)<br />
b)<br />
2 2<br />
3( 2x 1 1) x(1 3x 8 2x<br />
1)<br />
2 2<br />
x x x x<br />
3 6 2 1 3 1<br />
Lời Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
3x x 3 (8x 3) 2x<br />
1 0<br />
.<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
2x<br />
1 0 suy ra 2 2<br />
t<br />
2x<br />
1.<br />
Ta tạo ra phương trình:<br />
2 2<br />
mt x t m x x m<br />
(8 3) (3 2 ) 3 0 .<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
2 2<br />
(8x 3) 4 m (3 2 m) x x 3 m <br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
(8m 12m 64) x (48 4 m) x 4m 12m<br />
9 .<br />
Ta cần<br />
2 2 2<br />
' (24 2 ) (8 12 64)(4 12 9) 0 3 .<br />
m<br />
m m m m m m<br />
Phương trình trở thành:<br />
2 2<br />
3 t (8x 3) t 3x x 0<br />
.<br />
Ta có:<br />
2 2 2 2<br />
(8x 3) 12.( 3 x x) 100x 60x 9 (10 x 3) .<br />
Từ đó tính được :<br />
Trường hợp 1:<br />
38 x (10x<br />
3)<br />
<br />
t 3x<br />
1<br />
6<br />
<br />
38 x (10x 3) x<br />
t <br />
<br />
6 3<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
2x 1 3x 1 3 x 0<br />
2<br />
9x<br />
6x0<br />
<br />
Trường hợp 2:<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
x x<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
3 17x<br />
9 0<br />
VN<br />
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 0<br />
b) Điều kiện:<br />
1<br />
x .<br />
2<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
2 2<br />
x 3x 6 3x 1 2x<br />
1 .<br />
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình mới:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
10x 3x 6 2(3x 1) 2x<br />
1 0<br />
Đặt<br />
t<br />
2<br />
2x<br />
1 0 suy ra 2 2<br />
t<br />
2x<br />
1.<br />
Ta tạo ra phương trình:<br />
có<br />
2 2<br />
mt x t m x x m<br />
2(3 1) (10 2 ) 3 6 0 . Ta<br />
x m <br />
m x x m<br />
<br />
2 2<br />
' (3 1) (10 2 ) 3 6 <br />
2 2 2<br />
(2m 10m 9) x (6 3 m) x m 6m<br />
1.<br />
Ta cần<br />
2 2 2<br />
(6 3 ) 4(2 10 9)( 6 1) 0 4 .<br />
m<br />
m m m m m m<br />
Phương trình trở thành:<br />
2 2<br />
4t 2(3x 1) t 2x 3x<br />
2 0<br />
.<br />
Ta có:<br />
2 2 2 2<br />
' (3x 1) 4.(2x 3x 2) x 6x 9 ( x 3) .<br />
Từ đó tính được:<br />
3x 1 ( x 3) x 2<br />
<br />
t <br />
<br />
4 2<br />
<br />
3x 1 ( x 3) 2x<br />
1<br />
t <br />
<br />
4 2<br />
Trường hợp 1:<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
2 2 15<br />
x <br />
x 2 x<br />
2<br />
<br />
7<br />
<br />
<br />
2<br />
2 7x<br />
4x8 0 2 2 15<br />
x<br />
<br />
7<br />
.<br />
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có<br />
điều kiện .<br />
2 2 15<br />
x là thỏa mãn<br />
7<br />
Trường hợp 2:<br />
1<br />
6<br />
1<br />
x <br />
2x<br />
1 x<br />
<br />
<br />
2<br />
.<br />
<br />
4x 4x 5 0 x<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
1 2<br />
2 2<br />
1<br />
6<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có<br />
điều kiện .<br />
1<br />
6<br />
x là thỏa mãn<br />
2<br />
Vậy phương trình có 2 nghiệm là:<br />
2 2 15<br />
x và<br />
7<br />
x <br />
1<br />
6<br />
2<br />
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH<br />
Dấu hiệu:<br />
<strong>Các</strong> bài toán giải được bằng hằng đẳng thức thường có dạng:<br />
3 2<br />
ax bx cx d e fx h px q<br />
<br />
hoặc<br />
3 2 3 3 2<br />
ax bx cx d e px qx rx s<br />
Phương pháp chung để giải các bài toán này là: Đặt<br />
hoặc n 3.<br />
<br />
Đưa phương trình ban đầu về dạng <br />
Ví dụ 1:<br />
n<br />
f x<br />
y với n 2<br />
3 3<br />
m Ax B n Ax B my ny<br />
a)<br />
b)<br />
3 2 3<br />
8x 36x 53x 25 3x<br />
5<br />
3 2 3<br />
8x 13x 7x 2 x 2 3x<br />
3<br />
c) 3 24x 11 16x 2x<br />
1 1 0 .<br />
d)<br />
e)<br />
x<br />
6 6x 4 4<br />
3 3<br />
3 3<br />
x 1<br />
2 2x<br />
1<br />
4x 1 x 3 x 5 2x<br />
2<br />
f) <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải:<br />
3 2<br />
Những phương trình có dạng: <br />
ax bx cx d ex h px q (1)<br />
Hoặc:<br />
3 2 3 3 2<br />
ax bx cx d e px qx rx h<br />
(2)<br />
ta thường giải theo cách:<br />
Đối với (1): Đặt px q y khi đó<br />
đưa về dạng:<br />
2<br />
y p<br />
x thay vào phương trình ta<br />
q<br />
3 2 3<br />
ax bx cx d Ay By . Sau đó biến đổi phương trình<br />
thành: 3 3<br />
. ( ) . ( )<br />
A u x B u x Ay By<br />
Đối với (2): Đặt<br />
3 3 2<br />
g px qx rx h y<br />
sau đó tạo ra hệ tạm:<br />
3 2<br />
<br />
ax bx cx d s.<br />
y<br />
<br />
<br />
g px qx rx h<br />
y<br />
3 3 2 3<br />
cộng hai phương trình ta thu được:<br />
3 2 3<br />
Ax Bx Cx D s.<br />
y y sau đó đưa phương trình về dạng:<br />
<br />
3 3<br />
u( x) s. u( x) y s.<br />
y<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
a) Đặt 3 3x5<br />
y ta có hệ sau:<br />
3 2<br />
8 36 53 25 <br />
x x x y<br />
<br />
3<br />
3x5<br />
y<br />
(I)<br />
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được:<br />
3 2 3<br />
8x 36x 56x 30<br />
y y (*). Ta nghỉ đến việc biến đổi vế trái<br />
thành:<br />
A( x) 3<br />
A( x)<br />
để phương trình có dạng: 3 3<br />
( ) ( )<br />
A x A x y y<br />
Giả sử:<br />
3 2 3<br />
8x 36x 56x 30 (2 x a) (2 x a)<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đồng nhất hệ số của<br />
x<br />
2<br />
a 3<br />
Như vậy phương trình (*) có dạng:<br />
3 3<br />
(2x 3) (2x 3)<br />
y y (1)<br />
Đặt z (2x 3) . Từ phương trình ta suy ra<br />
<br />
3 3 2 2<br />
z z y y z y z zy y 1 0. Do<br />
2<br />
2 2 y 3 2<br />
3 3<br />
z z y y<br />
z zy y 1 z y 1 0, y,<br />
z PT y z<br />
2<br />
4<br />
3 2<br />
y 2x 3 8x 36x 53x 25 2x<br />
3<br />
5<br />
3<br />
x<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
3 2<br />
8x 36x 51x<br />
22 0 4<br />
Qua ví dụ trên ta thấy việc chuyển qua hệ tạm (I) giúp ta hình dung bài<br />
toán được dễ dàng hơn.<br />
b) Đặt 3 x 2 3x 3 y ta thu được hệ phương trình sau:<br />
3 2<br />
<br />
8x 13x 7x 2y<br />
<br />
. Cộng hai phương trình của hệ ta thu được:<br />
2 3<br />
x 3x 3<br />
y<br />
3 2 3 3 3<br />
8x 12x 10x 3 y 2 y (2x 1) 2(2x 1) y 2y<br />
(*)<br />
Đặt z2x 1 ta thu được phương trình:<br />
3 3<br />
z 2z y 2y<br />
<br />
2 2 3 2<br />
z y z zy y z y y x x x x x <br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
16<br />
3 2<br />
8x 13x 3x<br />
2 0 5 89<br />
c) Điều kiện:<br />
2 0 2 1 8 13 7 4 2<br />
1<br />
x . Ta đặt 2x1 a 0 thì phương trình đã cho trở<br />
2<br />
thành: 3 12a 2 1 8a 3 8a 1 0 8a 3 8a 1 3 12a<br />
2 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt 3 12a 2 1 y ta thu được hệ sau:<br />
trình của hệ với nhau ta thu được:<br />
Đặt 2a1 z ta có:<br />
3 3<br />
z z y y .<br />
Tương tự như các bài toán trên ta suy ra z<br />
3<br />
8 8 1<br />
<br />
a a y<br />
<br />
. Cộng hai phương<br />
2 3<br />
12a<br />
1<br />
y<br />
3 3<br />
(2a 1) (2a 1)<br />
y y (*)<br />
y.<br />
Theo (*) ta có<br />
y 2a 1 8a 8a 1 2a 1 a 0 x <br />
2<br />
3 1<br />
Kết luận:<br />
1<br />
x là nghiệm duy nhất của phương trình:<br />
2<br />
d) Đặt y 3<br />
6x 4 ta có hệ sau:<br />
3<br />
x<br />
<br />
4 6y<br />
<br />
3<br />
6x4<br />
y<br />
3 3 2 2<br />
x 6x y 6y x y x xy y 6 0 x y<br />
Thay vào phương trình ta có:<br />
x<br />
2<br />
3 2<br />
<br />
x 6x 4 0 x 2 x 2x 2<br />
0 x<br />
1<br />
3<br />
<br />
x<br />
1<br />
3<br />
e) Đặt y 3<br />
2x 1 ta có hệ:<br />
3<br />
<br />
x 12y<br />
3 3 2 2<br />
x 2x y 2y x yx xy y 2<br />
0 x y<br />
3<br />
2x<br />
y 1<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
1<br />
5<br />
x 2x 1 0 x 1 x x 1 0 <br />
<br />
x <br />
2<br />
<br />
1<br />
5<br />
x <br />
2<br />
3 2<br />
Suy ra <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
f) <br />
4x 1 x 3 x 5 2x<br />
2<br />
5<br />
y<br />
Đặt 5 2x y 0 x thay vào ta có:<br />
2<br />
2<br />
2 5 y <br />
3 3 2 2<br />
4x 1 x 3 y 8x 2x y 2y 2x y4x 2 x. y y 2<br />
0<br />
2 <br />
y x x x<br />
1<br />
21<br />
x<br />
<br />
2<br />
1 21<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 4 2 5 0 <br />
<br />
1<br />
21<br />
x thỏa mãn điều kiện bài toán.<br />
2<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
Thử lại ta thấy chỉ có<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2 2 3<br />
2<br />
7x 13x 8 2 x x(1 3x 3 x )<br />
3x 4x 1 x 2x x<br />
3 2 3 6 3 2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
<br />
3<br />
3<br />
<br />
<br />
x x 2x<br />
<br />
x x<br />
2 <br />
2<br />
Giải:<br />
a) Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình:<br />
Chia hai vế phương trình cho<br />
7 13 8 1 3<br />
23<br />
3.<br />
2 3 2<br />
x x x x x<br />
3<br />
x ta thu được:<br />
1 3<br />
Đặt y 3<br />
2 3<br />
x x ta thu được hệ sau:<br />
7 13 8 <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
x<br />
y<br />
2y<br />
2 3<br />
x x x<br />
1 3 3<br />
3<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Cộng hai phương trình của hệ ta có:<br />
3<br />
8 12 10 3 2 2 3<br />
3 2<br />
<br />
x x x x x<br />
3 y 2y 1 2 1 y 2y<br />
<br />
(*)<br />
2<br />
Đặt z 1 ta thu được:<br />
x<br />
<br />
3 3 2 2<br />
z 2z y 2y z y z yz y 2 0 z y<br />
2 7 13 8 4 8 13 3<br />
y 1 2 2 0 .<br />
2 3 3 2<br />
x x x x x x x x<br />
Suy ra<br />
5 89<br />
x1,<br />
x<br />
4<br />
b) Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai<br />
vế phương trình cho x thì thu được phương trình tương đương<br />
là:<br />
Đặt<br />
1 1<br />
x<br />
x<br />
.<br />
2 3 3<br />
3x 4x x 2<br />
y<br />
1<br />
x<br />
3<br />
3<br />
x 2 ta có hệ sau:<br />
trình của hệ ta có:<br />
3 3<br />
( x 1) ( x 1)<br />
y y .<br />
2 1<br />
3x 4x y<br />
x<br />
<br />
. Cộng hai phương<br />
3 1 3<br />
x 2 y<br />
x<br />
Từ phương trình ta suy ra<br />
y x 1 3x 4x x 1<br />
x<br />
2 1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
3<br />
2 3 2<br />
3x 4x x 1 3x 3x x 1 0 3<br />
.<br />
c) Ta viết lại phương trình thành: 3 3<br />
3 3<br />
x x 16x 4 4x 12x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt<br />
3<br />
3<br />
ta có hệ tạm sau:<br />
3 3<br />
y 4x 12x<br />
x x 16x 4y<br />
<br />
3 3<br />
<br />
4x 12x y<br />
3<br />
Cộng hai vế hệ phương trình ta thu được: <br />
Đặt<br />
3<br />
z x x ta có:<br />
3 3 3<br />
x x 4 x x y 4y<br />
4 4 4<br />
0 3<br />
z z y y z y z yz y<br />
3 3 2 2<br />
<br />
1 3<br />
4 12<br />
x<br />
0<br />
<br />
<br />
0 <br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
3<br />
2 2 2<br />
x x x x <br />
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x 0; x 3<br />
<br />
3 3<br />
x x 4x 12x<br />
PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ<br />
Những kỹ thuật qua trọng để giải phương trình giải bằng phương pháp<br />
đánh giá ta thường sử dụng là:<br />
+ Dùng hằng đẳng thức:<br />
A A .. A 0 A A .. A 0<br />
2 2 2<br />
1 2 n<br />
1 2<br />
n<br />
+ Dùng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, Bất đẳng thức hình<br />
học<br />
+ Dùng phương pháp <strong>khảo</strong> sát hàm số để tìm GTLN,<br />
GTNN :<br />
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:<br />
a)<br />
2<br />
4x 3x 3 4x x 3 2 2x<br />
1<br />
.<br />
b) 13 x1 9 x1 0 .<br />
c) x x <br />
3 x<br />
5 2 2 2 1 1 0 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên<br />
<strong>Toán</strong> Trường chuyên Amsterdam 2014).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d) x 1 2 y 4 3 z 9 x y z<br />
Lời giải:<br />
1<br />
a) Điều kiện x . Ta viết lại phương trình thành:<br />
2<br />
2<br />
4x 4x x 3 x 3 2x 1 2 2x<br />
1 1<br />
0<br />
<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
2 3 2 1 1 0 2 x x 3 <br />
x x x <br />
0 x 1.<br />
2x<br />
1 1 0<br />
b) Điều kiện: x 1. Ta viết lại phương trình thành:<br />
1 9<br />
13 x 1 x 1 9 x 1 3 x 1 0<br />
4 4<br />
1<br />
2 2 x 1<br />
0<br />
1 3 2 5<br />
13 x 1 9 x 1 0 <br />
x <br />
2 2 3 4<br />
x 1 0<br />
2<br />
c) Điều kiện<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x .Ta viết lại phương trình thành:<br />
2<br />
x 0<br />
4 4<br />
<br />
2<br />
5x 2x 1 2 2x 1 1 0 5x 2x<br />
1 1 0 <br />
<br />
Suy ra x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.<br />
d) Điều kiện x 1; y 4; z 9 ta viết lại phương trình thành:<br />
2 x 1 4 y 4 6 z 9 x y z<br />
x 1 2 x 1 1 y 4 4 y 4 4 z 9 6 z 9 9 0<br />
2 2 2<br />
<br />
.<br />
2x<br />
1 1 0<br />
x 1 1 0 x<br />
2<br />
<br />
<br />
x 1 1 y 4 2 z 9 3 0 y 4 2 0 y<br />
8<br />
<br />
<br />
z 9 3 0 z<br />
18<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
16 5 6 4<br />
4 3<br />
x x 3 x<br />
4 2 3<br />
4 3 4 3 16 3 12<br />
x x x x x<br />
2<br />
96x 20x 2 x 8x 1 <br />
3<br />
4 x(8x<br />
1) 0<br />
Giải:<br />
4<br />
a) Vì 16x 5 0 nên phương trình đã cho có nghiệm khi<br />
3 2<br />
1<br />
4x x 0 x(4x 1) 0 x 0 . Để ý rằng khi x thì VT VP<br />
2<br />
nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng xảy ra khi<br />
1<br />
1 3 1 1<br />
x . Mặt khác khi x 4x<br />
x 4. 1 thì Từ những cơ sở<br />
2<br />
2<br />
8 2<br />
trên ta có lời giải như sau: Theo bất đẳng thức Cô si dạng<br />
3<br />
3 abc a b c ta có<br />
3 3 3 3 3<br />
6 4x x 2.3. 4 x x .1.1 2 4x x 11 8x 2x<br />
4<br />
Ta có 3<br />
<br />
Mặt khác ta có:<br />
2<br />
<br />
4 3 4 3 2<br />
16x 5 (8x 2x 4) 16x 8x 2x 1 2x 1 4x 2x<br />
1 0<br />
Suy ra VT<br />
VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
4 x (4x<br />
1) 2<br />
2 2<br />
2(2x 1) (2x 2x<br />
1) 0 1<br />
x <br />
2<br />
Tóm lại: Phương trình có nghiệm duy nhất<br />
1<br />
x <br />
2<br />
4 2<br />
b) Vì 4x x 3x<br />
4 0 nên phương trình đã cho có nghiệm khi<br />
3 2<br />
1<br />
16x 12x 0 4 x(4x 3) 0 x 0 . Để ý rằng khi x thì<br />
2<br />
VT VP nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1<br />
3 1 1<br />
xảy ra khi x . Khi x thì 16x<br />
12x16. 12. 8 . Từ những<br />
2 2<br />
8 2<br />
cơ sở trên ta có lời giải như sau:<br />
3<br />
Theo bất đẳng thức Cô si dạng 3 abc a b c ta có<br />
3 1<br />
4 4<br />
<br />
3 3 3 3 3 3<br />
3 16x 12x 16x 12 x .8.8 16x 12x 8 8 4x 3x<br />
4<br />
Mặt khác ta có:<br />
4 2 3 4 3 2 2 2<br />
4x x 3x 4 (4x 3x 4) 4x 4 x x x (2x<br />
1) 0<br />
.<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
c) Điều kiện: x . Để ý rằng<br />
8<br />
lời giải như sau:<br />
2 2<br />
x<br />
x <br />
(2 1) 0 1<br />
x <br />
2<br />
2 x(4x<br />
3) 2<br />
1<br />
x là nghiệm của phương trình nên ta có<br />
8<br />
2<br />
11 4 x(8x 1) 32x 4x<br />
2<br />
3 3<br />
4 x(8x 1) 1.1.4 x(8x<br />
1)<br />
.<br />
3 3<br />
Mặt khác ta có<br />
2 2 2<br />
2 32x 4x 2 256x 64x 4 4(8x<br />
1)<br />
96x<br />
20x 2 0 .<br />
3 3 3<br />
2 3<br />
Suy ra 96x 20x 2 x 8x 1 4 x(8x<br />
1) 0 .<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
x <br />
8<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
1 1 2<br />
<br />
4<br />
2x1 4x3<br />
x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
)<br />
1 1 1 1 <br />
3 <br />
x 2x 1 4x 1 5x<br />
2 <br />
4x1 5x2<br />
x 2x1 <br />
3 3<br />
c)<br />
4 4 4 4<br />
d)<br />
2 2<br />
x x x x <br />
4 21 3 10 2<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
1<br />
x .<br />
2<br />
Phương trình đã cho có thể viết lại như sau:<br />
x<br />
<br />
x<br />
4<br />
2x1 4x3<br />
2<br />
.<br />
x<br />
+ Ta chứng minh: 1. Thật vậy bất đẳng thức tương đương với<br />
2x<br />
1<br />
2 2<br />
x 2x 1 ( x 1) 0 . Điều này là hiển nhiên đúng.<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1<br />
x<br />
Ta chứng minh:<br />
4<br />
1. Thật vậy bất đẳng thức tương đương với<br />
4x<br />
3<br />
4 4 2 2<br />
x x x x x x x x<br />
4 3 4 3 0 ( 2 1)( 2 3) 0<br />
<br />
2 2<br />
( x 1) ( x 2x<br />
3) 0<br />
Điều này là hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1<br />
Từ đó suy ra VT 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1<br />
b)<br />
1 1 1 1 <br />
3 <br />
x 2x 1 4x 1 5x<br />
2 <br />
Ta thấy rằng: 4x 1 x x 2x 1;5 x 2 x 2x 1 2x<br />
1<br />
Theo bất đẳng thức cô si ta có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 <br />
x x 2x<br />
1 9<br />
x x 2x<br />
1<br />
1 1 1 9<br />
<br />
x x 2x 1 x x 2x<br />
1<br />
Mặt khác ta có<br />
<br />
<br />
2<br />
( x x 2x 1) 3(4x 1) x x 2x 1 3(4x<br />
1)<br />
(Theo<br />
bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 3 số)<br />
Từ đó suy ra:<br />
2 1 3 3<br />
<br />
x 2x 1 4x<br />
1<br />
Tương tự ta cũng có:<br />
1 2 3 3<br />
<br />
x 2x 1 5x<br />
2<br />
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta có:<br />
3 3 3 3 3 3<br />
<br />
x 2x 1 4x 1 5x<br />
2<br />
1 1 1 1 <br />
3 <br />
x 2x 1 4x 1 5x<br />
2 .<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1<br />
c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng:<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
(ax by cz) ( a b c )( x y z )<br />
ta có:<br />
2<br />
<br />
4 x 4 x 4 2 x 1 1 1 1 x x 2 x 1<br />
<br />
<br />
4 x 4 x 4 2 x 1 3 x x 2 x 1<br />
.<br />
Lại có x x 2x 1 3(4x<br />
1) suy ra<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x x 2x 1 3 3(4x 1) 27(4x<br />
1)<br />
4 4 4 4<br />
(1)<br />
Tương tự: 4 x 4 2x 1 4 2x 1 3 3(5x 2) <br />
4<br />
27(5x<br />
2)<br />
(2)<br />
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều (1), (2) ta có:<br />
<br />
<br />
4 4<br />
3 x 2x 1 <br />
4<br />
27(4x 1) <br />
4<br />
27(5x<br />
2)<br />
4 4<br />
4x1 5x2<br />
x 2x1 4 4<br />
3 3<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1.<br />
c) Ta có<br />
VT ( x 3)(7 x) ( x 2)(5 x)<br />
<br />
x 11<br />
( x 3)(7 x) ( x 2)(5 x)<br />
Điều kiện xác định là 2 x 5<br />
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:<br />
1 1 x <br />
( x 3)(7 x) (2x 6)(7 x) (2x 6) (7 x)<br />
<br />
13<br />
2 2 2 2 2<br />
và<br />
1 1 x <br />
( x 2)(5 x) (2x 4)(5 x) (2x 4) (5 x)<br />
<br />
9<br />
2 2 2 2 2<br />
Như vậy:<br />
1<br />
( x 3)(7 x) ( x 2)(5 x) ( x 11)<br />
2<br />
x 11<br />
Từ đó ta suy ra: VT <br />
( x 3)(7 x) ( x 2)(5 x)<br />
(2x6) (7 x) 1<br />
xảy ra khi và chỉ khi: <br />
x <br />
(2x<br />
4) (5 x) 3<br />
<br />
2 . Dấu bằng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy<br />
1<br />
x là nghiệm duy nhất của phương trình:<br />
3<br />
Ví dụ 4: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a) 3x 2 1 x 2 x x x 2 1 7x 2 x 4<br />
1<br />
2 2<br />
17 1<br />
2 2<br />
b) 13x 2 6x 10 5x 2 13x 17x 2 48x 36 36x 8x<br />
2 21<br />
c)<br />
2 2 2<br />
x x x x x x<br />
1 1 2<br />
Giải:<br />
Điều kiện:<br />
x 1 x <br />
1<br />
3<br />
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai bộ số 1;1; x<br />
và<br />
<br />
2 2 2<br />
3x 1; x x; x 1<br />
<br />
ta có: VT (*) x 2 25x 2 x<br />
xảy ra khi và chỉ khi x 1. Do<br />
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:<br />
2 2<br />
5x x x 2<br />
. Dấu “=”<br />
1<br />
2<br />
x 1 x nên 5x<br />
x<br />
0<br />
3<br />
1 1<br />
VP <br />
2 2 <br />
x x x<br />
<br />
x x x<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
(*) 5 2 1 .2 5 2 2<br />
<br />
Dấu “=” xảy ra khi x 1 và<br />
x 1<br />
b) Ta có:<br />
4<br />
x . Từ đó ta có nghiệm của PT(*) là:<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
2 2 2<br />
5 3<br />
VT x x x x x x <br />
2 2<br />
2<br />
3 1 2 3 2 4 6<br />
5<br />
3x 1 2x x<br />
2<br />
5 3 3<br />
VT 3x 1 2x x 6x 6x<br />
.<br />
2 2 2<br />
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi<br />
3<br />
x . Mặt khác ta cũng có:<br />
2<br />
1 2<br />
1 2 1 3<br />
VP 12 x 3 24x 12x 9<br />
12 x 3 22x 3 12x 3<br />
6x<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi<br />
trình là<br />
3<br />
x <br />
2<br />
3<br />
x . Từ đó ta có nghiệm của phương<br />
2<br />
c) Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
2<br />
2 2 1 2 x x<br />
x x 1 1( x x 1) 1 ( x x 1) <br />
2<br />
<br />
2<br />
2 x<br />
1<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 ( x x1)<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2 2 1 2 x<br />
x<br />
2<br />
x x 1 1( x x 1) 1 ( x x 1) <br />
2<br />
<br />
2<br />
2 x<br />
1<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 ( x<br />
x1)<br />
<br />
x<br />
0<br />
2 2<br />
x x x x 2<br />
Từ đó suy ra VT ( x 1) .<br />
2 2<br />
.<br />
Mặt khác ta có<br />
2 2<br />
x x 2 ( x 1) ( x 1) 0 .<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x 1.<br />
Ví dụ 5: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
14 x x 2(1 x 2x<br />
1)<br />
3 3 2<br />
b) x x x 12 12( 5 x 4 x)<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
x<br />
2<br />
2x1<br />
0<br />
Phương trình đã cho tương đương với: 3 14 x 3 2 x 2 2x 1 2 x<br />
Do<br />
2<br />
2 x 2x<br />
1 0<br />
14 x 2 x<br />
3 3<br />
nên từ phương trình ta cũng suy ra:<br />
3 3 2<br />
Lập phương 2 vế ta thu được: 14 x (2 x) 6( x 2x<br />
1) 0<br />
Như vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
x 2x1 0 <br />
x 1<br />
2<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là: x 1 2 và x 1<br />
2<br />
b) Điều kiện: 0x<br />
4.<br />
Xét f ( x) x x x 12 trên 0;4 Dễ thấy<br />
12 f (0) f ( x) f (4) 12 VT<br />
12 (1)<br />
Xét g( x) 5 x 4 x trên 0;4 ta có<br />
Dễ thấy 1 g(4) g( x) g(0) 5 . Suy ra VP 12 (2)<br />
Từ (1), (2) suy ra phương trình có nghiệm khi VT VP 12 x 4 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC<br />
1) Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phƣơng trình một ẩn.<br />
+ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức f( x )<br />
để đặt f ( x)<br />
t sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn t .<br />
Những bài toán dạng này nói chung là dễ.<br />
+ Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có<br />
sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc<br />
phương trình ta có thể chia cho gx ( ) phù hợp (thông thường ta chia cho<br />
k<br />
x với k là số hữu tỷ)<br />
+ Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới<br />
phức tạp như: <strong>Số</strong> mũ cao, căn bậc cao .. thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt<br />
nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức<br />
để giải toán.<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
2<br />
x x x x<br />
(1 )(2 3 3)<br />
b)<br />
d)<br />
2 3<br />
x x 4 x 2 x<br />
2 1<br />
c)<br />
x 2x x 3x<br />
1.<br />
x<br />
2 1<br />
2<br />
x 1 x 4x 1 3 x<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện: x 0 . Phương trình đã cho có thể viết lại như sau:<br />
2 2 2<br />
x (1 x) 2x 3(1 x) <br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x(1 x) 3(1 x)<br />
. Ta thấy<br />
2<br />
x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia hai vế cho x thì<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
x 1<br />
x <br />
thu được: 1 2 3<br />
x x <br />
. Đặt 1 x t ta có phương trình<br />
x<br />
t<br />
1<br />
2<br />
theo t : 3t<br />
2t1 0 <br />
<br />
1<br />
t <br />
3<br />
Trường hợp 1: t 1 ta có: 1 x<br />
1 x x 1 0( VN)<br />
x<br />
Trường hợp 2:<br />
1<br />
t ta có:<br />
3<br />
3<br />
21<br />
x ( L )<br />
1<br />
x 1<br />
<br />
2<br />
15 3 21<br />
x 3 x 3 0 <br />
x <br />
x 3 3<br />
21<br />
2<br />
x <br />
2<br />
2<br />
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất:<br />
15 3 21<br />
x <br />
2<br />
b) Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Vì vậy ta chia hai<br />
vế cho x thì thu được: x 1 1 1 1<br />
3 x 2 x 3 x 2 0<br />
x x x x<br />
1<br />
Đặt t 3 x ta thu được phương trình:<br />
x<br />
1 1<br />
5<br />
<br />
x<br />
2<br />
3 2<br />
t t 2 0 t 1 x 1 x x 1 0 x<br />
Kết luận: Phương trình có nghiệm<br />
1<br />
5<br />
x <br />
2<br />
x<br />
0 0 x 2 3<br />
c) Điều kiện: <br />
<br />
.<br />
2<br />
x 4x1 0 <br />
x 2<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho<br />
x ta thu được:<br />
1 1<br />
x x 4 3<br />
x<br />
x<br />
. Đặt<br />
1 2 1 2<br />
t x t x theo bất đẳng thức Cô si ta có t 2 . Thay<br />
x x<br />
vào phương trình ta có:<br />
t<br />
3 5<br />
<br />
t 6 t 6t<br />
9 2<br />
2<br />
t 6 3 t t<br />
2 2<br />
x<br />
4<br />
25 1 2 4<br />
2<br />
x x 17 x 4 0 <br />
1<br />
<br />
4 x<br />
x <br />
4<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm:<br />
1<br />
x4,<br />
x<br />
4<br />
d). Nhận xét: x 0 không phải là nghiệm của phương trình:<br />
Ta chia hai vế cho x khi đó phương trình trở thành:<br />
1 1<br />
x 2 x 3 0<br />
x<br />
x<br />
. Đặt 1<br />
t x 0 phương trình trở thành:<br />
x<br />
1 1<br />
5<br />
<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
t 2t 3 0 t 1 x 1 x x 1 0 x<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
2<br />
(13 4 x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x<br />
15<br />
b) 7 3x 7 (4x 7) 7 x 32 .<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện 3 x 5 .<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình được viết lại như sau:<br />
<br />
<br />
7 2 x 3 5 2 x 2 (2 x 3) 2 x 3 (5 2 x ) 5 2 x <br />
<br />
<br />
Đặt<br />
2 8 (5 2 x)(2x<br />
3)<br />
2<br />
t 2<br />
t 2x 3 5 2 x (5 2 x)(2x<br />
3) . Điều kiện<br />
2<br />
<br />
<br />
2t<br />
2 .<br />
Phương trình đã cho có dạng: t 3 4t 2 t 6 0 t 2 x 2<br />
Ngoài ra ta cũng có thể giải phương trình trên bằng cách đưa về hệ.<br />
b) Điều kiện: 7 x 7 .Phương trình đã cho được viết lại như sau:<br />
3<br />
1 3 1 3 <br />
<br />
(3x 7) (7 x) 3x 7 (7 x) (3x 7) 7 x 32<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
(3x 7) (7 x) 3x 7 (7 x) (3x 7) 7 x 64<br />
<br />
Đặt t 3x 7 7 x<br />
<br />
3<br />
t (3x 7) 3x 7 (7 x) 7 x 3 (3x 7)(7 x) 3x 7 7 x<br />
<br />
<br />
Từ phương trình suy ra t<br />
3 64 t 4 . Hay 3x 7 7 x 4<br />
Bình phương 2 vế ta thu được:<br />
2 11<br />
2 2<br />
(3x 7)(7 x) 8 x 4x 44x 113 0 x <br />
2<br />
Tại sao ta phân tích đƣợc hai phƣơng trình nhƣ trên:<br />
Ta thấy với những phương trình:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
( ax b) cx d ( ex h) gx k r ( cx d)( gx k) s 0 thì một<br />
trong những cách xử lý khá hiệu quả là:<br />
Phân tích: ax b m( cx d) n( gx k)<br />
và<br />
ex h m'( cx d) n'( gx k)<br />
sau đó ta có thể đặt ẩn phụ trực tiếp ,<br />
hoặc đặt hai ẩn phụ để quy về hệ.<br />
Ví dụ:<br />
Khi giải phƣơng trình:<br />
2<br />
(13 4 x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x<br />
15<br />
ta thực hiện<br />
các phân tích :<br />
+ Giả sử:13 4 x m(2x 3) n(5 2 x)<br />
.<br />
Đồng nhất hai vế ta suy ra:<br />
2m<br />
2n 4 3 7<br />
m , n<br />
3m<br />
5n<br />
13 2 2<br />
+ Tương tự ta giả sử:<br />
7 3<br />
(4x 3) m(2x 3) n(5 2 x) m , n<br />
<br />
2 2<br />
Khi giải phƣơng trình: 7 3x 7 (4x 7) 7 x 32 .<br />
Ta thực hiện phân tích: m(3x 7) n(7 x) 7 và<br />
p(3x 7) q(7 x) 4x<br />
7 Sau đó đồng nhất 2 vế để tìm m, n, p, q ta<br />
1 3 3 1<br />
có: m ; n ; p ; q <br />
2 2 2 2<br />
Như vậy ngoài cách đặt ẩn phụ như trên ta có thể giải các bài toán theo<br />
cách khác như sau:<br />
a) Điều kiện 3 x 5 .<br />
2 2<br />
Đặt a 2x 3, b 5 2x<br />
thì<br />
Từ cách phân tích trên ta có hệ sau:<br />
a<br />
b<br />
2 .<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 ( ) 2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
a b a b ab<br />
2 2 2 2 3<br />
(3a 7 b ) a (3b 7 a ) b 4 16ab 3( a b) 2 ab( a b) 16ab<br />
4 0<br />
2<br />
<br />
( a b) 2ab<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 2<br />
3( a b) 2 ( a b) ( a b) 8 2 ( a b) 4 0<br />
Đặt a b S,<br />
ab P điều kiện<br />
2<br />
S, P 0; S 4P<br />
.<br />
Ta có hệ mới sau:<br />
2<br />
<br />
S 2P 2 S<br />
2<br />
a b 1 x 2<br />
3 2<br />
<br />
<br />
2S 8S 2S<br />
12 0 P<br />
2<br />
b) Đặt a 3x 7, b 7 x ta có hệ phương trình<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
a b 64 a<br />
b 4<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
a<br />
3b<br />
14. a 3b<br />
14.<br />
Giải hệ phương trình ta thu được: a,<br />
b x .<br />
2) Đặt ẩn phụ hoàn để quy về hệ đối xứng loại 2:<br />
Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình dạng:<br />
2<br />
ax bx c d ex h hoặc<br />
3 2<br />
ax bx cx d e<br />
3<br />
gx h<br />
Với mục đích tạo ra các hệ đối xứng hoặc gần đối xứng ta thường làm<br />
theo cách:<br />
Đối với những phƣơng trình dạng:<br />
Ta đặt my n ex h thì thu được quan hệ:<br />
2<br />
ax bx c d ex h .<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
( ) ax 0<br />
<br />
2 <br />
2 0<br />
2 2<br />
ax bx c d my n bx dmy c dn<br />
2 2 2 2 2 2<br />
m y mny n ex h m y mny ex n h<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta mong muốn có quan hệ x<br />
y. Nếu điều này xảy ra thì từ hệ trên ta sẽ<br />
a b dm c dn<br />
có: (*) .<br />
2 2<br />
m 2mn n h<br />
Công việc còn lại là chọn mn , chẵn thỏa mãn (*)<br />
Đối với những phƣơng trình dạng:<br />
3<br />
Ta đặt: my n gx h thì thu được hệ:<br />
3 2<br />
ax bx cx d e<br />
3<br />
gx h<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
<br />
ax bx cx d e( my n)<br />
<br />
<br />
3 3 2 2 2 2 3<br />
m y 3m ny 3mn y n gx h<br />
3 2<br />
ax bx cx emy d en <br />
3 3 2 2 2 2 3<br />
m y m ny mn y gx n h<br />
3 3 0<br />
0<br />
a b c<br />
Để thu được quan hệ x y ta cần: em d en<br />
<br />
3 2 2 3<br />
m 3m n 3mn g n h<br />
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
2 2 37<br />
b) 4x 1 9x 26x<br />
0<br />
3 3<br />
2<br />
2x 6x 1 4x<br />
5<br />
c)<br />
3 3 2<br />
3x 5 8x 36x 53x<br />
25<br />
d)<br />
3<br />
3 2<br />
27 81x 8 27x 54x 36x<br />
54<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
5<br />
x . Đặt my n 4x<br />
5 khi đó ta có hệ:<br />
4<br />
2 2<br />
2 x 6x 1 my n 4 x 12x 2my 2 2n<br />
0<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
m y 2mny n 4x 5 m y 2mny 4x n 5 0<br />
Ta cần tìm mn , để tạo ra quan hệ x<br />
4 12 2m<br />
2 2n<br />
y <br />
2 2<br />
m 2mn 4 n 5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chọn<br />
22n<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n 5 n<br />
2n 3 0<br />
m 2 <br />
n 3<br />
16 4n<br />
12<br />
1<br />
<br />
<br />
4n<br />
4<br />
Chú ý:<br />
2<br />
Việc nhân số 2 vào phương trình (1) của hệ để tạo ra 4x<br />
12x 1 là rất<br />
2<br />
cần thiết để chọn m được chẵn và nhóm 4x<br />
12x 2 thành bình<br />
phương biểu thức bậc 2 được dễ hơn.<br />
Từ đó ta có lời giải cho bài toán như sau:<br />
Đặt 2y3 4x 5 thì thu được hệ:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4x 12x 2 2(2y 3) (2x 3) 4y<br />
5<br />
2 2<br />
(2y 3) 4x 5 (2y 3) 4x<br />
5<br />
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có:<br />
2 2<br />
(2x 3) (2y 3) 4( y x) 2( x y)(4x 4y<br />
4) 0<br />
Trường hợp 1:<br />
x y 2x 3 <br />
2<br />
(2x 3) 4x<br />
5<br />
<br />
4x 5 3 x 2 <br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
Trường hợp:<br />
.<br />
x<br />
y<br />
<br />
x<br />
y 2<br />
2<br />
(1 2 x) 4x<br />
5<br />
<br />
y 2 x 2(2 x) 3 4x 5 1 x 1<br />
2<br />
x<br />
<br />
2<br />
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là: x 2 3, x1<br />
2<br />
b) Điều kiện:<br />
1<br />
x .<br />
4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình đã cho được viết lại như sau:<br />
2 47 2<br />
9x 26x 4x<br />
1<br />
3 3<br />
Đặt my n 4x<br />
1<br />
37 2 2 37 2<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 3 3 3<br />
2 2 2 2 2 2<br />
m y 2mny n 4x 1 <br />
m y 2mny 4x n 1 0<br />
2 2<br />
9x 26 x ( my n) 9x 26x my n 0<br />
2 37 2<br />
26<br />
m n<br />
9<br />
Ta cần: 3 3 3 . Chọn<br />
2 2<br />
m 2mn 4 n 1<br />
28<br />
<br />
1<br />
6n<br />
4<br />
<br />
m 3 37 2 n 4<br />
n<br />
3 3<br />
1<br />
2<br />
n 1<br />
Đặt 3y 4 4x1<br />
<br />
Hệ phương trình sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3x 4 = 2x + 2y + 1 <br />
3y 4 = 4x + 1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3y 4 = 4x + 1 x y 9x + 9y 22 = 0<br />
2<br />
3y 4 = 4x + 1<br />
<br />
x = y<br />
<br />
9x + 9y 22 = 0<br />
Giải phương trình ứng với 2 trường hợp trên ta thu được các nghiệm là<br />
14 61<br />
x và<br />
9<br />
12 53<br />
x <br />
9<br />
Chú ý: Ta có thể tìm mn , nhanh hơn bằng cách:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Đặt my n 4x<br />
5 khi đó ta có hệ:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
( my n) 4x<br />
5<br />
2<br />
(2x 3) 2( my n) 11<br />
Trừ hai phương trình cho nhau:<br />
2 2<br />
(2x 3) ( my n) 2my 4x 2n<br />
6<br />
Để có quan hệ: x<br />
y ta cần:<br />
Tương tự khi giải quyết câu b).<br />
d) Đặt my n 3<br />
3x<br />
5 ta có hệ sau:<br />
2my<br />
4x<br />
m 2; n 3.<br />
2n<br />
6 0<br />
3 2<br />
<br />
8x 36x 53x my n 25 0<br />
<br />
3 3 2 2 2 3<br />
m y 3m ny 3mn y 3x n 5 0<br />
3<br />
3 2<br />
3x 5 8x 36x 53x<br />
25<br />
8 -36 53- m -n- 25<br />
Ta chọn mn , sao cho m 2, n 3<br />
3 2 2 3<br />
m 3m n 3mn -3 n 5<br />
3<br />
Đặt 2y3 3x 5 . Ta có hệ phương trình sau:<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
(2y 3) 3x<br />
5<br />
3<br />
(2x 3) 2y 3 x 2<br />
Trừ hai phương trình cho nhau ta thu được:<br />
3 3<br />
(2x 3) (2y 3) 2y 2x<br />
x y <br />
x x y y <br />
x y<br />
2 2<br />
2( ) (2 3) (2 3)(2 3) (2 3) 1 0 <br />
Do<br />
2 2<br />
(2x 3) (2x 3)(2 y 3) (2y<br />
3) 1<br />
2y<br />
3 <br />
3<br />
2<br />
(2x 3) 2y 3<br />
1 0<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
2<br />
Giải x y ta có: 2 3 2<br />
2x 3 3x 5 8x 36x 54x 27 3x<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x<br />
2<br />
2<br />
x 28x 20x<br />
11<br />
0 <br />
5<br />
3<br />
x <br />
4<br />
Kết luận: Phương trình đã cho có 3 nghiệm: x 2 ,<br />
5<br />
3<br />
x <br />
4<br />
d) Ta viết lại phương trình thành:<br />
3<br />
3<br />
27 81x 8 (3x 2) 46<br />
3<br />
Đặt 3y 2 81x 8 ta có hệ phương trình:<br />
<br />
<br />
3<br />
y x<br />
3 2 81 8<br />
<br />
3<br />
3x 2<br />
27(3y 2) 46<br />
3<br />
x<br />
y <br />
<br />
x <br />
3 2 81 8<br />
.<br />
3<br />
3 2 81x<br />
8<br />
3 3<br />
Trừ hai phương trình của hệ ta thu được: <br />
<br />
3x 2 3y 2 81( y x)<br />
2 2<br />
3( x y) 3x 2 3x 2 3y 2 3y 2 27 0 x y .<br />
<br />
<br />
Thay vào ta được:<br />
x<br />
0<br />
3x 2 27(3x 2) 46 27x 54x 33x<br />
0 <br />
<br />
3<br />
2 5<br />
x <br />
3<br />
3 3 2<br />
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là: x 0 ,<br />
Chú ý:<br />
+ Với những phƣơng trình dạng: <br />
3<br />
2 5<br />
x <br />
3<br />
f ( x) b a<br />
n<br />
af ( x)<br />
b (*)<br />
Bằng phép đặt t f ( x); y <br />
n<br />
af ( x)<br />
b ta có hệ đối xứng loại 2 là:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
t b ay<br />
n<br />
y b at<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
n
+ Trong phƣơng trình (*) nếu ta thay a, b bởi các biểu thức chứa x thì<br />
cách giải phương trình vẫn như trên. Những phương trình dạng này<br />
thường có hình thức và lời giải khá đẹp.<br />
* Ta xét ví dụ sau:<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
b)<br />
2 2<br />
4x 11x 6 ( x 1) 2x 6x<br />
6<br />
3 3 2<br />
8x 13x 7 ( x 1) 3x<br />
2<br />
.<br />
Giải:<br />
a) Ta viết lại phương trình thành:<br />
2<br />
(2x 3) x 3 ( x 1) ( x 1)(2 x 3) ( x 3)<br />
Đặt a 2x 3, b ( x 1)(2 x 3) ( x 3) ta thu được hệ sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
a x 3 ( x 1) b<br />
2<br />
b x 3 ( x 1)<br />
a<br />
. Trừ hai phương trình của hệ ta được:<br />
2 2<br />
a b x b a a b a b x<br />
( 1)( ) ( )( 1) 0<br />
Trường hợp 1:<br />
3<br />
3<br />
3 x ( L)<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
a b x x x <br />
Trường hợp 2:<br />
2<br />
2 3 2 6 6 2<br />
2<br />
<br />
2x 6x 3 0<br />
3<br />
3<br />
x ( TM )<br />
2 2<br />
2 3 2 6 6 3 0 2 6 6 3<br />
x x x x x x x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
7x<br />
30x 36 0<br />
<br />
( VN)<br />
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:<br />
3<br />
3<br />
x <br />
2<br />
b) Ta viết lại phương trình thành:<br />
3 2 3<br />
2<br />
(2x 1) ( x x 1) ( x 1) ( x 1)(2 x 1) x x 1<br />
Đặt<br />
a x b x x x x x<br />
3<br />
2 3<br />
2 1, ( 1)(2 1) 1 3 2 2 ta thu được hệ<br />
3 2<br />
<br />
a ( x x 1) ( x 1)<br />
b<br />
phương trình: <br />
. Trừ hai phương trình của hệ<br />
3 2<br />
b ( x x 1) ( x 1)<br />
a<br />
2 2<br />
cho nhau ta thu được: ( a b)( a ab b x 1) 0<br />
Trường hợp 1: a<br />
b ta có:<br />
x<br />
1<br />
<br />
x <br />
8<br />
3 2 3 2<br />
2x 1 3x 2 8x 15x 6x<br />
1 0 1<br />
Trường hợp 2:<br />
2<br />
2 2 b 3<br />
2<br />
a ab b x 1 0 a (2x 1) x 1<br />
0<br />
2<br />
4<br />
2<br />
b 2 2<br />
4 a 4x 2(2x 1) 5 0( VN)<br />
<br />
2 <br />
Tóm lại phương trình có 2 nghiệm là<br />
1<br />
x1,<br />
x .<br />
8<br />
3) Một số cách đặt ẩn phụ khác:<br />
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
b)<br />
x<br />
6 x 6 6<br />
3 3 3<br />
2 2 2<br />
2( x x 1) 2x 2x 3 4x<br />
5 0<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải:<br />
a) Đặt<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
x 6 z <br />
z x 6<br />
<br />
3<br />
z6<br />
y <br />
y z<br />
6<br />
Mặt khác với các phép đặt ẩn phụ trên, từ phương trình trong đầu bài, ta<br />
3<br />
có x y 6 0.<br />
Như vậy ta được hệ phương trình:<br />
3<br />
x<br />
y<br />
<br />
y<br />
<br />
z<br />
3<br />
3<br />
6<br />
z6<br />
x6<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
Nhìn thấy hệ trên không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,<br />
z<br />
nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết x max x, y,<br />
z<br />
số lớn nhất trong 3 số x, y,<br />
z hay x y,<br />
x z )<br />
( x là<br />
Nếu x<br />
y, từ (1) và (2) suy ra<br />
3 3<br />
y 6 x y z 6 y z<br />
3 3<br />
Khi đó từ (2), (3) suy ra y 6 x y x 6 z x . Mâu thuẫn với<br />
giả thiết x z ở trên. Do đó phải có x y.<br />
Với x<br />
y, từ (1) và (2) suy ra y z<br />
Vậy x y z<br />
Phương trình (1) trở thành:<br />
(4)<br />
x<br />
3<br />
x 6 0 hay x 2x 2 2x<br />
3<br />
0<br />
Vì x 2 x x<br />
2<br />
2 3 1 2 0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất x 2 .<br />
b) Đặt<br />
2<br />
y x x<br />
1 khi đó phương trình đưa về<br />
2<br />
<br />
1 <br />
2 2 1 3 5 4 5 4 x<br />
y y x y 2 y 1<br />
<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt<br />
1<br />
5 4x<br />
z điều kiện<br />
2<br />
1<br />
z .<br />
2<br />
Ta có<br />
2 2<br />
2 1 5 4 4 4 1 5 4 1<br />
z x z z x z z x .<br />
Do đó ta có hệ phương trình:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x 1 y<br />
2<br />
y y 1<br />
z<br />
2<br />
z z 1<br />
x<br />
(*)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x 1 y 1<br />
<br />
y y 1 z 1.<br />
<br />
z z 1 x 1<br />
Do điều kiện<br />
1<br />
z y 1 z 1.<br />
2<br />
Nhân các phương trình theo vế rồi rút gọn được xyz 1.<br />
Mặt khác từ hệ phương trình (*), cộng các phương trình vế theo vế ta có:<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
3<br />
xyz xyz<br />
3 1.<br />
Do đẳng thức xảy ra nên phải có<br />
x, y, z 1).<br />
2 2 2<br />
x y z x y z<br />
1 1 (vì<br />
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
b)<br />
2 4 3 2<br />
2x 4x 7 x 4x 3x 2x<br />
7<br />
4 1 5<br />
x x 2x<br />
<br />
x x x<br />
c) 6 2 x 6 2 x<br />
<br />
8<br />
5x<br />
5x<br />
3<br />
b) 2(5x 3) x 1 5( x 1) 3 x 3(5x<br />
1)<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
<strong>Các</strong>h 1: Biến đổi pt như sau:<br />
2<br />
<br />
2 2 2<br />
4 2x 4x 7 2x 4x 7 16 2x 4x<br />
7 35<br />
(1)<br />
Đặt<br />
2<br />
2 4 7<br />
x x a (với a 5 ), ta có:<br />
2 2<br />
<br />
4 2 2 2 2<br />
4a a 16a 35 a 6 2a 1 a 2a 7 a 2a<br />
5 0(*)<br />
Với a 5 thì<br />
a<br />
2<br />
2a 5 0 , nên từ (*) suy ra a<br />
2<br />
2a 7 0 , phương<br />
trình này có 2 nghiệm là a 1 2 2 . Đối chiếu với điều kiện a 5<br />
chỉ chọn được a 1 2 2 .<br />
Khi đó x <br />
2 x x 2 x<br />
2 4 7 1 2 2 2 1 2 2 0 (**)<br />
Phương trình (**) có 2 nghiệm là 1 2 2 2 . Vậy tập nghiệm của<br />
PT đã cho là 1 2 2 2 .<br />
2 4 2<br />
<strong>Các</strong>h 2: Biến đổi PT về dạng: x x x <br />
2 1 5 1 3 1 5<br />
Đặt x 1 2 u; 2x 1 2<br />
5 v, u 0; v 5<br />
. Ta có hệ:<br />
u<br />
v1<br />
0<br />
2 2 2<br />
u 3u 5 v u u v v <br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
v u <br />
2u 5 v 2u 5 v <br />
2 5<br />
2<br />
Dẫn đến u 4u 4 0 , PT này có 2 nghiệm 2 2 2 . Do u 0 nên<br />
chọn u 2 2 2 . Từ đó suy ra kết quả như cách 1.<br />
b) Điều kiện trên ta được:<br />
5<br />
x hoặc 1 x 0 (*).<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình (1) tương đương:<br />
1 5 4<br />
x 2x x <br />
x x x<br />
Đặt<br />
(1)<br />
1 5<br />
u x ; v 2x<br />
x<br />
x<br />
với u 0; v 0 . Ta được:<br />
4<br />
u v x <br />
x<br />
Lại có<br />
2 2 5 1 4<br />
v u 2x x x <br />
x x x<br />
(2)<br />
Từ (1) và (2) suy ra: v 2 u 2 u v u vu v <br />
1 0. Vì<br />
4<br />
2 x<br />
2<br />
u v1 0 nên uv0<br />
x 0 x 4 x<br />
<br />
x<br />
2<br />
Thử lại thấy nghiệm x 2 không thỏa mãn điều kiện , nghiệm x 2<br />
thỏa mãn phương trình.<br />
c) Điều kiện: 5 x 5.<br />
Đặt: a = 5 + x; b = 5- x (a,b > 0).<br />
Khi đó ta có:<br />
2 2<br />
6 2x 2b 4; 6 2x 2a<br />
4<br />
Khi đó ta có:<br />
2 2<br />
2b 4 2a 4 8 2 2 8<br />
+ = (2b 4)a + (2a 4)b = ab<br />
a b 3 3<br />
8<br />
2ab(a + b) 4(a + b) = ab<br />
3<br />
Từ đó ta có hệ phương trình:<br />
<br />
8 <br />
8<br />
2ab(a + b) 4(a + b) = ab 2ab(a + b) 4(a + b) = ab<br />
<br />
3 <br />
3<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
a + b = 10 (a + b) 2ab = 10<br />
Đặt:<br />
S = a + b;P = ab,S 10.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Hệ phương trình trên trở thành:<br />
8<br />
2SP 4S = P<br />
3<br />
<br />
S 2 2P = 10<br />
2<br />
S 10<br />
Từ phương trình (2) ta có: P= thế lên phương trình trên và rút<br />
2<br />
3 2 2<br />
gọn ta được: 6S 8S 84S 80 0 ( S 4)(3S 8S<br />
10) 0 <br />
S 4 (TM)<br />
2<br />
3S 8S 10 ( VNv<br />
) ì S 10<br />
S 4<br />
0 .<br />
2 2 x 4<br />
P 3 5 x. 5 b 3 25 x 9 x 16 (TM)<br />
x 4<br />
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x<br />
4; x 4<br />
d) Điều kiện 1<br />
x 3<br />
Đặt<br />
<br />
u x1<br />
<br />
v 3 x<br />
ta suy ra<br />
2<br />
u<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u<br />
2 2<br />
3u 2v 5x<br />
3<br />
2 2<br />
4u v 5x<br />
1<br />
v<br />
2 2<br />
1<br />
4<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
2 3u 2v 5uv 3 4u v 6 u (2 u) v ( u 3)<br />
Thay<br />
v<br />
.<br />
2<br />
4<br />
u ta thu được phương trình:<br />
2 2 2 2 2<br />
u v uv u v <br />
2 3 2 5 3 4<br />
u<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
u <br />
10<br />
2 2<br />
6u 2 u 4 u u 3 5 145<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là:<br />
x<br />
3<br />
<br />
7 145<br />
x <br />
10<br />
Khi gặp các phƣơng trình dạng: a<br />
n<br />
b c. f ( x) d<br />
me h. f ( x)<br />
g ta<br />
có thể đặt ẩn phụ theo cách:<br />
n<br />
m<br />
u b<br />
v e<br />
Đặt<br />
n<br />
b c. f ( x) u f ( x)<br />
,<br />
m<br />
e h. f ( x) v f ( x)<br />
<br />
c<br />
h<br />
au dv g<br />
<br />
Từ đó ta có hệ phương trình: n<br />
m<br />
u b v e<br />
0<br />
c h<br />
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a) 3 24 x 12 x 6<br />
b)<br />
2 4 2<br />
1 x x x 1 6 1 x 1<br />
c)<br />
2<br />
3 x x x x d) 3 3 3<br />
x 1 x 2 2x<br />
3<br />
2<br />
1 1<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện: x 12<br />
3 3<br />
Đặt u 24 x; v 12 x u 36, v 0 , ta có hệ phương trình:<br />
uv6<br />
v6<br />
u<br />
v6<br />
u<br />
<br />
3 2 3<br />
2<br />
2<br />
u v 36 <br />
u 6 u 36 <br />
u u<br />
u 12<br />
0(*)<br />
Phương trình (*) có 3 nghiệm u 0; u 4; u 3 thỏa mãn<br />
Từ đây ta tìm được: x 24; x 88; x 3<br />
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x 24; x 88; x 3.<br />
u 3<br />
36 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
5<br />
b) Điều kiện:<br />
2<br />
x 1 .<br />
Ta thấy tổng của biểu thức trong căn bằng 1 nên ta đặt:<br />
a = 1 x 2 ,b = 4 x 2 + x 1,c = 6 1 x; a, b, c 0 .<br />
Khi đó ta có hệ:<br />
a b c1<br />
2 4 6<br />
a b c 1<br />
<br />
abc<br />
, , 0<br />
Vì<br />
2<br />
a<br />
a<br />
abc<br />
, , 0<br />
<br />
<br />
a b c1<br />
6<br />
c<br />
c<br />
4 2 4 6<br />
0 a, b, c 1 b b a b c 1<br />
.<br />
Hệ phương trình có nghiệm khi<br />
trình đã cho.<br />
a<br />
a<br />
2<br />
<br />
4<br />
b b x <br />
<br />
c<br />
c<br />
6<br />
1<br />
là nghiệm của phương<br />
c) Đặt t x 1 x thì<br />
xx<br />
<br />
2<br />
2 t 1<br />
2<br />
Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t:<br />
t 1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1 t t 3t 2 0 t 1; t 2<br />
2<br />
x 1 x 1 2 xx<br />
0<br />
Vậy ta có: <br />
<br />
x 0; x1<br />
x 1 x 2 <br />
VN VT<br />
2<br />
3 3 3<br />
d) Sử dụng đẳng thức: a + b = a + b + 3aba + b .<br />
Lập phương 2 vế ta thu được:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3<br />
<br />
2x 3 + 3<br />
3<br />
x 1 x 2 x 1 + x 2 = 2x 3<br />
Thay 3 x 1 3 x 2 3 2x<br />
3 thì phương trình trở thành:<br />
<br />
x 1 x 2 2x 3 = 0 x = 1,x = 2,x = 2<br />
3<br />
3<br />
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
7 7 7 6 2 49 7 42 181<br />
14<br />
x x x x x<br />
5 1<br />
5 x 2x<br />
4<br />
2 x<br />
2x<br />
<br />
3<br />
c) x 3 1 x 2 x 21<br />
x<br />
2<br />
<br />
x 3<br />
1 3 2 1 8<br />
x 1<br />
d) x x x <br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
6<br />
x .<br />
7<br />
t 7x 7 7x 6, t 0 14x 2 49x 7x 42 t 1<br />
Đặt <br />
2 2<br />
BPT đã cho trở thành:<br />
2 2 t<br />
13<br />
t t 1 181 t t 182 0 t 13<br />
t 14<br />
7x 7 7x 6 13 (*)<br />
Vì hàm số f ( x) 7x 7 7x<br />
6 13 là hàm đồng biến và f (6) 0<br />
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x 6 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Điều kiện: x 0<br />
1 1 <br />
. Phương trình 5<br />
x 2x <br />
4<br />
2 x 4x<br />
<br />
t x 1 1<br />
, 2 1<br />
2 x<br />
t x 4x<br />
t .<br />
Đặt <br />
2<br />
Phương trình trở thành:<br />
<br />
<br />
2 2<br />
5t 2 t 1 4 2t 5t 2 0 t 2<br />
1<br />
x 3<br />
4x<br />
3<br />
2 2<br />
x<br />
<br />
2<br />
3 2 2<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
4x<br />
12x1 0 <br />
<br />
là nghiệm của pương trình.<br />
c) Điều kiện: 1<br />
x 1. Phương trình đã cho tương đương với<br />
<br />
x x x x x x x x<br />
1 2 2 1 2 1 2 2(1 2 )<br />
Đặt<br />
2<br />
2 t 1<br />
2<br />
t x 1 x x 1 x . Ta có phương trình:<br />
2<br />
<br />
t 1<br />
t 1<br />
t <br />
t t t t t t<br />
2 2<br />
2 2<br />
3 2 2<br />
1 2 2 3 2 0 2 2 2 1 0<br />
t<br />
2 t<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
t 2 2t 1 0 t<br />
2 1<br />
+ Nếu: t 2<br />
2<br />
<br />
x x x x x x do x <br />
2 2 2<br />
1 2 2 1 2 1 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2x 2 2x 1 0 x <br />
2 1<br />
2<br />
+ Nếu<br />
+ Nếu<br />
t x x<br />
2<br />
2 1 1 1 2 vô nghiệm ,do VT 1<br />
2<br />
t 2 1 1 x 1 2 x<br />
VP<br />
1<br />
x 1<br />
2<br />
1 2 2 2 1<br />
<br />
x <br />
2<br />
x 1 2 x 2 1 0<br />
2<br />
<br />
Vậy phương trình có 2 nghiệm<br />
x <br />
2 ;<br />
2<br />
1 2 2 2 1<br />
x .<br />
2<br />
x 3<br />
d). Điều kiện:<br />
x 3<br />
0 x 3 hoặc x 1. Đặt t x1<br />
x 1<br />
x 1<br />
2<br />
t<br />
2<br />
t x 1 x 3<br />
ta có phương trình: t<br />
2 2t 8 0 <br />
t<br />
4<br />
thì<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2 2<br />
2<br />
x 1<br />
2 2<br />
Nếu t 2 x 1 x 3 4 x 2x<br />
7 0<br />
2<br />
x 1<br />
2 5<br />
t thì x 1 x 3 16 x 2x<br />
19 0<br />
Nết 4<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2 5<br />
Tóm lại phương trình có 4 nghiệm là:<br />
x 1 2 2; 1 2 2; 1 2 5; 1 2 5<br />
.<br />
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN.<br />
Giải các phương trình sau:<br />
1) x <br />
2 x 6 2x x 3 4 x x 3<br />
(1).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2)<br />
x<br />
x 2<br />
<br />
2<br />
2x2<br />
.<br />
2x<br />
1<br />
3) <br />
2<br />
x 1 2 x 1 x 1 1 x 3 1 x .<br />
4) xx 1 xx 2 xx<br />
3<br />
.<br />
5) Tìm tất cả các số nguyên dương p 1 sao cho phương trình sau có<br />
nghiệm duy nhất<br />
3 2 1 <br />
x px p 1 x<br />
1 0<br />
p 1<br />
6)<br />
x 4x 31 x 4x<br />
1.<br />
3 2 2<br />
4 2<br />
7) x x 2016 2016 .<br />
8) Tìm k để phương trình sau có nghiệm:<br />
<br />
2 2 2<br />
x 2 x 2x 2k 1 5k 6k 3<br />
2x<br />
1. Trích đề thi vào<br />
lớp 10 <strong>Chuyên</strong> Amsterdam 2002).<br />
6 4<br />
9) Cho phương trình m x 1 3x<br />
2<br />
a) Giải phương trình với m 10 .<br />
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm.<br />
10) <br />
2 2 2<br />
x x x x x<br />
2 1 1 3 6 1 0 .<br />
11) x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 4 x 1<br />
.<br />
12) 4 x 1 x 2x<br />
5 (*).<br />
x x x<br />
13)<br />
x 9 x<br />
2 2<br />
x 1<br />
.<br />
14) <br />
2<br />
x 3x 1 x x 1 2 x (1).<br />
2<br />
15) 4 x 1 x 5x<br />
14 .<br />
16) x x x <br />
2 x<br />
2 2 1 7 10 3 (1).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
17)<br />
3 2 3 2<br />
12 4x<br />
4x<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
(*).<br />
18) x x x <br />
3 1 1 1(THPT chuyên KHTN-ĐHQG Hà Nội<br />
2011-2012).<br />
3<br />
25x 2x 9 4x<br />
. Trích đề thi vòng 2,<br />
x<br />
THPT chuyên Hà Nội Amsterdam 2004-2005<br />
19) Giải bất phương trình: 3<br />
2<br />
<br />
20) x x 1 x x x 1<br />
<br />
2<br />
x 3<br />
4 2 2<br />
1<br />
4 4<br />
3<br />
21) <br />
4 x 2 4 x x 2 4 x 6 x 3 x x 30<br />
22) <br />
2 2<br />
x 1 2x 2x 2x 3x<br />
2 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 <strong>Chuyên</strong><br />
Lam Sơn Thanh Hóa 2014)<br />
2 2<br />
23) 2x 1 1 2x 2 x x . (Trích đề tuyển sinh lớp 10 PTNK-<br />
ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 2015).<br />
2<br />
24) 8x 16x 20 x 15 0<br />
2 2<br />
25) 4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2<br />
2 3 4 2<br />
26) x 3x 1 x x 1<br />
3<br />
2<br />
27) 2 x 1 3 5 x 3x 30x 71 0<br />
28) <br />
2 2<br />
2x 4x 1 2x 1 4x 7x 3<br />
3 3 3<br />
29) x 1 x 2 2x 3<br />
30)<br />
2 2<br />
1 x 5 <br />
<br />
<br />
1 x x<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
x 1 x 2<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1 x <br />
3 2<br />
31) 5 x 1 2x 2 <br />
3 3<br />
3 3<br />
2 2<br />
32) 2x 2 2x 1 2x 2x 1<br />
3 2 3<br />
33) <br />
34)<br />
x 6x 2x 3 5x 1 x 3<br />
2<br />
x x 1 <br />
2 2<br />
x 4 <br />
x<br />
4<br />
2<br />
x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
x
2 2 18x<br />
35) 25x 9 9x 4 <br />
x 2<br />
x 1<br />
2<br />
36) 20x 80x 125 2x 1 4 3x 6<br />
2 4 2 4<br />
37) 13 x x 9 x x 16<br />
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
1) Giải:<br />
Điều kiện: x 3<br />
Ta có: (1)<br />
2<br />
x 3x 2x x 3 4 x 3 6 0 (2)<br />
Đặt t x x 3<br />
2<br />
Do đó (2) <br />
t 4t 3 0 t 1 t 3 0 t 1; t 3<br />
Với t 1, ta giải phương trình x x 3 1 x 3 1<br />
x<br />
<br />
1x 0 x1 x1<br />
<br />
2 <br />
2 2<br />
<br />
x 3 1<br />
x x 3 1 2x x x 3x<br />
2 0<br />
x<br />
1<br />
3 17 3<br />
17<br />
x x<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
17<br />
x<br />
<br />
2<br />
Với t 3 , ta giải phương trình x x 3 3 x 3 3<br />
x<br />
x<br />
3<br />
<br />
x1 x<br />
1<br />
<br />
x<br />
6<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm<br />
3 17<br />
x , x 1 .<br />
2<br />
2)<br />
Điều kiện<br />
1<br />
x 2;<br />
x .<br />
2<br />
Ta có (1) <br />
2<br />
2x 1 x 2 x 2x<br />
2<br />
x x 1 x 2 xx 1 x<br />
2<br />
<br />
x x x xx<br />
<br />
2 2 1 2 1 0<br />
x x<br />
x x<br />
<br />
2 2 1 <br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
Trường hợp 1: x2<br />
x với 0 x 2 x 2 0 x 2 x 1 0<br />
x<br />
2 (thỏa mãn) hoặc x 1 (loại)<br />
x <br />
Trường hợp 2: x 2 x 1 với<br />
1<br />
5<br />
x ( thỏa mãn) hoặc<br />
2<br />
Vậy phương trình có hai nghiệm<br />
x x x <br />
2<br />
1 1 0<br />
1<br />
5<br />
x (loại)<br />
2<br />
1<br />
5<br />
x2,<br />
x .<br />
2<br />
3)<br />
Đặt u x 1, v 1 x ( uv , 0)<br />
Phương trình đã cho trở thành:<br />
u u v v uv v u v u u<br />
2 2 2 3 2 3 1 2 2 0 (1)<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Xem (1) như là phương trình bậc hai đối với biến v , giải ra được u v hoặc<br />
v2u 1.<br />
Xét v 2u<br />
1<br />
, vì v 2 1 x 2 u 2 2 u 2 2u<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
u ( tm )<br />
5u<br />
4u1 0 5 . Với<br />
<br />
u<br />
1( l)<br />
1 24<br />
u x <br />
5 25<br />
Vậy phương trình có hai nghiệm<br />
24<br />
x 0; x .<br />
25<br />
4) Giải:<br />
Điều kiện:<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
x 0<br />
<br />
x 3<br />
Dễ thấy x 0 là 1 nghiệm và x 3 không là nghiệm của phương trình đã<br />
cho<br />
Xét x0, x 3 khi đó phương trình đã cho tương đương với<br />
x1 x2 4 5<br />
1 1 1 1<br />
x 3 x 3 x 3 x 3<br />
Đặt<br />
4<br />
a 1 x 3<br />
( a 0) ;<br />
5<br />
b 1 x 3<br />
( b 0)<br />
ab1 <br />
a 4 21( l)<br />
Ta có hệ <br />
<br />
2 2 <br />
5a 4b 1 a 4 21<br />
4 2 21<br />
1 4 21 x <br />
x 3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy phương trình có hai nghiệm<br />
2 21<br />
x0;<br />
x .<br />
3<br />
<br />
<br />
x p 1 x x <br />
0<br />
p 1<br />
5) Phương trình đã cho tương đương với <br />
2 1<br />
x p1<br />
<br />
<br />
2 1<br />
x x <br />
<br />
p 1<br />
hoặc có nghiệm kép x p<br />
1<br />
0<br />
(1)<br />
Yêu cầu bài toán tương đương (2) vô nghiệm<br />
(2)<br />
Vậy p 2;3;4<br />
.<br />
6)<br />
2 2<br />
Phương trình đã cho tương đương với x x <br />
2 2<br />
Do <br />
3 2 27 2 3 .<br />
3<br />
x 2 27 x 2 3, x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
x 2 nên phương trình có nghiệm duy nhất x 2 .<br />
7)<br />
Phương trình đã cho tương đương với:<br />
1 1<br />
x 4 x 2 x 2 2016<br />
x<br />
2 2016 <br />
4 4<br />
2 2<br />
2 1 2 1<br />
x x 2016 <br />
<br />
<br />
2 2<br />
1 1<br />
2 2<br />
2 2 2 2 4 2<br />
x x 2016 x 1 x 2016 x x 2015 0 .<br />
Vậy phương trình có hai nghiệm<br />
1<br />
8061 1<br />
8061<br />
x ; x .<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
8) Giải:<br />
Phương trình đã cho tương đương với:<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
x 2 x 2 x. 2k 1 4k 4k 1 k 2k 1 1<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
x 2 x 2k 1 x 2 k 1 x 1 0 x k 1.<br />
Vậy phương trình có nghiệm khi k 1.<br />
9) Phương trình đã cho tương đường với:<br />
2 4 2 2 4 2<br />
1 1 3 1 1<br />
m x x x<br />
<br />
x x x<br />
2 4 2<br />
m x 1 x x 1<br />
<br />
4 2 2<br />
3 x x 1 x 1<br />
<br />
<br />
Đặt<br />
t <br />
4 2<br />
x x<br />
1<br />
2<br />
x 1<br />
, ( t 0) ta được:<br />
m<br />
3<br />
1<br />
t<br />
m<br />
. 1 0<br />
t<br />
2<br />
t t t <br />
a) Với m 10 ta có phương trình:<br />
1<br />
ta suy ra t 3 hoặc t <br />
3<br />
b) Tự giải<br />
10) .Giải:<br />
2<br />
3t<br />
10t 3 0<br />
Điều kiện: x 1. Phương trình tương đương với<br />
<br />
<br />
x 2 x x 2 x 2 x x 2 x<br />
1 2 1 1 2 1 4 4 1<br />
0<br />
2 2<br />
x x x x <br />
2<br />
3x x 1<br />
3 1 2 1 0 <br />
<br />
<br />
2<br />
2 x x 1<br />
Trường hợp<br />
0 x 1 0 11<br />
<br />
2 2 (vô nghiệm).<br />
2<br />
9x x 1 8x<br />
1<br />
2<br />
3x<br />
x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trường hợp<br />
1 x 2<br />
1 x 2<br />
<br />
2<br />
1 x 2 <br />
5<br />
2 x x 1 <br />
2 2 5 x .<br />
x 4x 4 x 1<br />
4x<br />
5 x<br />
<br />
4<br />
4<br />
11) .Giải:<br />
Điều kiện x 1.Ta có x 3 là một nghiệm của phương trình.<br />
x . Đặt x 1 y, y 4<br />
Với 3<br />
thành: y 2y 2 2y 2 4y<br />
.<br />
, phương trình đã cho<br />
Ta có<br />
2<br />
4 2 4 2<br />
y y y y y<br />
2y 2 2y 2 4y 2y 2 4y 2y 2y 4y y<br />
Phương trình vô nghiệm.<br />
Với 0x<br />
3. Chứng minh tương tự, ta có phương trình vô nghiệm.<br />
Vậy x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.<br />
12) Giải:<br />
Ta có (*)<br />
4 1 5<br />
x x 2x<br />
0 (1)<br />
x x x<br />
Đặt<br />
1 5<br />
u x ; v 2x<br />
x<br />
x<br />
thì uv , 0 và<br />
u v x<br />
x<br />
2 2 4<br />
2 2<br />
Do đó (1) thành: <br />
uv , 0)<br />
Từ đó ta có:<br />
u v u v 0 u v u v 1 0 u v (vì<br />
1 5 1 5<br />
x 2x x 2x<br />
0 (2)<br />
x x x x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình<br />
1 5<br />
x 2x<br />
x<br />
x<br />
có nghiệm là x 2<br />
Từ (2) suy ra chỉ có x 2 là nghiệm của phương trình đã cho.<br />
13)<br />
Giải:Điều kiện x 0 .<br />
Phương trình tương đương với:<br />
8 4 2x 9x 1 4 2x<br />
x 9 x 0<br />
x1 x1 x1<br />
x1<br />
8x 4 2x 2 2x<br />
<br />
1 0 1 0<br />
x 1 x1 x1<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2x<br />
1<br />
1 8x x 1<br />
x <br />
x 1<br />
7<br />
(thỏa mãn<br />
14) Giải:<br />
Điều kiện: x 1. Dễ thấy x 0 là nghiệm của (1)<br />
Với x 0 , chia hai vế của (1) cho<br />
2<br />
x 0 , ta được:<br />
(1)<br />
1 1<br />
3 1 2<br />
x<br />
x<br />
<br />
Đặt<br />
1 1<br />
u 3 0, v 1 0<br />
x<br />
x<br />
<br />
Ta có hệ phương trình:<br />
uv2<br />
<br />
u v2<br />
<br />
2 2 <br />
2 2<br />
u v 4 <br />
2 v v 4<br />
(2)<br />
(3)<br />
Giải hệ ta được v0, u 2 từ đó ta có x 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
15) .Giải:<br />
x <br />
2 x x x<br />
6 9 1 4 1 4 0<br />
2<br />
x x 2<br />
3 1 2 0<br />
x<br />
30<br />
<br />
x 3<br />
x 1 2 0<br />
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 3.<br />
16) Giải:<br />
Điều kiện: x 2<br />
Nhân hai vế của phương trình (1) với x 5 x 2 0 , ta được phương<br />
trình tương đương:<br />
2<br />
1 x 7x 10 x 5 x 2<br />
x 5 1 x 4<br />
<br />
x 2 1<br />
x<br />
1<br />
() l<br />
( tm )<br />
.<br />
Đặt<br />
17) Giải:<br />
y x 2 , y 0, ta có (*) thành:<br />
3 3<br />
12 4y 4y<br />
y<br />
y<br />
Bình phương rồi biến đổi thành: 2<br />
2 2<br />
4y 3 y 0 4y y 3 0<br />
Do đó các nghiệm của phương trình là x1, x 1.<br />
18) Điều kiện: 0x<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nhân cả tử và mẫu vế trái với biểu thức x3<br />
x ta thu được:<br />
x x x 3<br />
x <br />
3 1 1 1 1 1 1<br />
x3<br />
x<br />
3 1 x 1 x 3 x (*)<br />
Nếu x 1 thì VT (*) 3 VP(*)<br />
nên x 1 là nghiệm của phương trình.<br />
Nếu 0x<br />
1 thì 1 x 0 3 1 x 3 3 hay VT(*) 3 với 0x<br />
1<br />
Vì 0x<br />
1 nên x 3 13 2, x 1 1 VP(*) 3<br />
Do đó phương trình đã cho không có nghiệm trong nửa khoảng 0;1 .<br />
Vậy phương tình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.<br />
19) Giải:<br />
Điều kiện: x 0<br />
Trường hợp x 0 : áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
2 2<br />
3 5 2x<br />
9 5 5 2x<br />
9<br />
3 3<br />
2<br />
4x x 3 x. x. 25x 2x<br />
9<br />
x 3 3x 3 3 3x<br />
<br />
<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
2<br />
5 2x<br />
9<br />
x x<br />
3 3x<br />
3<br />
Trường hợp x 0 : từ phần trên ta thấy, với mọi x 0 đều thỏa mãn bất<br />
phương trình<br />
Đáp số<br />
x<br />
3<br />
.<br />
x<br />
0<br />
20) .Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Điều kiện x 0<br />
2<br />
Chia cả hai vế bất phương trình cho 1<br />
1 1<br />
đưa về bất phương trình 1 t t<br />
t t<br />
x x và đặt<br />
1 t x , t 2 , ta<br />
x<br />
Với điều kiện t 2 thì cả hai vế của (1) đều dương. Bình phương hai vế ta<br />
<br />
đưa về bất phương trình tương đương<br />
<br />
<br />
2<br />
1 t 1 0<br />
t <br />
<br />
Bất phương trình này nghiệm đúng với mọi t 2.<br />
Vậy nghiệm của bất phương tình đã cho là x 0 .<br />
21) .Giải:<br />
Điều kiện: 2 x 4<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
4<br />
x x<br />
x 21 1<br />
x 2 1 2 x1<br />
x 2 x 2.1 ;<br />
2 2 4<br />
4<br />
x<br />
7<br />
3 3<br />
4 x<br />
; 6x 3x 2 x .27 x 27<br />
2<br />
Do đó VT VP với mọi x thỏa mãn 2 x 4<br />
Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 x 4.<br />
22) Đặt<br />
<br />
<br />
2<br />
t x t x<br />
t x x x x t<br />
x 2 4<br />
x<br />
2 4 1 ;<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2 0 2 2 . Phương trình trở thành :<br />
1 2 0 . Ta có<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
2<br />
x 2x 1 4x 8 x 3 <br />
cần giải:<br />
<br />
<br />
x<br />
0<br />
<br />
x1<br />
x<br />
3<br />
t<br />
<br />
1<br />
2<br />
x1<br />
x<br />
3<br />
t x 2<br />
2<br />
2<br />
2x 2x x 2 <br />
x 3<br />
13<br />
2<br />
x<br />
6x 4 0<br />
2x<br />
1 0<br />
2<br />
23) Điều kiện: 1 2x<br />
0. Bình phương 2 vế ta thu được:<br />
2<br />
x<br />
x 0<br />
<br />
2x 11 2x 2 2x 1 1 2x 4 x x<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2x 2x 2 2x 1 1 2x<br />
0<br />
2<br />
<br />
. Do t 0 ta chỉ<br />
2 2 2<br />
1 2x 2x 1 0 1 2x 2x 1 x x 1 0 <br />
<br />
Đối chiếu với điều kiện nài toán chỉ có nghiệm<br />
kiện.<br />
24) Ta viết lại phương trình thành:<br />
2<br />
16x 32x 40 2 x 15 0 4x 4 56 4x 60<br />
Đặt 4x 60 4y 4 ta có hệ sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
4y 4 4x 60 4y 4 4x 60<br />
<br />
<br />
.<br />
2 2<br />
<br />
<br />
4x 4 56 4y 4<br />
<br />
4x 4 4y 60<br />
Trừ từng vế 2 phương trình của hệ ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
.<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
5<br />
x thỏa mãn điều<br />
2<br />
1 5<br />
2<br />
1 5<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4x 4 2 4y 4 2<br />
4y x 16x yx y 8 4y x<br />
x<br />
y<br />
<br />
<br />
4x y 8<br />
1<br />
Giải phương trình ứng với 2 trường hợp ta thu được:<br />
<br />
x 1; x 9 221<br />
9<br />
25) Điều kiện:<br />
3<br />
5<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
5<br />
x<br />
<br />
2<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
<br />
<br />
2<br />
2x 3 (x 1) (x 1) (x 1)(2x 3) (x 1)<br />
<br />
u 2x 3<br />
Đặt <br />
v (x 1)(2x 3) (x 1)<br />
2<br />
u x 1 (x 1)v<br />
<br />
2<br />
v x 1 (x 1)u<br />
ta có hệ phương trình:<br />
Trừ từng vế hai phương trình ta có:<br />
u<br />
v<br />
u v u v x 1 0 <br />
u v x 1<br />
<br />
Giải theo hai trường hợp ta thu được phương trình vô nghiệm.<br />
26) <strong>Các</strong>h 1: Ta viết lại phương trình thành:<br />
<br />
3 3<br />
x 3x 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x<br />
3 3<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
2 2 2 3<br />
x x 1 2 x x 1 x x 1 x 2 x 1x 2 x 1<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chia phương trình cho <br />
2<br />
x x 1 0 ta thu được:<br />
<br />
2<br />
2<br />
x x 1 3 x x 1 <br />
2 1 <br />
2<br />
2<br />
<br />
x x 1 <br />
3<br />
x x 1 <br />
. Đặt<br />
2<br />
x x 1<br />
<br />
t <br />
0<br />
2<br />
<br />
x x 1 <br />
2 3 1<br />
Ta có phương trình: 2t t 1 0 t <br />
3 3<br />
Giải<br />
2<br />
x x 1 1<br />
x<br />
1<br />
2<br />
<br />
x x 1 3<br />
* <strong>Các</strong>h 2:<br />
Xét<br />
1 3 2 1<br />
x<br />
0 chia hai vế phương trình ta có: x 3 x 1 <br />
x 3 2<br />
x<br />
1<br />
Đặt t x 2<br />
x<br />
3 2<br />
ta có phương trình: t 3 t 1<br />
3<br />
Xét<br />
1 3 2 1<br />
x<br />
0 chia hai vế phương trình ta có: x 3 x 1 <br />
x 3 2<br />
x<br />
Đặt t x 1<br />
x<br />
3 2<br />
ta có phương trình: t 3 t 1<br />
3<br />
27) Điều kiện: 1 x 5 . Phương trình được viết lại:<br />
Ta viết lại phương trình thành:<br />
2<br />
x<br />
5<br />
2 x 1 4 3 5 x 3x 30x 75 0 2 3 5 x (x 5)(3x 15) 0<br />
x 1 2<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x<br />
5<br />
30x 75 0 2 3 5 x (x 5)(3x 15) 0<br />
x 1 2<br />
x<br />
5<br />
x<br />
5<br />
<br />
2 3 5 x (x 5)(3x 15) 0 2 5 x<br />
x 1 2<br />
<br />
3 5 x(3x 15) 0<br />
x 1 2<br />
Ta thấy 5 x(3x 15) 0x 1; 5 <br />
Ta chứng minh:<br />
2 5 x<br />
3 0 3 x 1 6 2 5 x 0<br />
x 1 2<br />
này là hiển nhiên đúng do: 2 5 x 2 5 1 4 nên 6 2 5 x 0<br />
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất<br />
x<br />
5<br />
nhưng điều<br />
28) Điều kiện x 1<br />
2 . Đặt u x 1;v 2x 1 phương trình đã cho trở<br />
thành<br />
2 2<br />
<br />
2u 1 v 2v 1 u u v 2uv 1 0<br />
+ Nếu<br />
<br />
x<br />
1<br />
u v x 1 2x 1 <br />
<br />
2<br />
x 2 2<br />
x 4x 2 0<br />
1<br />
<br />
2uv 1 0 2 1 x 2x 1 1 x ;1 <br />
2<br />
<br />
+ Nếu <br />
1 <br />
Mặt khác ta có: 21 x<br />
21 <br />
1 ;<br />
2 <br />
2x 1 2 1 1 nên phương<br />
trình đã cho vô nghiệm<br />
Kết luận: x 2 2<br />
29) Sử dụng đẳng thức: 3 3 3 <br />
a b a b 3ab a b .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình 3<br />
3 3<br />
<br />
2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 3<br />
3 3 3<br />
x 1 x 2 2x 3 3<br />
<br />
(*) x 1; x 2; x <br />
3<br />
x 1x 22x 3<br />
0<br />
2<br />
<br />
30)<br />
Điều kiện: 1<br />
x 1 . Đặt<br />
2 2<br />
1 x x 2 1 x<br />
t t 1.<br />
x 2<br />
2 2<br />
1<br />
x x 1 x<br />
2<br />
PT đã cho thành: 2t 5t 2 0 t 2;<br />
* t 2<br />
1 x 0<br />
2<br />
1 1 x x <br />
1<br />
t 2 <br />
2<br />
1 x x <br />
2 x 2<br />
1<br />
x 3 2<br />
2 2<br />
x 1 x<br />
* t 1 <br />
2<br />
1 x 0<br />
2<br />
1 x x 1 <br />
<br />
2<br />
1 x 3<br />
x 2<br />
1<br />
x<br />
2 <br />
2 2<br />
x 1 x 4<br />
hệ vô nghiệm.<br />
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 .<br />
2<br />
31)<br />
Điều kiện. x1<br />
2 2<br />
<br />
PT 5 x 1 x x 1 2 x x 1 2 x 1<br />
x 1 x 1<br />
2<br />
2 5 2 0(Do : x x 1 0x)<br />
2 2<br />
x x 1 x x 1<br />
Đặt<br />
x<br />
1<br />
t <br />
,t 0<br />
, ta có:<br />
2<br />
x x 1<br />
t 2<br />
2<br />
2t 5t 2 0 <br />
1<br />
t <br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
*<br />
x<br />
1<br />
2<br />
t 2 4 4x 5x 3 0<br />
2<br />
x x 1<br />
PT vô nghiệm<br />
*<br />
1 x 1 1 2<br />
5 37<br />
t x 5x 3 0 x <br />
2 2<br />
x x 1<br />
4 2<br />
32) Do VT 1 nên VP 1 x 1 .<br />
Ta có PT<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 3 2<br />
3 2 3 2<br />
2x 1 2x 2 2x 2x 1 0<br />
<br />
2 2<br />
2x 2x 1 2x 2x 1<br />
0<br />
2 2 2 3 4 2 2<br />
2x 1 3<br />
2x 12x 2 2x 2 x 3 2x 2x 1 2x 1<br />
2 2 2<br />
3 3 3<br />
2 1<br />
3<br />
2x 2x 1 0 x <br />
2<br />
33) Điều kiện: 3 x 3.<br />
là nghiệm của phương trình đã cho.<br />
Ta thấy x 1<br />
5<br />
Phương trình<br />
không là nghiệm của phương trình nên ta có:<br />
3 2<br />
x 6x 2x 3 3<br />
x 3.<br />
5x 1<br />
3 2 3 2<br />
x 6x 2x 3 3 x 4x 3 3<br />
2x x 3 2x x 3 2x<br />
5x 1 5x 1<br />
(1)<br />
* Nếu<br />
<br />
x 0 x 0<br />
3<br />
<br />
3 21<br />
x 3 2x 0 <br />
2<br />
x <br />
3 2<br />
<br />
x 4x 3 0 x 1x 3x 3<br />
0 2<br />
<br />
Khi đó (1) đúng <br />
<br />
x 3 21<br />
2<br />
là một nghiệm của phương trình.<br />
3 2 3 2<br />
<br />
3 2<br />
3 21 x 4x 3 x 4x 3 x 4x 3 0 (1)<br />
<br />
2 5x 1 3<br />
<br />
3<br />
x 3 2x x 3 2x 5x 1 (2)<br />
* Nếu x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta thấy: (1) có 2 nghiệm<br />
<br />
x 1;x<br />
3 21<br />
2<br />
<br />
1 1<br />
<br />
3<br />
x<br />
<br />
x x 1<br />
(2) x 3 3x 1 3<br />
<br />
3<br />
<br />
3 2<br />
2<br />
<br />
<br />
x 4 3 2<br />
x 9x 6x 2 0 x 1 x 8x 2 0<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
2<br />
x 8x 2 0 x 4 3 2<br />
<br />
Vậy phương trình có 4 nghiệm:<br />
3 21<br />
x 1;x ;x 4 3 22 .<br />
2<br />
34) Điều kiện: x 4<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
x x 1<br />
2 2<br />
PT 2 1 x 3 1<br />
x<br />
4 <br />
2<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
x x 1<br />
2<br />
4 x 1<br />
x<br />
4 2<br />
x 3 0<br />
2<br />
x x 1 2<br />
<br />
2<br />
2 x 1 x 1<br />
1<br />
x<br />
4<br />
<br />
2<br />
2x 3<br />
2<br />
<br />
2<br />
x 3<br />
x 3 0<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
x 4 x x 1 x 4 2 x 1 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 1<br />
x 3 <br />
1 0<br />
<br />
2<br />
x 4 <br />
x x 1<br />
x 4 2 2<br />
<br />
<br />
2 x 1 x 1<br />
<br />
<br />
2<br />
x 3 0 x 3<br />
35) Điều kiện: 2 x<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
* Với x 2 , phương trình đã cho tương đương với:<br />
3<br />
2<br />
9 9x 4 2 18<br />
25 <br />
x (1)<br />
2 2<br />
x x 1<br />
Dễ thấy phương trình (1) có VT 25 và do x 2<br />
3<br />
nên phương trình đã cho vô nghiệm<br />
9 162<br />
ta có VP 25<br />
2 13<br />
* Với x 2<br />
3<br />
phương trình đã cho tương đương với<br />
4 2 18<br />
25 9 9 (2)<br />
2 2 2<br />
x x x 1<br />
Đặt<br />
1 9<br />
t0<br />
t <br />
2<br />
, phương trình (2) thành:<br />
x 4 <br />
<br />
18t<br />
18t<br />
25 9 9 4t 2t 9 9 9 4t 2t 16<br />
1 t 1 t<br />
<br />
<br />
36 t 2 2 t 2 t 4 <br />
t 2<br />
18 t 4 <br />
<br />
0<br />
9 4t 1 t 1 9 4t 1 t 1<br />
<br />
(1)<br />
Lưu ý rằng với 0 t 9<br />
4<br />
nên<br />
18 t 4<br />
0.<br />
9 4t 1<br />
t<br />
1<br />
có<br />
18 18<br />
<br />
9 4t 1<br />
4<br />
và<br />
t 4 3 18<br />
1 4 <br />
t 1 t 1 4<br />
Vậy (3) t 2 x 2<br />
2<br />
KL: Phương trình có 1 nghiệm x 2<br />
2<br />
36) Điều kiện: x2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
BPT được viết lại: <br />
5 2x 1 20 3x 6 2x 1 4 3x 6<br />
2 2<br />
Đặt a = 2x + 1; b 3x 6 ; BPT 5a 20b a 4b<br />
<br />
<br />
a 4b 0<br />
2<br />
b a 4b <br />
2 a b<br />
2 2<br />
<br />
5a 20b a 4b<br />
1<br />
x<br />
<br />
2x 1 3x 6 2 x 1<br />
2<br />
4x x 5 0<br />
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là:<br />
37) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 1<br />
x 1<br />
Bình phương 2 vế ta có :<br />
2 2 2<br />
x <br />
<br />
13 1 x 9 1 x 256<br />
<br />
<br />
2<br />
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
13. 13. 1 x 3. 3. 3 1 x<br />
<br />
13 27 13 13x 3 3x 40 16 10x<br />
<br />
2 2 16<br />
<br />
10x 16 10x 64<br />
2 <br />
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: <br />
2<br />
Dấu bằng<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
2 1 x x<br />
1x <br />
<br />
5<br />
3<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
10x 16 10x x<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH<br />
I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:<br />
a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1<br />
nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó<br />
không đổi<br />
b) Tính chất<br />
Nếu <br />
x y là một nghiệm thì hệ , <br />
0,<br />
0<br />
y x cũng là nghiệm<br />
0 0<br />
c) <strong>Các</strong>h giải: Đặt<br />
ẩn S,<br />
P<br />
S x y<br />
<br />
P<br />
x.<br />
y<br />
điều kiện<br />
S<br />
2<br />
4P<br />
quy hệ phương trình về 2<br />
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện<br />
trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ<br />
S,<br />
P từ đó suy ra qua hệ xy. ,<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
x y 2xy<br />
2<br />
a) 3 3<br />
c)<br />
Giải:<br />
x<br />
y<br />
8<br />
<br />
2 3 <br />
<br />
<br />
3<br />
x<br />
3<br />
y 6<br />
2 2<br />
x y <br />
3 x y 3 xy<br />
b)<br />
d)<br />
3 3<br />
x<br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
19<br />
x y xy<br />
8 2<br />
<br />
x y xy 3<br />
<br />
x1 y1 4<br />
a) Đặt<br />
S x y<br />
<br />
P<br />
x.<br />
y<br />
điều kiện<br />
S<br />
2<br />
4P<br />
hệ phương trình đã cho trở thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 S<br />
S 2P<br />
2<br />
P <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
S S<br />
3P<br />
8<br />
6<br />
3S<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
2<br />
<br />
2<br />
S S <br />
8<br />
<br />
<br />
3 2 2<br />
2S 3S 6S 16 0 S 2 2S 7S 8 0 S 2 P 0<br />
Suy ra xy , là hai nghiệm của phương<br />
2<br />
trình: X 2X 0 X 0, X 2<br />
x0 x2<br />
<br />
y<br />
2 y<br />
0<br />
b) Đặt<br />
S x y<br />
<br />
P<br />
x.<br />
y<br />
điều kiện<br />
S<br />
2<br />
4P<br />
hệ phương trình đã cho trở thành:<br />
<br />
<br />
2<br />
S S 3P 19 <br />
SP 8S<br />
SP 8S S<br />
1<br />
<br />
3 <br />
3<br />
<br />
S8P 2<br />
<br />
S 32 8S<br />
19 S 24S<br />
25 0 P<br />
6<br />
<br />
. Suy ra xy , là hai nghiệm của phương trình:<br />
2<br />
X X X1 X<br />
2<br />
6 0 3; 2<br />
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm xy ; 2;3 , 3; 2<br />
c) Đặt<br />
3<br />
a x,<br />
b<br />
3<br />
y<br />
hệ đã cho trở thành:<br />
a 3 b 3 a 2 b b 2 a<br />
<br />
2 3 <br />
<br />
a b 6<br />
.<br />
Đặt<br />
S a b<br />
<br />
P<br />
ab<br />
điều kiện<br />
S<br />
2<br />
4P<br />
thì hệ đã cho trở thành.<br />
3<br />
<br />
<br />
2 S 3SP 3SP 2 36 3P 3P S<br />
6<br />
.<br />
<br />
S 6<br />
<br />
S 6<br />
P<br />
8<br />
Suy ra ab , là 2 nghiệm của phương trình:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a 2 x 8 a 4 x 64<br />
6 8 0 2; 4 <br />
<br />
b 4 y 64 b 2 y 8<br />
2<br />
X X X1 X<br />
2<br />
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm xy ; 8;64 , 64;8<br />
xy<br />
0<br />
d) Điều kiện: . Đặt<br />
xy<br />
, 1<br />
trình đã cho trở thành:<br />
S x y<br />
<br />
P<br />
x.<br />
y<br />
điều kiện<br />
S<br />
2<br />
4P<br />
hệ phương<br />
2<br />
S<br />
P 3<br />
<br />
<br />
<br />
S 3; P S 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
S 2 2 S P 1 16 2 S S 3 1 14 S<br />
<br />
<br />
2<br />
S P S S P S <br />
3 14; 3 3 14; 3<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
4S 8S 10<br />
196 28S S <br />
S 30S 52 0<br />
S<br />
6<br />
<br />
P 9 x y 3<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
<br />
. Vậy hệ đã cho có nghiệm xy ; 3;3<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
a)<br />
2 2<br />
x y xy <br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y 4<br />
2 8 2<br />
c)<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
2xy<br />
y 1<br />
x<br />
y<br />
2 2<br />
2<br />
x y x y<br />
b)<br />
1 <br />
x y1 <br />
5<br />
xy <br />
<br />
2 2 1 <br />
x y 1 9<br />
2 2 <br />
xy <br />
<br />
3 2 2 3<br />
<br />
x y 1 y x y 2 y xy 30 0<br />
d) <br />
2 2<br />
<br />
x y x1 y y y 11 0<br />
Giải:<br />
a) Đặt x a,<br />
y b điều kiện ab , 0.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Hệ phương trình trở thành:<br />
phương trình thành:<br />
4 4 a b ab <br />
<br />
a b 4<br />
2 8 2<br />
. Ta viết lại hệ<br />
<br />
<br />
<br />
a b 4<br />
4 2 2 2<br />
( a b) 4 ab( a b) 2a b 2ab<br />
8 2<br />
Đặt<br />
S a b<br />
<br />
P<br />
ab<br />
điều kiện<br />
2<br />
S<br />
4P<br />
<br />
SP<br />
, 0<br />
thì hệ đã cho trở thành.<br />
<br />
<br />
S 4<br />
2<br />
256 64P 6P 2P<br />
8 2<br />
Ngoài ra ta cũng có thể giải ngắn gọn hơn như sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x y 2 xy 16<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 x y 2 xy 16<br />
<br />
S P 4 a b 2 x y 4<br />
<br />
2 2 2<br />
2 x y x y ( x y) 0 x y 2 x 4 x 4<br />
Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất xy ; 4;4<br />
b) Điều kiện: x y 0.<br />
Biến đổi phương trình (1):<br />
2 2 2xy<br />
2 2xy<br />
x y 1 x y 1 2xy<br />
0<br />
x y x y<br />
<br />
Đặt x y S,<br />
xy P ta có phương trình:<br />
S<br />
P<br />
2P1 0<br />
S<br />
2 2<br />
3 2 2<br />
S P SP S S S P S S S S P <br />
.<br />
2 2 0 ( 1) 2 ( 1) 0 ( 1)( 2 ) 0<br />
Vì<br />
S<br />
2<br />
4 P, S 0 suy ra<br />
2<br />
S S P<br />
2 0. Do đó S 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với x y 1<br />
thay vào (2) ta được: 2<br />
1 1 y y y 0, y 3<br />
2xy<br />
2 2 2 2<br />
Xét x y 1 x y 1 1 x y x y x y 0<br />
x<br />
y<br />
(không<br />
thỏa mãn điều kiện).<br />
Vậy hệ đã cho có nghiệm xy ; 1;0 , 2;3<br />
.<br />
c) Điều kiện: xy 0.<br />
Hệ đã cho tương đương:<br />
1 1 <br />
1<br />
1<br />
x y 5 x y 5<br />
<br />
<br />
x y x y<br />
<br />
<br />
.<br />
2<br />
2<br />
2 2 1 1<br />
x y 9 1<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
x y 9<br />
x y <br />
x y<br />
Đặt<br />
<br />
1<br />
1<br />
x y <br />
S<br />
<br />
x<br />
y<br />
<br />
1<br />
1<br />
x . y P<br />
<br />
<br />
x y<br />
Hệ trở thành:<br />
2<br />
S<br />
2P<br />
9<br />
S P <br />
<br />
S<br />
5<br />
1 1<br />
<br />
x 2; y 3<br />
x y<br />
5, 6 <br />
.<br />
1 1<br />
x<br />
3; y 2<br />
x y<br />
3<br />
5<br />
x1;<br />
y <br />
2<br />
<br />
. Vậy hệ đã cho có nghiệm:<br />
3<br />
5<br />
x<br />
; y 1<br />
2<br />
<br />
3<br />
5 3<br />
5 <br />
xy ; <br />
1; , ;1<br />
2 2 <br />
.<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d) Hệ tương đương với :<br />
<br />
<br />
xy x y x y xy 30<br />
<br />
.<br />
xy x y x y xy 11<br />
Đặt xy x y a;<br />
xy x y b . Ta thu được hệ:<br />
<br />
xy x y 5<br />
<br />
ab 30 a 5; b 6 xy x y 6<br />
<br />
a b 11<br />
<br />
a 6; b 5 <br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
xy x y<br />
6<br />
<br />
xy x y 5<br />
<br />
<br />
TH1:<br />
TH2:<br />
xy<br />
2<br />
<br />
xy x y<br />
6 x<br />
y 3<br />
x2; y 1<br />
<br />
<br />
<br />
xy x y 5 <br />
xy<br />
3 x1; y 2<br />
( L)<br />
x y 2<br />
xy<br />
5<br />
( L) 5 21 5 21<br />
<br />
;<br />
5 1<br />
x y<br />
xy x y x y <br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
.<br />
xy x y 6 <br />
xy<br />
1<br />
5 21 5 21<br />
<br />
x ; y <br />
x y 5 2 2<br />
Vậy hệ có nghiệm: xy <br />
II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2<br />
5 21 5 21 <br />
; 1;2 , 2;1 , <br />
;<br />
2 2 <br />
.<br />
<br />
<br />
Một hệ phương trình 2 ẩn xy , được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ<br />
phương trình ta đổi vai trò xycho , nhau thì phương trình trở thành<br />
phương trình kia.<br />
+ Tính chất.: Nếu x ; y là 1 nghiệm của hệ thì ; <br />
+ Phương pháp giải:<br />
0 0<br />
y x cũng là nghiệm<br />
0 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng<br />
x<br />
y0<br />
x y f x; y 0<br />
.<br />
f x; y<br />
0<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x 2y<br />
2<br />
y y 2x<br />
b)<br />
2 2<br />
x 1 y 6 y x 1<br />
2 2<br />
y 1 x 6 x y 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
c)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
x 3x 1 2x 1 y<br />
3<br />
y 3y 1 2y 1<br />
x<br />
d)<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện: xy , 0. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:<br />
2 2<br />
x x y y 2 y x<br />
x y <br />
x y x y x y <br />
1 2 <br />
0<br />
<br />
<br />
Vì x y x y x y <br />
1 2 0<br />
nên phương trình đã cho tương đương với: x<br />
y.<br />
Hay<br />
<br />
x<br />
0<br />
<br />
2 2<br />
x 2x x 0 x x 2x x x 1 x x 1<br />
0 x<br />
1<br />
<br />
3<br />
5<br />
x <br />
2<br />
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: xy <br />
3<br />
5 3<br />
5 <br />
; 0;0 , 1;1 , <br />
;<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Hệ đã cho<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
xy 6x y 6 yx y<br />
2 2 2<br />
yx 6y x 6 xy x<br />
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:<br />
<br />
2xy y x 7 x y x y x y 0 x y x y 2xy<br />
7 0<br />
x<br />
y<br />
<br />
x y 2xy<br />
7 0<br />
+ Nếu x y thay vào hệ ta có:<br />
+ Nếu x y xy x y<br />
x<br />
2 x<br />
y 2<br />
5x 6 0 <br />
x<br />
y 3<br />
2 7 0 1 2 1 2 15 .<br />
Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
x y x x x y<br />
5 5 12 0 2 5 2 5 2 . Đặt<br />
a 2x 5, b 2y<br />
5<br />
Ta có:<br />
a b<br />
0<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
a b 2 <br />
a b<br />
2ab<br />
2 ab<br />
1<br />
<br />
a 4b 4<br />
<br />
<br />
15 ab 4a b<br />
1 <br />
a b 8<br />
<br />
ab 31<br />
ab0<br />
<br />
ab<br />
1<br />
Trường hợp 1: xy ; 3;2 , 2;3<br />
Trường hợp 2:<br />
a<br />
b 8<br />
<br />
ab<br />
31<br />
vô nghiệm.<br />
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: xy ; 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2<br />
<br />
c) Điều kiện:<br />
1 1<br />
x ; y <br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Để ý rằng<br />
1<br />
x y không phải là nghiệm.<br />
2<br />
Ta xét trường hợp x<br />
y 1<br />
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:<br />
<br />
3 3<br />
x 3x 1 2x 1 y 3y 1 2y 1<br />
y x<br />
2 2<br />
2x<br />
y<br />
( x y) <br />
x xy y <br />
4( x y) 0<br />
2x1 2y1<br />
<br />
<br />
2 2 2 <br />
( x y) x xy y 4 0 x y<br />
<br />
2x1 2y1<br />
Khi x<br />
y xét phương trình:<br />
3 3<br />
x x x x x x<br />
2 1 2 1 0 2 2 1 1<br />
0<br />
2x<br />
2 <br />
x x x x x<br />
2x1 1 2x1 1<br />
2 2<br />
( 1) 0 1 0 0<br />
Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y 0<br />
HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP<br />
+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp<br />
+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra<br />
phương trình đẳng cấp.<br />
Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:<br />
+<br />
2 2<br />
ax<br />
<br />
<br />
<br />
ex<br />
bxy cy d<br />
gxy hy k<br />
2 2<br />
,<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+<br />
+<br />
2 2<br />
ax<br />
<br />
<br />
<br />
gx<br />
bxy cy dx ey<br />
,<br />
hxy ky lx my<br />
2 2<br />
2 2<br />
ax<br />
<br />
<br />
<br />
gx<br />
bxy cy d<br />
…..<br />
hx y kxy ly mx ny<br />
3 2 2 3<br />
Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa<br />
căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:<br />
Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình của hệ<br />
ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n :<br />
n nk k n<br />
a1 x akx . y .... any<br />
0<br />
Từ đó ta xét hai trường hợp:<br />
y 0 thay vào để tìm x<br />
n nk<br />
+ y 0 ta đặt x ty thì thu được phương trình: a1 t a t .... a 0<br />
+ Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm xy ,<br />
Chú ý: ( Ta cũng có thể đặt y<br />
tx )<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
k<br />
n<br />
a)<br />
b)<br />
3 3<br />
<br />
x 8x y 2y<br />
2 2<br />
<br />
x 3 3<br />
y 1<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
xy x y 2 x y<br />
2 2 3<br />
5x y 4xy 3y 2 x y 0<br />
2 ,<br />
<br />
<br />
xy<br />
<br />
Giải:<br />
3 3<br />
<br />
x y 8x 2y<br />
a) Ta biến đổi hệ: <br />
2 2<br />
x 3y<br />
6<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có:<br />
3 3 2 2<br />
6( x y ) (8x 2 y)( x 3 y ) đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ<br />
đó ta có lời giải như sau:<br />
Vì x 0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y tx . Khi đó hệ thành:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
2 3<br />
x x t x tx 1 2 8<br />
3<br />
x t t t t<br />
<br />
2 2 2 <br />
<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
3t<br />
3<br />
<br />
8 2 1 4<br />
<br />
<br />
x 3 3t x 1<br />
<br />
x 13t<br />
6<br />
<br />
1<br />
<br />
t <br />
3<br />
3 2 2<br />
3 1 t t 4 1 3t 12t t 1 0 <br />
t <br />
<br />
1<br />
4<br />
.<br />
*<br />
*<br />
<br />
<br />
x<br />
2 t<br />
2 <br />
1 3 6<br />
1 <br />
x<br />
3<br />
t <br />
3 x .<br />
y<br />
<br />
y<br />
1<br />
3<br />
4 78<br />
1 x <br />
13<br />
t .<br />
4 78<br />
y <br />
13<br />
Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm:<br />
( ; )<br />
4 78 78 4 78 78 <br />
3,1 ; 3, 1 ; <br />
, ; , <br />
13 13 13 13 <br />
<br />
xy <br />
b). Phương trình (2) của hệ có dạng:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
xy 1 x y 2<br />
0<br />
xy x y 2 x y 2xy x y xy 1 2 xy 1 0<br />
<br />
xy<br />
1<br />
<br />
x<br />
y<br />
2 2<br />
2<br />
TH1:<br />
<br />
2 2 3<br />
<br />
5x y 4xy 3y 2 x y 0 x<br />
1<br />
và<br />
<br />
xy 1<br />
y<br />
1<br />
<br />
x<br />
1<br />
.<br />
y<br />
1<br />
TH2:<br />
<br />
<br />
2 2 3 2 2 3<br />
5 x y 4xy 3y 2 x y 0 5x y 4xy 3y 2 x y<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x y 2 x y 2<br />
(*)<br />
Nếu ta thay<br />
x<br />
y 2 vào phương trình (*) thì thu được phương trình<br />
2 2<br />
đẳng cấp bậc 3: 5x 2 y 4xy 2 3y 3 x 2 y 2<br />
x y<br />
Từ đó ta có lời giải như sau:<br />
Ta thấy y 0 không là nghiệm của hệ.<br />
Xét y 0 đặt x ty thay vào hệ ta có:<br />
Chia hai phương trình của hệ ta được:<br />
2 3 3 3<br />
5 4 3 2 <br />
t y ty y ty y<br />
<br />
2 2 2<br />
t y y 2<br />
<br />
<br />
2<br />
5t 4t 3 t 1<br />
3 2<br />
t t t <br />
2<br />
t<br />
1 1<br />
4 5 2 0<br />
2 2 2 2<br />
t 1<br />
x y<br />
x<br />
x <br />
x1 x 1 5 5<br />
<br />
1 <br />
1 .<br />
t x y y<br />
1 y<br />
1 2 2<br />
2 2<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
y <br />
5 <br />
5<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a)<br />
b)<br />
2<br />
x y y <br />
2 3 2 3 0<br />
<br />
3 3<br />
2<br />
<br />
22y x 3y x 1 6x x 1<br />
2 0<br />
1 2x<br />
x<br />
y<br />
<br />
<br />
2<br />
3x 3y 2x y<br />
<br />
22x y 2x 6 y<br />
<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
x<br />
2<br />
2y 3 0.<br />
Phương trình (2) tương đương:<br />
<br />
3 3 2 2 3 2 3<br />
2 2y x 3y x 1 6x 6x 2 0 2 x 1 3y x 1 4y<br />
0<br />
Đây là phương trình đẳng cấp giữa y và x 1.<br />
+ Xét y 0 hệ vô nghiệm<br />
+ Xét y 0 . Đặt x 1<br />
ty ta thu được phương trình:<br />
3 2<br />
2t<br />
3t<br />
4 0<br />
Suy ra t 2 x 1 2y<br />
Thay vào phương trình (1) ta được:<br />
2 14 5<br />
x x 2 x 4 x y .<br />
9 18<br />
14 5 <br />
Vậy hệ có một cặp nghiệm: xy ; ; <br />
9 18 .<br />
b) Dễ thấy phương trình (1) của hệ là phương trình đẳng cấp của x và y<br />
Điều kiện: y 0; 3 x 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đặt<br />
2 2<br />
1 2x x tx<br />
y tx y t x thay vào (1) ta được: <br />
2 2 2 2 2<br />
3x 3t x 2x t x<br />
Rút gọn biến x ta đưa về phương trình ẩn t :<br />
2 2<br />
<br />
t 2 t t 1 0 t 2 y 2x<br />
0 .<br />
Thay vào (2) ta được:<br />
2 2 25 1<br />
4x 8x 2x 6 4x 10x 2x 6 2x<br />
6 <br />
4 4<br />
2 2<br />
5 1<br />
2x 2x 6 <br />
<br />
<br />
2 2 .<br />
Giải ra ta được<br />
17 3 13 3 17<br />
x y .<br />
4 2<br />
17 3 133 17 <br />
Vậy nghiệm của hệ xy ; <br />
;<br />
4 2 <br />
.<br />
<br />
<br />
Ví dụ 3: Giải các hệ phƣơng trình sau:<br />
a)<br />
<br />
3x<br />
<br />
y<br />
3 3<br />
2 2<br />
x y <br />
<br />
1<br />
<br />
x<br />
y<br />
1<br />
b)<br />
2<br />
x y xy x <br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
x x xy<br />
1 2 2 1<br />
3 3 6<br />
Giải:<br />
a) Ta có thể viết lại hệ thành:<br />
3 3<br />
x y x y<br />
<br />
3 1<br />
<br />
2 2<br />
x y 1<br />
(1)<br />
Ta thấy vế trái của phương trình (1) là bậc 4. Để tạo ra phương trình đẳng<br />
2 2 2<br />
cấp ta sẽ thay vế phải thành ( x y ) .<br />
Như vậy ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
3x 3 y 3 x y x 2 y 2 2x 4 3x 3 y 2x 2 y 2 xy 3 2y<br />
4 0<br />
x<br />
y<br />
2 2 <br />
( x y)( x 2 y)(2 x xy y ) 0 <br />
<br />
x 2y<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2x xy y 0<br />
+ Nếu<br />
mãn.<br />
2<br />
2 2 7 2 y <br />
2x xy y 0 x x 0 x y 0<br />
<br />
4 2<br />
không thỏa<br />
+ Nếu x y ta có<br />
2x<br />
1 x <br />
2 2<br />
2<br />
+ Nếu<br />
x 2y 5y 1<br />
y <br />
2 5<br />
5<br />
Tóm lại hệ phương trình có các cặp nghiệm:<br />
<br />
2 2 2 2 2 5 5 2 5 5 <br />
xy ; <br />
; , ; , ; , ;<br />
2 2 <br />
<br />
2 2 5 5 5 5 <br />
<br />
b) Điều kiện y 1. Ta viết lại hệ thành:<br />
2<br />
x y x y <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
x<br />
3<br />
1 2 ( 1) 1<br />
3 x( y 1) 6<br />
Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối<br />
với x, y 1<br />
Dễ thấy y 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình.<br />
Xét y 1. Đặt x t y 1 thay vào hệ ta có:<br />
3 2<br />
<br />
<br />
<br />
y 1 t 2t<br />
1 3 2<br />
t<br />
0<br />
<br />
t 3t 6( t 2 t) 0 <br />
3 3<br />
3<br />
y 1<br />
t 3t<br />
<br />
6<br />
t<br />
<br />
<br />
+ Nếu t 0 thì x 0 . Không thỏa mãn hệ
3 3 1<br />
3<br />
t 3 27 y 1 9 y 1 6 y 1 x 9<br />
3<br />
9<br />
+ Nếu <br />
3 1 <br />
Vậy hệ có 1 cặp nghiệm duy nhất ( xy ; ) <br />
9; 1<br />
3 <br />
9 <br />
Ví dụ 4: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
xy x y <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 3 3<br />
2 xy ( x 2x 3) y x 3<br />
2<br />
x xy x <br />
<br />
<br />
<br />
3 0<br />
<br />
2 2<br />
( x 1) 3( y 1) 2 xy x y 2y<br />
0<br />
<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện: y 0 . Phương trình (2) của hệ có dạng:<br />
y 1<br />
<br />
<br />
3<br />
2 xy( y 1) x ( y 1) 3( y 1)<br />
3<br />
2xy<br />
x<br />
3<br />
Trường hợp y 1 không thỏa mãn điều kiện<br />
Trường hợp<br />
3<br />
2xy<br />
x 3<br />
ta có hệ:<br />
3<br />
<br />
2xy<br />
x<br />
3<br />
<br />
.<br />
2<br />
xy x y 2<br />
Vế trái của các phương trình trong hệ là phương trình đẳng cấp bậc 3<br />
đối với x,<br />
y . Dễ thấy y 0. Ta đặt x t y thì thu được hệ:<br />
1<br />
(2 ) 3<br />
t<br />
<br />
2 3 2<br />
2t<br />
3t1 0 <br />
1<br />
3 2<br />
y ( t t<br />
) 2<br />
t 1 2<br />
t<br />
<br />
2<br />
3 3<br />
y t t <br />
2<br />
t <br />
<br />
<br />
<br />
+ Nếu t 1 thì x y x 1 y 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Nếu<br />
1<br />
t thì<br />
2<br />
1 1 1 4<br />
2 3 3 9<br />
3<br />
x y y 4x x x y <br />
3 3<br />
1 4 <br />
<br />
3 9<br />
Tóm lại hệ có các nghiệm: xy<br />
; 1;1 , ;<br />
3 3<br />
b) Điều kiện:<br />
2<br />
x y y y<br />
2 0 0 .<br />
Từ phương trình thứ nhất ta có:<br />
thứ hai ta thu được:<br />
2<br />
xy x x<br />
3 thay vào phương trình<br />
2 2 2<br />
( x 1) 3( y 1) 2x 2x 6 2 y( x 2) 0<br />
2 2<br />
x y y x <br />
2 3 2 ( 2) 0<br />
Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với<br />
y và<br />
2<br />
x <br />
2<br />
2<br />
Đặt y t x 2<br />
ta thu được:<br />
t<br />
1<br />
<br />
2<br />
3t<br />
2t1 0 <br />
1<br />
t ( L )<br />
<br />
3<br />
2<br />
Khi t 1 ta có: y x 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta thu<br />
được: x 1 y 3<br />
Tóm lại hệ phương trình có một cặp nghiệm ( xy ; ) (1; 3)<br />
Ví dụ 5: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2 2 8xy<br />
x y 16<br />
x<br />
y<br />
<br />
2 3 2<br />
x 2x x x y<br />
<br />
<br />
8y<br />
3 3y<br />
4 2<br />
<br />
x y 3x 1 3 x y( 1 x 1)<br />
<br />
2 2<br />
8x 3xy 4y xy 4y<br />
2 3<br />
b)<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Điều kiện:<br />
3 2<br />
x x<br />
y 0, x y 0, 0 .<br />
3y<br />
4<br />
Phương trình (2) tương đương:<br />
x 2 3 2 2 2<br />
4 x 3 y 4 3 4 3<br />
2 x x x x y 2 x <br />
.<br />
x y <br />
<br />
8y 6 12y 16 8y 6 8y<br />
6 6 .<br />
Đây là phương trình đẳng cấp đối với<br />
2<br />
xy và 4 x<br />
3<br />
8 6<br />
y<br />
Ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi<br />
hay<br />
2<br />
x 4x 3y<br />
0, 0 .<br />
8y<br />
6<br />
2<br />
xy và 4 x<br />
3<br />
8 6<br />
y<br />
cùng dấu<br />
Đặt<br />
2<br />
x<br />
a,<br />
8y 4x<br />
3y<br />
6<br />
b suy ra<br />
2 2<br />
a b 2ab a b<br />
2 x<br />
6y<br />
x 4x 3y<br />
<br />
2 .<br />
8y 6 x<br />
y<br />
3<br />
TH1: x 6y<br />
thay vào (1) ta có:<br />
28 168 ( )<br />
4 <br />
y x L<br />
2 2<br />
37 37<br />
y y 16y<br />
16<br />
.<br />
9<br />
4 24<br />
y x<br />
7 7<br />
TH2:<br />
2<br />
x y thay vào (1) ta có:<br />
3<br />
12<br />
y ( L )<br />
.<br />
<br />
y 12 x 8( TM )<br />
4 2 2<br />
y y 16y<br />
16 13<br />
9<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
24 4 <br />
<br />
7 7<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; ; , 8;12<br />
.<br />
b) Điều kiện:<br />
xy<br />
0<br />
xy<br />
, 0<br />
x<br />
1 <br />
x 1<br />
y 0<br />
<br />
<br />
Để ý rằng phương trình thứ hai của hệ là phương trình đẳng cấp đối với<br />
xy. , Ta thấy nếu y 0 thì từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra<br />
x 0 , cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ.<br />
Xét y 0. Ta chia phương trình thứ hai của hệ cho y ta thu được:<br />
2<br />
x x x<br />
8<br />
3 4 4 . Đặt<br />
y y y<br />
x<br />
y<br />
t ta thu được phương trình<br />
4 4<br />
4 2<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
8t 3t 4 4 t <br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
4 t<br />
4<br />
<br />
1<br />
4 2 <br />
t <br />
3 2<br />
2t t 2t 3 0 ( t 1)(2t 2t t 3) 0<br />
Khi t 1 x y .<br />
4 2 2 4 2<br />
8t 3t 4 t 8t 16 8t 4t 8t<br />
12 0<br />
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:<br />
3 3<br />
x 3x 1 3 x( 1 x 1) .<br />
Điều kiện: 0x<br />
1. Ta thấy x 0 không thỏa mãn phương trình.<br />
Ta xét 0x<br />
1. Chia bất phương trình cho<br />
3<br />
x 0 ta thu được phương<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
3<br />
3 1 1 1 <br />
trình: 1 3 1<br />
2 3<br />
x x <br />
<br />
x x <br />
. Đặt 1 t t 1 phương trình trở<br />
<br />
x<br />
3 3<br />
3 2 3 2<br />
thành: t t t t t t t t <br />
3 1 3 1 3 1 1 3<br />
Dễ thấy f t f <br />
Xét f ( t) t 3 3t 2 1 t t 1<br />
3<br />
phương trình có nghiệm duy nhất t 1<br />
x<br />
1<br />
1 3 suy ra
Tóm lại hệ phương trình có nghiệm xy ; 1;1<br />
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ xy , dựa vào phương trình thứ hai của<br />
hệ theo cách:<br />
Phương trình có dạng:<br />
( x y)(8x 5 y) ( x y)<br />
y<br />
2 2<br />
8x 3xy 4y 3y xy y 0 0<br />
2 2<br />
x<br />
y<br />
<br />
<br />
8x 5 y y (3)<br />
0<br />
<br />
2 2<br />
8x 3xy 4y 3y<br />
xy y<br />
x<br />
y<br />
8x 3xy 4y 3y<br />
xy y<br />
. Vì xy , 0 nên ta suy ra<br />
PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG<br />
Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật<br />
cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích,cộng trừ các<br />
phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt…<br />
* Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
x y y x <br />
<br />
4 2 3 2<br />
3 x ( x y)<br />
6x y y<br />
2<br />
1 4 2 5 2 ( 1) 5<br />
3 3 2<br />
x x y y <br />
<br />
<br />
12 6 16<br />
2 2<br />
x y xy x y<br />
4 6 9 0<br />
(1)<br />
(2)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2xy x 2y<br />
3<br />
x 4y 3x 6y<br />
4<br />
c) 3 3 2<br />
d)<br />
2<br />
y x <br />
3<br />
y x <br />
<br />
<br />
<br />
7 6 ( 6) 1<br />
2<br />
2( x y) 6x 2y 4 y x 1<br />
Giải:<br />
a). Điều kiện<br />
x<br />
1<br />
<br />
y<br />
2<br />
<br />
5 2 y ( x 1)<br />
2<br />
Xuất phát từ phương trình (2) ta có:<br />
4 3 2 2<br />
3x 6 x y ( x y) y 0<br />
x<br />
0<br />
2y<br />
3 2<br />
3 x ( x 2 y) x( x 2 y) 0 x( x 2 y)(3x<br />
1) 0 <br />
x<br />
Với x 0 thay vào (1) ta có:<br />
1 4 2y 4 2y 5 4 2y 4 2y<br />
4<br />
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có<br />
2<br />
4 2y 4 2y 2(4 2y 4 2 y) 16 4 2y 4 2y<br />
4<br />
Dấu = xảy ra khi: 4 2y 4 2y y 0<br />
Hệ có nghiệm: (0;0)<br />
Với: x<br />
2y. Thay vào phương trình trên ta được<br />
x x x x x x x x <br />
(*)<br />
2<br />
1 4 5 ( 1) 5 1 4 ( 1)(4 ) 5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
t 5<br />
Đặt t x 1 4 x 0 x 1. 4 x . Thay vào phương<br />
2<br />
2<br />
t 5<br />
2 t<br />
5<br />
trình ta có: t 5 t 2t<br />
15 0 <br />
2<br />
.<br />
t<br />
3<br />
Khi<br />
t 3 <br />
2 x<br />
0<br />
x 1. 4 x 2 x 3x<br />
0 <br />
x 3<br />
3 <br />
; 0;0 , 3; <br />
2 <br />
Tóm lại hệ có nghiệm xy <br />
Nhận xét : Điều kiện t 0 chưa phải là điều kiện chặt của biến t<br />
Thật vậy ta có:<br />
t x x t x x t <br />
2 2<br />
1 4 5 2 ( 1)(4 ) 5<br />
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si ta có<br />
2<br />
2 ( 1)(4 ) 5 10 5; 10<br />
x x t t <br />
b) Hệ viết lại dưới dạng<br />
3 3<br />
x x y y <br />
12 ( 2) 12( 2)<br />
2 2<br />
x x( y 4) ( y 3) 0<br />
Đặt t y 2 . Ta có hệ :<br />
<br />
<br />
<br />
12 12 ( )( 12) 0 (*)<br />
<br />
( 2) ( 1) 0 2( ) 1 0 (2*)<br />
3 3 2 2<br />
x x t t x t x t xt<br />
2 2 2 2<br />
x x t t x t xt x t<br />
Từ (*) suy ra<br />
2 2<br />
x t xt <br />
<br />
x<br />
t<br />
12 0 (3*)<br />
- Với x t thay vào (2*) ta có phương trình<br />
Từ đây suy ra 2 nghiệm của hệ là xy <br />
- Với (3*) kết hợp với (2*) ta có hệ<br />
2<br />
3x<br />
4x1 0<br />
1 7<br />
; 1;3 , ; <br />
3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
13<br />
x t <br />
<br />
<br />
( x t) xt 2( x t) 1 0 0 121<br />
xt <br />
4<br />
2<br />
( x t) xt 12 0 2<br />
<br />
2<br />
( VN )<br />
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: xy <br />
c) Đưa hệ phương trình về dạng:<br />
( x1)(2 y1) 2<br />
<br />
3 1 3 2 3<br />
( x 1) (2y 1) 3( x 1) (2y<br />
1) 5<br />
2 2<br />
Đặt: a x 1; b 2y 1.<br />
Khi đó ta thu được hệ phương trình:<br />
ab<br />
2<br />
<br />
ab<br />
2<br />
3 1 3 2 3 <br />
a b 3a b 5 <br />
2 2<br />
. Do x t 2 4xt<br />
1 7<br />
; 1;3 , ; <br />
3 3<br />
3 3 2<br />
2a b 6a 3b<br />
10<br />
Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm được nghiệm là x y 1nên ta sẽ<br />
có hệ này có nghiệm khi: a 2; b 1<br />
( a 2) b 2(1 b)<br />
Do đó ta sẽ phân tích hệ về dạng: 2 2<br />
( a 2) ( a 1) ( b 1) ( b 2)<br />
Vì ta luôn có: b 0 nên từ phương trình trên ta rút ra<br />
Thế xuống phương trình dưới ta được:<br />
2(1 b)<br />
a 2<br />
<br />
b<br />
2<br />
4( b 1) 2 2 2<br />
2 ( a 1) ( b 1) ( b 2) ( b 1) 4( a 1) b ( b 2) <br />
0<br />
b<br />
b 1<br />
<br />
<br />
2<br />
4( a 1) b ( b 2)<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với: b1 a 2 , suy ra: x y 1; .<br />
2<br />
Với 4( a 1) b ( b 2) . Ta lại có:<br />
b 2<br />
ab 2 b( a 1) b 2 a 1 .<br />
b<br />
Thế lên phương trình trên ta có:<br />
4( b 2)<br />
b<br />
1<br />
2 1 2;<br />
( 2) <br />
b a x y <br />
2<br />
<br />
4 (Không TM)<br />
2<br />
b b <br />
3<br />
b <br />
1 <br />
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là: xy ; (1;1) , 2;<br />
<br />
2 <br />
d) Điều kiện:<br />
x<br />
1<br />
<br />
y<br />
0<br />
. Ta viết lại hệ phương trình thành:<br />
2<br />
2( x y) 6x 2y 4 y x 1<br />
2<br />
2( x y) 6x 2y 4 y x 1 . Bình phương 2 vế ta thu<br />
được:<br />
2 2<br />
2x 4xy 2y 6x 2y 4 x y 1 2 y( x 1)<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 ( x 1) 2 y( x 1) y ( x 1 y) 2 y( x 1)<br />
x1<br />
y<br />
x y x y <br />
x y<br />
x1<br />
y<br />
2 2<br />
2( 1 ) ( 1 ) 0 1<br />
<br />
Thay vào phương trình (2) ta có:<br />
2 3 2<br />
y y y y y y 3 y y<br />
7 1 ( 7) 1 7 1 ( 7) 1 .<br />
3<br />
Đặt a y( y 7) ta có phương trình:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a<br />
3<br />
a<br />
1<br />
a<br />
1<br />
<br />
a 0<br />
1 a1 <br />
<br />
3 2<br />
a a 2a<br />
0<br />
<br />
<br />
a 1<br />
a 2<br />
Với<br />
Với<br />
Với<br />
y 0 x 1<br />
a 0<br />
<br />
y 7 x<br />
6<br />
a y y<br />
7 3 5 5 3 5<br />
y x<br />
2 2<br />
7 3 5 5 3 5<br />
y x<br />
2 2<br />
2<br />
1 7 1 0 <br />
<br />
2 y 1 (L)<br />
a 2 y 7y<br />
8 0 <br />
y 8 x<br />
7<br />
Hệ phương trình đã cho có nghiệm là :<br />
<br />
5 3 5 7 3 5 5 3 5 7 3 5 <br />
xy ; ( 1;0),(6;7), <br />
; , ; ; ,(7;8)<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
c).<br />
2 2<br />
x y x y <br />
(2 2) 3 0<br />
2 2 3 2<br />
x 2 xy ( y 3) x 2y 6y<br />
1 0<br />
2 2<br />
x xy y y <br />
<br />
<br />
2 2 2 0<br />
3 2 2<br />
x x y y y x<br />
2 2 2 0<br />
2 3 2 2<br />
xy x y yx y x <br />
<br />
<br />
3 4 3 0<br />
2 2<br />
3x y y 3xy<br />
1 0<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) <strong>Các</strong>h 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế ta<br />
2 3 2 2<br />
được: 2 xy ( y 3) x 2y 6y 1 (2y 2) x 3y<br />
0<br />
2xy 2 xy 2y 3 3y 2 1 x 0 x y<br />
2 y 1 2y 3 3y<br />
2 <br />
( y 1)(2 y 1)( x y 1) 0.<br />
+ Nếu y 1thay vào phương trình (1) ta có:<br />
+ Nếu<br />
1<br />
y thay vào phương trình (1) ta có:<br />
2<br />
2 3<br />
2 3<br />
4x 12x 3 0 x <br />
2<br />
+ Nếu y x1thay vào phương trình (1) ta có:<br />
<br />
<br />
2 1<br />
0<br />
x<br />
2<br />
3 x 3<br />
2 2 2 2<br />
x x x x x<br />
2 3( 1) 0 4 6 3 0 . Vô nghiệm.<br />
32 2 1 32 2 1 <br />
Kêt luận: xy ; ( 3;1),( 3;1), <br />
; , ;<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
* <strong>Các</strong>h 2: Phương trình thứ hai phân tích được:<br />
2<br />
(2 y x)( x y 3) 1<br />
0<br />
Phương trình thứ nhất phân tích được:<br />
2 2<br />
( xy) 2( x<br />
2 y ) 0<br />
Đặt<br />
2<br />
2<br />
a<br />
b<br />
, 2 ta có hệ:<br />
a x y b x y<br />
2 0<br />
<br />
( a<br />
3) b1 0<br />
b) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được:<br />
3 2 2<br />
x x x y xy x<br />
2 2 0, hay<br />
3 2 2<br />
( x x 2 x) y( x 2 x) 0.<br />
Do<br />
3 2 2<br />
x x x x x x<br />
2 ( 1)( 2 ) nên từ trên, ta có<br />
2<br />
( x 2 x)( x 1 y) 0.<br />
+ Nếu<br />
y 0<br />
x 0<br />
<br />
y 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Nếu<br />
y 0<br />
x 2 <br />
<br />
4<br />
y <br />
3<br />
2<br />
+ Nếu y x 1 thay vào phương trình (1) ta thu được: 1 2y<br />
2y 0 vô<br />
nghiệm.<br />
Kết luận:<br />
Hệ phương trình có các cặp nghiệm là:<br />
4 <br />
xy ; (0;0),(0; 2), 2;0 , 2; <br />
3 <br />
c) Hệ được viết lại như sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy 2 y 3x 2 3x 3 y 4x 2 y xy y y 3x 2 4x 2 y<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
3x y y 3xy 1 0 3x y 3xy<br />
1 0<br />
Xét với y 0 thay vào ta thấy không là nghiệm của hệ .<br />
Với y 0 ta biến đổi hệ thành :<br />
1 <br />
x <br />
y 3x 4x<br />
y <br />
<br />
2 1<br />
3x y 3x<br />
0<br />
<br />
<br />
y<br />
2 2<br />
<br />
1 <br />
x <br />
y 3x 4x<br />
y <br />
<br />
2 1<br />
3x y x 4x<br />
<br />
y<br />
2 2<br />
Đặt :<br />
1<br />
a<br />
x <br />
y<br />
<br />
b y 3x<br />
2<br />
2<br />
ab<br />
4x<br />
Khi đó hệ trở thành hệ : <br />
a b 4x<br />
Theo Viets thì ta có 2 số a và b là nghiệm của phương trình :<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
1<br />
<br />
2x x<br />
y <br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
2x y 3x<br />
<br />
2x 3x<br />
x<br />
1<br />
y 1<br />
x y<br />
x<br />
1<br />
x <br />
1 2 3 2 y 1<br />
2x 3x 3x 2x<br />
1 0<br />
<br />
<br />
x<br />
2 2 2<br />
t 4xt 4 x ( t 2 x) 0 t 2x<br />
Vậy hệ có 1 nghiệm xy ; <br />
1;1<br />
2<br />
Ví dụ 3: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
<br />
3<br />
x y <br />
1 1 2<br />
<br />
<br />
x y 9y x9 y y<br />
2 4 3<br />
<br />
3 2<br />
x 2x y 15x 6 y(2x 5 4 y)<br />
<br />
b) 2 3 2<br />
x 2x x x y<br />
<br />
8y<br />
3 3y<br />
4 2<br />
c)<br />
3x 6 2x 4 4 3y 9 2y<br />
<br />
6x 3x y 2xy 4 y 4x 6x<br />
3 2 2 2<br />
d)<br />
3 4 2<br />
x y y x y <br />
<br />
<br />
8 3 4<br />
2<br />
2xy y y 2<br />
Giải:<br />
a) Từ phương trình (2) của hệ ta có:<br />
<br />
x y y x y y x y x y<br />
x<br />
y<br />
2 4 3 3<br />
9 9 9 0 3<br />
x y <br />
Vì y 1 và 3 1 x 1 y 2 nên 3 1 x 2 x<br />
7<br />
<br />
9 0<br />
Do đó<br />
x<br />
3<br />
y 9 1 0 nên<br />
x<br />
3<br />
y 9 0 vô nghiệm.<br />
Ta chỉ cần giải trường hợp x<br />
y. Thế vào phương trình ban đầu ta<br />
. Đặt a 3<br />
1 x; b 1 x b<br />
0<br />
được: 3 1 x 1 x 2<br />
thì<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ab2<br />
3 2<br />
a<br />
b<br />
2<br />
2<br />
<br />
3 3 2 2<br />
a a a a a a a a <br />
2 2 4 2 0 1 2 2 0<br />
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình ban đầu<br />
x 0; x 11 6 3; x 11<br />
6 3<br />
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là<br />
x y 0; x y 11 6 3; x y 11<br />
6 3<br />
b) Phương trình thứ nhất của hệ<br />
2<br />
<br />
2y<br />
x<br />
<br />
y <br />
12<br />
(2 y x) x 12y 15 0 2<br />
x 15<br />
TH 1:<br />
2<br />
x 15<br />
y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:<br />
12<br />
<br />
2 3 2 2<br />
3x 2x 4x x x 15<br />
<br />
2<br />
2<br />
3 x 15 4 24<br />
2 x 15<br />
<br />
2 2<br />
36x<br />
x 2 2<br />
12<br />
2 2 x 16x 15 x 16x<br />
15<br />
0<br />
x 15 x 15<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
x x x x <br />
16 15 0 16 15 0<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
x 15<br />
x 15<br />
2<br />
2<br />
6 <br />
2 x 16x15<br />
2<br />
x<br />
x <br />
16 15 0<br />
<br />
2 2 2<br />
36x x 15 x 16x<br />
15 (*)<br />
2<br />
2<br />
36 x 16x15<br />
2<br />
Xét phương trình (*) 36x 2 x 2 15 x 2 16x<br />
15<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vì x = 0 không phải là nghiệm. Ta chia hai vế phương trình cho<br />
có:<br />
15 15 <br />
36 x x16<br />
<br />
x x Đặt<br />
2 t<br />
2<br />
15<br />
x t t 16t<br />
36 0 <br />
x<br />
<br />
t<br />
18<br />
2<br />
x ta<br />
+ Nếu<br />
2 x<br />
5<br />
15<br />
t 2 x 2 x 2x 15 0 x 5<br />
x<br />
<br />
x<br />
3<br />
+ Nếu t = 18<br />
15<br />
<br />
2<br />
x 9 4 6<br />
x 18 x 18x 15 0 <br />
x 9 4 6<br />
x<br />
x 9 4 6<br />
5 27 12 6 <br />
Nghiệm của hệ đã cho là: xy ; 5; , 9 4 6;<br />
6 2 <br />
<br />
TH 2: x 2y<br />
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:<br />
2 3 2 2<br />
x 2x 2x x x 7 11x<br />
x<br />
x 0<br />
4x<br />
3 3x<br />
4 4 6 12<br />
(loại) (do điều kiện<br />
y 0 )<br />
5 27 12 6 <br />
KL: Nghiệm của hệ đã cho là: xy ; 5; , 9 4 6;<br />
6 2 <br />
<br />
c) Điều kiện<br />
x<br />
2<br />
<br />
y<br />
3<br />
Phương trình (2) của hệ tương đương với:<br />
y2x2<br />
2<br />
y23x<br />
2<br />
(2x 2 y)(3x y 2) 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Với y 2x 2 thế vào phương trình (1) ta được:<br />
(1) 7x 6 2x 4 4 6x<br />
15 4 0 (3)<br />
Đến đây sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
<br />
6 2x 4 3.2 2( x 2) 3x<br />
<br />
6 2x 4 4 6x 15 7x<br />
4<br />
4 6x 15 2.2 3(2x 5) 2(2x<br />
2)<br />
Dấu '' '' xảy ra khi chỉ khi x 4<br />
Từ (3) suy ra x 4 là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm ( xy ; ) (4;6)<br />
- Với<br />
y<br />
2<br />
2 3x<br />
2 hệ vô nghiệm do điều kiện y 3<br />
Vậy hệ đã cho chỉ có 1 nghiệm ( xy ; ) (4;6)<br />
d) Thế phương trình 2 vào phương trình 1 của hệ ta được phương trình :<br />
<br />
3 4 2 2 3 3 2<br />
x y 8y 3x y 2(2 xy y y ) x 8y 3x y 4x 2 2y y<br />
Vì y 0 không là nghiệm của hệ. Chia cả hai vế cho y ta được phương<br />
trình<br />
3 3 2 3 2 3<br />
x y x x y x x x y y<br />
8 3 4 2 2 3 4 8 2 2<br />
Đặt : z x 1 x z 1 . Khi đó ta có phương trình :<br />
<br />
8 2 2 4 2 0 do 4 2 0<br />
<br />
<br />
z 2y x 1 2y x 2y<br />
1<br />
3 3 2 2 2 2<br />
z z y y z y z y zy z y zy<br />
Thế vào phương trình 2 của hệ ta được phương trình:<br />
y 1 x<br />
1<br />
<br />
y <br />
3<br />
x<br />
3<br />
2<br />
3y<br />
y 2 0 2 7<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm<br />
7 2<br />
( xy ; ) (1;1); ; <br />
3 3 <br />
Ví dụ 4: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y y x<br />
3<br />
3y<br />
<br />
2 2<br />
3y 1 2y x 1 4y x 2y<br />
1<br />
2<br />
xy y<br />
<br />
2x<br />
3 2 3<br />
<br />
<br />
2 3 2 2<br />
2x x y 2x y 7xy<br />
6<br />
x 4 xy y y x<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
2 3<br />
2yx<br />
x<br />
10<br />
<br />
2 6 7 2 9<br />
<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
x<br />
2<br />
2y1 0 .<br />
Phương trình (1) tương đương:<br />
4y 4y x 2y 1 x 2y 1 x 2xy y<br />
2 2 2 2 2<br />
2<br />
<br />
2 <br />
2<br />
2y x 2y 1 x y<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x 2y 1 3y x<br />
2<br />
x 2y 1 x y<br />
TH1:<br />
2<br />
x 2y 1 3y x<br />
. Bình phương hai vế phương trình ta được:<br />
3y<br />
x x 1; y 1( TM )<br />
3y<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
6 9 2 1<br />
2 2 2 xy y y <br />
415 17<br />
x 2y 1 9y 6xy x <br />
x ; y ( TM )<br />
2<br />
xy y 3y<br />
3 51 3<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
TH2:<br />
2<br />
x 2y 1 x y<br />
. Bình phương hai vế phương trình:<br />
x<br />
y0 x 1; y 1<br />
x y 0<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2 1<br />
2 2 2 xy y y <br />
41 7<br />
x 2y 1 x 2xy y <br />
x ; y ( L)<br />
2<br />
xy y 3y<br />
3 21 3<br />
.<br />
Vậy hệ có nghiệm xy <br />
415 17 <br />
; 1;1 , ; <br />
51 3 .<br />
b) Từ phương trình (1) ta thấy: 2x1 y 3 31<br />
y<br />
2<br />
<br />
TH1: y 1 thay vào (2) ta có:<br />
.<br />
3<br />
x x x x x<br />
7 6 0 1; 3; 2 .<br />
TH2: Kết hợp với (2) ta có hệ mới:<br />
2<br />
<br />
2x 2xy 2xy 3<br />
3y<br />
<br />
<br />
2 3 2 2<br />
2x x y 2x y 7xy<br />
6<br />
. (*)<br />
(3)<br />
2<br />
Phương trình (3) tương đương với: xy xy x <br />
+ Nếu: xy 2 thay vào (*) ta có:<br />
2 2 3 0 .<br />
1<br />
y<br />
2x 4 4y 3 3y x y 1 y<br />
4.<br />
2<br />
Phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.<br />
+ Nếu<br />
2xy<br />
3<br />
2<br />
x thay vào (*) ta có:<br />
<br />
<br />
2x 3 x y 3 x 3 3y y 1<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
1 3 x x 1; y 1<br />
x <br />
2 2 2<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 1;1 , 3;1 , 2;1<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Phương trình (1) tương đương:<br />
<br />
4 2 2 2 2 2<br />
x x y x x x x x x y x x<br />
.<br />
7 9 2 3 0 3 3 2 3 0<br />
TH1:<br />
TH2:<br />
x<br />
2<br />
1 13 79 13<br />
x y <br />
2 36<br />
x 3 0 <br />
.<br />
1 13 79 13<br />
x y <br />
2 36<br />
2 2<br />
2y x x 3<br />
thay vào (2) ta có:<br />
<br />
<br />
5<br />
x 5 y 1<br />
2 2 3<br />
2<br />
x x 3<br />
x x 10 <br />
.<br />
5<br />
x 5 y 1<br />
<br />
2<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
<br />
1 13 79 13 1 13 79 13 5 5 <br />
xy ; <br />
; , ; , 5;1 , 5;1<br />
2 36 <br />
2 36 2 2 <br />
<br />
Ví dụ 5: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
xy x y 1<br />
a) 3 2 3<br />
4x 12x 9x y 6y<br />
7<br />
xy x 2y<br />
4<br />
b) 3 2 3<br />
4x 24x 45x y 6y<br />
20<br />
c)<br />
3<br />
<br />
2<br />
1 x 3 3<br />
xy y<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 1 4<br />
<br />
xy 2<br />
2y<br />
<br />
2<br />
x x<br />
d)<br />
2 2<br />
x y x <br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
2 2<br />
3<br />
2xy<br />
4y<br />
1<br />
x<br />
y1<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3xy 3x 3y<br />
3<br />
a) Hệ tương đương: <br />
.<br />
3 2 3<br />
4x 12x 9x y 6y<br />
7<br />
Trừ hai phương trình cho nhau ta được: 3 3<br />
3 3 3<br />
4 x 1 4y 3y 3xy 3y<br />
4 x 1 y 3xy 3y<br />
2 2 2<br />
x y x x y y y y x <br />
4 1 1 1 3 1<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
x y x x y y y y xy y <br />
4 1 1 1 3 11<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
x y x x y y y x y <br />
4 1 1 1 3 1<br />
<br />
<br />
x y x y<br />
1 2 2 0<br />
2<br />
Với y 1 x thay vào (1) ta được:<br />
x<br />
2<br />
x 2 0 (vô nghiệm).<br />
Với y 2x 2 thay vào (1) ta được:<br />
5 17<br />
x<br />
<br />
4<br />
.<br />
5 17<br />
x<br />
<br />
4<br />
2<br />
2x<br />
5x<br />
1 0<br />
5 17 1 17 5 17 1<br />
17 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; <br />
; , ;<br />
4 2 4 2 <br />
.<br />
<br />
6y 3x 3xy<br />
12 0<br />
b) Hệ tương đương: <br />
.<br />
3 2 3<br />
4x 24x 45x y 6y<br />
20<br />
Trừ hai phương trình trên cho nhau ta được:<br />
3 2 3<br />
4 24 48 32 3 12<br />
x x x y xy y<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
4 x 2 4y 3y 3xy 12y<br />
2 2 2<br />
x y x x y y y y x <br />
4 2 2 2 3 4<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Thế x xy 2y<br />
4 vào VP ta được:<br />
x y x 2 x y y 2 y y 2 y xy y 2<br />
x y <br />
4 2 2 2 3 2 4 4 3 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x y 2 4 x 2 4 x 2 y y 0 .<br />
<br />
Với y x 2 thay vào (1) ta được:<br />
Với y 2x 2 thay vào (1) ta được:<br />
x<br />
2<br />
5x 8 0 (vô nghiệm).<br />
17 7<br />
x<br />
<br />
4<br />
<br />
17 7<br />
x<br />
<br />
4<br />
2<br />
2x<br />
7x<br />
4 0<br />
.<br />
17 7 1 17 17 7 1<br />
17 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; <br />
<br />
; , ;<br />
4 2 4 2 <br />
.<br />
<br />
c) Điều kiện: x 0 .<br />
Phương trình (2) tương đương:<br />
2<br />
1 <br />
1 1 2<br />
y 2 0 xy 2 y .<br />
2<br />
x <br />
x x x<br />
Thay vào (1) ta được:<br />
3 3<br />
1 1 1 1 2 <br />
1<br />
1 1 2<br />
2 <br />
2 <br />
x x 2 x x <br />
2<br />
t t 4 t 3 t 2 t <br />
2 1 6 12 2 4 3 0 .<br />
2 2<br />
t t t t<br />
3 3<br />
TH1:<br />
1 3<br />
t x 2 y .<br />
2 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
TH2:<br />
4 3 2<br />
6t 12t 2t 4t<br />
3 0<br />
2 2<br />
1<br />
6t<br />
t <br />
3<br />
3<br />
2<br />
(vô lý)<br />
3 <br />
Vậy nghiệm của hệ xy ; 2;<br />
<br />
4 .<br />
d) Điều kiện: x<br />
y 1. Phương trình (2) tương đương:<br />
x 2 4y 2<br />
x y 1 2xy x y 1<br />
.<br />
Phân tích nhân tử ta được: x y x 2 y 2 xy y <br />
2 1 2 1 0 .<br />
TH1: x 2y1 0 thay vào (1) dễ dàng tìm được:<br />
<br />
1 2 14 3 14 2 14 1 3<br />
14 <br />
xy ; <br />
; , ;<br />
5 5 5 2 <br />
.<br />
<br />
TH2: Kết hợp với (1) ta có hệ mới:<br />
2 2<br />
x y xy y <br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
.<br />
3<br />
2 2<br />
x y x<br />
Giải bằng cách:<br />
<br />
2<br />
PT (1) PT (2) 3y xy x y 4 0 y 1 x 3y<br />
4 0 .<br />
Vậy nghiệm của hệ<br />
1 2 14 3 14 2 14 1 3 14 10 17 <br />
; <br />
; , ; , ; , 1;1 , 1; 1 , 2;<br />
5 5 <br />
5 2 <br />
11 10 <br />
xy <br />
Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:<br />
a)<br />
2 2<br />
x y x y <br />
<br />
<br />
<br />
2 2 8 6 0<br />
2<br />
x xy y x<br />
4 1 0<br />
2<br />
<br />
2x 2xy y 5 0<br />
b) <br />
2<br />
y xy 5x<br />
7 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải:<br />
* <strong>Các</strong>h 1: Đặt<br />
x u a<br />
<br />
y v b<br />
thay vào phương trình (1) của hệ ta có:<br />
2 2<br />
( u a) 2( v b) 2( u a) 8( v b) 6 0<br />
<br />
2 2 2 2<br />
u v a u v b a b a b<br />
2 2( 1) 4 ( 2) 2 2 8 6 0.<br />
Ta mong muốn không có số hạng bậc nhất trong phương trình nên điều<br />
a<br />
10<br />
a<br />
1<br />
kiện là: <br />
b<br />
2 0 b<br />
2<br />
Từ đó ta có các h đặt ẩn phụ như sau: Đặt<br />
xu1<br />
<br />
y<br />
v 2<br />
thay vào hệ ta có:<br />
2 2<br />
u<br />
v <br />
<br />
<br />
u<br />
2<br />
2 3<br />
uv<br />
2<br />
đây là hệ đẳng cấp.<br />
Từ hệ ta suy ra<br />
u<br />
v<br />
2u 2 2v 2 3u 2 uv<br />
u 2 3uv 4v<br />
2 0 <br />
u<br />
4v<br />
Công việc còn lại là khá đơn giản.<br />
* <strong>Các</strong>h 2:Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2).<br />
2 2 2<br />
x 2y 2x 8y 6 k <br />
x xy y 4x<br />
1<br />
0<br />
2 2<br />
(1 k) x (2 4 k ky) x 2y 8y ky k 6 0<br />
Ta có<br />
<br />
2 2<br />
(2 4 k ky) 4( k 1)(2 y 8y ky k 6)<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
k 8k 8 y (4k 32k 32) y 12k 12k<br />
20 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta mong muốn có dạng<br />
( Ay )<br />
có nghiệm kép:<br />
2<br />
B 0<br />
2<br />
<br />
4k 32k 32 4 k 8k 8 12k 12k 20 0 k .<br />
2<br />
2 2 2 3<br />
Từ đó ta có cách giải như sau:<br />
Lấy 2 lần phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:<br />
x 2 y 2 x y x 2 xy y x <br />
2 2 2 8 6 3 4 1 0<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x xy x y y x y x y y <br />
3 8 4 13 9 0 3 8 4 13 9 0<br />
2 2<br />
2 2<br />
Ta có 3y 8 44y 13y 9 25y 100y 100 5y<br />
10<br />
Từ đó tính được:<br />
3y 8 (5y10)<br />
<br />
x y1<br />
2<br />
<br />
3y 8 (5y10)<br />
x 4y<br />
9<br />
2<br />
Phần việc còn lại là khá đơn giản.<br />
b) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:<br />
<br />
2 2 2 2<br />
2x 2xy y 5 y xy 5x 7 0 2x y 5 x y y 12 0<br />
y 1<br />
x <br />
2 <br />
x y<br />
2<br />
Nhận xét: Khi gặp các hệ phương trình dạng:<br />
2 2<br />
<br />
a1x a2xy a3 y a4x a5 y a6<br />
0<br />
<br />
2 2<br />
b1 x b2 xy b3 y b4 x b5 y b6<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Ta đặt x u a,<br />
y v b sau đó tìm điều kiện để phương trình không có<br />
số hạng bậc 1 hoặc không có số hạng tự do .<br />
+ Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau đó chọn k<br />
sao cho có thể biễu diễn được x theo y . Để có được quan hệ này ta cần<br />
2<br />
dựa vào tính chất. Phương trình ax bx c biểu diễn được thành dạng:<br />
2<br />
( Ax B) 0<br />
Đối với các hệ đại số bậc 3:<br />
Ta có thể vận dụng các hướng giải<br />
+ Biến đổi hệ để tạo thành các hằng đẳng thức<br />
+ Nhân các phương trình với một biểu thức đại số sau đó cộng các phương<br />
trình để tạo ra quan hệ tuyến tính.<br />
Ví dụ 8) Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:<br />
a)<br />
3 2<br />
x<br />
xy <br />
<br />
<br />
<br />
3 49<br />
2 2<br />
x 8xy y 8y 17x<br />
c)<br />
3 2<br />
x x y xy x <br />
<br />
<br />
<br />
3 6 3 49<br />
2 2<br />
x xy y y x<br />
6 10 25 9<br />
b)<br />
3 3<br />
x<br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
35<br />
2 2<br />
2 3 4 9<br />
x y x y<br />
d)<br />
<br />
xy 3x y 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
7x 11 3 x y x y 1 (1)<br />
Giải:<br />
a) Phân tích: Ta viết lại hệ như sau:<br />
3 2<br />
x<br />
xy <br />
<br />
<br />
<br />
3 49 0<br />
2 2<br />
y x y x x<br />
8( 1) 17 0<br />
Nhận thấy x 1 thì hệ trở thành:<br />
<br />
<br />
2<br />
y 16 0<br />
2<br />
3y<br />
48 0<br />
<br />
y 4<br />
Từ đó ta có lời giải nhƣ sau:<br />
Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2 2 2<br />
x xy x xy y y x<br />
3 49 3 8 8 17 0<br />
x <br />
x y <br />
<br />
2 2<br />
1 ( 1) 3( 4) 0<br />
Từ đó ta dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ: xy ; 1;4 , 1; 4<br />
b) Làm tương tự như câu a<br />
Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) thì thu được:<br />
2 2<br />
x 1 <br />
( x 1) 3( y 5) <br />
0 . Từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm của<br />
hệ.<br />
c) Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta thu được:<br />
3 3<br />
( x 2) ( y 3) x y 5<br />
Thay vào phương trình (2) ta có:<br />
2 2 2 y 3<br />
2( y 5) 3y 4( y 5) 9y 5y 25y<br />
30 0 <br />
y 2<br />
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: xy ; 2; 3 , 3; 2<br />
d) Lấy 2 lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được:<br />
2 2<br />
x 1 <br />
y ( x 3) y x x 2<br />
0<br />
Trường hợp 1: x 1 hệ vô nghiệm<br />
<br />
Trường hợp 2:<br />
2 2<br />
y x y x x <br />
<br />
<br />
<br />
( 3) 2 0<br />
3 2<br />
x y x y xy<br />
( )( 1)<br />
Lấy 2 lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được:<br />
2 2<br />
<br />
2x 1 y ( x 1) y x x 2<br />
0<br />
+ Nếu<br />
1 3 3 5<br />
x y <br />
2 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Nếu<br />
2 2<br />
y x y x x<br />
( 1) 2 0 ta có hệ:<br />
2 2<br />
y x y x x <br />
<br />
<br />
<br />
( 1) 2 0<br />
.<br />
( 3) 2 0<br />
2 2<br />
y x y x x<br />
Trừ hai phương trình cho nhau ta có: y 1 thay vào thì hệ vô nghiệm<br />
1 33 5 1 33 5 <br />
KL: Nghiệm của hệ là: xy ; <br />
; , ;<br />
2 4 2 4 <br />
<br />
d).<br />
Ta có: (1) 7x 3 3xy 3x y 1 3 x y x y 1<br />
<br />
<br />
3<br />
7x 3xy 4x 2y x y 1 3 x y x y 1<br />
<br />
<br />
3 3 3 3<br />
8x y 6xy 2x y x y 3xy x y 3 x y 1 x y 1<br />
3<br />
2x y x y 3x yx y 1 1 x y 1<br />
3 3 3<br />
<br />
2x y x y 1 x 1.<br />
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:<br />
<br />
x 1 x1 x1<br />
<br />
.<br />
<br />
y<br />
y3<br />
4 y 1 y<br />
4<br />
PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ<br />
Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức f ( x, y); g( x, y ) trong hệ phương<br />
trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương<br />
trình, hệ phương trình. Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn<br />
giản hơn, hay quy về các dạng hệ quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp…<br />
Đễ tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong<br />
hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia các phương trình<br />
theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đối biến<br />
theo đặc thù phương trình…<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta quan sát các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2x 2xy y 2<br />
3 2 2 3<br />
2x 3x 3xy y 1 0<br />
b)<br />
4 2 2<br />
x x y y <br />
<br />
<br />
<br />
4 6 9 0<br />
2 2<br />
x y x y<br />
2 22 0<br />
Giải:<br />
a) Ta viết lại hệ phương trình thành:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 x ( x y) 2<br />
3 2 3 2<br />
3x 3 x y ( x y) 3x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 x ( x y) 2<br />
2 3 2<br />
3 x ( x y) ( x y) 3x<br />
1<br />
.<br />
Đặt<br />
2<br />
a 3 x , b x y<br />
ta thu được hệ phương trình:<br />
2<br />
<br />
ab<br />
2<br />
<br />
.<br />
3<br />
ab b a 1<br />
Từ phương trình (1) suy ra<br />
thu được: <br />
a<br />
2<br />
b<br />
2 vào phương trình thứ hai của hệ ta<br />
2 3 2 2<br />
b b b b b b b a<br />
2 2 1 2 1 0 1 3<br />
Khi<br />
x<br />
1<br />
2<br />
<br />
a<br />
3 x<br />
1<br />
y<br />
0<br />
<br />
b 1 x y 1 <br />
x<br />
1<br />
<br />
y 2<br />
Tóm lại hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: xy ; 1;0 , <br />
1;2 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
x y <br />
b) Ta viết lại hệ phương trình thành:<br />
<br />
<br />
2 3 4<br />
2 2<br />
x y x y <br />
2 22 0<br />
Đặt<br />
2<br />
a x b y<br />
2; 3. Ta có hệ phương trình sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2 2<br />
a b 4 a b 4 ( a b) 2ab<br />
4<br />
<br />
( a 2)( b 3) a 2 2( b 3) 22 ab 4( a b) 8 ab 4( a b) 8<br />
a b<br />
2<br />
2<br />
<br />
( a b) 8( a b) 20 0 ab<br />
0<br />
<br />
<br />
ab 4( a b) 8 <br />
a b 10 ( L )<br />
ab 48<br />
Xét<br />
a b 2 a 2, b 0<br />
<br />
ab 0<br />
<br />
a 0, b 2<br />
+ Nếu:<br />
+ Nếu<br />
<br />
x <br />
a 0, b 2 <br />
y 5<br />
x<br />
2<br />
a 2, b 0 <br />
y<br />
3<br />
2<br />
Tóm lại hệ có các cặp nghiệm: xy ; 2;5 , 2;5 , 2;3 , <br />
2;3<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2 2<br />
x y x y 1 25 y 1<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x xy 2y x 8y<br />
9<br />
2 2 1 9<br />
x y 6xy<br />
0<br />
2<br />
<br />
x<br />
y<br />
8<br />
<br />
1 5<br />
2y<br />
0<br />
<br />
x<br />
y 4<br />
b)<br />
Giải:<br />
a) Để ý rằng khi y 1 thì hệ vô nghiệm<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Xét y 1. Ta viết lại hệ thành:<br />
2 2<br />
x y x y 1 25 y 1<br />
Chia hai phương trình của hệ cho y 1 ta thu được:<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x y x y y y <br />
2<br />
1 1 10 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
x y<br />
x y<br />
<br />
x y 1<br />
25<br />
x y 1 25 <br />
y 1<br />
y 1<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
x y<br />
x y x y 1 y 1 10 y 1<br />
<br />
<br />
x y1<br />
10<br />
<br />
y 1<br />
Đặt<br />
x y<br />
y 1<br />
2 2<br />
a; x y 1<br />
b . Ta có:<br />
2 2 x<br />
25 5<br />
1<br />
3; y<br />
ab x y y <br />
1<br />
a b 5 <br />
<br />
3 11 .<br />
ab10 <br />
x<br />
y4<br />
x ; y<br />
2 2<br />
Vậy hệ có nghiệm xy <br />
b) Điều kiện: x y.<br />
Hệ đã cho tương đương:<br />
3 11<br />
; 3;1 , ; <br />
2 2 .<br />
2<br />
2 2 1 9 <br />
2<br />
2 x y y x<br />
0 1 25<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
8<br />
x y y x<br />
y x <br />
<br />
y<br />
x<br />
8<br />
<br />
<br />
1 5 1 5<br />
y x x y<br />
0<br />
<br />
y x x y<br />
0<br />
y x 4 <br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
4<br />
.<br />
Đặt<br />
1<br />
x y a; y x b; b 2<br />
y<br />
x<br />
hệ thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5<br />
y<br />
x <br />
4<br />
5 5 <br />
13 3<br />
a b a y x 2 <br />
x ; y <br />
4 4<br />
8 8<br />
<br />
5<br />
2 2 25 5<br />
<br />
yx 7 3<br />
2 a b b <br />
4 x ; y <br />
<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
8 8<br />
1<br />
y x <br />
<br />
2<br />
7 3 13 3 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; ; , ; <br />
8 8 8 8 .<br />
Ví dụ 3: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2 2<br />
x 17 4x y 19 9y<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
17 4x 19 9y 10 2x 3y<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
x x y y y <br />
<br />
4 1 0<br />
<br />
2 2 3 3<br />
<br />
xy x y 1 4 x y 0<br />
b)<br />
Giải:<br />
a) Điều kiện:<br />
17 17 19 19<br />
x ; y .<br />
2 2 3 3<br />
Để ý<br />
x<br />
đến 3y và<br />
số.<br />
17 4<br />
2<br />
x liên quan đến 2x và<br />
2<br />
19 9y<br />
17 4 , 19 9<br />
2 2<br />
x y y liên quan<br />
. Và tổng bình phương của chúng là những hằng<br />
Đặt<br />
2 2<br />
2x 17 4 x a;3x y 19 9y b . Hệ đã cho tương đương:<br />
ab10<br />
<br />
a5; b5<br />
2 2<br />
a<br />
17 b 19<br />
.<br />
3<br />
a3; b7<br />
4 6<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
TH1:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2x 17 4x<br />
5<br />
2<br />
3y 19 9y<br />
5<br />
1<br />
<br />
x <br />
2<br />
<br />
x<br />
2 .<br />
<br />
5 13<br />
y <br />
6<br />
TH2:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
17 4x<br />
3<br />
2<br />
3y 19 9y<br />
7<br />
(loại).<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
1 5 13 1 5 13 5 13 5<br />
13 <br />
xy ; <br />
; , ; , 2; , 2;<br />
2 6 2 6 6 6 <br />
.<br />
<br />
b) Ta viết lại hệ như sau:<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x y 2 y 1<br />
4y<br />
2<br />
<br />
xy x y 1 x y 4y<br />
2 2 3 3 3<br />
Ta thấy y 0 không thỏa mãn hệ.Chia phương trình đầu cho<br />
phương trình thứ 2 cho<br />
3<br />
y ta được:<br />
2 y 1 x x<br />
<br />
2 4<br />
y<br />
2<br />
x x<br />
<br />
2<br />
y y<br />
3<br />
1 x 4<br />
2<br />
y ,<br />
Viết lại hệ dưới dạng:<br />
2 1 xy 1 2 1<br />
x<br />
4<br />
<br />
<br />
2 x 2<br />
2<br />
y y <br />
<br />
y<br />
<br />
.<br />
2 1 xy 1<br />
1<br />
x <br />
4 x 2<br />
2 <br />
<br />
y y y<br />
Đặt<br />
1 1<br />
, xy <br />
ab4<br />
ta có hệ mới a b<br />
2<br />
y y<br />
ab<br />
4<br />
2<br />
x a b<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 1<br />
x 2<br />
2<br />
y<br />
<br />
1<br />
x 2<br />
y<br />
2<br />
<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x 2<br />
y y y<br />
<br />
<br />
x y 1<br />
1<br />
x<br />
x 2<br />
1<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
y<br />
Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất x<br />
y 1<br />
Ví dụ 4: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 2 2 2<br />
<br />
<br />
5x x 1 . y 11x<br />
5<br />
4 3 2 2<br />
6x x x y y 12 x 6<br />
b)<br />
x 5y<br />
4<br />
2 2<br />
x y x y<br />
<br />
2 2<br />
x 5y<br />
5x y 5<br />
xy<br />
Giải<br />
a) Nhận thấy x 0 không là nghiệm của hệ.<br />
Chia hai vế phương trình cho<br />
2<br />
x ta có:<br />
2<br />
2 6 1 2<br />
1 1 2<br />
6x x y y 12 0<br />
<br />
<br />
2 6 x x y y 0<br />
x x<br />
<br />
<br />
x x<br />
<br />
<br />
2 <br />
.<br />
2 2<br />
2 5 1 2 1 1 2<br />
5x x y 11 0<br />
<br />
<br />
2 5 x x y 1 0<br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
x x<br />
Đặt<br />
1<br />
x a. Hệ thành:<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
6a ay y 0<br />
2 2 2<br />
5a<br />
a y 1 0<br />
.<br />
Chia hai vế cho<br />
2<br />
a và đặt<br />
1<br />
y X , y Y<br />
a<br />
a<br />
giải ra ta được<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1<br />
17<br />
x<br />
x <br />
x 2 4<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a , y 1<br />
y 1 <br />
<br />
y<br />
1<br />
2 <br />
<br />
1<br />
a 1, y 2<br />
<br />
x 1 1<br />
5<br />
x <br />
x 2<br />
<br />
<br />
y<br />
2 <br />
y 2<br />
1<br />
17 1<br />
5 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; <br />
;1 , ;2<br />
4 2 <br />
.<br />
<br />
b). Điều kiện:<br />
x, y 0; x y ; y x<br />
2 2<br />
.<br />
Phương trình (2) tương đương:<br />
x 2 2<br />
5<br />
5 y 5 x y 5. x <br />
y x y 5<br />
y x x x<br />
Đặt<br />
2 2<br />
x y x y<br />
a,<br />
b.<br />
x x<br />
Hệ thành:<br />
3<br />
<br />
x , y 3<br />
2<br />
1 5 2<br />
4 1 5<br />
2<br />
x y<br />
x <br />
<br />
<br />
1<br />
a b a , b <br />
<br />
x 1,<br />
y .<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
5<br />
2<br />
b 5a<br />
5<br />
x y y <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
x , y <br />
2 2<br />
3 1 3 3 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; ;3 , 1; , ; <br />
2 2 2 2 .<br />
Ví dụ 5: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a)<br />
Giải<br />
xy x y<br />
2 2<br />
<br />
3 8<br />
<br />
x y 1<br />
<br />
2 2<br />
x 1 y 1 4<br />
y 2x<br />
9x 2 y 4<br />
x y<br />
b) 2x<br />
y<br />
1 9 18<br />
2 <br />
2 <br />
y x <br />
a) Triển khai phương trình (1)<br />
(1)<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
x y 6xy 9 x 2xy y 8 x y x y 1 8xy<br />
2 2<br />
<br />
x 1 y 1 8xy<br />
.<br />
Nhận thấy x0, y 0 không là nghiệm của hệ.<br />
Phương trình (1) khi đó là:<br />
2 2<br />
x 1 y 1<br />
. 8 .<br />
x y<br />
x y<br />
Đặt a;<br />
b. Hệ đã cho tương đương với:<br />
2 2<br />
x 1 y 1<br />
1 x 1<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 x 1 2<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 1 y x <br />
<br />
<br />
a b <br />
<br />
b <br />
2<br />
<br />
<br />
4 <br />
4<br />
<br />
<br />
y 1 4 y<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
.<br />
<br />
1 x 1<br />
8<br />
<br />
a x<br />
2 3<br />
<br />
2<br />
ab <br />
4<br />
<br />
<br />
x 1 4 <br />
<br />
<br />
<br />
y 1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y 1<br />
b <br />
2<br />
<br />
2 <br />
<br />
y 1 2<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
xy ; 1;2 3 , 1;2 3 , 2 3; 1 , 2 3; 1<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Phương trình (2) tương đương:<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 3 3<br />
2 9 18 9 18 2<br />
x y y x x y x y x y xy<br />
2 2 3 3 2 2<br />
9x y 18x y 18x y<br />
2 9xy<br />
2 4<br />
xy y x<br />
2x y 2x y 2x<br />
<br />
9x y y 4 9x y 4 .<br />
y x y x y <br />
Đặt<br />
y<br />
2x<br />
a 9 x ;<br />
b y<br />
. Hệ thành:<br />
x y <br />
y<br />
9x<br />
4<br />
x <br />
a 2; b1<br />
<br />
2x<br />
<br />
<br />
y<br />
1<br />
<br />
y<br />
2<br />
a 2b 4 9x y 4x<br />
2<br />
ab 2 y 2x y<br />
2<br />
<br />
<br />
y 4x 9x<br />
<br />
4x 9x 2x 4x 9x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
0( L)<br />
<br />
1 1.<br />
x y <br />
9 3<br />
1 1<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; ; <br />
9 3 .<br />
Ví dụ 6: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2 2<br />
x x 6 y x 3 7xy<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x x 3 y y 6 x y 2<br />
b)<br />
<br />
2x y y 2x x<br />
<br />
<br />
2 3 4 6<br />
x 2 y 1 x 1<br />
2<br />
Giải<br />
Giải hệ:.<br />
Hệ phương trình tương đương với :<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
<br />
2<br />
<br />
x 2<br />
x x y <br />
2<br />
y y<br />
2<br />
2<br />
x 3<br />
<br />
6<br />
x<br />
x y 6 y y x 3 x 9xy<br />
y y<br />
<br />
9<br />
<br />
y<br />
x<br />
3 6 2 <br />
2 2<br />
x x 3 x y y 6 y<br />
2<br />
<br />
6 3<br />
<br />
9<br />
2 2<br />
y y 6 y x x 3<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x 3 x y y 6 y<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
Đặt 3 ; 6 <br />
x x x a y y y b .<br />
1<br />
6 3 a ; b 1<br />
9 <br />
2<br />
Hệ thành: b<br />
a .<br />
<br />
2 4<br />
ab1 a ; b<br />
3 3<br />
TH1:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x 3 x 1<br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
1 .<br />
2<br />
y y 6 y 1<br />
y<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
TH2:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x 3 x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x <br />
3 15<br />
.<br />
4<br />
6 2<br />
2<br />
3 <br />
15<br />
2<br />
y y y y<br />
1 2 2 <br />
Vậy nghiệm của hệ xy ; 1; , ;2<br />
2 <br />
15 15 <br />
.<br />
<br />
PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phƣơng pháp biến đổi theo các hằng<br />
đẳng thức:<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
<br />
<br />
<br />
3 x 2 x 2y 2y<br />
1 0<br />
<br />
3<br />
x 2 2 y 2 5<br />
b)<br />
<br />
2x y y 2x x<br />
<br />
<br />
2 3 4 6<br />
x 2 y 1 x 1<br />
2<br />
Giải<br />
a) Điều kiện:<br />
1<br />
x2,<br />
y . Phương trình (1) tương đương:<br />
2<br />
<br />
2 x 2 x 2 x 2y 1 2y 1 2y<br />
1<br />
Đặt a 2 x, b 2y<br />
1. Ta có phương trình:<br />
a ba 2 ab b<br />
2<br />
<br />
1 0. Do<br />
2 2<br />
2 2 b<br />
3b<br />
3 3<br />
a a b b<br />
a ab b 1 a<br />
1<br />
0 suy ra phương trình cho ta a<br />
2<br />
4<br />
2y 1 2 x x 3 2y<br />
thay vào ta có: 3 5 2y<br />
2 y 2 5 Đặt<br />
a 3<br />
5 2 y; b y 2 ta có hệ phương trình sau:<br />
b<br />
<br />
a1; b2<br />
<br />
a2b5 3 65 23 65<br />
a ; b<br />
3 2<br />
a 2b<br />
9 <br />
<br />
<br />
4 8<br />
<br />
65 3 23 65<br />
a<br />
; b<br />
4 8<br />
<br />
y 2<br />
<br />
233<br />
23 65<br />
<br />
<br />
<br />
y <br />
.<br />
32<br />
<br />
233<br />
23 65<br />
y <br />
32<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
23 65 185 233 23 65 23 65 185 233<br />
23 65 <br />
; 1;2 , <br />
; , <br />
;<br />
16 32 16 32 <br />
<br />
xy <br />
<br />
b) Điều kiện: y 1.<br />
Ta viết lại phương trình (1) thành: y 3 x 6 x 2 y x<br />
2<br />
<br />
2 0<br />
2<br />
2 2 2 4 2<br />
y x<br />
y x y yx x 2x<br />
0 <br />
x<br />
y 0<br />
Dễ thấy x y 0 không phải là nghiệm. Khi<br />
y<br />
2<br />
x thay vào (2) ta được:<br />
<br />
2 2 2 2 4 x 3, y 3<br />
<br />
x 3, y 3<br />
x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x<br />
1<br />
(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm xy ; 3;3.<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
<br />
x xy y y<br />
<br />
<br />
5 4 10 6<br />
2<br />
4x 5 y 8 6<br />
3 2 3<br />
<br />
2x 4x 3x 1 2x 2 y 3<br />
2y<br />
<br />
3<br />
x 2 14 x 3 2y<br />
1<br />
<br />
<br />
Giải<br />
a) Điều kiện:<br />
5<br />
x .<br />
4<br />
Ta thấy y 0 không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho<br />
được:<br />
5<br />
y ta<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5<br />
x x <br />
5<br />
y <br />
x<br />
y. Đặt a ta có phương trình:<br />
y<br />
y<br />
y<br />
a y a a y a y ay 1 0 y a x y<br />
<br />
4 3 2 2 3 2<br />
5 5<br />
a a y y suy ra<br />
4x 5 x 8 6 x 1 y 1. Từ đó tính được y 1<br />
Vậy hệ đã cho có nghiệm xy ; 1; 1<br />
.<br />
b) Điều kiện:<br />
3<br />
x 2;<br />
y .Ta thấy khi x 0 thì hệ không có nghiệm.<br />
2<br />
Chia phương trình (1) cho<br />
2<br />
x 0 :<br />
4 3 1<br />
1 2 4 2 3<br />
2y<br />
2 3<br />
x x x<br />
y<br />
3<br />
1 1<br />
3<br />
1 1 3 2y<br />
3<br />
2y<br />
.<br />
x x<br />
1<br />
Đặt a 1 , b 3 2y<br />
. Ta có<br />
x<br />
3 3<br />
1<br />
a a b b ab<br />
3 2y<br />
1 .<br />
x<br />
<br />
Thay vào (2) ta được:<br />
3 3<br />
3 2<br />
x 2 15 x 1 x 1 15 x x 3x 4x<br />
14 0 .<br />
111<br />
111<br />
x 7 y . Vậy hệ có nghiệm xy ; 7; <br />
98<br />
98 .<br />
Ví dụ 3: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
<br />
a)<br />
(17 3 x) 5 x (3y 14) 4 y 0<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2x y 5 3 3x 2y 11 x 6x<br />
13<br />
(1)<br />
(2)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
)<br />
<br />
x x y x y y y <br />
<br />
2 2<br />
x y 5x 7<br />
3<br />
x y<br />
4 6 xy x 1<br />
3<br />
2 2 1<br />
Giải<br />
a) Điều kiện:<br />
x<br />
5<br />
y<br />
4<br />
<br />
2x<br />
y5 0<br />
<br />
3x2y11 0<br />
Biến đổi phương trình (1) ta có:<br />
<br />
3 5 x 2 5 x 3 4 y 2 4 y Đặt a 5 x, b 4 y ta<br />
3 3 2 2<br />
có” <br />
3a 2a 3b 2b a b 3a 3ab 3b 2 0 a b<br />
5 x 4 y y x 1<br />
Thay vào (2) ta có:<br />
2<br />
x x x x<br />
6 13 2 3 4 3 5 9 (4)<br />
Điều kiện xác định của phương trình (4) là:<br />
<br />
<br />
4<br />
x <br />
3<br />
<br />
2<br />
(4) x x 2 x 2 3x 4 3 x 3 5x<br />
9 0<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
x x <br />
2<br />
x x <br />
2<br />
x<br />
x<br />
2 3<br />
x 2 3x 4 x 3 5x<br />
9<br />
2 3 <br />
1 0<br />
x 2 3x 4 x 3 5x<br />
9 <br />
0<br />
<br />
<br />
2 3<br />
1 0<br />
<br />
x 2 3x 4 x 3 5x<br />
9<br />
0<br />
(*)<br />
x<br />
2<br />
x<br />
0<br />
x 0 y 1<br />
<br />
x 1<br />
y 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có<br />
2 3<br />
1 0<br />
x 2 3x 4 x 3 5x<br />
9<br />
do điều kiện<br />
4<br />
x <br />
3<br />
Kết luận: xy ; 0; 1 , 1; 2<br />
b) Điều kiện: y 0, x y 0 .<br />
Nhận thấy y 0 thì hệ vô nghiệm. Ta xét khi y 0<br />
Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp:<br />
2 2<br />
PT(1) x xy 2y 2y x y x yx 2y<br />
<br />
<br />
<br />
xy<br />
<br />
2y x y<br />
Rõ ràng<br />
1<br />
x 2y x y y 0; 0<br />
2y x y<br />
, từ đó suy ra x y.<br />
Thay vào (2) ta được:<br />
3 2 3<br />
x x x x 2 x<br />
5 14 4 6 1 .<br />
Biến đổi phương trình đã cho tương đương:<br />
3 2 2 3<br />
x x x x x x 2 x<br />
3 6 4 8 8 8 3 8 8 8<br />
<br />
3 2 3 2<br />
x 1 3 x 1 8x 8x 8 3 8x 8x<br />
8 .<br />
Đặt<br />
a x b x x<br />
3 2<br />
1, 8 8 8 suy ra<br />
3 3<br />
a 3a b 3b<br />
2 2<br />
<br />
x x x x y<br />
a b a ab b 3 0 a b<br />
3 2<br />
1 8 8 8 1; 1.<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 1;1<br />
.<br />
KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
THEO ẨN x, HOẶC y<br />
Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc<br />
y ta có thể nghỉ đến các hướng xử lý như sau:<br />
* Nếu chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để<br />
giải tiếp<br />
* Nếu không chẵn ta thường xử lý theo cách:<br />
+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai<br />
có chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức<br />
+ Dùng điều kiện 0 để tìm miền giá trị của biến xy. , Sau đó đánh giá<br />
phương trình còn lại trên miền giá trị xy , vừa tìm được:<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2 2<br />
<br />
xy x y x 2y<br />
<br />
x 2y y x 1 2x 2y<br />
(1)<br />
(2)<br />
b)<br />
2 2<br />
<br />
2x y 3xy 3x 2y<br />
1 0<br />
<br />
2 2<br />
4x y x 4 2x y x 4y<br />
Giải<br />
Xét phương trình (1) của hệ ta có:<br />
2 2 2 2<br />
xy x y x y x x y y y<br />
2 ( 1) 2 0 . Ta coi đây là phương<br />
trình bậc 2 của x thì ta có:<br />
ra<br />
2 2 2<br />
( y 1) 8y 4 y (3y<br />
1) . Từ đó suy<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
y1 (3y1)<br />
<br />
x<br />
y<br />
2<br />
<br />
y1 (3y1)<br />
x 2y1<br />
2<br />
Trường hợp 1: x<br />
y. Từ phương trình (2) của hệ ta có điều kiện:<br />
x<br />
1<br />
suy ra phương trình vô nghiệm<br />
y<br />
0<br />
Trường hợp 2: x2y 1 thay vào phương trình thứ hai ta có:<br />
(2y 1) 2y y 2y 2y 2 y 2y 2y 2( y 1)<br />
<br />
<br />
( y 1) 2y 2 0 y 2 x 5<br />
Vậy hệ có một cặp nghiệm: ( xy ; ) (5;2)<br />
b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:<br />
2 2 2 2<br />
2x y 3xy 3x 2y 1 0 2 x x(3 3 y) y 2y<br />
1 0<br />
.<br />
Coi đây là phương trình bậc 2 của x ta có:<br />
<br />
(3 3 y) 8 y 2y 1 y 2y 1 ( y 1)<br />
<br />
2 2 2 2<br />
Suy ra<br />
3y 3 ( y 1) y 1<br />
<br />
x <br />
<br />
4 2<br />
<br />
3y 3 ( y1)<br />
x y1<br />
4<br />
Trường hợp 1: y x 1 thay vào phương trình (2) ta thu được:<br />
2<br />
3x x 3 3x 1 5x<br />
4<br />
<br />
2<br />
3x 3 x ( x 1 3x 1) ( x 2 5x<br />
4) 0<br />
2 1 1 <br />
x<br />
x<br />
3 <br />
0<br />
x 1 3x 1 x 2 5x<br />
4 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
Do x nên<br />
3<br />
1 1<br />
3 0<br />
x 1 3x 1 x 2 5x<br />
4<br />
2 x<br />
0<br />
x x 0 <br />
x<br />
1<br />
Trường hợp 2: y 2x 1 thay vào phương trình (2) ta thu được:<br />
33x 4x 1 5x 4 4x 1 5x 4 3x<br />
3 0<br />
Giải tương tự như trên ta được x 0 .<br />
Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: ( xy ; ) (0;1),(1;2)<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
<br />
x 3 2 3y x y 1<br />
<br />
x 5<br />
3y 2 xy 2y<br />
2<br />
<br />
2<br />
(1)<br />
(2)<br />
b)<br />
c)<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
y 1 x 2y<br />
x 1<br />
2<br />
2y 7y 10 x y 3 y 1 x 1<br />
<br />
4x y 3y 4x<br />
1<br />
<br />
2 3y 4 x y(5 x y) x(4 x y) 1<br />
<br />
Giải<br />
Điều kiện:<br />
2<br />
y ; x 3;3 y x .<br />
3<br />
Phương trình (1) tương đương<br />
2<br />
( x 3) 4( y 1)(3 y x)<br />
2 2 2 2<br />
x x y y xy x x x y y y <br />
6 9 12 12 4 4 2 (5 2 ) 12 12 9 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Coi đây là phương trình bậc 2 của x ta có:<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
' (2y 5) 12y 12y 9 4y<br />
4<br />
suy ra<br />
x 5 2 y (4y 4) 6y<br />
9<br />
<br />
x 5 2 y (4y 4) 2y<br />
1<br />
Trường hợp 1: x 6y 9.<br />
Do x 3<br />
6y 9 3 y 1 suy ra phương trình vô nghiệm.<br />
Trường hợp 2: x2y 1 thay vào phương trình 2 của hệ ta có:<br />
2<br />
2 y 2<br />
3y 2 y 2 2y 3y 2 2y 1 y 2<br />
3y 2 y<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
Ta có:<br />
2 3 7<br />
;2y<br />
1 .<br />
3 y 2 y<br />
2 2 3<br />
Nghĩa là VP VT , suy ra y 2 x 1.<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 1;2<br />
.<br />
b) Điều kiện:<br />
x<br />
10<br />
<br />
y<br />
1 0<br />
<br />
<br />
2<br />
2y 7y 10 x y 3 0<br />
<br />
<br />
.<br />
Từ phương trình dễ thấy để phương trình có nghiệm thì:<br />
x1 0 x 1.<br />
Ta viết phương trình thứ nhất dưới dạng:<br />
<br />
2<br />
2y 7y 10 x y 3 x 1 y 1<br />
.<br />
<br />
Để bình phương được ta cần điều kiện:<br />
2<br />
x 1 y 1 x x y<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta bình phương hai vế được:<br />
<br />
2 2<br />
2y 8y 8 x y 3 x 2x 2 x 1 y 1<br />
(1).<br />
Ta đưa phương trình (2) về dạng: <br />
2<br />
(2).<br />
Thế (2) vào (1) ta được:<br />
x 1 y 1 x x 2xy 2y<br />
3<br />
<br />
2 2 2<br />
2y 8y 8 x y 3 x 2x 2 x x 2xy 2y<br />
3<br />
2 2<br />
2y 4y 2 3xy x 3x<br />
0<br />
2 2<br />
x<br />
y1<br />
0<br />
x 3x y 1 2 y 1 0 x y 1 x 2y<br />
2<br />
0 <br />
x<br />
2y<br />
2 0<br />
.<br />
* Với x y 1 0 y 1 x , ta có thêm x 2 thay vào phương trình (2)<br />
x 1 2 x 1 x x x x 1 x 1 2 x 0 .<br />
2 2<br />
ta có: <br />
Vì 1 x 2, ta dễ thấy: VT 0 , nên suy ra phương trình vô nghiệm.<br />
* Với<br />
2 x<br />
x 2y 2 0 y , thay vào phương trình (2) ta được:<br />
2<br />
4 x 3 2 . Đặt ux 1 khi đó ta thu được phương trình:<br />
2 x 1<br />
3 2<br />
u u u <br />
3 24 18 0<br />
5<br />
u 3 <br />
2 3<br />
u 3 x 2 y 0 .<br />
2 u u<br />
<br />
2<br />
Hệ có một cặp nghiệm duy nhất: x2; y 0<br />
c).<br />
Điều kiện<br />
y 3y<br />
x .<br />
4 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta viết phương trình (1) thành: 4x y 1 3y 4x<br />
. Bình phương 2<br />
vế ta thu được: 2 3y 4x 8x 4y<br />
1. Thay vào phương trình (2) của<br />
hệ ta có:<br />
2 2<br />
4x 4 x( y 2) y 4y<br />
0<br />
. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của x thì<br />
2 2<br />
' 4 y 2 4( y y) 16 suy ra<br />
2( y2) 4<br />
y<br />
<br />
x <br />
<br />
4 2<br />
<br />
2( y 2) 4 y<br />
4<br />
x <br />
4 2<br />
Trường hợp 1: y 2x<br />
thay vào phương trình (1) ta có: 2x 12 vô<br />
nghiệm<br />
Trường hợp 2: y 2x 4 thay vào phương trình (1) ta thu được:<br />
273 257<br />
2 2x 12 15 x , y <br />
8 4<br />
273 257 <br />
Vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm: xy ; ; <br />
8 4 <br />
PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ<br />
Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc<br />
các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi<br />
trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ xy ,<br />
Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng<br />
đánh giá, so sánh phù hợp.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 1: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
Giải<br />
1 1 2<br />
<br />
2 2<br />
12x<br />
12y<br />
1<br />
2xy<br />
<br />
<br />
2<br />
x1 2x y 1 2y<br />
<br />
<br />
9<br />
2 2 2 2<br />
2 <br />
<br />
x x y x x y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
76x 20y 2<br />
3<br />
4x 8x<br />
1<br />
3<br />
<br />
.<br />
b)<br />
a) Điều kiện:<br />
1<br />
0 xy , .<br />
2<br />
Đặt<br />
1<br />
a 2 x, b 2 y; a, b 0;<br />
<br />
<br />
2 <br />
.<br />
1 1<br />
Ta có: 2 1 1 <br />
VT <br />
2 2<br />
1 2 1 2 .<br />
1a<br />
1b<br />
a<br />
b<br />
<br />
Ta sử dụng bổ đề với ab , 0 và ab 1 ta có bất đẳng thức:<br />
2<br />
a b ab<br />
1<br />
1 1 2<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 a 1<br />
b<br />
<br />
(đúng).<br />
Vậy VT<br />
<br />
2<br />
1<br />
ab<br />
VP<br />
.<br />
Đẳng thức xảy ra khi x<br />
y. Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của<br />
phương trình.<br />
9 73 9 73 9 73 9 73 <br />
Nghiệm của hệ xy ; <br />
; , ;<br />
36 36 36 36 <br />
.<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Điều kiện:<br />
x<br />
2<br />
y 0.<br />
3 2 2<br />
Phương trình (1) tương đương: 3<br />
x x x y 2 x y 0.<br />
Đặt<br />
2<br />
x y u phương trình (1) thành:<br />
3 2 3 2 2<br />
x xu 2u 0 x u y x x .<br />
Thay vào (2) ta được:<br />
2 3<br />
96 20 2 32 2 4<br />
x x x x .<br />
3<br />
Ta có 96x 2 20x 2 32x 2 4x 2<br />
<br />
3 1.1. 32x 4x<br />
<br />
2<br />
32x<br />
4x2<br />
3<br />
2 2<br />
2 1 7<br />
3 96x 20x 2 32x 4x 2 16x 2 0 x y <br />
8 8<br />
.<br />
1 7 <br />
Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm xy ; <br />
<br />
; <br />
8 8 <br />
.<br />
<br />
Ví dụ 2: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
2xy<br />
<br />
x 2x9<br />
<br />
<br />
2xy<br />
<br />
<br />
y 2y9<br />
2<br />
x x y<br />
3 2<br />
2<br />
y y x<br />
3 2<br />
1<br />
2<br />
với xy , 0<br />
3x 10 xy y 12<br />
<br />
b)<br />
3 3<br />
6 x y <br />
Giải<br />
x x y <br />
2 2<br />
x xy y<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 3<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Hiển nhiên x y 0 là một nghiệm của hệ. Ta xét x 0 và y 0 .<br />
Cộng theo vế hai phương trình trong hệ ta được<br />
<br />
<br />
1 1<br />
2 2<br />
2xy <br />
x y . Chú ý rằng<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
x1 8 y1<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 1 1<br />
;<br />
.<br />
3<br />
2<br />
2 3<br />
2<br />
x1 8 y1 8 2<br />
<br />
Với xy 0 ta có<br />
<br />
<br />
1 1<br />
2xy <br />
2xy x y<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
x1 8 y1<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1. Với xy 0 . Khả năng này<br />
không thể xảy ra. Thật vậy, không làm mất tính tổng quát giả sử x0, y 0<br />
thì rõ ràng đẳng thức (1) không thể xảy ra. Vậy hệ có hai nghiệm xy ; là<br />
0;0 , 1;1 .<br />
b) Theo bất đẳng thức AM GM ta có :<br />
x<br />
y<br />
xy 12 3x 10 xy y 3x 5x 5y y 8x 4y 2x y 3<br />
2<br />
.<br />
Ta sẽ chứng minh:<br />
6<br />
<br />
x<br />
y<br />
<br />
3 3<br />
2 2<br />
x 2<br />
2 2 x y 2x y<br />
x xy y<br />
<br />
<br />
3 3<br />
6 x y<br />
<br />
2 2 <br />
x xy y<br />
Ta có:<br />
x y x y<br />
2 2<br />
2 x y x y ( ).<br />
2 2<br />
2( ) Để chứng minh ( ) ta sẽ chứng minh bất<br />
đẳng thức mạnh hơn là:<br />
6<br />
<br />
x<br />
y<br />
3 3<br />
<br />
x xy y<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
2 2( x y ) (1)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
x y<br />
Mặt khác ta cũng có: xy nên (1) sẽ được chứng minh nếu ta<br />
2<br />
chỉ ra được:<br />
3 3<br />
6( x y )<br />
<br />
2 2<br />
2 2 x y<br />
x y <br />
2<br />
6 6 3 3 2 2 2 2<br />
x y 4x y 3 x y ( x y ) 0 (2)<br />
2 2 3 3 2 2 2 2<br />
2 2( x y ) 2( x y ) ( x y ) 2( x y )<br />
Vì y > 0 chia hai vế cho<br />
6<br />
y đặt t 0<br />
x<br />
bất đẳng thức (2) trở thành.<br />
y<br />
6 4 3 2<br />
t 3t 4t 3t<br />
1<br />
0<br />
Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do:<br />
6 4 3 2 2 4 3<br />
t t t t t t t t<br />
3 4 3 1 ( 1) ( 2 2 1)<br />
<br />
<br />
3 3<br />
6 x y<br />
x <br />
2 2 x y <br />
x xy y<br />
2 2<br />
2 3<br />
Kết hợp tất cả các vấn đề vừa chỉ ra ta thấy chỉ có bộ số xy , thỏa mãn<br />
điều kiện<br />
x, y 0<br />
<br />
2x y 3 x y 1 là nghiệm của hệ<br />
<br />
x<br />
y<br />
Ví dụ 3: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
41 2 1 <br />
9 x<br />
3<br />
40x<br />
2 2x<br />
y<br />
2 2<br />
x 5xy 6y 4y 9x<br />
9<br />
với xy , 0<br />
b)<br />
2 2 2 2<br />
x y x xy y<br />
x<br />
y<br />
2 3<br />
<br />
x<br />
2xy 5x 3 4xy 5x<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Giải<br />
a) Phương trình (1) tương đương:<br />
2 1 6 80<br />
82<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
.<br />
2x<br />
y<br />
9<br />
Ta có:<br />
2 2 2 1 1 3 6<br />
VT 1 9 x 9x 9x 9x<br />
<br />
2x y 2x<br />
y 9 2x<br />
y 2x y 9<br />
<br />
<br />
6 80x<br />
6<br />
<br />
9 2x<br />
y9<br />
2<br />
3x 2x xy 6y<br />
0<br />
(*)<br />
Lấy (*) cộng với PT(2) ta được:<br />
2<br />
2 2<br />
x 4xy 4y 12y 6x 9 0 x 2y 3 0 x 3 2y<br />
.<br />
Để dấu bằng xảy ra thì x y 3.<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 3;3<br />
.<br />
b) Ta có<br />
x y x y x y<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
x y x y x<br />
y<br />
<br />
2 4 4 4 2 2<br />
x y x y x y<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
x xy y x xy y x<br />
y<br />
<br />
3 4 12 4 3 2<br />
Từ đó suy ra<br />
2 2 2 2<br />
x y x xy y<br />
x y x y<br />
2 3<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Thay x<br />
y vào phương trình còn lại ta có:<br />
x x x x x<br />
2 2<br />
2 5 3 4 5 3<br />
Để ý rằng x 0 không phải là nghiệm. Ta xét x 0 , chia phương trình<br />
cho<br />
5 3 5 3 <br />
<br />
x x x x . Đặt<br />
2<br />
x thì thu được: 2 4 <br />
2 2<br />
5 3<br />
t 2 0<br />
2<br />
x<br />
x<br />
ta có phương trình:<br />
5 3 3 5<br />
6 0 2 2 4 2 0 3<br />
x x x x<br />
2<br />
t t t x<br />
2 2<br />
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy ; 3;3<br />
Ví dụ 4: Giải các hệ phƣơng trình sau<br />
a)<br />
b)<br />
Giải<br />
4<br />
2<br />
<br />
x 32 x y 3 0<br />
<br />
4<br />
x 32 x 6y<br />
24 0<br />
<br />
<br />
<br />
xy ( x y ) xy 2 x y y<br />
<br />
( x 1) y xy x(1 x) <br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
(1)<br />
(2)<br />
a) Điều kiện:<br />
0 x 32<br />
<br />
y<br />
4<br />
Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:<br />
x x x x y y<br />
4 4<br />
2<br />
32 32 6 21 (*)<br />
Ta có: y 2 y y 2<br />
6 21 3 12 12 .<br />
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x 32 x 11 x 32 x 8<br />
<br />
4 4<br />
x x x x <br />
32 1 1 32 4<br />
4 4<br />
Vậy x 32 x x 32 x 12 . Từ đó suy ra hệ có nghiệm khi<br />
x 32 x<br />
4 4<br />
x<br />
16<br />
và chỉ khi xy , phải thỏa mãn: x 32 x <br />
y<br />
3<br />
y 3 0<br />
<br />
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất xy ; (16;3)<br />
b) Điều kiện:<br />
<br />
<br />
xy , 0<br />
<br />
xy ( x y) xy 2<br />
0<br />
<br />
Chuyển vế và bình phương ở phương trình thứ nhất của hệ ta thu được:<br />
xy ( x y)( xy 2) ( y y x)<br />
( x y)( y xy 2) ( x y)(2 y y x) 0 (3)<br />
2<br />
Từ phương trình (1) của hệ ta có<br />
2 y y x y xy ( x y)( xy 2) 0.<br />
Từ phương trình (2) ta có:<br />
3 2<br />
( x 1)( y xy) x x 4 ( x 2)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) y xy 2<br />
Kết hợp với (3) ta suy ra x<br />
y<br />
Thay vào phương trình (2) ta có:<br />
<br />
3 2<br />
( x 1) 2 x x(1 x) 4 x 2x 3x 4 0 x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất x<br />
y 1<br />
Nhận xét: Việc nhìn ra được quan hệ x y là chìa khóa để giải quyết bài<br />
toán. Đây là kỹ năng đặc biệt quan trọng khi giải hệ bằng phương pháp<br />
đánh giá cũng như chứng minh bất đẳng thức.<br />
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƢƠNG TRÌNH<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
2 2<br />
<br />
x y 2x<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT <strong>Chuyên</strong><br />
3 3<br />
x1<br />
y 1<br />
ĐHQG Hà Nội 2008) .<br />
2 2<br />
<br />
2x y y x 1<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT <strong>Chuyên</strong><br />
3 3<br />
8x<br />
y 7<br />
ĐHQG Hà Nội 2008) .<br />
2 2<br />
x y xy <br />
<br />
1<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT <strong>Chuyên</strong><br />
2<br />
3x y y 3<br />
ĐHQG Hà Nội 2009) .<br />
2 2<br />
<br />
3x 8y 12xy<br />
23<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT<br />
2 2<br />
x y 2<br />
<strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2010) .<br />
2 2<br />
<br />
5x 2y 2xy<br />
26<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10<br />
3x 2x y x y<br />
11<br />
THPT <strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2010) .<br />
2 2 2 2<br />
<br />
x y 2x y<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT<br />
2 2<br />
x y1 xy<br />
4x y<br />
<strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2011) .<br />
2 2<br />
x y y <br />
2 4<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT<br />
2x y xy 4<br />
<strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2012) .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
8)<br />
9)<br />
2 2<br />
x y xy <br />
<br />
1<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT<br />
2 2<br />
x xy 2y<br />
4<br />
<strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2014) .<br />
2 2<br />
<br />
2x 3y xy 12<br />
<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10<br />
2 2<br />
6x x y 12 6y y x<br />
THPT <strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2014) .<br />
2x 3y 5xy<br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT<br />
4x y 5xy<br />
<strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2015) .<br />
10) 2 2 2<br />
2x 2y xy 5<br />
11) <br />
( Trích đề tuyển sinh vòng 2-<br />
3 3 2<br />
27 x y y 7 26x 27x 9x<br />
lớp 10 THPT <strong>Chuyên</strong> ĐHQG Hà Nội 2015) .<br />
<br />
<br />
x 4y 1 2y<br />
3<br />
12) <br />
. ( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên<br />
<br />
x 2 x 2 12y<br />
4y<br />
2 9<br />
Amsterdam và Chu Văn An năm 2014)<br />
2 2<br />
x y 1<br />
<br />
2 2<br />
2 ( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên<br />
<br />
3xy x y 1<br />
Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)<br />
13) y1 x1<br />
3<br />
x 2y 4 x y<br />
14) <br />
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên<br />
3<br />
x 6 2y<br />
2<br />
Lam Sơn Thanh Hóa 2014)<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2x 3xy 2y 5 2x y 0<br />
15) <br />
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10<br />
2 2<br />
x 2xy 3y<br />
15 0<br />
chuyên Thái Bình 2014) .<br />
<br />
<br />
<br />
xy 3x y 4<br />
16) <br />
3<br />
7x 11 3 x y x y 1<br />
2 2 2 2<br />
<br />
x y 2x y<br />
17) <br />
2 2<br />
y 8x y 3x 5x 7xy<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
<br />
x xy y 1<br />
18) <br />
3<br />
2y x y<br />
15<br />
<br />
4<br />
y y x<br />
x y x 2 y<br />
2<br />
19)<br />
2 2<br />
<br />
x y x y 2<br />
20) <br />
<br />
21)<br />
4 4 2 2 5<br />
<br />
x y x y x y 2 2x<br />
2 2<br />
x<br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 1<br />
<br />
3<br />
x y x<br />
xy 1 x y 1 15y<br />
<br />
3 4<br />
y 1<br />
xy<br />
2 2 3<br />
<br />
22)<br />
2 2<br />
<br />
x y 2<br />
23) <br />
4 4 2 2<br />
x y 6x y 8xy<br />
16<br />
2 2<br />
<br />
x y xy 3<br />
24) <br />
3 2 3 2<br />
27x 6y x 2 y 30x y<br />
2 2<br />
4x<br />
y 5<br />
<br />
25)<br />
3 3<br />
15x<br />
y<br />
12xy<br />
40<br />
y x<br />
<br />
<br />
x x 2y<br />
8<br />
<br />
26) 1 1 1 2 1 1 1<br />
2 <br />
2 2 <br />
3 <br />
x y x y x y<br />
x y 16<br />
2 2<br />
x<br />
y 9<br />
<br />
2<br />
27) 1<br />
x<br />
<br />
1 xy x y<br />
<br />
2 2<br />
y<br />
<br />
28)<br />
2<br />
1<br />
x 4 y 3 y 1 x 2 <br />
<br />
7 6<br />
12x y 4 4 2y x 2 5xy<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
8xy 17 x y 21<br />
<br />
2 2 <br />
29) x y 6xy 8 y x 4<br />
<br />
x16 y 9 7<br />
x 3 13 y 2 5<br />
<br />
30) y 3 13 z 2 5<br />
<br />
<br />
z 3 13 x 2 5<br />
2<br />
<br />
3 2<br />
x 7 y x y x y 7x<br />
4<br />
31) <br />
2 2<br />
3x y 8y 4 8x<br />
<br />
3 x 2y 3 x y 5<br />
<br />
2 3 x y 2x 3y<br />
4 2<br />
32) xy , <br />
33)<br />
<br />
<br />
<br />
x y x y <br />
<br />
2<br />
2<br />
x 2y y<br />
x x<br />
<br />
3<br />
2 2 1 20 28<br />
<br />
x y x y 4x y<br />
<br />
xy<br />
2<br />
<br />
x 16 2 y 3x<br />
34) , <br />
35)<br />
36)<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
3y 9y 1 x 2y 1 x 2y<br />
<br />
<br />
x x 2y x 3y<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x y<br />
<br />
x 3x<br />
5<br />
<br />
y 30 6y<br />
2 2<br />
x x y x<br />
9<br />
5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
37)<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
4( x 5) 6y 11 33<br />
2y<br />
5<br />
2 2<br />
( x 3) y 8y 20 ( y 4) x 6x<br />
10 0<br />
38)<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 2<br />
2x xy x 2y<br />
4<br />
2 2<br />
2x xy 2y 2y<br />
4<br />
( xy , )<br />
39)<br />
40)<br />
41)<br />
42)<br />
43)<br />
44)<br />
45)<br />
46)<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
y 6x 13y y 1<br />
2 2 2<br />
2 y( x 3)(2 y 3) x y 12xy 11y<br />
8<br />
3 2 2<br />
2x<br />
x y 4<br />
<br />
2<br />
3 2x<br />
y<br />
2xy<br />
2<br />
y<br />
3 3 2<br />
x y y x <br />
3 3 2<br />
<br />
2 2 2<br />
x 1 x 3 2y y 2<br />
3 2 3<br />
<br />
2x 4x 3x 1 2x 2 y 3<br />
2y<br />
<br />
3<br />
x 2 14 x 3 2y<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
x y xy<br />
2<br />
7 6 14 0<br />
2 2 12 2 1<br />
2 2<br />
x y xy x y <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
4x 2 2y 4 6<br />
3 2<br />
16x 24x 14x 3 2y 3 y 2<br />
<br />
13x 4y 2 2x y 5<br />
<br />
2x y x 2y<br />
2<br />
<br />
8x y 27 18y<br />
<br />
2 2<br />
4x y 6x y<br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
47)<br />
48)<br />
49)<br />
50)<br />
51)<br />
52)<br />
53)<br />
54)<br />
<br />
<br />
<br />
3 x 2 x 2y 2y<br />
1 0<br />
<br />
3<br />
x 2 2 y 2 5<br />
2 2<br />
x x y y <br />
1 1 1<br />
<br />
y 35<br />
y <br />
2<br />
<br />
x 1<br />
12<br />
xy x y<br />
2 2<br />
<br />
3 8<br />
<br />
x y 1<br />
<br />
2 2<br />
x 1 y 1 4<br />
4 3 2<br />
x x x y <br />
3 4 1 0<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x 4y x 2xy 4y<br />
x<br />
2y<br />
2 3<br />
3 2<br />
x z z <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
12 48 64 0<br />
3 2<br />
y x x<br />
12 48 64 0<br />
3 2<br />
x y y<br />
12 48 64 0<br />
<br />
x 2 y 2 y x 2 y 3 y <br />
<br />
2 1 2 0<br />
<br />
2<br />
<br />
2x xy 2 ( x 2) y 4x<br />
4 0<br />
3x y 2x<br />
7 10<br />
<br />
1 1 <br />
<br />
x y<br />
2<br />
x 3y 3x y <br />
<br />
<br />
3 2 2<br />
2 y ( x 4) y 8y x 4x<br />
0<br />
<br />
1 x<br />
2 1<br />
<br />
x 2y 3 4( x 1) 8y<br />
<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
55)<br />
56)<br />
57)<br />
58)<br />
59)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
<br />
3 x 4x y 4y<br />
7<br />
2<br />
( x y) x y y x( y 1)<br />
<br />
3 2 2<br />
<br />
<br />
2 y ( x 4) y 4y x 2x<br />
0<br />
<br />
3 1 4( 1) ( 1) 8 1<br />
<br />
2<br />
x <br />
3<br />
x y x y <br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
<br />
x<br />
y<br />
5<br />
( x<br />
y)<br />
2 2<br />
8( x y ) 4xy<br />
13<br />
2<br />
<br />
x y y x <br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
3<br />
( x y) 12( x 1)( y 1) xy 9<br />
<br />
x y 7 x y xy 8xy 2 x y<br />
<br />
<br />
y 2x 3 6 2x<br />
<br />
3 3 2 2<br />
HƢỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
1) Ta viết lại hệ phương trình thành:<br />
có hệ mới<br />
2 2<br />
a<br />
y <br />
<br />
<br />
a<br />
y<br />
3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
x y <br />
1 1<br />
<br />
đặt ax 1 ta<br />
3 3<br />
x1<br />
y 1<br />
1<br />
. Suy ra 1 ay , 1. Mặt khác ta cũng có:<br />
1<br />
<br />
3 3 2<br />
a y y y y a<br />
1 1 1 0 0 1. Tương tự ta cũng có<br />
a a<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
y y<br />
a 1, y 0 hoặc a 0, y 1. Từ đó suy ra các nghiệm của hệ là:<br />
2 3<br />
<br />
2 2 3 3<br />
0 y 1 a y a y 1<br />
2 3<br />
xy ; 1;1 , 2;0<br />
.<br />
2) Hệ phương trình có dạng gần đối xứng từ hệ ta suy ra<br />
<br />
3 3 2 2 3 2 2 3<br />
8 7 2 8 14 7 0 4 2<br />
x y x y y x x x y xy y x y x y x y
y x<br />
<br />
<br />
<br />
y 2x<br />
thay vào một phương trình ta tìm được nghiêm là:<br />
<br />
y 4x<br />
1 <br />
; 1;1 , ; 2<br />
2 <br />
xy <br />
Ta có thể giải nhanh hơn như sau: Lấy phương trình (2) trừ 6 lần phương<br />
trình (1) thì thu được: 3<br />
3) Từ hệ phương trình suy<br />
<br />
x 1 xy y<br />
ra <br />
2<br />
3x y 3<br />
y<br />
2x y 1 2x y 1 y 2x<br />
1.<br />
2 2<br />
2 2<br />
x xy x y x y x y <br />
1 3 3 ( 3) 2 0 . Đây<br />
2<br />
là phương trình bậc 2 của x có 2<br />
y 6y 9 4 y 2 y 1 từ đó<br />
tính được x 1 hoặc x2<br />
y thay vào ta tìm được các nghiệm là<br />
xy ; 1;0 , 1;1 , 5; 3<br />
Chú ý ta có thể giải cách khác:<br />
<br />
2 2<br />
x xy x y y x x x x y x<br />
1 3 3 1 3 2 0 1 2 0 .<br />
4) Nhận xét: Có thể đưa hệ về dạng đẳng cấp:Từ hệ ta suy ra<br />
x 2 y 2 xy x 2 y 2 x 2 xy y 2<br />
x y x y<br />
2 3 8 12 23 17 24 7 0 17 7 0<br />
x<br />
y<br />
<br />
7 . Giải hệ với 2 trường hợp ta suy ra<br />
x y<br />
17<br />
7 17 7 17 <br />
; 1;1 , 1; 1 , ; , ; <br />
13 13 13 13 .<br />
xy <br />
<strong>Các</strong>h khác: Cộng hai phương trình của hệ ta thu được:<br />
2 2x3y5<br />
2x 3y<br />
25 rồi thay vào để giải như trên.<br />
2x 3y 5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5) Ta viết lại hệ đã cho thành:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
5x 2y 2xy<br />
26<br />
2 2<br />
3x 2x xy y 11<br />
Nhân hai vế của phương trình: (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) ta<br />
x<br />
2<br />
9x 6x 48 3x<br />
1 48 <br />
8 thay vào ta tìm được<br />
x <br />
3<br />
2<br />
được: 2<br />
y 1 hoặc y 3 .<br />
<strong>Các</strong>h khác: Ta viêt lại hệ thành:<br />
<br />
x y x y x yx y<br />
2 2<br />
2 2<br />
x y x y a b<br />
<br />
2 26 26<br />
<br />
2 2 11<br />
a b ab 11<br />
xứng loại 1.<br />
đây là hệ đối<br />
6) Nhận xét x y 0 là nghiệm của hệ. Xét xy , 0. Ta chia 2<br />
phương trình cho<br />
2 2<br />
xy<br />
2<br />
1 1 2<br />
1 1 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
x y <br />
x y xy<br />
<br />
<br />
. Đặt<br />
1 1 2 <br />
2 8 1 1 2 <br />
2 8<br />
x y xy <br />
<br />
x y xy <br />
1 1 2<br />
a; 2 <br />
b thu được<br />
x y xy <br />
đó tìm được nghiệm là xy ; 1;1<br />
.<br />
ab<br />
8<br />
2<br />
a<br />
b0<br />
3<br />
a a b <br />
8 2; 4 . Từ<br />
7) Ta viết lại hệ phương trình thành:<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
x y a b<br />
<br />
1 5 5<br />
<br />
x x y 1 y 1 5 a b ab 5<br />
đây là hệ đối<br />
Xứng loại 1, ta dễ tìm được a 2, b 1 hoặc a 1, b 2 . Từ đó giải được<br />
x y 1 hoặc x2; y 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
<strong>Các</strong>h khác: Ta viết lại hệ thành:<br />
2 2<br />
x y y <br />
2 4<br />
<br />
4x 2y 2xy<br />
8<br />
.<br />
8) Từ hệ ta suy ra<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
x y xy x y x y x y <br />
2 4 12 4 12 0<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x xy y x y xy x xy y x y x y<br />
.<br />
2 4 3 5 2 0 3 2 0<br />
Giải hệ ứng với 2 trường hợp ta có: x y 1; x y 1,<br />
2 7 3 7 2 7 3 7<br />
x ; y ; x ; y <br />
7 7 7 7<br />
<br />
<br />
<br />
9) Ta viết hệ đã cho thành:<br />
x y x y<br />
x y xy <br />
2 3 12<br />
<br />
6 12<br />
x y2x 3y x y xy 6<br />
x y x y xy x y x y <br />
ta thu được: xy ; 3; 1 , 3;2 , 4;2<br />
.<br />
2 3 6 0 3 2 0.Giải 3 trường hợp<br />
10) Từ hệ ta suy ra<br />
<br />
2xy 3y 5xy<br />
<br />
2 2 2<br />
4x y 5xy<br />
2 2<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
2xy 3y 4x y 4x 2xy 2y 0 x y 4x 2y<br />
2 4<br />
; 0;0 , 1;1 , ; <br />
5 5 .<br />
. Giải 2 trường hợp ta thu được xy <br />
11) Ta viết lại hệ đã cho thành:<br />
Chú ý rằng: 27 x y 3 x 2 y 2<br />
x y <br />
suy ra<br />
2 2 9<br />
<br />
27 8 3 1<br />
3 3<br />
x y y x x 3<br />
3 3 3 3<br />
x y y x x x y x y x y x <br />
3 3<br />
27 8 3 1 3 2 2 8 3 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3<br />
x y 2 3x 1 x y 2 3x 1 y 2x<br />
1 thay vào ta tìm<br />
7 <br />
; 1;1 , ; 8<br />
2 .<br />
được: xy <br />
12) Hệ đã cho tương đương với:<br />
<br />
2<br />
x y y <br />
<br />
4 1 2 3<br />
<br />
<br />
x x 12y<br />
9 4y<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
x y y y <br />
4 1 2 3 4 9<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
x x 12y<br />
9 4y<br />
Cộng theo vế hai phương trình ta được: x 2 x 2 y 2 y <br />
8 2 3 0<br />
2<br />
x x 7y y 1 2 0 x 0 y <br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 2 3<br />
(tm)<br />
3 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 0; <br />
2 .<br />
Điều kiện: x 1; y 1.<br />
13) Hệ phương tình đã cho tương đương:<br />
2 2<br />
x y<br />
<br />
<br />
<br />
x y 1<br />
. <br />
<br />
y 1 x 1 4<br />
y1 x1<br />
2 2<br />
<br />
1<br />
2<br />
.<br />
2 2 1<br />
u v<br />
<br />
x y<br />
Đặt u ; v<br />
y1 x 1<br />
, hệ thành: 2<br />
<br />
1<br />
uv <br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
uv<br />
<br />
2 2<br />
u v 2uv<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
u v 2uv 0 uv<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
1<br />
Suy ra u v hoặc u v . Nếu<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
u v thì x y (tm).<br />
2<br />
3<br />
1<br />
u v thì x<br />
y 1 (tm). Nếu<br />
2<br />
ra<br />
14) Điều kiện<br />
x2y0<br />
<br />
y<br />
0<br />
2<br />
t t t x y<br />
. Đặt t x 2y<br />
0 từ phương trình 1 suy<br />
3 4 0 1 2 1 thay vào phương trình (2) ta có:<br />
3<br />
8 4y<br />
2y<br />
2 . Đặt<br />
2y a 0 2y a<br />
2<br />
. Thay vào phương trình ta<br />
a<br />
0<br />
có: 3 8 2a 2 2 a a 3 8a 2 12a 0 <br />
<br />
<br />
a 2 . Từ đó tìm được các<br />
<br />
a 6<br />
nghiệm của hệ là xy ; 1;0 , 3;2 , <br />
35;18<br />
15) Phương trình (1) của hệ có thể viết lại như sau:<br />
y<br />
2x<br />
2x y x 2y<br />
5 0 <br />
x<br />
5 2y<br />
<br />
Thay vào phương trình (2) của hệ ta tìm được các nghiệm là<br />
xy ; 1;2 , 1; 2 , 3;4<br />
.<br />
16) Từ phương trình ( 2) ta có:<br />
<br />
3<br />
7x 3xy 3x y 1 3 x y x y 1<br />
Hay 7x 3 3xy 4x 2y x y 1 3 x yx y 1<br />
Hay x 3 y 3 xy x y x 3 y 3 xy x y x y x y<br />
8 6 2 3 3 1 1<br />
3 3<br />
Hay <br />
2x y x y 1 2x y x y 1 x 1. Thay vào phương<br />
trình đầu tìm được nghiệm của hệ là: xy ; 1;1 , 1; 4<br />
.<br />
17) Dễ thấy hệ có nghiệm 0;0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1<br />
2<br />
2 2<br />
x y<br />
xy hệ phương trình tương đương với: <br />
.<br />
1 3 7 5<br />
8<br />
2<br />
x xy x y<br />
Nếu , 0;0<br />
Đặt 1 u;<br />
1 v và cộng hai phương trình của hệ ta thu được:<br />
x y<br />
2 2<br />
u<br />
v<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
u 3uv 7u 5v<br />
8<br />
2 2<br />
2u v 3uv 7u 5v 6 0 u v 2 2u v 3 0 .Ta được:<br />
uv2<br />
2 2<br />
u<br />
v<br />
2<br />
<br />
2uv3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
u<br />
v<br />
2<br />
18)<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
3 2 2 3 3 3 3<br />
2 y x y .1 x y x xy y x y y x x y .Hệ<br />
x y x y 1<br />
tương đương với <br />
<br />
2 2 .<br />
x xy y 1<br />
x<br />
y 1<br />
19) Hệ tương đương:<br />
2 2<br />
x y x y <br />
2 2<br />
x yx y <br />
15 <br />
15<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
15<br />
x y<br />
15y<br />
<br />
x yx y x y<br />
15y<br />
2 2 2 2<br />
x yx y <br />
x yx y <br />
<br />
15 15<br />
4 4 4<br />
x y 15y<br />
x<br />
2<br />
x<br />
2y<br />
<br />
<br />
x y x y<br />
+)<br />
<br />
3<br />
2 2<br />
<br />
15y 15 y 1; x 2<br />
15<br />
2 2 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+)<br />
x2y<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x y x y 15<br />
3 3 3<br />
5y 15 y 3; x 2 3<br />
3 3<br />
Vậy nghiệm của hệ: x 2; y 1 , x 2 3; y 3 .<br />
<br />
20) Ta có: <br />
2x 5 x y x 4 y 4 x 2 y 2 xy x 2 y 2 x 5 y 5 x y<br />
<br />
Ta thu được hệ tương đương:<br />
<br />
x<br />
y x y 1<br />
<br />
<br />
2 2<br />
xy x y 2<br />
.<br />
<br />
x y 1<br />
21) Hệ đã cho tương đương:<br />
2 2<br />
x y x y x yx y<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
2x y x y x y<br />
Đặt u x y;<br />
v x y , sau đó giải như bài 18.<br />
22) Nếu y 0 suy ra 1 0 (loại)<br />
Chia cả hai vế cho<br />
y<br />
0, y 0 ta được:<br />
3 4<br />
1 1 <br />
x <br />
y y <br />
<br />
1 1 x<br />
4 <br />
<br />
y y<br />
giải như bài 19<br />
2<br />
x <br />
2<br />
15<br />
. Đặt 1 t<br />
15<br />
, sau đó<br />
t t x<br />
2 2<br />
<br />
y ta được: x t x t<br />
4<br />
16 x y 4xy x y 6x y x y x y 2<br />
4 4 2 2 2 2<br />
23) Ta có: 4<br />
x y 2 2 2<br />
x<br />
1<br />
x 2 x 2 2x 4x<br />
2 0 <br />
2 2<br />
<br />
x<br />
y 2<br />
y<br />
1<br />
+) 2<br />
x y 2 2 2<br />
x<br />
1<br />
x x 2 2 2x 4x<br />
2 0 <br />
2 2<br />
<br />
x<br />
y 2<br />
y<br />
1<br />
+) 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy nghiệm của hệ có 2 cặp nghiệm là 1;1 , 1; 1<br />
.<br />
24) Ta có: PT 2<br />
27 27 9 3 3<br />
3 3 2 2 3 3 2 2<br />
x y x y y x x y y x x y<br />
<br />
3 3<br />
3x y x y x y . Hệ đã cho tương đương:<br />
3 3<br />
x<br />
y 2<br />
x y <br />
<br />
x<br />
y<br />
1.<br />
25) Ta có: PT 2 15x 4 y 4 12x 2 y 2 40xy 8xy 4x 2 y<br />
2<br />
<br />
<br />
16x y 8xy 4x y 12x y x<br />
4 4 2 2 2 2 4<br />
4 4 2x y x x y<br />
2x y x <br />
2x y x<br />
<br />
3x y<br />
<br />
+)<br />
+)<br />
2 2<br />
x<br />
y 1<br />
4x<br />
y 5<br />
<br />
<br />
.<br />
x<br />
y x<br />
y 1<br />
2 2<br />
4x<br />
y 5 2 2 2 5 5 5 5 <br />
4x 9x 5 x ;3 , ; 3<br />
3x<br />
y<br />
13 13 13 13 <br />
.<br />
<br />
26) Điều kiện: xy , 0.<br />
1 1 1 2 1 1 1<br />
<br />
x y x y x y<br />
Ta có:<br />
x y x y <br />
2 2 2 3<br />
2 2<br />
Hệ đã cho tương đương với hệ:<br />
<br />
<br />
<br />
x x 2y 8 xy<br />
4<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
xy 16<br />
x<br />
2xy<br />
8<br />
xy<br />
4<br />
Xét hệ: 2<br />
x<br />
2xy<br />
8<br />
xy<br />
4<br />
. khi đó . Hệ này vô nghiệm.<br />
2<br />
x<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
xy<br />
4<br />
Xét hệ: 2<br />
x<br />
16<br />
Hệ này có nghiệm 4; 1<br />
và 4;1<br />
.<br />
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 4; 1<br />
và 4;1<br />
.<br />
27) Ta có:<br />
2 2<br />
x<br />
y <br />
9<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
xy x y<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
1 y 2<br />
Hệ này tương tự với hệ<br />
2 2<br />
x<br />
y <br />
9<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
xy x y<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
1 y 2<br />
2<br />
1<br />
y 1<br />
<br />
9<br />
xy<br />
, 1<br />
<br />
2 2<br />
x y <br />
Khi đó, hệ có nghiệm <br />
28) Điều kiện: x2, y<br />
4<br />
3;0<br />
và 3;0 .<br />
Vì 12x y 4 3x y 4 4<br />
3xy<br />
và <br />
Cộng hai bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:<br />
5xy 12x y 4 4 2y x 2 3xy 2xy 5xy<br />
Do vậy dấu “=” phải xảy ra. Khi đó x4, y 8 .<br />
4 2y x 2 2y x 2 2 2xy<br />
Kiểm tra lại, ta thấy x4, y 8 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.<br />
29) Điều kiện: x16, y 9 .<br />
Khi đó:<br />
8 17 x y<br />
21 x y x y<br />
<br />
x y <br />
.Đặt t 2 . 2 .<br />
6<br />
8 y x<br />
4 y x y x<br />
y x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ sự đánh giá qua bất đẳng thức dưới đây:<br />
8 17 3 8 1<br />
6 6<br />
2 2 2.2 6<br />
t6 8 t 4 t6 8<br />
t t <br />
t 2.<br />
, suy ra t 6 8 hay<br />
Vậy t x 16 .Xét phương trình vô tỷ x16 x9 7 với x 16.<br />
x 16 x 9 37 x<br />
Bình phương hai vế và giản ước được: <br />
Từ đây suy ra x 25 .<br />
Kiểm tra lại, ta thấy x25, y 25 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.<br />
30) Điều kiện: 3 x, y, z 13. Cộng ba phương trình vế theo vế, ta<br />
được:<br />
x 3 13 x y 3 13 y z 3 13 z 6 5 .<br />
Xét: T t 3 13 t<br />
với t 3;13<br />
Vì T t t t t<br />
3 13 11 313 2 5<br />
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki và dấu “=” xảy ra khi t 8 .<br />
Vậy hệ phương trình có một nghiệm x y z 8 .<br />
31) Biến đổi hệ phương trình thành:<br />
2<br />
<br />
2<br />
x x y x y 7x y<br />
4 (1)<br />
<br />
2 2<br />
4 3x y 8 x y<br />
(2)<br />
Thực hiện phép thế (2) vào (1) ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
7 3 8 <br />
2 2 15 <br />
2 2 2<br />
x x y x y x y x y x y<br />
<br />
2 2<br />
x x y x xy x y<br />
<br />
2 2<br />
x x y x y x y x y x x <br />
2x 15 2 15 0<br />
TH1: x y.<br />
Thay vào phương trình (2) có ngay:<br />
trình này vô nghiệm.<br />
2<br />
4x 4 0 . Phương<br />
TH2:<br />
x<br />
2<br />
<br />
2<br />
y 1<br />
x 3 y 8y<br />
7 0 <br />
2x15 0 <br />
y 7<br />
2<br />
x 5 y 8y 119 0( VN)<br />
Vậy hệ đã cho có các nghiệm sau: 3; 1 , 3; 7<br />
32) Đặt<br />
u x y x y u y u v<br />
<br />
v 3 x y 3 x y v x 6 u 2v<br />
2 2 2<br />
2 2 3<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
2x 3y 4 u v 7<br />
3uv5<br />
Khi đó hệ ban đầu trở thành: <br />
2 2<br />
2v u v 7 2(*)<br />
Thế v5 3u<br />
vào phương trình (*) giải tìm được u 1, từ đó v = 2<br />
x = 3; y = 2<br />
33) PT thứ hai của hệ<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 1 2 1 2 1 1 2<br />
x y x y x x x y x x y x<br />
hoặc x 2y x<br />
2<br />
x<br />
0<br />
TH1: x 2y x 2<br />
2y x x<br />
2<br />
được 13x<br />
11x30 0<br />
thay vào phương trình thứ nhất ta<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x<br />
20<br />
TH2: x 2y x<br />
2 2<br />
2y x x 1<br />
nhất ta được bậc hai theo x<br />
thay vào phương trình thứ<br />
34) Điều kiện:<br />
2<br />
x 4; y 0; x y;4 x y; y 3x<br />
Phương trình (1)<br />
<br />
2 2<br />
2x 2 x y 4x y 2 x y y 2x y 4x 4 y 0<br />
+ Nếu y 0 thì không thỏa mãn do điều kiện y3x<br />
12<br />
+ Nếu y 4x4thay vào phương trình (2) ta thu được:<br />
2 2<br />
x x x x<br />
16 2 4 16 3 4 1<br />
2<br />
x 25 x 5 x 5 1 <br />
x 5<br />
<br />
0<br />
2 2<br />
x 16 3 x 4 1 x 16 3 x 4 1<br />
x 5 1<br />
x 5 0<br />
2<br />
x 16 3<br />
x 41<br />
Với x 5 y 16<br />
x 5 1<br />
0 x 5 x 4 x 2 x 16 0 .<br />
2<br />
x 16 3<br />
x 41<br />
Xét <br />
2<br />
2 2 2<br />
Dễ thấy x 2 x 16 x 4x 4 x 16 0 với mọi x 4 nên<br />
phương trình vô nghiệm<br />
Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất: xy ; 5;16<br />
35). ĐK: x 2 y, x x 2y<br />
0<br />
Đặt<br />
a<br />
3y<br />
, phương trình (1) của hệ đã cho tương đương với:<br />
b x 2y<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2<br />
<br />
a a 1 b b 1 a b a ab b 1 0 .<br />
2 2<br />
Do 0 , <br />
a ab b a b a b<br />
Hệ<br />
y<br />
0<br />
<br />
x 2y 3y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x 2y x 3y<br />
2 <br />
<br />
2<br />
x 9y 2y<br />
2 2<br />
9y 2y 3y 9y 2y 3y<br />
2<br />
Đặt<br />
Do<br />
t<br />
2<br />
t y y pt t t t <br />
t<br />
5t<br />
4 0<br />
2<br />
9 5 , 2 4<br />
2<br />
4 8<br />
y 0 y x <br />
9 3<br />
.<br />
8 4<br />
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: xy ; ; <br />
3 9<br />
36) Từ phương trình (1) ta rút ra được:<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x x y x x y <br />
x x y 2x 2x x y x y<br />
<br />
(*)<br />
Từ phương trình 2 ta có kết quả: 9 x 6 x<br />
1<br />
5 y<br />
Thay vào (*) ta có:<br />
2 2 2 2 2<br />
9x<br />
9<br />
2<br />
5 y<br />
5<br />
x<br />
x<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
2x 2x x y y 6x<br />
2 2 2<br />
1 2x 2x x y 6xy<br />
2 2 2<br />
<br />
y y x x y 3y<br />
Nếu x 0 vô nghiệm.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nếu<br />
2 2 2 2<br />
x x y 3y x y 3y x<br />
3yx0<br />
3yx0 <br />
y 0 5<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 <br />
x y 9y 6xy x <br />
y x.<br />
<br />
5 3<br />
y x<br />
<br />
3<br />
Thay vào ta tìm được: ( xy ; ) (5;3)<br />
KL: Hệ có nghiệm: ( xy ; ) (5;3)<br />
37) Biến đổi phương trình (1)<br />
2 2<br />
( x 3) ( y 4) 4 ( y 4) ( x 3) 1 (*)<br />
+ x 3<br />
y 4 ta thấy không thỏa mãn.<br />
+ x 3 y 4 thì bình phương hai vế phương trình (*)<br />
( x 3)( y 4) 0<br />
<br />
( y 4) 4( x<br />
3)<br />
2 2<br />
y 4 2( x 3) y 2x<br />
10<br />
Thay vào phương trình (2) và rút gọn ta được:<br />
2 3<br />
4x 28x 51 3 4x<br />
15 0<br />
x 2 x 3 x x <br />
4 8 16 3 4 15 4 13 0<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
274x15 4x13<br />
3<br />
x x x x <br />
4 x 4 0<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
2 2<br />
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13<br />
2<br />
164x7 x4<br />
3<br />
x x x x <br />
4 x 4 0<br />
3<br />
2 2<br />
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
44x<br />
7<br />
<br />
<br />
x 4<br />
1 <br />
0<br />
3<br />
2 3<br />
2<br />
9 4x 15 34x 13 4x 15 4x<br />
13<br />
<br />
<br />
<br />
44x<br />
7<br />
3<br />
x x x x <br />
<br />
1 <br />
0<br />
3<br />
2 2<br />
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13<br />
<br />
x<br />
4<br />
- Với x 4 y 2<br />
<br />
<br />
4 4x<br />
7<br />
- Với 1<br />
0 (3)<br />
3<br />
2 3<br />
2<br />
9 4x 15 3 4x 13 4x 15 4x<br />
13<br />
Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm như sau:<br />
Dễ thấy với mọi x thì<br />
2<br />
4x<br />
28x 51 0<br />
3 15<br />
Do đó phương trình(**)có nghiệm khi 3 4x15 0 x . Từ đó<br />
4<br />
suy ra vế trái của (3) luôn dương, dẫn đến phương trình này vô nghiệm.<br />
KL: x; y 4; 2<br />
38) Từ phương trình (2) ta thu được:<br />
2 2<br />
y 2 x y<br />
<br />
xy<br />
2<br />
Thay vào phương trình (1) ta có:<br />
2<br />
3 2 xy 2 3 x y 2<br />
2x x2 x y x 2y 4 x 2x xy x 2y<br />
4<br />
<br />
2 <br />
2<br />
2 2 2<br />
( x 2)( x 2x 4) x( x 2x 4) y( x 2x<br />
4) 0<br />
<br />
3 2 2<br />
2x 2x 4x x y 2xy 4y<br />
8<br />
3 3 2 2 2<br />
(x 8) (x 2x 4x) (x y 2xy 4y) 0 (2x 2 y)(x 2x 4) 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
y 2x<br />
2<br />
Thay y 2x 2 vào phương trình (2)và rút gọn ta được<br />
x<br />
0<br />
y 2<br />
x(6x7)<br />
0 <br />
<br />
7 1<br />
x y <br />
6 3<br />
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm<br />
7 1<br />
( xy ; ) (0; 2), ; <br />
6 3<br />
39) Với điều kiện x 0hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:<br />
2 2 2 2<br />
x y xy xy y y <br />
<br />
<br />
8 6 12 7 8 0<br />
2 2<br />
13y y 1 6xy<br />
0<br />
Lấy (1) + (2) ta có được phân tích sau:<br />
2 2 2 2 2<br />
x y xy y xy y y x y x<br />
2 6 6 9 0 [ ( 1)] 6 ( 1) 9 0<br />
y x 1 3 19y<br />
17 y1 0<br />
Ta được <br />
2<br />
- Với<br />
- Với<br />
17 213 49 3 213<br />
y ; x<br />
38 2<br />
17 213 49 3 213<br />
y ; x<br />
38 2<br />
Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là:<br />
49 3 213 17 213 49 3 213 17 213 <br />
( xy ; ) <br />
; , ;<br />
2 38 2 38 <br />
<br />
40). Điều kiện: y 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với y 0 ta biến đổi hệ phương trình thành<br />
2<br />
x 4<br />
2 xy<br />
<br />
y xy<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
y<br />
2<br />
3<br />
2 2xy<br />
y 2<br />
Đặt<br />
2<br />
x<br />
a ; b xy hệ phương trình trên trở thành<br />
y<br />
4<br />
2ab<br />
2<br />
b 2ab<br />
b<br />
4 (3)<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
b 2a 2ab b 2 a (4)<br />
2a 2b 2 <br />
a<br />
Cộng (3) và (4) theo vế và thu gọn ta được<br />
a<br />
2<br />
a<br />
1<br />
a 2 0 <br />
a<br />
2<br />
TH a b b<br />
2<br />
1: 1 2 4 0 ( VN)<br />
TH 2: a 2 b 2ta có hệ phương trình<br />
2<br />
x<br />
<br />
y <br />
y <br />
xy 2<br />
<br />
<br />
3<br />
2 x 4<br />
3 3<br />
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( xy ; ) 4; 2<br />
3<br />
2<br />
41) Điều kiện:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2y<br />
y 0<br />
0 y 2<br />
2<br />
1 x 0 1 x 1<br />
<strong>Các</strong>h 1: Đặt t x 1,0 t 2 . Lúc đó hệ pt thành:<br />
3 2 3 2 3 2 3 2<br />
t 3t 2 y 3y 2 t 3t y 3y<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x 1 x 3 2y y 2 x<br />
1 x 3 2y y 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ phương trình (1) ta suy ra: t yt 2 ty y 2 t y <br />
t 2 ty y 2 t y t 2 y t y 2 y<br />
<br />
3( ) 0 Vì<br />
3( ) 0 3 3 0 có<br />
y 2 y 2 y y y y y y <br />
3 4 3 3 3 4 3 3 1 0 nên<br />
phương trình này vô nghiệm.<br />
Vậy t y x 1 y . Thay x1<br />
y vào phương trình (2) có:<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 3 0 1 x 1 1 x 3 0<br />
2<br />
1x<br />
1<br />
<br />
x 0 y 1<br />
<br />
2<br />
1 x 3<br />
Vậy hệ pt có 1 nghiệm duy nhất là xy ; 0;1<br />
<strong>Các</strong>h 2: Phương trình (2) x 2 1 x 2 2 3 2y y 2 f x g y<br />
.<br />
Xét<br />
13<br />
<br />
4<br />
f x trên miền 1;1<br />
ta có 3 f x<br />
Ta lại có: g y y y<br />
y2<br />
y<br />
3 2 3.<br />
2<br />
Vậy f x g y . Dấu bằng xảy ra khi<br />
y<br />
1<br />
.<br />
x<br />
1, x 0<br />
Thay vào phương trình (1) có nghiệm xy ; 0;1<br />
(thỏa mãn)<br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; 0;1<br />
.<br />
42) Vì x 0 không phải là nghiệm của hệ chia phương trình (1) cho<br />
3 2 3<br />
2x 4x 3x 1 2x 2 y 3<br />
2y<br />
ta thu được: <br />
3<br />
1 1<br />
3<br />
1 1 3 2y<br />
3<br />
2y<br />
x x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
3<br />
x
Đặt<br />
1<br />
a 1 , b 3 2y<br />
suy ra<br />
y<br />
<br />
3 3 2 2<br />
a a b b a b a ab b 1 0 a b<br />
.<br />
Thay vào pt thứ 2 ta được:<br />
3<br />
x x <br />
x7 x7<br />
2 3 15 2 0 0<br />
3<br />
2<br />
x 23 3<br />
15 x 2 15 x 4<br />
111<br />
x 7 y<br />
98<br />
43) Dễ thấy xy 0 không thỏa mãn hệ.<br />
Với xy 0 viết lại hệ dưới dạng:<br />
Điều kiện để phương trình<br />
nghiệm là 2 2<br />
<br />
<br />
1 1 7<br />
2x 2y <br />
<br />
x y<br />
2<br />
2 2<br />
x y xy 7x 6y<br />
14 0<br />
2 2<br />
x y xy x y<br />
7 6 14 0 (ẩn x) có<br />
7 <br />
7 4 24 56 0 1;<br />
3 <br />
1<br />
y y y y <br />
Điều kiện để phương trình<br />
nghiệm là: 2 2<br />
2 2<br />
x y xy x y<br />
7 6 14 0 (ẩn y) có<br />
10<br />
6 4 28 56 0 2;<br />
3 <br />
2<br />
x x x x <br />
1<br />
Xét hàm số f t<br />
t<br />
7<br />
f x. f y f 2 . f 1<br />
<br />
2<br />
2t<br />
đồng biến trên <br />
0; nên<br />
<br />
Kết hợp với phương trình thứ nhất ta được:<br />
x<br />
2<br />
là nghiệm của hệ.<br />
y<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
“Để chứng minh hàm số f<br />
<br />
sau: Xét hai giá trị x1 x2 D . Chứng minh:<br />
Ngược lại để chứng minh hàm số f<br />
x đồng biến trên miền xác định D ta làm như<br />
<br />
<br />
f x f x<br />
1 2<br />
x<br />
x<br />
1 2<br />
0 ”<br />
x nghịch biến trên miền xác định D<br />
ta làm như sau: Xét hai giá trị x1 x2 D . Chứng minh:<br />
<br />
f x f x<br />
1 2<br />
x<br />
x<br />
1 2<br />
0 ”<br />
44) Điều kiện xác định<br />
1 x ; y 2 .<br />
2<br />
Ta viết lại hệ thành:<br />
3<br />
<br />
<br />
2 2x 1 2x 1 2y 3 y 2<br />
<br />
4<br />
4x 2 2y 4 6<br />
Đặt a 2x 1, b y 2 suy ra<br />
trình thứ nhất của hệ ta có: 2x1 y<br />
2<br />
3 3<br />
2a a 2b b a b . Từ phương<br />
Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 4y8 2y 4 6(*)<br />
Đặt t 2y 4 thì<br />
2<br />
2y<br />
t 4<br />
thay vào ta có:<br />
4 2 2<br />
t 16 6 t t 4<br />
1<br />
<br />
y 6 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất là xy ; ;6 <br />
2<br />
<br />
45) Điều kiện:<br />
4y<br />
x <br />
13x4y0 13<br />
<br />
<br />
2x<br />
y0<br />
y<br />
x <br />
2<br />
Đặt a 13x 4 y, b 2x y . Khi đó ta được hệ phương trình:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5 x<br />
2 2<br />
b (1)<br />
a 4b 5x a 2b x 4<br />
<br />
<br />
<br />
a 2b 5 a 2b 5 a 2b<br />
5 (2)<br />
b x 2y 2 b x 2y 2 <br />
b x 2y<br />
2 (3)<br />
<br />
<br />
Thế (1) vào (3) ta được:<br />
8y<br />
3<br />
x (4) . Thế (4) vào phương trình<br />
3<br />
2x y x 2y<br />
2 ta được:<br />
3<br />
19y6 3 2<br />
y y<br />
<br />
2<br />
3 3 <br />
<br />
2<br />
4y<br />
69y<br />
19 0<br />
Giải ra<br />
69 3 545<br />
y từ đó tính được x 24 545<br />
8<br />
69 3 545<br />
Thử lại ta thấy xy ; <br />
<br />
24 545;<br />
<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
là nghiệm cần tìm.<br />
46) Ta tìm cách loại bỏ<br />
(2) nên tương đương<br />
Thế<br />
3<br />
18y . Vì y 0 không là nghiệm của phương trình<br />
2 2 3<br />
72x y 108xy 18y<br />
.<br />
3<br />
18y từ phương trình (1) vào ta thu được:<br />
3<br />
<br />
xy <br />
2<br />
<br />
21<br />
9 5<br />
x y x y xy xy<br />
.<br />
4<br />
<br />
21<br />
9 5<br />
xy<br />
<br />
4<br />
3 3 2 2<br />
8 72 108 27 0<br />
Thay vào phương trình (1) ta tìm được xy. ,<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
y 0( L)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
8 xy 27 3 1<br />
3<br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
5 3 x 3 5<br />
18 2 4<br />
3<br />
8 xy 27 3 1<br />
3<br />
<br />
Vậy hệ đã cho có nghiệm<br />
3 5 x 3 5<br />
18 2 4<br />
1 3 1 3<br />
xy ; 3 5 ; 5 3 , 3 5 ; 3 5 <br />
<br />
<br />
4 2 4 2 .<br />
47) Điều kiện:<br />
1<br />
x2,<br />
y .<br />
2<br />
Phương trình (1) tương đương:<br />
2 x 2 x 2 x 2y 1 2y 1 2y 1 f 2x 1 f 2y<br />
1<br />
Đặt<br />
3<br />
3 3<br />
a 2 x, b 2y 1 a a b b a b<br />
.<br />
2 x 2y 1 x 3 2y<br />
thay vào ta có:<br />
a2b5<br />
5 2y<br />
2 y 2 5 3 2<br />
a<br />
2b<br />
9<br />
<br />
a<br />
1; b2<br />
<br />
3 65 23<br />
65<br />
<br />
<br />
<br />
a ; b<br />
4 8<br />
<br />
65 3 23<br />
65<br />
a ; b<br />
4 8<br />
<br />
y 2<br />
<br />
233<br />
23 65<br />
<br />
<br />
<br />
y <br />
.<br />
32<br />
<br />
233<br />
23 65<br />
y <br />
32<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
23 65 185 233 23 65 23 65 185 233<br />
23 65 <br />
; 1;2 , <br />
; , <br />
;<br />
16 32 16 32 <br />
<br />
xy <br />
<br />
48) Điều kiện:<br />
2<br />
x 1.<br />
Ta có (1) tương đương<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x x 1 y y 1 y 1 y y 1<br />
y<br />
2 2<br />
x x y y <br />
Từ đó ta rút ra x<br />
1 1.<br />
y.<br />
Thay vào (2) ta được:<br />
y <br />
y<br />
<br />
2<br />
y 1<br />
35<br />
12<br />
.<br />
Bình phương hai vế (điều kiện y 0). Khi đó ta có:<br />
y<br />
2<br />
2 2 2 4 2 2 2<br />
2<br />
2y y 35 y y y 2y<br />
35 <br />
<br />
2 2 <br />
2<br />
1 12 1<br />
2<br />
.<br />
y 1 y y y 1<br />
12<br />
<br />
Đặt<br />
2<br />
y<br />
t<br />
0<br />
. Phương trình tương đương:<br />
2<br />
y 1<br />
t<br />
2<br />
49 5<br />
2 t ( L )<br />
2<br />
y <br />
35 12 y 25 4<br />
2t 0 .<br />
12 25<br />
2<br />
<br />
y 1 12 5<br />
t <br />
y <br />
12<br />
<br />
3<br />
Đối chiếu điều kiện chỉ lấy 2 giá trị dương.<br />
5 5 5 5 <br />
Vậy hệ có nghiệm xy ; ; , ; <br />
4 4 3 3 .<br />
49) Triển khai phương trình (1)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
(1) x y 6xy 9 x 2xy y 8 x y x y 1 8xy<br />
2 2<br />
<br />
x 1 y 1 8xy<br />
.<br />
Nhận thấy x0, y 0 không là nghiệm của hệ.<br />
Phương trình (1) khi đó là:<br />
2 2<br />
x 1 y 1<br />
. 8 .<br />
x y<br />
x y<br />
Đặt a;<br />
b. Hệ đã cho tương đương:<br />
2 2<br />
x 1 y 1<br />
1 x 1<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 x 1 2<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 1 y x <br />
<br />
<br />
a b <br />
<br />
b <br />
2<br />
<br />
<br />
4 <br />
4<br />
<br />
<br />
y 1 4 y<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
.<br />
<br />
1 x 1<br />
8<br />
<br />
a x<br />
2 3<br />
<br />
2<br />
ab <br />
4<br />
<br />
<br />
x 1 4 <br />
<br />
<br />
<br />
y 1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y 1<br />
b <br />
2<br />
<br />
2 <br />
<br />
y 1 2<br />
Vậy hệ có nghiệm<br />
xy ; 1;2 3 , 1;2 3 , 2 3; 1 , 2 3; 1<br />
.<br />
50) Ta có:<br />
2 2 ( x<br />
2 y)<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
x 4y x 4y 2 2 2<br />
x<br />
2y<br />
( x 2 y) 11 x 4y<br />
<br />
2 4 2 2<br />
Mặt khác ta cũng có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
x y x y x y<br />
2 2<br />
2 2<br />
x 2xy 4y<br />
3 2 ( 2 ) 2<br />
<br />
<br />
3 12 4<br />
2 2<br />
x 2xy 4y<br />
x<br />
2y<br />
<br />
<br />
3 2<br />
Từ đó suy ra<br />
2 2 2 2<br />
x 4y x 2xy 4y<br />
x 2y x 2y<br />
2 3<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2y<br />
0<br />
Thay vào phương trình còn lại ta thu được:<br />
<br />
x x 3x 2x 1 0 x 1 x 3x 1 0 x 1 y <br />
2<br />
4 3 2 3 1<br />
1 <br />
Hệ có một cặp nghiệm: xy ; 1; <br />
2 <br />
3 3 3<br />
51) Cộng theo vế các pt của hệ ta được: x y z<br />
<br />
4 4 4 0 (*)<br />
Từ đó suy ra trong 3 số hạng ở tổng này phải có ít nhất 1 số hạng không<br />
âm, không mất tính tổng quát ta giả sử: z<br />
3<br />
4 0 z<br />
4<br />
Thế thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương:<br />
2<br />
3 2<br />
x z x<br />
16 12 2 12.2 4<br />
Thế thì phương trình thứ hai của hệ tương đương:<br />
2<br />
3 2<br />
y x y<br />
16 12 2 12.2 4<br />
3 3 3<br />
Do vậy từ <br />
thỏa mãn.<br />
x 4 y 4 z 4 0 * x y z 4 thử lại<br />
Vậy x; y; z 4;4;4<br />
là nghiệm của hệ.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
52) Phương trình (1) của hệ có dạng: x 2 y x 2 y<br />
2<br />
<br />
2 2 1 0<br />
2 2<br />
Do x 2 y 1 0 nên suy ra<br />
vào phương trình (2) ta có:<br />
2 2<br />
x 2 y 0 y x 2 thay<br />
2<br />
2<br />
( x 2) ( x 2) ( x 2) 2 x x x<br />
2<br />
x 2 x x 1 y 3<br />
Vậy hệ có nghiệm duy nhất xy ; <br />
1; 3<br />
53) Theo bất đẳng thức cô si ta có:<br />
x x x y 1 x x y <br />
. <br />
x 3y x y x 3y 2 x y x 3y x y 1 x 3<br />
<br />
y 1 2y 1 1 2y<br />
x<br />
3y<br />
2 x<br />
y 2<br />
<br />
<br />
x 3y 2 x 3y 2 2 x 3y<br />
<br />
Tương tự ta cũng có:<br />
x y 1 x 3<br />
<br />
y 3x<br />
2 x<br />
y 2<br />
1 1 <br />
Từ đó suy ra x y<br />
2 . Dấu bằng xảy ra khi<br />
x 3y 3x y <br />
<br />
<br />
x y thay vào phương trình thứ nhất ta được: x y 4<br />
3 2 2<br />
2 y ( x 4) y 8y x 4x<br />
0<br />
<br />
1 x<br />
2 1<br />
<br />
x 2y 3 4( x 1) 8y<br />
<br />
2 2<br />
54) Điều kiện:<br />
1x<br />
0<br />
<br />
x<br />
2y<br />
3 0<br />
Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 3 2<br />
x y x y y y<br />
( 4) 2 4 8 0<br />
<br />
2 2 3 2 2<br />
( y 4) 4(2y 4y 8 y) y 4y<br />
4<br />
x<br />
2y<br />
Từ đó ta tính được: 2<br />
x y 2y<br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
Vì<br />
x y y y<br />
2 2<br />
2 4 ( 1) 3 1 nên không thỏa mãn<br />
Thay x 2y<br />
vào phương trình thứ hai ta được:<br />
1 x<br />
2 7<br />
2x 3 4x 4x<br />
<br />
2 2<br />
Ta có:<br />
2 7 2 5 5<br />
4x 4 x (2x<br />
1)<br />
;<br />
2 2 2<br />
1 x<br />
1 <br />
2 3 2 2 2 3 1 <br />
x x x 12 2x 2x<br />
3<br />
<br />
5<br />
2 2 4 <br />
2<br />
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi các dấu bằng đồng thời xảy ra.<br />
Suy ra<br />
1 1<br />
x ; y <br />
2 4<br />
55) Từ phương trình (2) ta suy ra x 0<br />
Phương trình (1) được viết lại như sau:<br />
1 0 1 4 1<br />
2 2 3 2 2<br />
2<br />
3 2 2<br />
2<br />
x y y x y y y y y y y y <br />
2<br />
x<br />
y 0<br />
Từ đó tính được: <br />
x<br />
y1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
Thay y x 1 vào phương trình ta thu được: 3 x( x 4) x 4 2x<br />
.<br />
Chia phương trình cho<br />
x 2x<br />
3 1<br />
x 4 x 4<br />
2<br />
x 4 ta có:<br />
2 2<br />
x<br />
Đặt t 0<br />
2<br />
x 4<br />
ta có<br />
t<br />
1<br />
<br />
t <br />
2<br />
2<br />
2t<br />
3t<br />
1 0 1<br />
Với<br />
Với<br />
t x x<br />
2<br />
1 4 0 vô nghiệm<br />
1<br />
t x 2 y 1<br />
2<br />
Vậy hệ có nghiệm duy nhất xy ; 2;1<br />
56) Điều kiện: x 1<br />
Ta viết lại phương trình (1) thành:<br />
2 2 3 2<br />
x y x y y y<br />
( 2) 2 4 4 0<br />
Tính được<br />
2<br />
2<br />
3 2 2<br />
2 x<br />
2y<br />
y 2 8y 16y 16y y 4y<br />
2<br />
2<br />
x y 2y<br />
2 0<br />
Thay<br />
x<br />
y vào phương trình ta thu được:<br />
2<br />
3<br />
2<br />
<br />
3 x 1 2x 4 x 2x<br />
9(*)<br />
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:<br />
<br />
3 3 3 3<br />
3 x 1 2x 4 .2 1.( x 1) 1 x 1<br />
x<br />
2 2 2<br />
3 1 x 10<br />
<br />
2 2 2<br />
3<br />
3 2x 4<br />
3<br />
4.4.( x 2) 4 4 x 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 x 10<br />
Từ đó suy ra 3<br />
x 1 2x 4 x 2x<br />
5<br />
2 2<br />
2<br />
Mặt khác ta có: 2<br />
x 2x 9 (2x 5) x 2 0<br />
Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm khi các dấu bằng đồng thời xảy<br />
ra x 2 .<br />
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy ; 2;1<br />
Mặt khác ta thấy x2; y 3 là một nghiệm của hệ<br />
Vậy xy ; 2;3<br />
là nghiệm duy nhất của hệ.<br />
57) Đặt<br />
1 a x y , b x y<br />
x<br />
y<br />
<br />
Hệ<br />
2 1 <br />
2<br />
5 ( x y) 3( x y) 13<br />
2<br />
( x y)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
( x y ) x y 1<br />
<br />
x<br />
y<br />
nên ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a b 1 a b 1<br />
2 2 2 2<br />
5( a 2) 3b 13 5a 3b<br />
23<br />
Giải hệ này ta tìm được<br />
a<br />
4<br />
<br />
b<br />
3<br />
và<br />
5<br />
a <br />
2<br />
<br />
7<br />
b 2<br />
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ:<br />
1 3 5 3 3 11 3 <br />
xy ; <br />
; , ; , ; 2<br />
2 2 .<br />
<br />
4 4 2 <br />
58) Từ phương trình (2) ta suy ra xy 0 x,<br />
y cùng dấu. Từ phương trình<br />
(1) ta suy ra xy , 0.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:<br />
2 2 2 2<br />
2 2 x 2 y y 2<br />
x<br />
x 2 y y 2 x 2 . Dấu bằng xảy ra khi và<br />
2 2<br />
chỉ khi<br />
x<br />
y 2 .<br />
2 2<br />
Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình:<br />
2 2<br />
x<br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
( x y) 12( x 1)( y 1) xy 9<br />
Ta có:<br />
3 3<br />
( ) 12( 1)( 1) 9 ( ) 12( ) 21 12<br />
x y x y xy x y x y xy xy<br />
Đặt t x y t x 2 y<br />
2<br />
<br />
2 2 ta thu được<br />
x y 2 2xy 2 x y 2t<br />
2 1<br />
. Ta có:<br />
3<br />
( ) 12( ) 21 12<br />
x y x y xy xy <br />
x y 2 x 2 y 2<br />
x<br />
y<br />
3 3 2<br />
( x y) 12( x y) 21 12 t 6t 12t<br />
8<br />
.<br />
2 2<br />
Ta có t 3 t 2 t t<br />
3<br />
duy nhất của hệ.<br />
6 12 8 2 0 . Khi t 2 thì x y 1 là nghiệm<br />
59). Từ phương trình 2 của hệ ta suy ra xy , 0. Xét phương trình:<br />
<br />
x y 7 x y xy 8xy 2 x y<br />
3 3 2 2<br />
Ta có:<br />
2<br />
<br />
.<br />
3 3 2 2<br />
x y 7 x y xy x y x y 6xy x y x y 4xy<br />
2 2<br />
x y 4xy 2 x y .4xy<br />
. Suy ra<br />
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: <br />
<br />
3 3<br />
2 2<br />
x y 7 x y xy 4 xy x y x y 4 xy x y<br />
. Ta có<br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
x y x y 2xy 2 x y .2xy<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra x 3 y 3 7 x y xy 8xy 2x 2 y<br />
2<br />
<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
khi x<br />
y. Thay vào phương trình (2) ta thu được:<br />
x 3<br />
x 2x 3 6 2x 2x 3 x 2x 3<br />
2x<br />
3<br />
2x3<br />
x<br />
1 3<br />
Suy ra x 3 hoặc: 2x 3 x Do x nên pt này vô nghiệm.<br />
2 2<br />
Tóm lại: Hệ có nghiệm: x y 3.<br />
<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chủ đề 8 - BẤT ĐẲNG THỨC<br />
Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)<br />
Cho các số thực không âm abc , , khi đó ta có:<br />
1. a b 2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.<br />
3<br />
2. a b c 3 abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
<strong>Các</strong> bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực<br />
không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)<br />
Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết quả<br />
sau:<br />
1)<br />
1 1 4 2 2<br />
<br />
a b a b a b<br />
2 2<br />
;<br />
2<br />
x<br />
2 y<br />
2<br />
<br />
x y<br />
a b a b<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
1 1 1 9 3 3<br />
<br />
a b c a b c a b c<br />
2 2 2<br />
3 1 3<br />
a ab b ( a b) ( a b) ( a b)<br />
4 4 4<br />
2 2 2 2 2<br />
1 3 1<br />
a ab b ( a b) ( a b) ( a b)<br />
4 4 4<br />
2 2 2 2 2<br />
a bc 2 2 2 2<br />
ab bc ca a b c<br />
3<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
a b c a b c<br />
a<br />
b<br />
<br />
3 3<br />
a<br />
b 3<br />
4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
2<br />
4 4<br />
2 <br />
4 4 2 2 a b<br />
( a b) 4 4 ( a b)<br />
8) 2( ) <br />
a b a b a b <br />
<br />
2 <br />
4 8<br />
mn mn 1<br />
9) Với ab , 0 thì<br />
(<br />
m m<br />
a b a b ) (*)<br />
2<br />
Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với<br />
n n m m n n<br />
( a b )( a b )( a b<br />
) 0 điều này là hiển nhiên đúng.<br />
(**) Tổng quát ta có<br />
n n<br />
a b a b<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
n n n1 n1<br />
a b a b a b a b <br />
Thật vậy áp dụng (*) ta có <br />
......<br />
<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
mn mn mn 1<br />
10) Với abc , , 0 thì<br />
(<br />
m m m )(<br />
n n n<br />
a b c a b c a b c ) (*)<br />
3<br />
Thật vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:<br />
m m n n m m n n m m n n<br />
( a b )( a b ) ( b c )( b c ) ( c a )( c a ) 0 mà điều<br />
này là hiển nhiên đúng.<br />
n n n<br />
a b c a b c <br />
Tổng quát ta có:<br />
. Thật vậy áp dụng (*) ta có:<br />
3 3 <br />
n<br />
n n n n 1 n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 2<br />
a b c a b c a b c a b c a b c <br />
.<br />
3 3 3 3 3 <br />
Áp dụng bất đẳng thức này ta có:<br />
n n n n n n n n n<br />
a b b a b c a b c a b c<br />
n<br />
3 <br />
<br />
3 <br />
<br />
3 3<br />
n n n<br />
Tương tự ta có:<br />
1 1 1 1 1 1 <br />
<br />
n n n<br />
a b c <br />
a b c <br />
<br />
3 3 <br />
<br />
Do 1 1 1 9<br />
a b c a b c<br />
suy ra 1 1 1 <br />
3<br />
3 <br />
<br />
n n n <br />
a b c a b c<br />
.<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
11)<br />
1 1 2<br />
a 1 <br />
b1 1<br />
ab<br />
với mọi ab , 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Tổng quát: với ab , 1 ta có<br />
1 1 2<br />
<br />
n<br />
n<br />
(1 a) (1 b) 1<br />
ab<br />
<br />
<br />
n<br />
12) Với 0 ab<br />
, 1 thì<br />
1 1 2<br />
a 1 <br />
b1 1<br />
ab<br />
Tổng quát: Với ab , 0;1<br />
ta có:<br />
1 1 2<br />
<br />
1a 1b 1<br />
ab<br />
n n n<br />
13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si.<br />
3 3 3 3 3 3<br />
+ 3<br />
a b x y m n axm byn (*)<br />
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:<br />
3 3 3<br />
a x m 3axm<br />
<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b x y m n 3 a b x y m n<br />
3 3 3 3 3 3<br />
<br />
3 3 3<br />
b y n 3byn<br />
<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b x y m n 3 a b x y m n<br />
3 3 3 3 3 3<br />
<br />
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra:<br />
3axm<br />
3byn<br />
3 <br />
<br />
3 a 3 b 3 x 3 y 3 m 3 n<br />
3<br />
<br />
3<br />
a 3 3<br />
b x 3 3<br />
y m 3<br />
n axm byn 3<br />
.<br />
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được:<br />
3 3 3 3 3 3 3 3 3<br />
a b c x y z m n p axm byn czp 3<br />
.<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực không âm abc. , , Chứng minh rằng:<br />
3 3<br />
a) a b aba b<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 <br />
1<br />
a b abc b c abc c a abc abc<br />
b)<br />
3 3 3 3 3 3<br />
c) a bb cc a 8abc<br />
.<br />
d) a bb cc a a b cab bc ca<br />
e) Cho a bb cc a 1. Chứng minh:<br />
Lời giải:<br />
. Với ( abc , , 0)<br />
8 .<br />
9<br />
3<br />
ab bc ca ( Trích<br />
4<br />
đề tuyển sinh lớp 10 chuyên <strong>Toán</strong> TP Hà Nội năm 2015)<br />
3 3 2 2<br />
a) Ta có : a b a ba ab b <br />
. Suy ra<br />
2<br />
3 3 2 2<br />
a b ab a b a b a ab b a b a b<br />
2 0 suy ra<br />
đpcm.<br />
b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có:<br />
<br />
3 3<br />
a b abc ab a b abc ab a b c<br />
. Suy ra<br />
1 1<br />
<br />
3 3<br />
a b abc ab a b c<br />
<br />
<br />
. Tương tự ta có:<br />
1 1 1 1<br />
;<br />
<br />
<br />
3 3 3 3<br />
b c abc bc a b c c a abc ca a b c<br />
. Cộng ba bất<br />
đẳng thức cùng chiều ra suy ra:<br />
1 1 1 1<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b abc b c abc c a abc abc<br />
chỉ khi ab c.<br />
c) a bb cc a 8abc<br />
.<br />
<strong>Các</strong>h 1: Ta có:<br />
<br />
a b 2 ab, b c 2 bc, c a 2 ca a b b c c a 8abc<br />
.<br />
<strong>Các</strong>h 2: a bb cc a a b cab bc ca<br />
abc . Theo bất<br />
đẳng thức Cauchy ta có:<br />
a b c abc ab bc ca a b c<br />
3<br />
3 2 2 2<br />
3 , 3 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b cab bc ca 9abc<br />
. Suy ra<br />
a bb cc a a b cab bc ca abc 8abc<br />
.<br />
Chú ý: a bb cc a a b cab bc ca<br />
abc là một biến đổi<br />
được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:<br />
8 .<br />
9<br />
d) a bb cc a a b cab bc ca<br />
Chú ý rằng: a bb cc a a b cab bc ca<br />
abc . Áp dụng<br />
câu c ta có đpcm.<br />
e) Ta chú ý: a bb cc a a b cab bc ca<br />
abc . Suy<br />
ra<br />
1<br />
abc<br />
ab bc ca .<br />
a b c<br />
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
<br />
a b b c c a 3 a b b c c a 3 a b c .Mặt<br />
2<br />
1<br />
khác sử dụng: a bb cc a<br />
8abc abc . Từ đó suy ra:<br />
8<br />
1<br />
1<br />
1<br />
abc 8 3<br />
ab bc ca . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi<br />
abc<br />
3 4<br />
2<br />
1<br />
a b c .<br />
2<br />
Ví dụ 2:<br />
3<br />
3<br />
a) Cho các số thực dương abc , , sao cho a b c ab bc ca 6.<br />
Chứng minh rằng:<br />
Hà Nội 2013.<br />
2 2 2<br />
a b c 6 . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Cho các số thực dương ab , sao cho : 1 1 2 . Chứng minh:<br />
a b<br />
Q 1 1 1<br />
Trích đề tuyển sinh lớp 10<br />
a 4 b 2 2 4 2 2<br />
2 ab b a 2 a b 2<br />
chuyên <strong>Nguyễn</strong> Trãi- Hải Dương 2013).<br />
c) Cho các số thực dương ab , sao cho ab 2 . Chứng minh:<br />
2 2 a b 1 1 <br />
2a<br />
b 6 9 10<br />
2 2 .<br />
b a a b <br />
d) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn ab c 2 . Tìm giá trị<br />
nhỏ nhất của P 2a bc 2b ac 2c ab . Trích đề tuyển<br />
sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014.<br />
e) Cho các số thực không âm ab , sao cho<br />
Lời giải:<br />
a<br />
b<br />
4 . Tìm GTLN của<br />
2 2<br />
ab<br />
P a b 2<br />
. Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015.<br />
a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c 1. Ta có cách giải như sau:<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a b 2 ab, b c 2 bc, c a 2 ac, a 1 2 a, b 1 2 b, c 1 2c<br />
.<br />
Cộng 6 bất đẳng thúc cùng chiều ta suy ra<br />
<br />
3 a 2 b 2 c 2 3 2 ab bc ca a b c 12 a 2 b 2 c<br />
2 3<br />
. Dấu<br />
bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.<br />
Ta có:<br />
b) Dự đoán khi ab 1 thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. Từ đó ta có<br />
cách áp dụng BĐT Cô si như sau:<br />
4 2 2 4 2 2<br />
a b 2 a b, b a 2ab<br />
. Từ đó suy ra<br />
1 1 1 1 1<br />
Q 2 2 2 2<br />
2a b 2ab 2b a 2a b 2ab a b 2ab a b ab a b<br />
giả thiết 1 1 a<br />
b<br />
2 2 a b 2ab<br />
suy ra<br />
a b ab<br />
<br />
2<br />
Q <br />
a b<br />
2<br />
. Do<br />
. Từ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 4 1 1<br />
2 a b a b a b<br />
. Suy ra<br />
2<br />
khi ab 1.<br />
c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
Q . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
2<br />
2 a b 2ab a b 2ab<br />
2 a b<br />
2ab 6 9 10<br />
. Hay<br />
<br />
<br />
2 2<br />
ab<br />
a b<br />
4 2ab<br />
4 2ab<br />
2 2 3 3 2 2<br />
8 4ab 6 9 10 0 2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab<br />
<br />
2 2<br />
ab a b<br />
<br />
(*) với<br />
2 2 3 3 2 2 3 2<br />
2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 0 4t 10t 42t<br />
36 0<br />
a<br />
b 2<br />
0 t ab 1. Ta có (*) tương đương với:<br />
4<br />
3 2<br />
2t 5t 21t<br />
18 0 t t 2 t <br />
t 1 0 nên t 12t 2 3t<br />
18<br />
0<br />
t 1 a b 1.<br />
1 2 3 18 0 . Do<br />
2<br />
2t<br />
3t<br />
18 0<br />
và<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
d) 2a bc aa b c<br />
bc . Áp dụng bất đẳng thức Cô si<br />
a b a c<br />
a ba c<br />
, tương tự ta có:<br />
2<br />
b a b c<br />
2b ac ba b c ac b ab c<br />
,<br />
2<br />
c a c b<br />
2c<br />
ab<br />
. Từ đó suy ra<br />
2<br />
2a b c 2b c a 2c a b<br />
P 2a bc 2b ac 2c ab 2( a b c)<br />
2 2 2<br />
2<br />
.Dấu bằng xảy ra khi a b c .<br />
3<br />
Ta viết lại<br />
P ab<br />
. Đặt a b 2 t t 2<br />
a b 2<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
a b 2ab t 2 2ab t 2t<br />
2 a b t<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
.Ta có :<br />
2 a b a b a b 8 a b 2 2 2 t 2 2 2 . Ta sẽ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
chứng minh:<br />
2<br />
P ab t 2t<br />
2<br />
.Dự đoán dấu bằng xảy ra khi<br />
a b 2<br />
t<br />
a b 2 t 2 2 2 nên ta chứng minh:<br />
2<br />
1 t 2t2 1<br />
2<br />
<br />
P 2 1 t 2 2 3 t 2 2 2 0 .<br />
2 1 t 2 1<br />
Hay t <br />
2 t t t<br />
2 1 2 0 2 2 2 2 1 0 . Bất đẳng thức<br />
này luôn đúng do 2 t 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
t 2 2 2 a b 2 .<br />
MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI.<br />
1. Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng<br />
thức Cô si.<br />
Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra<br />
khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng sao cho khi<br />
áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo.<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
Ví dụ 1: Cho xy , là các số dương thỏa mãn x y 2 . Chứng minh<br />
<br />
x 2 y 2 x 2 y<br />
2 2<br />
<br />
(<strong>Đề</strong> thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007)<br />
Lời giải:<br />
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y 1. Khi đó xy 1,<br />
x<br />
y 2<br />
2 2<br />
Mặt khác để tận dụng giả thiết x y 2 ta sẽ đưa về hằng đẳng thức<br />
x<br />
y 2<br />
. Vì vậy ta phân tích bài toán như<br />
1<br />
. .2 . Theo bất đẳng thức Cauchy thì<br />
2<br />
sau: x 2 y 2 x 2 y 2 xy xy x 2 y<br />
2<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
xy<br />
x<br />
y 2 1<br />
, xy x<br />
y <br />
4<br />
suy ra x 2 y 2 x 2 y<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 4<br />
2 2<br />
2 2 2xy x y x<br />
y<br />
2 <br />
4. Từ đó<br />
2 4<br />
2 . Dấu bằng xảy ra khi x y 1.<br />
Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về một biến:<br />
t x y hoặc t xy<br />
với chú ý: 2 4<br />
vậy: Đặt 2 2 2<br />
x y xy<br />
t xy; x y x y 2xy<br />
.<br />
2 2 2 2<br />
4 x y 2t x y 4 2t<br />
. Do<br />
2 2<br />
, 2<br />
2 x y x y . Thật<br />
x<br />
y 2 1 0 t 1<br />
xy . Ta<br />
4<br />
cần chứng minh: t 2 t t 3 t 2 t t 2 t <br />
4 2 2 2 1 0 1 1 0 .<br />
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị 0t<br />
1.<br />
Ví dụ 2:<br />
a) Cho ab , là các số không âm thỏa mãn<br />
rằng:<br />
<br />
a<br />
b<br />
2 . Chứng minh<br />
2 2<br />
a 3a a 2b b 3b b 2a<br />
6. (<strong>Đề</strong> thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại<br />
Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009).<br />
b) Với ba số dương x, y,<br />
z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn nhất<br />
x y z<br />
của biểu thức: Q <br />
. (<strong>Đề</strong> thi tuyển<br />
x x yz y y zx z z xy<br />
sinh lớp 10 chuyên <strong>Toán</strong> TP Hà Nội 2014)<br />
Lời giải:<br />
a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi ab 1. Khi đó<br />
3a a 2 b,3b b 2a<br />
nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực<br />
tiếp cho biểu thức trong dấu căn.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy <br />
3a a 2b<br />
2<br />
a 3a a 2b a 2a ab ,<br />
2<br />
3b b 2a<br />
2<br />
b 3b b 2a b 2b ab .<br />
2<br />
x<br />
y<br />
, dễ thấy<br />
2<br />
Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:<br />
2 2<br />
<br />
M a 3a a 2b b 3b b 2a 2 a b 2ab 4 2ab<br />
. Tiếp tục<br />
sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:<br />
. Từ đó ta có ngay M 6 . Dấu bằng xảy ra<br />
a b 1.<br />
2 2<br />
4 2ab 4 a b 6<br />
<br />
x x x yz x x x x y z yz x<br />
b) Ta có:<br />
<br />
<br />
.<br />
x x yz x yz x 2 x x y z yz x<br />
2<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
ab ta có:<br />
2<br />
x y x z <br />
x<br />
x y x z<br />
x x<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
xy xz<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy yz xz xy yz xz 2 xy yz xz<br />
minh tương tự rồi cộng vế, ta suy ra Q 1.Đẳng thức xảy ra khi<br />
1<br />
x y z . Vậy Q lớn nhất bằng 1 khi<br />
3<br />
Ví dụ 3: Cho c 0 và a,<br />
b c . Chứng minh rằng<br />
ca c cb c<br />
ab .<br />
x y z <br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
. Chứng<br />
Lời giải:Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a<br />
b. Bất đẳng thức cần chứng minh<br />
có thể viết thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c a c c b c<br />
P . . 1. Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng:<br />
b a a b<br />
c a c c b c c c c c<br />
1 1<br />
x<br />
y<br />
xy , ta có: P b a a b b a a b 1. Bài<br />
2<br />
2 2 2<br />
toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
c a c <br />
b<br />
a 1 1 1<br />
. Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh bài toán bằng<br />
c b c a b c<br />
<br />
a b<br />
biến đổi tương đương.<br />
Ví dụ 4: Cho x, y,<br />
z là các số thực dương. Chứng minh rằng:<br />
x y z<br />
x 2yz y 2zx z 2xy<br />
2 2 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
Lời giải:<br />
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:<br />
.<br />
2 2<br />
2ab a b , dễ thấy:<br />
P x y z x y z<br />
<br />
x 2 yz y 2 zx z 2 xy x y z y z x z x y<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z .<br />
Ví dụ 5: Cho xy , 0 và x y 1<br />
Giải:<br />
. Chứng minh rằng x<br />
y <br />
1<br />
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y . Ta đánh giá x<br />
2<br />
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
x y 2x y<br />
4 4 2 2<br />
8 5.<br />
xy<br />
4 4<br />
4 4 1<br />
suy ra <br />
y để đưa về xy .<br />
8 x 4 y 4 16x 2 y<br />
2 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 4 1 2 2 1<br />
Suy ra 8x y 16x y<br />
xy<br />
xy<br />
Để ý rằng dấu bằng xảy ra thì<br />
2 2<br />
16xy 1 nên ta phân tích như<br />
2 2 1 2 2 1 1 1<br />
sau: 16x y 16x y . Áp dụng bất đẳng thức Cô si<br />
xy 4xy 4xy 2xy<br />
3<br />
a b c 3 abc<br />
2 2 1 1<br />
ta có: 16xy<br />
3<br />
4xy<br />
4xy<br />
,<br />
2 1<br />
2 2 1 1 1<br />
4xy x y 1 xy . Suy ra 16xy<br />
3 2 5<br />
4<br />
4xy 4xy 2xy<br />
.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
x y .<br />
2<br />
Ví dụ 6) Cho abc , , là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh<br />
2 2 2<br />
2 2 2 9abc<br />
rằng: a b b c c a .<br />
2 2 2<br />
1 2abc<br />
Lời giải:<br />
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:<br />
2 2 2 1 <br />
a b b c c a2 9<br />
2 2 2 <br />
abc <br />
2 2 2 1 1 1<br />
2a b b c c a<br />
9. Mặt khác sử dụng bất đẳng<br />
2 2 2<br />
ab bc ca<br />
2 2 1 2 2 1<br />
thức Cauchy bộ ba số, ta có: a b a b 33<br />
a b. a b. 3a<br />
2 2<br />
ab<br />
ab<br />
,<br />
2 2 1<br />
3<br />
2 2 1<br />
b c b c 3 b c. b c. 3b<br />
2 2<br />
bc<br />
bc<br />
2 2 1<br />
3<br />
2 2 1<br />
c a c a 3 c a. c a. 3c<br />
2 2<br />
ca<br />
ca<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được:<br />
2 2 2 1 1 1<br />
2a b b c c a<br />
9. Dấu đẳng thức xảy ra khi và hcir<br />
2 2 2<br />
ab bc ca<br />
khi a b c 1.<br />
Ví dụ 7) Cho , 1<br />
Giải:<br />
3 3 2 2<br />
x y x y <br />
xy . Chứng minh rằng:<br />
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:<br />
x 2 y 2 x 2 y 2<br />
2 xy<br />
P 2 . <br />
y 1 x 1 y 1 x 1 x1 y1<br />
<br />
x1 y1<br />
rằng nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy bộ hai số dạng<br />
8 .<br />
(1). Mặt khác, lại để ý<br />
a<br />
b<br />
ab , thì:<br />
2<br />
x 1 <br />
2 x 1 x 1 y 1<br />
y<br />
1. x 1 ; y 1 1. y 1<br />
. Nhân<br />
2 2 2 2<br />
hai bất đẳng thức trên lại theo vế, ta thu<br />
xy 2xy<br />
được: x1 y1<br />
<br />
4 x1 y1<br />
8 (2). Từ (1) và (2) suy<br />
<br />
ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
2 2<br />
x y<br />
<br />
y1 x1 x y 2 .<br />
<br />
x<br />
2, y 2<br />
Đối với các bài toán mà dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau.<br />
Ta cần chú ý tính đối xứng của từng bộ phận , để dự đoán sau đó liên<br />
kết các dữ liệu của bài toán để tìm ra điểm rơi. Từ đó áp dụng bất đẳng<br />
thức Cauchy để thu đƣợc kết quả:<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 8: Cho x, y, z 0 thỏa mãn: xy yz zx<br />
1. Tìm GTNN của<br />
2 2 2<br />
P x y 2z<br />
Giải:<br />
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y az và mong muốn biến đổi được :<br />
2 2 2<br />
P x y 2 z k( xy yz zx)<br />
để tận dụng giả thiết xy yz zx<br />
1 và<br />
dấu bằng xảy ra khi x y az . Để có tích xy . ta áp dụng<br />
Để tạo ra yz ta áp dụng:<br />
2 2 2<br />
a z x 2azx<br />
.<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
x y 2xy<br />
.<br />
y a z 2ayz<br />
. Để tạo ra zx ta áp dụng:<br />
Vì hệ số của yz,<br />
zx là a nên ta nhân a vào bất đẳng thức đầu tiên rồi cộng<br />
lại theo vế ta thu<br />
được<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a x y y a z a z x a 1 x y 2a z<br />
a( xy yz zx)<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
Hay 2 a ( a 1)( x y ) 2a z . Để tạo ra P x y 2z<br />
ta cần có tỷ<br />
2 2 1<br />
5<br />
lệ: ( a 1) : 2a 1: 2 a a 1 0 a .<br />
2<br />
Từ đó ta tìm được:<br />
giải.<br />
2a<br />
P 51. <strong>Các</strong> em học sinh tự hoàn thiện lời<br />
1<br />
a<br />
Ví dụ 9) Cho x, y, z 0 thỏa mãn: x y z 3. Tìm GTNN của<br />
2 2 3<br />
P x y z<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta dự đoán dấu bằng có khi x y a,<br />
z b ; và 2ab 3. Theo bất đẳng<br />
2 2<br />
<br />
x a 2ax<br />
2 2<br />
thức Cô si ta có: y a 2ay<br />
. Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta<br />
3 3 3 2<br />
z b b 3b z<br />
<br />
có:<br />
2 2 3 2 3 2<br />
x y z 2a 2b 2 a( x y) 3b z .Tức là:<br />
2 2 3 2 2 3<br />
x y z 2 a( x y) 3b z 2a 2b<br />
Bây giờ ta cần chọn a, b sao cho<br />
được:<br />
2<br />
2 a:3b 1:1<br />
19 37 37 1<br />
x y a ; z c <br />
12 6<br />
Từ đó bạn đọc tự hoàn thiện lời giải:<br />
Ví dụ 10) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn:<br />
2<br />
2a<br />
3b<br />
. Giải hệ tìm<br />
2ab3<br />
2 2 2<br />
a 2b 3c<br />
1.<br />
Tìm GTNN của<br />
3 3 3<br />
P 2a 3b 4c<br />
Lời giải:<br />
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a x; b y;<br />
c z với x, y, z 0 và<br />
2 2 2<br />
x 2y 3z<br />
1<br />
Ta có:<br />
3 3 3 2<br />
a a x 3a x ;<br />
3 2 3<br />
2a 3a x x<br />
3 3 3 2<br />
b b y 3b y ;<br />
3 3 3 2<br />
c c z 3c z , suy ra<br />
3 3 3 2 3 9 2 3 3<br />
b b y 3b y 3b yb y ,<br />
2 2<br />
3 3 3 2 3 2 3<br />
4c 3 23c 2 z z<br />
3<br />
<br />
c c z 3c z 2c 3c z z<br />
. Cộng ba bất<br />
2 3 2 2 3 3 3 3<br />
đẳng thức cùng chiều suy ra: P 3 <br />
<br />
xa yb 2zc x y 2z<br />
.<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3<br />
2 2 2<br />
Ta cần chọn x, y,<br />
z để: x : y : 2z 1: 2 :3 và x 2y 3z<br />
1. Áp dụng<br />
2<br />
tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta dễ dàng tìm được:<br />
6 8 9<br />
x ; y ; z . <strong>Học</strong> sinh tự hoàn thiện lời giải.<br />
407 407 407<br />
Ví dụ 11) Cho các số thực dương a, b, c,<br />
d thỏa mãn:<br />
abc bcd cda dab 1. Tìm GTNN của P 4a 3 b 3 c 3 9d<br />
3 .(Trích<br />
đề thi vào lớp 10 chuyên Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2012)<br />
Lời giải:<br />
Biểu thức P cho ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c xd, Để giảm ẩn trong bài toán ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô si<br />
theo cách:<br />
Khi đó<br />
3 3 3<br />
a b c 3abc<br />
,<br />
3 3 3 3<br />
a b x d 3xabd<br />
3 3 3 3<br />
b c x d 3xbcd<br />
,<br />
3 3 3 3<br />
c a x d 3xcad<br />
,<br />
Suy ra<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
x a b c 3xabc<br />
3 3 3 3<br />
b c x d 3xbcd<br />
3 3 3 3<br />
c a x d 3xcad<br />
3 3 3 3<br />
a b x d 3xabd<br />
<br />
. Cộng bốn bất đẳng thức cùng chiều ta có:<br />
3 3 3 3 3<br />
<br />
x 2 a x 2 b x 2 c 3x d 3x abc bcd cda dab 3x<br />
.<br />
x 2 4<br />
x 2 :3x 4 :9 4x 3x<br />
6 .<br />
Bây giờ ta chọn x sao cho <br />
3 3<br />
3<br />
3x<br />
9<br />
1<br />
1<br />
Đặt x<br />
y<br />
thay vào ta tìm được<br />
2 y <br />
3 3 1 3 3<br />
y 6 35, y 6 35 x 6 35 6 35<br />
2<br />
. Bạn đọc tự<br />
hoàn thiện lời giải.<br />
2. Kỹ thuật ghép đối xứng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng<br />
minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng<br />
để bài toán trở nên đơn giản hơn.<br />
ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau:<br />
Dạng 1: Chứng minh X Y Z A B C<br />
ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X Y 2A. Sau đó, tương tự hóa đẻ chỉ<br />
ra Y Z 2B<br />
và Z X 2C<br />
(nhờ tính đối xứng của bài toán). Sau đó cộng<br />
ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải<br />
chứng minh.<br />
Dạng 2: Chứng minh XYZ<br />
ABC với X , Y, Z 0<br />
2<br />
Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A . Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra<br />
2<br />
2<br />
YZ B và ZX C (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba<br />
bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:<br />
2 2 2<br />
XYZ A B C ABC ABC .<br />
Ví dụ 1. Cho ba số dương x, y,<br />
z thỏa mãn x y z 1. Chứng minh rằng<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2x xy 2y 2y yz 2z 2z zx 2x<br />
5<br />
(<strong>Đề</strong> thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình năm 2005-2006)<br />
Giải:<br />
Ta cần một đánh giá dạng : 2x 2 xy 2y 2<br />
mx ny 2<br />
ra khi x<br />
sao cho dấu bằng xảy<br />
y . Để có được đánh giá này thông thường ta viết lại<br />
2 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
2x xy 2y a x y b x y a b x 2 b a xy a b y .<br />
Từ đó suy ra<br />
3<br />
ab2<br />
a <br />
<br />
4<br />
1 . Từ đó ta<br />
ba<br />
5<br />
2<br />
b<br />
<br />
4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
có:<br />
3 5 5 5<br />
2 2 2 2<br />
4 4 4 2<br />
tương tự ta có 2 bất đẳng thức và cộng lại ta<br />
có:<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x xy y x y x y x y x xy y x y<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2x xy 2y 2y yz 2z 2z zx 2x 5 x y z 5<br />
dấu bằng xảy ra khi<br />
1<br />
x y z . Ta cũng có thể chứng minh trực tiếp:<br />
3<br />
<br />
5 x<br />
y<br />
5<br />
2 2 2 2<br />
2 4<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
x xy y x xy y x y<br />
x<br />
y 2<br />
2 5<br />
2<br />
2 x y 3xy x y<br />
xy (đúng theo Cauchy)<br />
4 4<br />
Ví dụ 2. Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 1. Chứng<br />
4 2 4 2 4 2<br />
minh rằng: 2abc a b c 5 a b b c c a . (Trích đề tuyển sinh<br />
9<br />
vào lớp 10- Trường <strong>Chuyên</strong> KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014).<br />
Lời giải:<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương ta có:<br />
<br />
4 2 1 2 1 2<br />
<br />
a b abc ca a bc<br />
3 9<br />
4 2 1 2 1 2 2 4 2 4 2 4 2 1<br />
b c a bc ab b ca abc a b c<br />
a b b c c a <br />
3 9 3 9<br />
4 2 1 2 1 2<br />
c a ab c bc c ab<br />
3 9<br />
(1).<br />
Mặt khác ta cũng có:<br />
abca b c ab. ac bc. ba ca.<br />
cb 1 ab bc ca 2<br />
1 . Suy ra<br />
3 3<br />
4 abca b c<br />
4 (2). Cộng theo vế (1) và (2) ta có đpcm.<br />
3 9<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 3) Cho ba số dương x, y,<br />
z thỏa<br />
rằng<br />
Giải:<br />
1<br />
xyz .<br />
8<br />
1 1 1<br />
2 . Chứng minh<br />
1 x 1 y 1<br />
z<br />
Từ giả thiết<br />
1 1 1<br />
2 , ta suy ra:<br />
1 x 1 y 1<br />
z<br />
1 1 1 <br />
1 1 y z 2<br />
yz<br />
1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1<br />
z<br />
1<br />
yz<br />
2<br />
1 x 1 y 1<br />
z<br />
<br />
Hoàn toàn tương tự ta cũng<br />
1 zx 1<br />
xy<br />
có: 2 ; 2<br />
1 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1<br />
y<br />
.<br />
<br />
<br />
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta thu<br />
1 8xyz<br />
1<br />
xyz .<br />
1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1<br />
z 2<br />
được:<br />
<br />
Ví dụ 4. Cho x, y, z 2 và 1 1 1 1. Chứng minh rằng<br />
x y z<br />
x y z <br />
2 2 2 1<br />
(<strong>Đề</strong> thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006).<br />
Lời giải:<br />
Với giả thiết x, y, z 2 , ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng<br />
đơn giản và quen thuộc hơn. Đặt x a 2; y b 2; z c 2 với abc , , 0 .<br />
Bài toán quay về chứng minh abc 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với abc , , 0 thỏa mãn:<br />
Ta có:<br />
1 1 1 a b c<br />
1 1.<br />
a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2<br />
1 1 1 1 1 1 1 <br />
1 <br />
c 2 a 2 b 2 2 a 2 2 b 2 <br />
a b ab<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b a b<br />
<br />
Tương tự:<br />
1 ca 1 bc<br />
<br />
; <br />
b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2<br />
<br />
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta được:<br />
1<br />
abc<br />
abc 1.<br />
a 2b 2c 2 a 2b 2c<br />
2<br />
Ví dụ 5) Cho x, y,<br />
z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x 1 <br />
y 1 z 1 <br />
P <br />
<br />
y z 2 <br />
z x 2 x y 2 .<br />
Giải:<br />
Ta có<br />
P <br />
2x y z 2y z x2z x y<br />
8x y y zz x<br />
(1)<br />
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
<br />
2x y z x y x z 2 x y x z (2)<br />
<br />
2y z x y z y x 2 y z x y (3)<br />
<br />
2z x y z x z y 2 z x z y (4)<br />
Nhân từng vế của (2),(3),(4) và từ (1) suy ra P 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Dấu bằng trong (5) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2),(3),(4)<br />
x y x z<br />
<br />
y z y x x y z 0<br />
<br />
z x z y<br />
3. Kỹ thuật cô si ngược dấu:<br />
.Từ đó suy ra min P 1.<br />
Ví dụ 1. Cho abc , , 0 và ab c 3. Chứng minh<br />
a b c 3<br />
rằng: .<br />
3 3 3<br />
b ab c bc a ca<br />
2<br />
Giải:<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:<br />
a 1 b 1 b 1 1 1 1 1 <br />
<br />
3 2 1<br />
b ab b a b b<br />
2<br />
. Tương tự:<br />
2 ab b 2 a b 4 a<br />
<br />
b<br />
1 1 1 c 1 1 1 <br />
1 ; 1<br />
<br />
3 3<br />
c bc c 4 b a ca a 4 c<br />
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:<br />
a b c 3 1 1 1 3<br />
<br />
4 4<br />
3 3 3<br />
b ab c bc a ca a b c<br />
Bài toán được quy về chứng<br />
minh: 3 1 1 1 <br />
3 3 1 1 1 3<br />
4 a b c 4 2 a b c<br />
1 1 1 <br />
a b c<br />
3 a b c 6. Bất đẳng thức cuối cùng<br />
a b c <br />
hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy, ta<br />
có: 1 a 2, ; 1 b 2; 1 c 2<br />
a b c<br />
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 2) Cho a, b, c 0, a b c 9 . Chứng minh:<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b b c c a<br />
9 .<br />
ab 9 bc 9 ac 9<br />
Ta chứng minh<br />
được<br />
a<br />
b 3<br />
3 3<br />
3 3 1 3 1 2 a b 36( a b)<br />
( ) , ( ) <br />
2 2<br />
4 4 ab 9 ( a b) 36 ( a b) 36<br />
a b a b ab a b a b<br />
Mặt khác ta có:<br />
2<br />
( a b) 36 12( a b)<br />
. Suy ra<br />
bất đẳng thức cùng chiều suy ra đpcm.<br />
3 3<br />
a b<br />
a b<br />
3 . Cộng ba<br />
ab 9<br />
Ví dụ 3) Cho x, y, z 0 và x y z 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
1 y 1 z 1<br />
x<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
2 2 2<br />
2<br />
x xy<br />
x <br />
1<br />
y 1<br />
y<br />
x xy<br />
ra x<br />
2<br />
1 y 2<br />
2 2<br />
.<br />
2<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si thì 1 y 2y<br />
Suy<br />
y yz<br />
Tương tự, ta có: y<br />
2<br />
1 z 2<br />
z zx<br />
z<br />
1 x 2<br />
,<br />
2<br />
1 .<br />
2<br />
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có P x y z xy yz zx<br />
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 3xy yz zx x y z 2<br />
. Vì<br />
x y z 3 xy yz zx 3. Như vậy<br />
4. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:<br />
3<br />
min P x y z 1<br />
2<br />
Kỹ thuật đặt ẩn phụ là một kỹ thuật rất đặc biệt trong chứng minh bất đẳng<br />
thức:<br />
Việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn:<br />
Một số kỹ thuật hay gặp như sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1. Khi có giả thiết : a b c abc ta có thể biến đổi thành:<br />
1 1 1<br />
1 đặt 1 x; 1 y; 1 z xy yz zx 1.<br />
ab bc ca a b c<br />
2. Khi gặp giả thiết ab c 1 ta có thể viết thành:<br />
ab ac bc ba ac cb<br />
. . . 1. Đặt<br />
c b a c b a<br />
ab bc ca<br />
x, y, z xy yz zx 1.<br />
c a b<br />
3. Khi gặp giả thiết: ab bc ca abc 4. Ta có thể viết thành:<br />
1 1 1<br />
1<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
. Đặt<br />
1 1 1<br />
x ; y ; z x y z 1.<br />
a 2 b 2 c 2<br />
4. Từ điều hiển nhiên:<br />
+<br />
x y z<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
x y z x y z x y z y z z x x y<br />
1 1 1<br />
x y z<br />
y z z x x y<br />
. Đặt a ; b ; c ta suy ra<br />
x y z<br />
1 1 1<br />
1 abc a b c 2. Từ đó suy ra khi gặp<br />
a1 b1 c1<br />
giả thiết: abc a b c 2 ta có thể đặt:<br />
y z z x x y<br />
a ; b ; c <br />
x y z<br />
1 1 1 <br />
+ Nếu đổi abc<br />
, , ; ; ta có: 2<br />
a b c abc a b c tương<br />
đương với ab bc ca 2abc<br />
1. Vì vậy khi gặp giả thiết<br />
ab bc ca 2abc<br />
1 ta có thể đặt a x ; b y ; c <br />
z<br />
y z z x x y<br />
.<br />
Một cách tổng quát: Khi gặp giả thiết:<br />
khai triển thu gọn ta có:<br />
1 1 1<br />
1<br />
khi<br />
k a k b k c<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2 2<br />
k k k k a b c k ab bc ca abc<br />
3 2 1 0 . Suy<br />
ra tồn tại các số x, y,<br />
z sao cho<br />
1 x 1 y 1 z<br />
; ; . Như vậy: Với<br />
k a x y z k b x y z k c x y z<br />
các số thực dương abc , , thỏa mãn:<br />
tại các số m, n, p 0 sao cho:<br />
1 1 1<br />
1. Thì tồn<br />
k a k b k c<br />
m n p m n p m n p<br />
a k; b k;<br />
c k .<br />
m n p<br />
+ Nếu abc , , 0 và ab bc ca abc 4 thì ta có thể đặt<br />
2m 2n 2p<br />
a ; b ; c <br />
n p p m m n<br />
.<br />
+ Nếu abc , , 0 và a b c 1 4abc<br />
thì ta có thể đặt<br />
n p ; p m ;<br />
m <br />
a b c n ..<br />
2m 2n 2p<br />
5. Khi gặp giả thiết: xyz 1. Ta có thể chọn các phép đặt:<br />
a 2 2 2<br />
; b ; c<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
x y z abc 1;<br />
x; y;<br />
z hoặc<br />
b c a<br />
bc ac ab<br />
x y z<br />
a ; b ; c …<br />
y z x<br />
6. Đặt: x a b c; y b c a;<br />
z c a b hoặc đặt<br />
x a b; y b c;<br />
z c a …<br />
Ví dụ 1: Cho x, y,<br />
z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện<br />
x y z xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
1 1 1<br />
P <br />
1 x 1 y 1<br />
z<br />
Lời giải:<br />
2 2 2<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Từ giả thiết x y z xyz , ta có 1 1 1 1. Đặt<br />
xy yz zx<br />
1 1 1<br />
a ; b ;c a, b, c 0<br />
x y z<br />
Giả thiết trở thành: ab bc ca 1 ,<br />
a b c<br />
P <br />
1 a 1 b 1<br />
c<br />
2 2 2<br />
ý rằng: a 2 1 a ba c; b 2 1 b ab c, c 2 1<br />
c ac b<br />
Lúc này P có dạng<br />
a b c<br />
P <br />
a b a c b a b c c a c b<br />
<br />
a a b b c c<br />
<br />
a b a c a b b c c a c b<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
Để<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si,<br />
1<br />
a a b b c c 3 3<br />
ta có: P <br />
hay P .<br />
2a b a c b a b c c a c b 2 2<br />
1<br />
3<br />
Dấu = xảy ra a b c x y z 3 . Vậy max P . Giá trị lớn<br />
3<br />
2<br />
nhất đạt được khi và chỉ khi x y z 3 .<br />
Ví dụ 2) Cho x, y, z 0 và x y z 3xyz<br />
.Chứng minh:<br />
yz zx xy<br />
x z y y x z z y x<br />
1<br />
3 3 3<br />
2 2 2 <br />
Lời Giải:<br />
Đặt<br />
yz zx xy<br />
P <br />
x 3 z y y 3 x z z 3 y x<br />
2 2 2 <br />
.<br />
, đặt<br />
giả thiết ta có abc , , 0 và ab bc ca 3. Lúc này dễ thấy<br />
3 3 3<br />
P a b c<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
b 2 c c 2 a a 2<br />
b<br />
3<br />
9a<br />
b 2c<br />
a 6a<br />
b<br />
2c <br />
2<br />
3<br />
9b<br />
2<br />
c 2a b 6b<br />
c<br />
2a ,<br />
, <br />
1 1 1<br />
a ; b ; c . Từ<br />
x y z
3<br />
9c<br />
2<br />
a 2b<br />
c 6c<br />
a<br />
2b . Cộng từng vế ba bất đẳng thức cùng chiều ta có<br />
2 2 2<br />
<br />
9P 3 ab bc ca 6 a b c . Mặt khác ta có kết quả quen thuộc:<br />
2 2 2<br />
a b c ab bc ca kết hợp với ab bc ca 3 suy ra P 1. Vậy<br />
min P 1. Giá trị nhỏ nhất đạt được khi x y z 1.<br />
Ví dụ 3: Cho abc , , là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:<br />
a b cb c ac a b<br />
abc .<br />
Lời giải:<br />
x y z<br />
Đặt x a b c, y b c a,<br />
z c a b a b c . Từ đó ta<br />
2<br />
z x x y y z<br />
suy ra a ; b ; c . Bất đẳng thức cần chứng minh có<br />
2 2 2<br />
dạng: x y y z z x 8xyz<br />
. Đây là bất đẳng thức quen thuộc ( xem<br />
ở 1).<br />
Ví dụ 4. Cho x, y, z 2 và 1 1 1 1. Chứng minh rằng<br />
x y z<br />
x y z <br />
2 2 2 1<br />
(<strong>Đề</strong> thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006).<br />
Giải:<br />
Với giả thiết x, y, z 2 , ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng<br />
đơn giản và quen thuộc hơn.<br />
Đặt x a 2; y b 2; z c 2 với abc , , 0<br />
minh abc 1<br />
Với abc , , 0 thỏa mãn:<br />
. Bài toán quay về chứng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 a b c<br />
1 1.Đến đây ta đặt tiếp<br />
a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2<br />
a b c<br />
m ; n ; p m n p 1. Ta có:<br />
a 2 b 2 c 2<br />
1 a 2 2 2 1 n p 2m<br />
1 1 a . Tương tự:<br />
m a a a m m n p<br />
b<br />
2n<br />
2p<br />
; c<br />
p m m n<br />
Do đó bất đẳng thức trở<br />
2m 2n 2p<br />
thành: . . 1 m nn p p m<br />
8mnp<br />
n p p m m n <br />
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta<br />
có: m nn p p m 2 mn.2 np.2 pm 8mnp<br />
.<br />
Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra<br />
m n p a b c 1 x y z 3.<br />
Ví dụ 5. Cho abclà , , các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4<br />
Chứng minh rằng: ab bc ca 3.<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
<br />
a 2b 2c 2 a 2b 2c 2 c 2a<br />
2<br />
ab bc ca abc 4 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 12 ab bc ca 4<br />
<br />
1 1 1<br />
1 <br />
a 2 b 2 c 2<br />
.<br />
2m 2n 2p<br />
Suy ra tồn tại các số dương m, n,<br />
p sao cho: a , b , c <br />
n p p m m n<br />
.<br />
Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2 2 2<br />
được:<br />
m . n n . p p . m 3<br />
n p p m p m m n m n n p<br />
m n n p p m<br />
2 . 2 . 2 . 3 . Sử dụng bất<br />
m p n p m n m p n p m n<br />
đẳng thức Cauchy, ta<br />
có: 2 m .<br />
n m n<br />
m p n p 2 n .<br />
p <br />
n <br />
p<br />
m p n p m n m p m n m p<br />
,<br />
2 p .<br />
m p m<br />
n p m n <br />
n p m n<br />
Cộng ba bất đẳng thức này lại theo vế, ta được:<br />
m n n p p m m n n p m p<br />
2 . 2 . 2 . 3<br />
m p n p m n m p n p m n m n n p m p<br />
BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR<br />
Cho x, y,<br />
z là các số thực không âm và số thực dương t . Khi đó ta có:<br />
t t t<br />
x ( x y)( x z) y ( y z)( y x) z ( z y)( z x) 0 (*)<br />
Đây là bất đẳng thức có khá nhiều ứng dụng và tương đối chặt nhiều bài<br />
toán Bđt chỉ là hệ quả của BĐT này. Việc chứng minh (*) khá đơn giản:<br />
Giả sử:<br />
<br />
<br />
t t t<br />
x y z (*) x y <br />
x ( x z) y ( y x) <br />
z ( z y)( z x) 0 . Điều<br />
này là hiển nhiên. Dấu bằng xảy ra khi cả 3 số bằng nhau hoặc hai số bằng<br />
nhau, một số bằng 0.<br />
<strong>Các</strong> bất đẳng thức suy ra từ BĐT SCHUR khi t 1 là:<br />
1)<br />
3 3 3<br />
a b c abc ab a b bc b c ca c a<br />
3 ( ) ( ) ( ) .<br />
2) a b c 3 9abc 4( a b c)( ab bc ca)<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3) abc ( a b c)( b c a)( c a b)<br />
.<br />
4)<br />
5)<br />
2 2 2 9abc<br />
a b c 2( ab bc ca)<br />
abc<br />
.<br />
a b c 4abc<br />
2.<br />
b c c a a b ( a b)( b c)( c a)<br />
<strong>Các</strong> BĐT (4) (5) còn gọi là BĐT SCHUR dạng phân thức khi t 1.<br />
Ngoài ra cần chú ý biến đổi:<br />
2<br />
<br />
3 3 3<br />
a b c 3abc a b c a b c 3 ab bc ca<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 3 2 2 2<br />
a b c 3abc a b c a b c ab bc ca<br />
Ta xét các ví dụ sau:<br />
<br />
<br />
.Hoặc:<br />
Ví dụ 1) Cho abc , , là ba số thực không âm và ab c 1 . Chứng minh<br />
rằng: abc ab bc ca<br />
Lời giải:<br />
9 4 1.<br />
Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:<br />
a b c 3 9abc 4( a b c)( ab bc ca)<br />
.Thay ab c 1 ta có:<br />
1 9abc 4ab bc ca<br />
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có hai số<br />
bằng 1 2 và 1 số bằng 0 hoặc 1<br />
a b c<br />
3<br />
Ví dụ 2) Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca abc 4 .<br />
Chứng minh: a 2 b 2 c 2 a b c 2ab bc ca<br />
.(Trích đề tuyển sinh<br />
vào lớp 10- Trường <strong>Chuyên</strong> KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015).<br />
Lời giải:<br />
Áp dụng BĐT Schur dạng phân số ta có:<br />
2 2 2 9abc<br />
a b c 2( ab bc ca)<br />
abc<br />
. Để chứng minh bài toán ta chỉ cần<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
9 abc<br />
a b c a b c 9abc<br />
abc<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si<br />
chỉ ra: 2<br />
ta có: 3 2 3 2<br />
a b c 3 abc a b c 9 abc . Ta chứng minh:<br />
abc 1. Thật vậy từ giả thiết ta có: ab bc ca abc 4 mà<br />
ab bc ca a b c<br />
3 2 2 2<br />
3 . Đặt<br />
t<br />
2<br />
3 2<br />
t t t t t<br />
3<br />
abc ta suy ra:<br />
3 4 0 1 2 0 1. Suy ra abc 1 hay<br />
2 3<br />
abc abc<br />
suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.<br />
Ví dụ 3) Cho abc , , là các số thực không âm sao cho ab c 1. Chứng<br />
4 a b c 15abc<br />
1.<br />
3 3 3<br />
minh rằng <br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
2<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
a b c 3abc a b c a b c 3 ab bc ca 1 3 ab bc ca<br />
Suy ra<br />
a 3 b 3 c 3<br />
abc abc ab bc ca<br />
4 15 27 4 12<br />
ab bc ca ab bc ca<br />
<br />
34 1 4 12 1. Theo ví dụ 1 ta có:<br />
<br />
9abc 4 ab bc ca 1 . Từ đó suy ra:<br />
<br />
<br />
27abc 4 12 ab bc ca 34 ab bc ca 1 4 12 ab bc ca 1<br />
3 3 3<br />
Hay <br />
4 a b c 15abc<br />
1. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có hai<br />
số bằng 1 2 và 1 số bằng 0 hoặc 1<br />
a b c<br />
3<br />
Ví dụ 4) Cho các số thực không âm abc. , , Chứng minh rằng:<br />
2<br />
<br />
2 2 2 3<br />
a b c 3 abc ab bc ca<br />
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10<br />
Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)<br />
Lời giải:<br />
a x; b y;<br />
c z<br />
Đặt 3 2 3 2 3 2<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra:<br />
2 3 2 3 2 3 3 3 3<br />
a x ; b y ; c z a x ; b y ; c z và<br />
x, y, z 0 .Bất đẳng thức đã cho thành:<br />
<br />
3 3 3 3 3 3 3 3 3<br />
x y z 3xyz 2 x y y z z x (1)<br />
Áp dụng bất đẳng thức Schur ta suy ra:<br />
<br />
3 3 3<br />
x y z 3xyz xy x y yz y z zx z x<br />
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có: <br />
3 3<br />
3 3<br />
3 3<br />
Tương tự ta có: yz y z 2 y z , zx z x 2 z x<br />
các bất đẳng thức trên ta thu được:<br />
<br />
xy x y 2xy xy 2 x y .<br />
Cộng vế theo vế<br />
3 3 3 3 3 3<br />
xy x y yz y z zx z x 2 x y y z z x (2)<br />
Từ (1) và (2) ta có: x <br />
3 y 3 z 3 3xyz 2 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x<br />
3<br />
2 2 2 3<br />
2<br />
Hay a b c 3 abc ab bc ca<br />
. Đẳng thức xảy ra khi<br />
x y z hay ab c.<br />
Ví dụ 5) Cho abc , , là các số thực dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng<br />
a 3 b 3 c 3 a 2 b 2 c<br />
2<br />
<br />
6 1 5 .<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
2<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
a b c 3abc a b c a b c 3 ab bc ca 1 3 ab bc ca<br />
suy ra<br />
3 3 3<br />
<br />
6 a b c 1 6 1 3 ab bc ca 18abc<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
118abc 6 a b c 18<br />
ab bc ca <br />
118abc 5 a b c a b c 18<br />
ab bc ca<br />
2 2 2<br />
2<br />
a b c abc a b c ab bc ca<br />
a 2 b 2 c 2<br />
abc ab bc ca<br />
1 5 18 8<br />
<br />
5 2 9 1 4 <br />
.Theo ví dụ 1 ta có:<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
9abc 4 ab bc ca 1 9abc 1 4 ab bc ca 0 . Suy ra<br />
a 3 b 3 c 3 a 2 b 2 c<br />
2<br />
<br />
6 1 5 .<br />
Ví dụ 6) Cho abc , , là các số thực dương.<br />
Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 2abc 1 2ab bc ca<br />
Lời giải:<br />
.<br />
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:<br />
a b c 2<br />
2abc 1 4ab bc ca<br />
2abc 1 4ab bc ca a b c 2<br />
, Áp dụng bất đẳng thức Schur<br />
dạng phân số ta có: a b c 2ab bc ca<br />
2 2 2 9<br />
abc<br />
abc<br />
9 abc<br />
4<br />
abc . Do đó ta chỉ cần chứng minh<br />
9abc<br />
9 <br />
2abc<br />
1 hay 2abc<br />
1.<br />
a b c abc<br />
<br />
Hay : ab bc ca a b c 2<br />
9<br />
Nếu S thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. Nếu<br />
2<br />
bất đẳng thức AM-GM, ta<br />
9<br />
a b c , áp dụng<br />
2<br />
3<br />
3<br />
9 9 2s s 1 s s 9<br />
2s<br />
<br />
được: 2 abc<br />
. <br />
1<br />
với<br />
a b c s 27 27 3 <br />
s a b c<br />
Ví dụ 7) Cho abc , , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện<br />
ab bc ca 1. Chứng minh rằng<br />
Lời giải:<br />
3 3 3<br />
a b c 6abc a b c<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
<br />
<br />
3 3 3 2 2 2<br />
a b c 3abc a b c a b c ab bc ca<br />
<br />
2 2 2<br />
a b c <br />
a b c 1<br />
. Suy ra<br />
<br />
3 3 3 2 2 2<br />
a b c 6abc 9abc a b c a b c 1 . Áp dụng bất đẳng<br />
thức Schur dạng: a b c 3 9abc 4( a b c)( ab bc ca)<br />
. Ta suy ra:<br />
2 2 2 3 2 2 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
9abc a b c a b c 1 4s s a b c s s<br />
<br />
s 3 s a b c s với s a b c .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
khi<br />
1<br />
a b c hoặc có hai số bằng 1, một số bằng 0.<br />
3<br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN<br />
<br />
<br />
Câu 1) Cho<br />
1 3<br />
x . Chứng minh rằng: 3 4x 1 4x<br />
2 .<br />
4 4<br />
Câu 2) Chứng minh rằng với mọi số thực khác không xy, , ta có:<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y x y<br />
2<br />
y<br />
2<br />
x y x<br />
.<br />
Câu 3). Chứng minh rằng với mọi số thực khác không xy , ta có:<br />
4 3<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
y x y x .<br />
2 2<br />
x y x y<br />
Câu 4) Cho x1, y 1. Chứng minh rằng x y 1 y x 1 xy .<br />
Câu 5) Cho hai số thực xy , khác 0 . Chứng minh rằng:<br />
<br />
2 2 2 2<br />
4x y x y<br />
3 .<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
x y y x<br />
<br />
Câu 6. Cho các số thực dương ab. , Chứng minh bất đẳng thức sau:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
a b 2 a 2ab<br />
<br />
2a b 3 2a b<br />
3 3 2 2<br />
Câu 7) Cho các số thực dương ab. , Chứng minh bất đẳng thức<br />
2<br />
ab <br />
a<br />
b 2 2<br />
2 2<br />
ab a b a b<br />
Câu 8) Cho , , 1;2 <br />
.<br />
abc và ab c 0 . Chứng minh rằng:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2 2 2<br />
a b c 6 ;<br />
2 2 2<br />
2abc a b c 2abc<br />
2;<br />
2 2 2<br />
a b c 8 abc<br />
.<br />
Câu 9) Cho các số thực không âm abc. , ,<br />
Chứng minh rằng 3 3 3 3<br />
a b c a b c 24abc<br />
.<br />
<br />
Câu 10) Cho abc , , thỏa mãn ab c 1.<br />
Chứng minh rằng<br />
a bc b ca c ab<br />
<br />
a bc b ca c ab<br />
3<br />
2<br />
Câu 11) Cho các số thực dương abc. , ,<br />
Chứng minh rằng<br />
a b c abc 2<br />
2 9<br />
3 3 3<br />
<br />
2 2 2<br />
abc a b c<br />
33.<br />
Câu 12) Cho các số thực abc. , , Chứng minh rằng<br />
2<br />
a 2 b 2 c 2 3a 3 b b 3 c c 3 a<br />
.<br />
Câu 13) Cho các số x, y, z 0 và x y z 1.<br />
Chứng minh rằng x 2y z 41 x1 y1<br />
z<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 14) Cho các số thực dương a,b . Chứng minh:<br />
2<br />
2ab<br />
b 3<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a 4b 3a 2b<br />
5<br />
Câu 15) Cho các số thực dương ab. , Chứng minh bất đẳng thức<br />
a b 16 1 1<br />
5<br />
<br />
<br />
.<br />
2 2<br />
b a a b a b<br />
Câu 16) Cho các số thực dương ab. , Chứng minh bất đẳng thức sau:<br />
3a 2ab 3b<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
<br />
2 2 a<br />
b<br />
2 2<br />
<br />
.<br />
Câu 17) Giả sử xy , là những số thực không âm thỏa mãn:<br />
3 3 2 2<br />
x y xy x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br />
1<br />
x 2<br />
P <br />
2<br />
y 1<br />
x<br />
.<br />
y<br />
Câu 18) Cho abc , , dương thỏa mãn: 6a 3b 2c abc .Tìm giá trị lớn<br />
nhất của<br />
1 2 3<br />
B <br />
2 2 2<br />
a 1 b 4 c 9<br />
.<br />
Câu 19) Cho các số abc , , không âm. Chứng minh rằng<br />
2<br />
<br />
2 2 2 3<br />
a b c 3 abc ab bc ca<br />
.Đẳng thức xảy ra khi nào?<br />
Câu 20) Cho các số thực dương ab , sao cho ab 1<br />
b . Tìm GTNN của<br />
1 1<br />
P a b<br />
a b<br />
2<br />
.<br />
2<br />
HƢỚNG DẪN GIẢI;<br />
Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:<br />
x x 2<br />
3 4 1 4 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 2 3 4x 1 4x 4 3 4x 1 4x<br />
0.<br />
Bất đẳng thức được chứng minh.<br />
Câu 2) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:<br />
2 2<br />
2<br />
x y x y x y x y<br />
2 <br />
y x y x y x y x<br />
x y 2 x 2 xy y<br />
2<br />
<br />
x y x y <br />
2 1<br />
0 0<br />
2 2<br />
y x y x <br />
x y<br />
2 x xy y x y x y 0, x, y 0 nên ta có điều phải<br />
2 2 2 2<br />
Mà 2<br />
chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0 .<br />
Câu 3) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:<br />
2 2<br />
2<br />
x y x y x y<br />
<br />
4 3 2 3<br />
2 2 <br />
y x y x y x <br />
x y 2 x 2 xy y<br />
2<br />
<br />
x y x y <br />
2 1<br />
0 0<br />
2 2<br />
y x y x <br />
x y<br />
2 x xy y x y x y 0 với mọi số thực xy , khác 0<br />
2 2 2 2<br />
Mà 2<br />
nên ta có điều phải chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0 .<br />
Câu 4)<br />
Đặt a x 1, b y 1 thì a0, b 0. Bất đẳng thức cần chứng minh<br />
tương đương với:<br />
a 2 1b b 2 1 a a 2 1b b<br />
2 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
a 1 b b 1 2 a 1 b a 1 b 1 2 b 1 a 0<br />
a 2 b b 2 b 2<br />
a<br />
2<br />
1 1 1 1 0 .<br />
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.<br />
Dấu đẳng thức xảy ra khi ab 1 hay x y 2 .<br />
Câu 5) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:<br />
<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
2 2 2 2 4 2 2 4<br />
4x y x y 4x y x y x 2x y y<br />
1 2 0 0<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
x y y x x y<br />
x y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
x y x y<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 1 1<br />
0 <br />
2 2 2 x<br />
y . <br />
0<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
x y x y<br />
x y x y <br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2 2 4 4 2 2<br />
2 x y x y<br />
2 2 2 2<br />
2 x y x y<br />
2 <br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
<br />
<br />
x y 0 x y<br />
0<br />
x y x y x y x y<br />
<br />
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x<br />
Câu 6)<br />
Dấu đẳng thức xảy ra với a<br />
Ta có biến đổi sau:<br />
<br />
y.<br />
b khi và chỉ khi:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a b 1 a 2ab<br />
; 1.<br />
3 3 2 2<br />
2a b 3 2a b<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a b 2 a 2ab a b 1 a 2ab<br />
1<br />
3 3 2 2 3 3 2 2<br />
2a b 3 2a b 2a b 3 2a b<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
a b 2a b a b <br />
2 1 2a<br />
b <br />
<br />
2 2<br />
a b<br />
<br />
0<br />
3 3 2 2<br />
3 3<br />
32a b 2a b 2a b<br />
<br />
32a b<br />
<br />
a b 2 a 3 b 3 a 2 b 2<br />
a b<br />
3 2 2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
3 3 2 2<br />
a b a b a b ab a ba b<br />
2 4<br />
2 2 2 2 0 0 (đpcm).<br />
Câu 7) Ta có:<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
a b 2ab<br />
b<br />
<br />
2 a b 2 a b<br />
a<br />
b<br />
2<br />
2 2<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
ab<br />
2<br />
2<br />
a<br />
b<br />
ab <br />
2 2 2 2 <br />
a b a b<br />
ab 2<br />
2 <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ab<br />
<br />
<br />
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:<br />
<br />
<br />
a<br />
b 2 <br />
<br />
0<br />
a b<br />
<br />
ab <br />
2<br />
<br />
2 2<br />
a b a b 2ab<br />
1 1<br />
ab<br />
<br />
2 2 a b 2 <br />
2 2<br />
a b<br />
a b 2a 2b 2 a b 2 ab <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
Vì a<br />
b 2 0<br />
nên ta chỉ cần chứng minh:<br />
<br />
2 2<br />
2a 2b 2 a b 2 ab 0<br />
(*)<br />
<br />
a b a b<br />
<br />
2 2<br />
2 <br />
<br />
2<br />
<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
a b a b<br />
<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b 2 ab a b <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
a <br />
<br />
b<br />
<br />
2<br />
Do vậy bất đẳng thức (*) tương đương với:<br />
<br />
<br />
<br />
2 1 1<br />
a b<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
2 2 <br />
a b 2a b a b<br />
<br />
<br />
a b 2 <br />
2a 2 b 2 a b a b<br />
2 <br />
0<br />
<br />
<br />
a b 2 a b 2 ab <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4<br />
2<br />
2 a b 4ab 2 a<br />
b<br />
a b<br />
0 0.<br />
2 2 2 2<br />
2 a b 2 ab 2 a b 2 ab<br />
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a<br />
b.<br />
Câu 8) Vì abc , , 1;2 nên có một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng<br />
a a a b c a b c<br />
<br />
1 2 0, 1 1 1 0, 2 2 2 0 .<br />
2<br />
a) Do abc , , 1;2 nên <br />
Tương tự ta suy ra:<br />
b) Vì , , 1;2 <br />
<br />
<br />
a 1 a 2 0 a a 2.<br />
2 2 2<br />
a b c a b c<br />
<br />
<br />
6 6 (do ab c 0 ).<br />
abc nên a b c<br />
<br />
1 1 1 0 , hay<br />
abc ab bc ca a b c 1<br />
0<br />
abc ab bc ca 1 0 (do ab c 0 ) (1)<br />
Mặt khác cũng vì a b c 0<br />
nên a b c 2 0<br />
, tức là<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2<br />
a b c<br />
ab bc ca (2)<br />
2<br />
Từ (1) và (2) ta có:<br />
a b c<br />
2<br />
Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 1, b 1, c 0<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
abc 1 0 a b c 2 2abc<br />
2 2 2<br />
Ta còn phải chứng minh a b c 2abc<br />
Không mất tính tổng quát, giả sử ab<br />
c<br />
abc<br />
Từ đó suy ra 1 c 0 c 1<br />
3<br />
Sử dụng đánh giá này, ta được 2abc 2 a . b . c 2 a . b<br />
Suy ra 2<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
a b c 2abc a b c 2 a . b a b c 0<br />
Dấu đẳng thức có khi a b c 0.<br />
c) Vì , , 1;2 <br />
abc nên a b c<br />
<br />
<br />
2<br />
8 0<br />
2 2 2 0 , hay<br />
abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 0<br />
abc ab bc ca (do ab c 0 ) (3)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Từ (3) và (2) ta có: abc a b c 8 0 a b c 8 abc<br />
Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 2, b 1, c 1.<br />
abc và ab c 3 .<br />
Câu 12. Cho , , 0;2<br />
Chứng minh rằng a 3 b 3 c 3<br />
a b c<br />
<br />
Giải:<br />
Đặt a x 1, b y 1, c z 1<br />
3 3 1 1 1 9 .<br />
thì , , 1;1<br />
Ta có P a 3 b 3 c 3 3a 1b 1c<br />
1<br />
<br />
3 3 3<br />
x 1 y 1 z 1 3xyz<br />
x y z và x y z 0<br />
<br />
3 3 3 2 2 2<br />
x y z xyz x y z x y z <br />
3 3 3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Mà x y z 0 nên<br />
<br />
3 3 3 2 2 2<br />
x y z xyz x y z x y z xy yz zx<br />
3 0<br />
Do đó P x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
3 3<br />
Vậy ta có<br />
nên 3P<br />
9.<br />
2 2 2<br />
0 x y z 2<br />
Câu 9)<br />
Giải:<br />
Ta có: a b c 3 a 3 b 3 c 3 3a bb cc a<br />
Nên bất đẳng thức đã cho tương đương với: a bb cc a 8abc<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ab ac bc ba ca cb 6abc<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ab abc ac bc abc ba ca abc cb <br />
2 2 2 0<br />
<br />
2 2 2<br />
a b c b c a c a b<br />
0<br />
Vậy ta có điều phải chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
Câu 10)<br />
Ta có a bc a a b c bc a ba c<br />
nên bất đẳng thức cần<br />
chứng minh tương đương với:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a a b c bc b a b c ca c a b c ab<br />
<br />
a b a c b c b a c a c b<br />
2 2<br />
a ab ac bcb c b ba bc cac a<br />
<br />
3<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c ca ca aba b a bb cc a<br />
2 3<br />
2<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ab ac bc ba ca cb 6abc<br />
<br />
2 2 2<br />
a b c b c a c a b<br />
0<br />
Vậy bài toán được chứng minh.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
a b c .<br />
3<br />
Câu 11)<br />
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:<br />
a b c abc 2<br />
2 3 3 3 9<br />
6 27 0<br />
2 2 2<br />
abc a b c<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b ca b c ab bc ca a b c ab bc ca<br />
2 18<br />
0<br />
2 2 2<br />
abc a b c<br />
abc<br />
9 <br />
<br />
<br />
abc a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
2 a b c ab bc ca<br />
0<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
a b b c c a a b c a b c 9abc<br />
0<br />
<br />
2 2 2<br />
Do a b b c c a<br />
nên ta chỉ cần chứng minh<br />
2 2 2<br />
<br />
a b c a b c 9abc<br />
0<br />
<br />
3 3 3 2 2 2 2 2 2<br />
a b c abc a b c b c a c a b abc <br />
3 6 0<br />
Bất đẳng thức này đúng vì ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 3 2 2 2<br />
a b c 3abc a b c a b c ab bc ca<br />
a b c a b b c c a<br />
2 2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
Và<br />
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
a b c b c a c a b 6abc a b c b c a c a b<br />
0<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
Câu 12) Giải:<br />
Từ hằng đẳng thức:<br />
2 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
2 2 2 3 3 3 2 2<br />
a b c 3a b b c c a a b 2bc ab ac<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
b c 2ca bc ba c a 2ab ca cb<br />
Suy ra ta có điều phải chứng minh.<br />
Câu 13)<br />
2 2<br />
Do x y z 1 nên bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:<br />
x 2y zx y z 2<br />
4x y y zz x<br />
Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức trên là như nhau nên ta hoàn toàn<br />
có thể giả sử x z.<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 4ab<br />
, ta có<br />
x y z 2<br />
4x y z<br />
.<br />
Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x x 2y z x y z x y x z 0, hiển nhiên đúng theo giả sử<br />
x<br />
z.<br />
Bài toán được chứng minh xong.<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
x z ; y 0 .<br />
2<br />
Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành:<br />
2<br />
2ab<br />
b 3<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a 4b 3a 2b<br />
5<br />
2 2 2 2 2<br />
2 2ab 1 b 2a 10ab 8b 3a 3b<br />
0 0<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
5 a 4b 5 3a 2b a 4b 3a 2b<br />
a ba b a ba b<br />
2 4 3<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
a 4b 3a 2b<br />
a b<br />
a b a 2 b 2 a ba 2 b<br />
2<br />
<br />
2 4 3 2 3 4 <br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
3 2 2 3<br />
a b a a b ab b a b a b<br />
2 2<br />
9 21 16 4 0 3 2 0<br />
Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc<br />
2<br />
a b.<br />
3<br />
Câu 15) Vì ab , 0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:<br />
a 1 b 1 4 1 1 <br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
2 2<br />
b b a a a b a b<br />
a b b a<br />
4ab a b<br />
4 0<br />
2 2<br />
b a a b<br />
ab<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b a b 4a b<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
a b a b ab<br />
a b a b ab<br />
a b<br />
2 2 4<br />
4 0 0 .<br />
<br />
<br />
Bất đẳng thức cuối đúng nên có điều phải chứng minh.<br />
Dấu đẳng thức xảy ra khi ab 0 .<br />
Câu 16) Bài toán này có chứa căn nên để xuất hiện nhân tử chung dạng<br />
a<br />
b 2<br />
2<br />
ta cần chú ý đến phép biến đổi<br />
2 2<br />
a b a b<br />
Khi đó:<br />
<br />
2<br />
<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
a b a b<br />
2 2<br />
3a 2ab 3b<br />
2 2<br />
2 2a<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
3a 2ab 3b<br />
2 2<br />
2 a b 2 2 a b 2 a b<br />
a<br />
b<br />
<br />
a b 2a b<br />
2 2<br />
<br />
a b 2 a b a b<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
a b 2 2a 2 b 2<br />
a b 2a b<br />
0<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
a<br />
b<br />
a b 2a b a b 0 0 Bất đẳng<br />
2 2<br />
2 a b a b<br />
thức cuối cùng đúng do ab , dương.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.<br />
Câu 17)<br />
<br />
3 3 2 2<br />
3 2<br />
x y xy x y x y 3xy x y xy x y 2xy<br />
Đặt x y a;<br />
xy b , ta có:<br />
<br />
3 2 2<br />
a ab b a a a b a<br />
3 3 0 1 3 1 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4
2<br />
a<br />
1<br />
x<br />
y 1<br />
a 1a 3b<br />
0 <br />
<br />
<br />
Vì x y 2 4 xy; x, y 0<br />
2<br />
2<br />
a 3b x y 3xy<br />
suy ra x y 0 hoặc x<br />
y 1<br />
Với x y 0 thì<br />
5<br />
P <br />
2<br />
0<br />
x 1<br />
Nếu x hoặc y khác 0 , ta có x y1 ,<br />
0 y 1<br />
4 y<br />
min 1 y<br />
P ; Pmax 4 <br />
0<br />
3 x0 x1<br />
4<br />
Vậy Pmin<br />
khi x 0, y 1; P max<br />
4 khi x 1; y 0 .<br />
3<br />
b c<br />
Câu 18) Đặt x a, y , z thì x, y,<br />
z là các số dương và<br />
2 3<br />
x y z xyz .<br />
Khi đó:<br />
Ta có:<br />
1 1 1<br />
A <br />
1 x 1 y 1<br />
z<br />
2 2 2<br />
1<br />
xyz yz y z<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
2 2 <br />
2<br />
x x y z xyz x y x z x y x z<br />
Tương tự ta có:<br />
1 x z 1 x y<br />
; <br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
y 1 x y y z z 1<br />
2 x z 2 y z<br />
<br />
x y x z y z 3<br />
A . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ<br />
2 2 2 2<br />
x y x z y z<br />
khi: x y z 3 a 3, b 2 3, c 3 3 .Vậy giá trị lớn nhất của<br />
biểu thức A là 3 2<br />
đạt được khi và chỉ khi a 3, b 2 3, c 3 3 .<br />
Câu 19) Đặt 3 a 2 x; 3 b 2 y;<br />
3 c 2 z<br />
2 3 2 3 2 3<br />
Suy ra: a x ; b y ; c z a <br />
3<br />
x ; b <br />
3<br />
y ; c <br />
3<br />
z và x, y, z 0 .<br />
Bất đẳng thức đã cho thành:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 3 3 3 3 3 3 3<br />
x y z 3xyz 2 x y y z z x (1)<br />
Vì vai trò của x, y,<br />
z bình đẳng nên có thể giả sử x y z 0<br />
Khi đó: xx y 2 z y z 2<br />
z x yx y y z<br />
0<br />
Suy ra: x 3 y 3 z 3 3xyz xy x y yz y z zx z x<br />
(2)<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: <br />
3 3<br />
yz y z 2 y z (4)<br />
Tương tự ta có: <br />
3 3<br />
3 3<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
xy x y 2xy xy 2 x y (3)<br />
zx z x z x (5). Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (3),(4),(5) ta<br />
được: xy x y yz y z zx z x 2 x <br />
3 y 3 y 3 z 3 z 3 x<br />
3<br />
Từ (2) và (6) ta có: x <br />
3 y 3 z 3 3xyz 2 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x<br />
3<br />
(6)<br />
2 2 2 3<br />
2<br />
Hay a b c 3 abc ab bc ca<br />
Đẳng thức xảy ra khi x y z hay ab c.<br />
Câu 20) Giả thiết ta suy ra<br />
Đặt<br />
1 a 1 .Ta có b<br />
1 1 a b<br />
P a b<br />
b a b a<br />
2<br />
2 2 .<br />
2<br />
1<br />
a <br />
a 1<br />
t b . Ta chứng minh: P 9 . Thật vậy ta có:<br />
b 2 2<br />
3 2<br />
2 2t<br />
9t<br />
2<br />
2t 1t 2 4t<br />
2<br />
2t<br />
9 0 . Do<br />
2 2 2<br />
t t t<br />
thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
b<br />
4a<br />
1 <br />
t 1 .<br />
2 a<br />
1<br />
b<br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO<br />
1<br />
0 t<br />
, dấu đẳng<br />
2<br />
Câu 1) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z 1.<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x yz y zx z xy .<br />
Câu 2) Cho x, y,<br />
z là ba số thực dương và xyz 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 x y 1 y z 1z x<br />
P .<br />
xy yz zx<br />
Câu 3) Cho x 2, y 3, z 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:<br />
xy z 4 yz x 2 zx y 3<br />
P <br />
xyz<br />
Câu 4) Cho x, y,<br />
z là các số dương sao cho x y z 1. Tìm giá trị lớn<br />
nhất của biểu thức P x xy <br />
3<br />
xyz .<br />
x y xy<br />
Câu 5) Cho xy , 0 và thỏa mãn điều kiện 3 . Tìm giá trị nhỏ<br />
2 3 6<br />
nhất của biểu thức<br />
P x y<br />
3 3<br />
27 8 .<br />
Câu 6) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương và xyz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất<br />
3 3 3<br />
x y z<br />
của biểu thức: P <br />
1 x 1 y 1 z 1 x 1 x 1<br />
y<br />
<br />
Câu 7) Cho x, y,<br />
z là 3 số dương và thỏa mãn điều kiện x y z 3.<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
3 3 3<br />
x y z 2<br />
P <br />
3 3 3<br />
xy yz zx<br />
y 8 z 8 x 8 27<br />
Câu 8) Cho x, y,<br />
z là ba số dương và x y z 3.<br />
x 1 y 1 z 1<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P <br />
y<br />
2 2 2<br />
1 z 1 x 1<br />
Câu 9) Cho x, y,<br />
z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z 3.<br />
x y z<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .<br />
2 2 2<br />
1 y 1 z 1<br />
x<br />
<br />
.<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 10) Cho x, y,<br />
z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z 3.<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
2 2 2<br />
P x y z<br />
<br />
x 2 y y 2 z z 2 x<br />
3 3 3<br />
.<br />
Câu 11) Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện x y z 3.<br />
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức<br />
2 2 2<br />
P x y z<br />
<br />
x 2 y y 2 z z 2 x<br />
2 2<br />
.<br />
Câu 12) Cho x, y,<br />
z là ba số thực dương và x y z 3.<br />
1 1 1<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P <br />
x<br />
2 2 2<br />
1 y 1 z 1<br />
.<br />
Câu 13) Cho x, y,<br />
z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 8.<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
x 2 y 2 z 2<br />
P <br />
x 1 y 1 z 1<br />
Câu 14) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1.<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
1 1 1<br />
P <br />
x 3 y z y 3 z z 3 x y<br />
1 <br />
Câu 15) Cho x, y, z 0 và thỏa mãn điều kiện x y z 1.<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
1 x 1 y 1<br />
z <br />
P<br />
2<br />
y z x <br />
.<br />
1 x 1 y 1 z x y z <br />
Câu 16) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương.<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:<br />
x y z<br />
P <br />
.<br />
x x y x z y y z y x z z x z y<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 17) Cho x, y,<br />
z là ba số dương và xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu<br />
thức:<br />
1 1 1<br />
P <br />
5 2 5 2 5 2<br />
x x 3xy 6 y y 3yz 6 z z 3xy<br />
6<br />
(1)<br />
Câu 18) Cho x, y, z 0 và thỏa mãn điều kiện x y z 3. Tìm giá trị nhỏ<br />
nhất của biểu thức<br />
P x y z xy yz zx .<br />
<br />
<br />
Câu 19) Cho x, y,<br />
z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện<br />
2 2 2<br />
x y z 3 .<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
x<br />
2 2 2<br />
2 y 3 y 2 z 3 z 2 x 3<br />
.<br />
Câu 20) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz 8.<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
2 2 3<br />
3 3 3 3 3 3<br />
1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1<br />
x <br />
Câu 21) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương..<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br />
3 3 3<br />
x y z<br />
P <br />
x y z y z x z x y<br />
<br />
3 3 3 3 3<br />
3<br />
.<br />
Câu 22) Cho x, y, z 0 và thỏa mãn điều kiện x Y z 1. Tìm giá trị nhỏ<br />
nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
1 y z 1 z x 1 x y<br />
2 2 2 2 2 2<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 23) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1.<br />
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
1 1 1<br />
P <br />
3 3 3 3 3 3<br />
x 2y 6 y 2z 6 z 2x<br />
6<br />
.<br />
Câu 24) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương sao cho xyz 1.<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
<br />
2 2 2<br />
x y z y z x z x y<br />
P <br />
y y 2 z z z z 2 x x x x 2 y y<br />
.<br />
Câu 25) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện<br />
x y z 6 .<br />
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
3 3 3<br />
y 1 z 1 x 1<br />
.<br />
Câu 26) Cho x, y,<br />
z là ba số dương và thảo mãn điều kiện 1 1 1 1.<br />
x y z<br />
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x y z<br />
P <br />
2 2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x 8y 14xy 3y 8z 14yz 3z 8x 14zx<br />
.<br />
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />
x y y z z x<br />
Q <br />
x 1 y 1 z 1<br />
.<br />
Câu 27) Cho x, y,<br />
z là các số thực dương sao cho x y z 3. Tìm giá trị<br />
nhỏ nhất của biểu thức<br />
2 2 2<br />
P x y z xyz .<br />
Câu 28) Cho x, y, z 0 và thỏa mãn xyz 1.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y y zz x 2x y z <br />
Câu 29) Cho các số thực dương abc. , ,<br />
.<br />
Chứng minh rằng:<br />
a b b c c a<br />
2<br />
3 3 3 3 3 3<br />
<br />
c 3 4 a b a 3 4 b c b 3 4 c a<br />
Câu 30) Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c 1. Tìm GTLN của<br />
<br />
2 2 2<br />
P 6 ab bc ca a a b b b c c c a .<br />
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN<br />
Câu 1)<br />
Từ điều kiện x y z 1<br />
Tương tự, ta cũng có<br />
, ta có x yz x x y z yz x yx z<br />
.<br />
P x yx z y z y x z xz y<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
x yx z y z y x z xz y<br />
P hay<br />
2 2 2<br />
<br />
P 2 x y z 2<br />
<br />
Như vậy P 2 . Dấu bằng trong xảy ra khi<br />
x y x z<br />
y z y x<br />
1<br />
x y z . Từ đó ta có<br />
z x z y<br />
3<br />
<br />
x y z 1<br />
1<br />
max P 2 x y z .<br />
3<br />
Câu 2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
3 x y 3 y z 3 zx<br />
P <br />
xy yz zx<br />
3 2 2 3 2 2 3 2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Hay<br />
3 3 3<br />
P . Lại theo bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
xy yz zx<br />
3 3 3 3 3<br />
xy yz zx x y z<br />
33<br />
. Do 1<br />
2 2 2<br />
min P 3 3 x y z 1 .<br />
Câu 3)<br />
xyz , nên suy ra P 3 3. Vậy<br />
Đưa biểu thức về dạng<br />
thức Cô si ta có:<br />
z4 x2 y 3<br />
P . Áp dụng bất đẳng<br />
z x y<br />
<br />
1 1 z 4 4<br />
3 z 4 1<br />
z 4 z 4 .4<br />
<br />
2 2 2 4 z 4<br />
<br />
<br />
1 1 x 2 2<br />
x x<br />
2 1<br />
x 2 x 2 .2<br />
<br />
2 2 2 2 2 x 2 2<br />
<br />
1 1 y 3 3 y y 3 1<br />
y 3 y 3 .3<br />
<br />
3 3 2 2 3 y 2 3<br />
1 1 1 1 <br />
Cộng từng vế ba bất đẳng thứctrên ta có P <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2 3 . Vậy<br />
1 1 1 1 <br />
max P x 4, y 6, z 8<br />
2<br />
.<br />
2 3 4<br />
Câu 4)<br />
1 1<br />
Viết lại biểu thức trên dưới dạng: P x x.4 y <br />
3<br />
x.4 y.16z<br />
.<br />
2 4<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4 <br />
x 4y x 4y 16z<br />
x y z<br />
P x hay P . Từ x y z 1 và (2)<br />
4 12<br />
3<br />
4<br />
4<br />
suy ra P . Vậy max P <br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
x x y y<br />
Câu 5) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 11 3 ; 11 3 ;<br />
8 2 27 3<br />
x 3 y 3<br />
xy<br />
x 3 y 3<br />
x y xy <br />
1 3 . Cộng từng vế ta có: 2 5 3 .<br />
8 27 6<br />
8 27 2 3 6 <br />
x y xy<br />
Do 3 , ta có:<br />
2 3 6<br />
(4)<br />
3 3<br />
x y <br />
2<br />
. Suy ra P x y <br />
8 27 <br />
3 3<br />
27 8 432<br />
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi x2, y 3<br />
nhất đạt được khi x2, y 3.<br />
. Vậy min P 432<br />
, giá trị nhỏ<br />
Câu 6) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
x 3 3<br />
1 x 1 y x 1 x 1<br />
y<br />
3<br />
1 1 8 8 1 1 8 8<br />
x y x y<br />
3<br />
x 1x 1<br />
y 3x<br />
. Lập luận tương tự ta có:<br />
1 1 8 8 4<br />
x y<br />
3<br />
y 1z 1x 3y<br />
<br />
1z1 x<br />
8 8 4 x y<br />
từng vế ta có P x y z<br />
Hay<br />
3<br />
z 1x 1<br />
y 3z<br />
<br />
1 1 8 8 4<br />
Cộng<br />
3 1 .Dấu = xảy ra x y z 1. Lại<br />
4 2<br />
3<br />
theo bất đẳng thức Cô si, ta có: x y z 3 xyz 3 Từ đó suy ra<br />
3 3 3<br />
P P . Dấu bằng trong (5) xảy ra x y z 1 (do<br />
4 2 4<br />
3<br />
xyz 1) . Như vậy min P . Giá trị nhỏ nhất đạt được x y z 1.<br />
4<br />
Câu 7) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
3 2<br />
x y 2 y 2y 4 x<br />
P <br />
y<br />
3<br />
8 27 27 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2<br />
x 9x y y 6<br />
<br />
(1). Dấu bằng trong (1) xảy<br />
3<br />
y 8 27<br />
3 2<br />
x y 2 y 2y<br />
4<br />
P <br />
y<br />
3<br />
8 27 27<br />
3<br />
x y<br />
2<br />
y 1; <br />
3<br />
x y 1<br />
y 8 27<br />
<br />
<br />
3<br />
4 . Lập luận tương tự ta có:<br />
x y<br />
2 y 2;<br />
x<br />
y 2; <br />
3<br />
3<br />
y 8 27<br />
3 2<br />
y 9y z z 6<br />
<br />
(2)<br />
3<br />
z 8 27<br />
3 2<br />
z 9z x x 6<br />
<br />
(3). Cộng từng vế (1),(2),(3) và có:<br />
3<br />
x 8 27<br />
2 2 2<br />
x y z x y z <br />
3 3 3<br />
x y z 10 18<br />
<br />
3 3 3<br />
y 8 z 8 x 8 27<br />
(4)<br />
Do x y z 3 nên (4) có<br />
2<br />
x y z xy yz zx<br />
3 3 3<br />
x y z 30 2 18<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
y 8 z 8 x 8 27<br />
3 3 3<br />
x y z 2 1<br />
<br />
3 3 3<br />
xy yz zx<br />
<br />
y 8 z 8 x 8 27 9<br />
hay<br />
1<br />
P (5)<br />
9<br />
Dấu bằng trong (5) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1),(2),(3)<br />
x y z 1<br />
Vậy<br />
1<br />
min P x y z 1.<br />
9<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 8) Ta có:<br />
y<br />
2<br />
1<br />
2y<br />
2<br />
x1 y<br />
x 1<br />
1<br />
2 x <br />
2<br />
y 1 y 1<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
Suy ra<br />
2<br />
x1 y<br />
x 1<br />
xy y<br />
x1 x1<br />
2<br />
y 1 2y<br />
2<br />
có: y 1<br />
1<br />
yz <br />
y <br />
z ; z 1<br />
1<br />
zx <br />
z <br />
x<br />
2<br />
2<br />
z 1 2 x 1 2<br />
x y z xy yz zx<br />
P 3<br />
2<br />
3<br />
Do <br />
. Chứng minh tương tự, ta<br />
suy ra<br />
9 x y z 3 xy yz zx xy yz zx 3 . Vậy<br />
min P 3 x y z 3 .<br />
Câu 9) Giải:<br />
Ta có:<br />
đó<br />
2<br />
x xy<br />
x <br />
1<br />
y 1<br />
y<br />
2 2<br />
2 2<br />
xy xy xy<br />
<br />
2<br />
1<br />
y 2y<br />
2<br />
2<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 1 y 2y, khi<br />
x xy<br />
suy ra: x<br />
2<br />
1 y 2<br />
Tương tự ta có:<br />
y yz<br />
y ;<br />
2<br />
1 z <br />
z zx<br />
z<br />
2<br />
2 1 x . Cộng từng vế ta có<br />
2<br />
xy yz zx<br />
P x y z <br />
2<br />
x y z 1.Do<br />
2 2 2 2<br />
<br />
x y z 3 9 x y z x y z 2 xy yz zx<br />
<br />
9 xy yz zx 2 xy yz zx xy yz zx 3 (7). Vậy<br />
3<br />
min P x y z 1 .<br />
2<br />
Câu 10)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
2 3<br />
x 2xy<br />
x <br />
x 2y x 2y<br />
3 3<br />
3 3 3 3 6 2 3<br />
x 2y x y y 3 xy 3y x<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si, thì<br />
suy ra<br />
2 3<br />
x 2xy<br />
2<br />
x x y x<br />
3 2 3<br />
x<br />
2y 2y x 3<br />
3 2<br />
. Tương tự, có:<br />
2<br />
y 2<br />
y z z<br />
3<br />
y<br />
2z 3<br />
2<br />
z 2 3 2<br />
z x z<br />
3<br />
z 2x . Cộng từng vế ta có:<br />
3<br />
2<br />
3 3 3<br />
P x y z z y <br />
2 x z 2 y x<br />
2 , hay<br />
3<br />
2<br />
3 2 3 2 3 2<br />
P 3 3<br />
z y x z y x . Theo bất đẳng thức cô si ta có:<br />
x xz xz x z<br />
3 2<br />
3 ,<br />
y yx yx 3y x<br />
3 2<br />
3 2<br />
z zy zy 3z y<br />
3 2<br />
,<br />
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:<br />
3 3<br />
<br />
2 2 3<br />
x y z 2 xy yz zx 3 x z y x z y<br />
2<br />
vì<br />
2<br />
<br />
9 x y z 3 xy yz zx xy yz zx 3 . Do x y z 3, suy ra<br />
<br />
<br />
3 2 3 2 2 2 3<br />
3 2.3 3 x z y x z 3 y x 3 y y x 2 z 3 y 2 3 P 1<br />
Vậy min P 1 x y z 1 .<br />
Câu 11) Ta có:<br />
2 2<br />
x 2xy<br />
x <br />
x 2y x 2y<br />
2 2<br />
. Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
2 2 2<br />
2 2 2 4<br />
2 3 3 . Suy ra x x xy<br />
3<br />
2 3 4<br />
x y x y y xy<br />
y 2<br />
y<br />
2z 3<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
Tương tự, ta có: y yz<br />
2 <br />
3 <br />
<br />
ta có: P x y z xy yz zx<br />
ta có:<br />
2 2<br />
x xy y 3 3 x y<br />
x 2xy<br />
2<br />
x<br />
2y 3 xy 3<br />
z 2<br />
z<br />
2x 3<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
, z zx<br />
2 2 2<br />
3 3 3<br />
, y yz z 3 3 y z<br />
2 2<br />
. Cộng theo vế<br />
<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si,<br />
<br />
, z zx x 3 z x<br />
3 2 2<br />
. Từ đó<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2<br />
suy ra 2 x y z xy yz zx 3<br />
<br />
<br />
xy 3 yz 3 zx3<br />
<br />
<br />
<br />
(7) Dễ<br />
<br />
thấy dấu bằng trong (7) xảy ra x y z 1. Kết hợp với x y z 1, ta<br />
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
6 3 3 3 3 3 3 3 3<br />
<br />
<br />
<br />
3 . Vậy<br />
<br />
<br />
2<br />
P 3 .3 P 1 hay min P 1 x y z 1.<br />
3<br />
có: xy yz zx xy yz zx<br />
2<br />
1 x<br />
Câu 12) Ta có: 1<br />
2 2<br />
x 1 x 1<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si, thì 2<br />
x 1<br />
2x<br />
2<br />
1<br />
1 x x<br />
1<br />
2<br />
x 1 2x<br />
2<br />
1 y<br />
Tương tự, ta có: 1<br />
2<br />
y 1 2<br />
(do x y z 3).<br />
1<br />
,<br />
2<br />
z <br />
z<br />
1<br />
. Suy ra<br />
1 2<br />
x y z<br />
3<br />
P 3 <br />
2 2<br />
Từ đó suy ra min P 3 x y z 1.<br />
Câu 13) Viết lại P dưới dạng:<br />
2X 2Y 2Z<br />
x ; y ; z <br />
Y Z X<br />
1 y 1 <br />
P 3 3<br />
. Đặt<br />
x 1 y 1 z 1<br />
Khi đó có X , Y, Z 0 (vì xyz 8) Lúc này:<br />
1 1 1 1 1 1<br />
<br />
x 1 y 1 z 1<br />
2X 2Y 2Z<br />
1 1 1<br />
Y Z X<br />
2 2 2<br />
Y Z X Y Z X<br />
<br />
2X Y 2Y Z 2Z X 2XY Y 2YZ Z 2ZX X<br />
dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz<br />
2 2 2<br />
. Áp<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
X Y Z X Y Z <br />
<br />
2 2<br />
1 1 1<br />
1,<br />
2 2 2<br />
x 1 y 1 z 1 2XY Y 2YZ Z 2ZX X X Y Z<br />
suy ra P 0. Vậy max P 0 x y z 2 .<br />
Câu 14) Ta có:<br />
Cauchy- Schwarz<br />
xyz 1, nên ta có:<br />
1 1 1<br />
2 2<br />
P y<br />
2<br />
x z<br />
x y z y z z x y<br />
1 <br />
<br />
2<br />
1 1 1 <br />
<br />
2<br />
x y z<br />
<br />
xy yz zx<br />
P <br />
<br />
<br />
2 xy yz zx 2 xy yz zx x y z<br />
xy yz zx<br />
P <br />
2<br />
3<br />
Lại theo bất đẳng thức Cô si ta có: 2<br />
Suy ra<br />
3<br />
P Vậy<br />
2<br />
Câu 15) Viết lại biểu thức P dưới dạng:<br />
<br />
<br />
. Áp dụng bất đẳng thức<br />
<br />
2 2 2<br />
. Do<br />
xy yz zx 3 xyz 3 (do xyz 1.<br />
3<br />
min P x y z 1 .<br />
2<br />
2x 2y 2z y z x 1 1 1 1 1<br />
P 1 1 2 2x<br />
2y 2z<br />
<br />
1 x 1 y 1 z x y z 1 x z 1 y x 1<br />
2<br />
Do x y z 1, nên ta có:<br />
1 1 1 1 1 1 <br />
P 2x 2y 2z<br />
3<br />
y z z z x x x y y <br />
2xy 2yz 2zx xy yz zx<br />
3 3 2<br />
<br />
z y z x z x y x y z y z x z x y x y<br />
. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
xy yz zx xy yz zx <br />
<br />
y z z x x y<br />
z x y <br />
<br />
z x y x z x y x y<br />
<br />
<br />
2<br />
xy yz zx <br />
y zz xx y<br />
z x z xz x y x y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy yz zx <br />
z x y <br />
<br />
Rõ ràng, ta lại có: 3 x y z<br />
thức hiển nhiên a b c 2<br />
3ab bc ca<br />
suy ra:<br />
3 2 <br />
x y z xy yz zx <br />
x y z<br />
z y z x z x y x y <br />
<br />
<br />
<br />
x y z 1 ta có: 2 xy yz zx <br />
<br />
z y z xz x y x y<br />
3<br />
<br />
<br />
1<br />
Vậy max P 0 x y z .<br />
3<br />
Câu 16)<br />
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:<br />
2<br />
.Dựa vào bất đẳng<br />
Từ<br />
suy ra P 0.<br />
x yx z <br />
x y<br />
<br />
x z<br />
<br />
x. x y.<br />
z <br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
x<br />
x yx z x yz 2<br />
. Suy ra:<br />
Tương tự, ta có:<br />
z<br />
2<br />
z z x z y z <br />
y<br />
2<br />
y y z y x y <br />
z<br />
. Suy ra<br />
xy<br />
2<br />
x x y x z<br />
y<br />
,<br />
zx<br />
<br />
x<br />
x <br />
.<br />
yz<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x y z<br />
P <br />
2x yz 2y zx 2z xy<br />
1 1 1<br />
P <br />
y z z x x y<br />
2 . 2 . 2 .<br />
x x y y z z<br />
. Đặt<br />
y z z x x y<br />
a . ; b . ; c . , thì abc , , 0 và<br />
x x y y z z<br />
1 1 1<br />
abc 1.<br />
P Q <br />
2 a 2 b 2 c<br />
2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b<br />
<br />
2 a 2 b 2 c<br />
<br />
<br />
12 4a b c ab bc ca<br />
8 4a b c 2ab bc ca<br />
abc<br />
9 4a b cab bc ca<br />
3<br />
9 4a b cab bc ca ab bc ca<br />
<br />
<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si<br />
ab bc ca 3 abc 3 suy ra P 1. Vậy<br />
thì : 2<br />
max P 1 x y z 0 .<br />
Câu 17) Ta có: x 5 x 2 6 3x 3 x 5 x 2 3x 3 x 2 x 2 1 3x<br />
1<br />
x 1 x 2 x 1 3<br />
x 1 x 4 x 3 x<br />
2 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x 4 1 x 3 1 x 2 1<br />
x 1 2<br />
x 3 2x 2 3x<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Do<br />
x x x x<br />
3 2<br />
0 2 3 0 , nên từ (2) suy ra<br />
5 2<br />
x x x<br />
6 3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5 2<br />
x x 6 3xy 3 xy x 1<br />
<br />
5 2<br />
Tương tự, ta có:<br />
5 2<br />
z z xyz<br />
5 2<br />
y y xyz<br />
1 1<br />
<br />
3 6 3 zx z<br />
1<br />
<br />
1 1<br />
x x 6<br />
3xy<br />
1 1<br />
<br />
3 6 3 yz y 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
<br />
3 xy x<br />
1<br />
<br />
.<br />
1 1 1 1 <br />
Suy ra P <br />
. Áp dụng bất đẳng<br />
3 xy x 1 yz y 1 zx z 1<br />
<br />
<br />
<br />
thức Bunhiacopski, ta<br />
có:<br />
1 1 1 <br />
111<br />
1 1 <br />
1<br />
xy x 1 yz y 1 zx z 1 <br />
xy x 1 yz y 1 zx z 1<br />
1 1 1 1 1 1 <br />
3<br />
<br />
xy x 1 yz y 1 zx z 1 xy x 1 yz y 1 zx z 1<br />
P 1 1 1<br />
1<br />
xy x 1 yz y 1 zx z 1<br />
. Vậy<br />
max P 1 x y z 1 .<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
Câu 18) Ta có: xy yz zx <br />
x y z x y z 9 x y z<br />
<br />
2 2<br />
.<br />
Vậy P có dạng:<br />
9 x y z<br />
P x y z <br />
2<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
2P x y 9 2 x y z 9<br />
<br />
<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x x 3x<br />
2<br />
y y y 3y<br />
2<br />
z z z 3z<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra : x 2 y 2 z 2 x y z x y z<br />
2 3 9 .Vậy<br />
min P 0 x y z 1 .<br />
Câu 19)<br />
Vì<br />
2 2 2<br />
x 1 2 x; y 1 2 y; z 1 2z<br />
, nên ta có:<br />
x y z<br />
P <br />
2 1 2 1 2 1<br />
x y y z z x <br />
.Ta có:<br />
x y z 1 1 1<br />
1 y <br />
1 z <br />
1<br />
x <br />
<br />
x y 1 y z 1 z x 1 x y 1 y z 1<br />
z x 1<br />
y 1 z 1 x 1<br />
<br />
3 <br />
x y 1 y z 1 z x 1<br />
3 1 y 1 z 1 x 1<br />
<br />
P <br />
2 2 x y 1 y z 1 z x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
3 1<br />
y 1 z 1 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
. Áp dụng<br />
2 2 <br />
y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1<br />
<br />
bất đẳng thức Cauchy- Schwarz :<br />
2 2 2<br />
y 1<br />
z 1<br />
x<br />
1<br />
y 1 x y 1<br />
z 1 y z 1<br />
x 1 z x 1<br />
2<br />
y 1 z 1 x 1<br />
<br />
y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1<br />
2 2 2<br />
x y z 3 , nên ta<br />
<br />
có: y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1<br />
2 2 2<br />
x y z xy yz zx x y z<br />
3 3<br />
. Để ý rằng do:<br />
1 2 2 2<br />
1<br />
x y z 9 6x 6y 6z 2xy 2yz 2zx x y z 3 2<br />
.<br />
2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2<br />
y 1 z 1 x 1<br />
2 . Vậy<br />
y 1 x y 1 z 1 y z 1 x 1 z x 1<br />
1<br />
max P x y z 1.<br />
2<br />
3 2<br />
Câu 20) Nhận xét: a thì 41 a a<br />
2 2<br />
. Thật vậy,<br />
2<br />
3 4 2 4 3 2 2<br />
4 4a a 4a 4 a 4a 4a 0 a a 1 0 . Cũng có<br />
thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy:<br />
1 a 1 a1<br />
a a <br />
a<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
3 2 1 a 1 a a <br />
<br />
<br />
2 4<br />
bài toán ta có:<br />
2 2 2<br />
4x 4y 4z<br />
P <br />
4 1 1 1 4 1 4 1 1<br />
3 3 3 3 3 3<br />
x y y z z x <br />
. Áp dụng vào<br />
4x 4y 4z<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2<br />
x <br />
2 2 2<br />
a x ; b y ; c z .<br />
4 4 4<br />
. Đặt<br />
Khi đó do x, y, z 0 và xyz 8 a, b, c 0 và abc 1.<br />
16a 16b 16c<br />
Suy ra: P <br />
2 4a 2 4b 2 4b 2 4c 2 4c 2 4a<br />
<br />
4 a b c<br />
P <br />
<br />
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2<br />
. Hay<br />
a b ab c c a<br />
a1 2c b1 2a c1 2b<br />
a b c 2ab bc ca<br />
4 P 4<br />
a b c<br />
a b c ab bc ca<br />
3<br />
a b c 3 abc 3 a b c 2ab bc ca<br />
9 1<br />
8abc<br />
P <br />
1 2 1 2 1 2 1 2 4 8<br />
. Ta có:<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 8abc 2a b c 4ab bc ca 3 a b c 2ab bc ca<br />
<br />
4<br />
4<br />
. Suy ra P . Vậy min P x y z 2 .<br />
3<br />
3<br />
Câu 21) Ta có nhận xét sau: với mọi x, y,<br />
z là các số thực dương, ta<br />
có:<br />
<br />
<br />
x<br />
3<br />
x y z<br />
3 2<br />
<br />
x<br />
<br />
x y z<br />
3 2 2 2<br />
3 4<br />
x<br />
x<br />
<br />
x y z x y z<br />
<br />
3 3<br />
2 2 2<br />
2<br />
(1) . Thật vậy, (1)<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
x 2x y z y z<br />
<br />
x x x z<br />
<br />
<br />
3 4 2 2 2 2 2 2 7 4 3<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
2 3<br />
2x y z y z x y z<br />
..Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
2 3<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2x 2x y z y z 2 2x y z . (3). Rõ ràng:<br />
2 2<br />
2<br />
2 y z y z (4)<br />
2 6 3<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Từ (3),(4) suy ra: 2x y z y z x y z x y z<br />
(5)<br />
Tương tự (1), ta có:<br />
<br />
z<br />
3<br />
z x y<br />
3 2<br />
<br />
<br />
y<br />
3<br />
y z x<br />
z<br />
<br />
x y z<br />
3 2 2 2<br />
3 2<br />
<br />
y<br />
<br />
x y z<br />
3 2 2 2<br />
(7)<br />
(6),<br />
Cộng từng vế (1),(6),(7) và có P 1 (8)<br />
Vậy min P 1 x y z 0 .<br />
Chú ý: Ta có thể chứng minh:<br />
cách áp dụng bất đẳng thức Cau chy<br />
<br />
x<br />
3<br />
x y z<br />
3 2<br />
<br />
x<br />
<br />
x y z<br />
3 2 2 2<br />
nhanh hơn bằng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
a 2 1 2<br />
1 1 1<br />
<br />
a 1<br />
3 2<br />
a a a a<br />
suy ra<br />
ra<br />
3 2<br />
x<br />
2x<br />
<br />
x y z x y z<br />
<br />
3<br />
x y z<br />
2 <br />
3 3 2<br />
2<br />
x<br />
3 2<br />
<br />
x<br />
<br />
x y z<br />
3 2 2 2<br />
3<br />
2<br />
2 a 2<br />
Câu 22) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:<br />
thay<br />
a <br />
. Lại có x y 2 2x 2 y<br />
2<br />
<br />
y<br />
z<br />
x<br />
suy<br />
x y z<br />
x1 y 2 z 2 y 1 z 2 x 2 z 1<br />
x 2 y<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 y z 1 z x 1 x y<br />
Từ (1) và do x y z 1, ta có:<br />
1<br />
P <br />
x y z y z x z x y<br />
1 2 2 1 2 2 1 2 <br />
2<br />
<br />
1 2 2<br />
1 2 2<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
Q x y z y z x z x y<br />
x y z xy x y yz z y zx z x<br />
1 xy x y yz z y zx z x<br />
<br />
. Đặt<br />
2 2 2<br />
1 x y z y z x z x y . Có thể thấy rằng:<br />
<br />
x y z y z x z x y <br />
4<br />
2 2 2 1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
Từ đó có:<br />
5<br />
Q <br />
4<br />
4<br />
P .Vậy<br />
5<br />
4<br />
min P . Giá trị nhỏ nhất đạt được khi<br />
5<br />
1<br />
x y ; z 0 .<br />
2<br />
Câu 23) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 <br />
<br />
3 3 3 3 3 3<br />
x 2y 6 y 2z 6 z 2x<br />
6 <br />
<br />
<br />
1 1 1 <br />
3<br />
<br />
<br />
3 3 3 3 3 3 <br />
x 2y 6 y 2z 6 z 2x<br />
6 <br />
1 1 1 <br />
Hay P 3<br />
<br />
3 3 3 3 3 3 <br />
x 2y 6 y 2z 6 z 2x<br />
6 <br />
thức Cô si ta có:<br />
. Áp dụng bất đẳng<br />
<br />
3 3 3 3 3<br />
x y x y y xy y<br />
2 6 1 11 3 3 3 3<br />
3 3<br />
x y xy y <br />
2 6 3 1<br />
<br />
<br />
Tương tự, có: y 3 2z 3 6 3 yz z 1<br />
, z 3 2x 3 6 3 zx x 1<br />
Suy ra :<br />
1 1 1<br />
P <br />
xy y 1 yz z 1 zx x 1<br />
. Do xyz 1 , nên dễ<br />
1 1 1 1 xy y<br />
thấy 1<br />
xy y 1 yz z 1 zx x 1 xy y 1 xy y 1 xy y 1<br />
suy ra P 1<br />
Vậy max P 1 x y z 1 .<br />
Câu 24) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
1<br />
y z 2 yz 2 (do xyz 1)<br />
x<br />
Từ đó suy ra: <br />
(1)<br />
<br />
<br />
2<br />
x y z x x<br />
2 2 1 2<br />
x y z 2x 2x x <br />
x y y 2z z y y 2z z<br />
Lập luận tương tự, có:<br />
<br />
<br />
2<br />
y z x 2y y<br />
<br />
z z 2x x z z 2x x<br />
<br />
<br />
2<br />
z x y 2z z<br />
,<br />
<br />
x x 2y y x x 2y y<br />
. Cộng từng vế<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x x y y z z <br />
P 2<br />
<br />
. Đặt<br />
y y 2z z z z 2x x x x 2y y <br />
<br />
<br />
X x x; Y y y;<br />
Z z z thì X , Y, Z 0 và XYZ 1.<br />
X Y Z <br />
Khi đó (4) có dạng P 2<br />
<br />
Y 2Z Z 2X X 2Y<br />
<br />
2 2 2<br />
X Y Z <br />
P 2<br />
. Áp dụng bất đẳng thức<br />
XY 2ZX YZ 2XY XZ 2YZ<br />
<br />
Cauchy- Schwarz ta có:<br />
<br />
<br />
X Y Z 2<br />
3 XY YZ ZX <br />
X Y Z<br />
P 2 3 XY YZ ZX<br />
P<br />
3 và P 3 X Y Z 1. Vậy<br />
min P 3 x y z 1 .<br />
<br />
2<br />
<br />
do<br />
Câu 25)<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
y y 2 y <br />
1 1<br />
3 2<br />
y 1 y 1 y y 1<br />
<br />
<br />
2<br />
x 2x<br />
y 2y<br />
tương tự, ta có: <br />
3<br />
2<br />
2<br />
y 1<br />
y 2<br />
3<br />
z 1<br />
z 2<br />
2<br />
3 y 2<br />
y 1<br />
<br />
2<br />
z 2z<br />
<br />
3<br />
x 1<br />
x 2<br />
,<br />
2<br />
x y z <br />
P 2<br />
<br />
2 2 2 . Dấu bằng trong (5) xảy ra đồng thời<br />
y 2 z 2 x 2 <br />
có dấu bằng trong x y z 2 . Ta sẽ chứng minh<br />
2x 2y 2z<br />
2<br />
2 2 2<br />
y 2 z 2 x 2<br />
2x 2y 2z<br />
x y z 4<br />
2 <br />
2 <br />
2 (do<br />
y 2 z 2 x 2 <br />
2 2 2<br />
x y z 6 ) xy yz zx<br />
y 2 z 2<br />
x<br />
<br />
có:<br />
2 2 2<br />
4<br />
2 2 2 3 4<br />
2 4 4 3 4 3 3 4<br />
. Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta<br />
2 3<br />
y y y y y y y 2 y<br />
3<br />
4y<br />
Tương<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
tự có:<br />
3<br />
2 3 3<br />
, x 2<br />
x 4z<br />
2<br />
2<br />
2 3<br />
z 2 z 4z<br />
2 2 2<br />
xy yz zx<br />
VT .Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:<br />
3 3<br />
3<br />
3 3 3<br />
y 4y 4z x 4x<br />
2 2 2<br />
2x xy xy<br />
3<br />
2 x. xy.<br />
xy ,<br />
3<br />
2y yz yz<br />
3 3 2z zx zx<br />
2 y. yz.<br />
yz <br />
2 z. zx.<br />
zx <br />
. VT<br />
3<br />
3<br />
1 2 x y z 2 xy yz zx<br />
9<br />
<br />
<br />
xy yz zx 12 . Từ đó<br />
Mặt khác, ta có: 3xy yz zx x y z 2<br />
suy ra P 2 . Vậy min P 2 x y z 2 .<br />
Câu 26)<br />
Giải:<br />
1)Ta có theo bất đẳng thức Cô si:<br />
x y x y<br />
2 2<br />
4 3 2<br />
3x 8y 14xy x 4y3x 2y<br />
2x 3y<br />
2<br />
Như vậy suy ra<br />
2 2<br />
y<br />
y<br />
2 2<br />
3y 8z 14yz 2y<br />
3z<br />
2 2<br />
z<br />
z<br />
2 2<br />
3z 8x 16zx 2z<br />
3x<br />
<br />
đẳng thức Cauchy- Schwarz ta<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
2 2<br />
3x 8y 14xy . Tương tự ta có:<br />
2x<br />
3y<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z 1<br />
2x 3y 2y 3z 2z 3x<br />
5<br />
có: x y z<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
P . Theo bất<br />
2x 3y 2y 3z 2z 3x<br />
. Theo bất đẳng thức Cô si cơ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 <br />
1 1 1<br />
bản, ta có: x y z<br />
<br />
9 . Do 0 1, nên có:<br />
x y z <br />
x y z<br />
9<br />
9<br />
x y z 9 vậy P . Vậy min P x y z 3 .<br />
5<br />
5<br />
Câu 27) Do tính bình đẳng giữa x, y,<br />
z nên có thể giả sử x y z<br />
Kết hợp với x y z 3 suy ra 0z<br />
1. Ta có<br />
2 2 2<br />
P x y z xyz<br />
x y z 2<br />
xyz 2xy yz zx<br />
9 xy z 2 2z y x<br />
9 xy z 2 2z 3 z<br />
(1)<br />
Hiển nhiên ta có:<br />
(1) có:<br />
2 2<br />
x y 3z<br />
<br />
xy <br />
2 2 . Do 0 z 1 z 2 0 , vậy từ<br />
3<br />
z <br />
P 9 z 2 2z 3<br />
z<br />
2 <br />
<br />
2<br />
. Ta có<br />
3 z 3 z 3<br />
z<br />
9 z 2 4z 9 z 2 3 z 8z<br />
2 <br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
z 2 1 3 1 2<br />
9 z 3z 6<br />
z 3z 18 z 3z<br />
2<br />
16<br />
2 <br />
4 4 <br />
VP(2) <br />
1<br />
2<br />
z1 z 2<br />
16<br />
4 . Do 0 x 1 nên suy ra P<br />
4 . Vậy<br />
min P 4 x y z 1 .<br />
Câu 28) Áp dụng đồng nhất thức<br />
x y y zz x x y z xy yz zx xyz (*)<br />
Ta có: P x y z xy yz zx xyz 2x y z<br />
. Theo bất đẳng<br />
3<br />
thức Cô si ta có: x y z 3 xyz 3 (do xyz 1).Lại có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
xy yz zx x y z<br />
3 2 2 2<br />
3 3 (do<br />
<br />
P 3 x y z 1 2 x y z<br />
2 2 2<br />
x y z 1) suy ra:<br />
P x y z 1 31 2 .<br />
2)Trước hết ta chứng minh rằng x y y z z x x 1 y 1 z 1<br />
Thật vậy, dựa vào (*) suy ra:<br />
x y z xy yz zx xyz xy yz zx x y z 1<br />
x y z xy yz zx 2 xy yz zx x y z 2 (do xyz 1)<br />
x y z xy yz zx xy yz zx x y z 3 Do<br />
xyz 1 x y z 3 và xy yz zx 3. Ta có<br />
x y z xy yz zx<br />
<br />
3 3<br />
x y zxy yz zx<br />
suy ra<br />
3<br />
x y zxy yz zx xy yz zx x y z<br />
x y z xy yz zx xy yz zx x y z 3 .Theo bất đẳng thức Cô<br />
si ta có:<br />
Q <br />
x y y z z x<br />
x 1 y 1 z 1<br />
33<br />
3<br />
min Q 3 x y z 1 .<br />
Câu 29) Giải:<br />
Ta có:<br />
. Vậy<br />
a 3 b 3 a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 a 3 b 3 a bab a b 3<br />
4 3 3<br />
Suy ra 3 3 3 3<br />
<br />
3 4 3 4<br />
<br />
3<br />
3 3<br />
c 4 a b<br />
a b a b c a b a b c . Do đó<br />
a b a b<br />
<br />
a b c<br />
<br />
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a<br />
b. Tương<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
tự cũng có<br />
b c b c c a c a<br />
. Suy ra<br />
a b c a b c<br />
3 3 3 3<br />
<br />
a 3 4 c a b 3 4 c a<br />
a b b c c a<br />
2<br />
3 3 3 3 3 3<br />
<br />
c 3 4 a b a 3 4 b c b 3 4 c a<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
Câu 30) Ta có: 0 abc<br />
, , 1 suy ra<br />
2 2<br />
a b aa b a b 2ab aa b<br />
2 2 2<br />
. Tương tự 3 bất đẳng thức<br />
nữa ta có:<br />
<br />
2 2 2<br />
P 6 ab bc ca a a b b b c c c a<br />
ab bc ca a 2 b 2 c<br />
2<br />
<br />
4 2 hay P 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
khi<br />
2<br />
a b c .<br />
3<br />
BẤT ĐẲNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG<br />
1. Công thức tổng Abel:<br />
CÔNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG.<br />
Giả sử a1, a2,..., a<br />
n<br />
và b1, b2,...., b<br />
n<br />
là hai dãy số thực. Khi đó ta có:<br />
a b a b ... a b ( b b ) S ( b b ) S ...<br />
b S trong đó<br />
1 1 2 2 n n 1 2 1 2 3 2 n n<br />
Sk<br />
a1 a2 ...<br />
ak<br />
.<br />
Chứng minh: Thật vậy thay ak Sk Sk<br />
1<br />
với k 2,3,... n ta có vế trái<br />
bằng:<br />
b S b ( S S ) b ( S S ) ... b ( S S ) VP .<br />
1 1 2 2 1 3 3 2 n n n1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trường hợp n 3 ta<br />
có: ax by cz x ya y z( a b)<br />
z a b c<br />
đây là đẳng thức<br />
quan trọng có nhiều ứng dụng trong giải toán.<br />
2. Bất đẳng thức Abel:<br />
Cho hai dãy số thực: a1, a2,...., a<br />
n<br />
và b1 b2 b3 ...... bn<br />
. Đặt<br />
Sk<br />
a1 a2 ... a<br />
<br />
k<br />
với k 1, 2,3,... n<br />
và<br />
min , ,...., , max , ,...., <br />
m S S S M S S S . Khi đó ta có:<br />
1 2 n<br />
1 2<br />
mb1 A a1b 1<br />
a2b2 ... anbn<br />
Mb1<br />
,<br />
Chứng minh:<br />
Ta có: a1b 1<br />
a2b2 ... anbn ( b1 b2 ) S1 ( b2 b3 ) S2<br />
...<br />
bn Sn<br />
mà<br />
b<br />
k<br />
nên<br />
bk<br />
1<br />
0<br />
n<br />
( b b ) m ( b b ) m ... b m A ( b b ) M ( b b ) M ...<br />
b M hay<br />
1 2 2 3 n<br />
1 2 2 3<br />
mb1 A Mb1<br />
.<br />
n<br />
MỘT SỐ VÍ DỤ:<br />
Ví dụ 1: Cho x y z 0 thỏa mãn: x 3, x y 5, x y z 6 . Chứng<br />
minh:<br />
Lời giải:<br />
2 2 2<br />
x y z 14 .<br />
Ta có: x 2 y 2 z 2 14 x 3 x 3 y 2 y 1 z 1 z 1<br />
. Áp<br />
dụng công thức Abel ta có:<br />
2 2 2<br />
x y z x y x y z z x y z<br />
14 ( 3 2)( 3) ( 2 1) ( 1)( 3 2 1)<br />
x y x y z x y z x y z <br />
1 ( 3) 1 ( 5) 1 6 0 . Dấu<br />
bằng xảy ra khi và chỉ khi x 3; y 2; z 1 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 2) Cho các số thực dương x, y,<br />
z sao cho x 3, xy 6, xyz 6 .<br />
Chứng minh: x y z 6 .<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
x y z x x y <br />
x y z 6 3 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 2<br />
<br />
3 2 1 3 3 2 <br />
x y z x x y x y z <br />
1. 1 1 1 1 2 3<br />
. Áp dụng<br />
3 2 1 3 3 2 3 2 1 <br />
x y xy x y z xyz<br />
bất đẳng thức Cô si ta có: 2 2; 33<br />
3. Suy<br />
3 2 6 3 2 1 3.2.1<br />
ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 3, y 2, z 1 .<br />
Ví dụ 5: Cho x, y, z 0 sao cho x 2y 3z<br />
và<br />
x 1, x y 3, x y z 6<br />
6 xy yz zx 11xyz<br />
.<br />
. Chứng minh: <br />
Lời giải:<br />
Ta cần chứng minh: 1 1 1 11 .Ta có:<br />
x y z 6<br />
11 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 y 2 z 3<br />
1 <br />
6 x y z x 2 y 3 z x 2y 3z<br />
1 1 <br />
1 1 <br />
x 1 x y 3 1 x y z 6<br />
0<br />
x 2y 2y 3z <br />
3z<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 3, y 2, z 1 .<br />
Ví dụ 3: Cho các số thực không âm x, y,<br />
z sao cho<br />
x 1, x y 5, x y z 14 . Chứng minh: x y z 6 .<br />
Lời giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Tacó:<br />
x y z 1 1 1 1 <br />
x x y 1 x y z<br />
<br />
1 2 3 1 2 2 3 3<br />
1 1 1 1 1<br />
.1 .5 .14 1 2 3 . Ta suy ra<br />
1 2 2 3 3<br />
2<br />
x y z <br />
x y z <br />
<br />
1 2 3 1 2 3 36<br />
1 2 3 <br />
2<br />
.<br />
Ví dụ 4: Cho các số thực dương a b 1, a 3, ab 6, ab 6c<br />
. Chứng<br />
minh: a b c<br />
4 .<br />
Lời giải:<br />
Ta cần chứng minh: a b 1 3 2 c .<br />
Ta có:<br />
3 2 c 3 2 3 6c<br />
6 3<br />
3 2 c b 1 a b 33<br />
b 1 2 a b<br />
a b 1 a b a ab ab a<br />
3 2( b 1) a b a b 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
a 3, b 2, c 1 .<br />
<br />
<br />
Ví dụ 5: Cho các số thực dương abc , , sao cho<br />
Chứng minh: a b c .<br />
Lời giải:<br />
<br />
0 a b c, c 9<br />
b 9<br />
a<br />
3 .<br />
4 c<br />
b<br />
9<br />
2<br />
4<br />
c<br />
9 9 <br />
9<br />
<br />
4 c <br />
<br />
<br />
4 c <br />
<br />
c<br />
b b<br />
Ta có: a b 9 1 a c 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
9 b 9<br />
a <br />
4 4<br />
9<br />
3<br />
c 2 c c 2<br />
3 2 c 2 3<br />
c<br />
3 2 2<br />
<br />
<br />
.<br />
Ví dụ 6) Cho các số thực abc , , sao cho<br />
1 1 1 1<br />
a b c<br />
6<br />
.<br />
<br />
a b 1 c 0<br />
2<br />
c 2<br />
b<br />
3 2<br />
c 3<br />
a<br />
b<br />
. Chứng minh:<br />
Lời giải:<br />
Ta cần chứng minh: 1 1 1 1 1 1 . Tacó:<br />
a b 3 2 c<br />
1 1 1 1 a b 1 1 1 b 1 1 1<br />
1<br />
<br />
3 2 c a 3 2 c b a 2 c b c<br />
<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
1<br />
a 3 2<br />
<br />
c b a 2<br />
<br />
c b c<br />
a b b <br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz. Ta có:<br />
1 1 1 9 1 1 4<br />
3, 2 , ta có<br />
3 2 c 3 2 2 c 2<br />
c<br />
c<br />
a b a b b b<br />
1 1 1 3 1 1 1 1 1<br />
2 1 1.<br />
3 2 c a b a b a b<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 7) Giả sử abc , , là các số thực dương thỏa mãn:<br />
a b 3 c<br />
<br />
c<br />
b 1 .<br />
<br />
a b c<br />
Tìm GTNN của<br />
2 ab a b c( ab 1)<br />
Q <br />
( a1)( b1)( c1)<br />
.<br />
(Trích đề thi vào lớp 10 Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội)<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
<br />
abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c a b c<br />
Q <br />
( a 1)( b 1)( c 1) a 1 b 1 c 1<br />
Ta chứng minh:<br />
a b c 1 2 3 5 3 c b 2 a 1<br />
0<br />
1 a 1 b 1 c 11 1 2 1 3 12 3(1 c) 3( b 1) 2(1 a)<br />
Hay<br />
1 1 1 1 <br />
(3 c) (3 c b 2) <br />
4( c 1) 3( b 1) 3( b 1) 2( a 1)<br />
<br />
1<br />
3 c b 2 a 1<br />
0. Rút gọn ta thu được:<br />
2(1 a)<br />
(3b4c1) 2a3b1<br />
1<br />
(3 c) b 1 c a b c<br />
0<br />
12( b 1)( c 1) 6( b 1)( a 1) 2( a 1)<br />
.<br />
Điều này là hiển nhiên đúng.<br />
Một số kết quả quan trọng:<br />
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI<br />
Cho các số thực dương a, b, c, x, y,<br />
z .<br />
a)<br />
2 2 2<br />
a b c ab bc ca .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) 3( a 2 b 2 c 2 ) a b c 2<br />
.<br />
2 2 2 2 2<br />
c) ax by a b x y .<br />
d) ax by cz 2 a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
e) 8a b cab bc ca 9a bb cc a<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
i)<br />
Chứng minh:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b c a c a b abc a b c<br />
a b a c<br />
( )<br />
1 1 1<br />
.<br />
2 2<br />
a<br />
2 bc<br />
2<br />
x<br />
2 y<br />
2<br />
<br />
x y<br />
a b a b<br />
.<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
a b c a b c<br />
.<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
a) 2 2 <br />
a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b b<br />
Bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
b) Khai triển hai vế và thu gọn ta quy về câu a.<br />
c) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:<br />
ay<br />
bx 2 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .<br />
x y<br />
d) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:<br />
ay bx bz cy cx az<br />
2 2 2<br />
0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c<br />
. <strong>Các</strong> bất đẳng thức c, d còn được gọi là bất đẳng thức<br />
x y z<br />
Bunhiacopxki cho 2 số, 3 số.<br />
e) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:<br />
a bb cc a 8abc<br />
bất đẳng thức này luôn đúng theo AM- GM<br />
(xem chứng minh ở phần Bất đẳng thức Cô si).<br />
2 2 2 2 2<br />
f) Theo bất đẳng thức Cô si thì: b c a c 2abc<br />
Tương tự ta có 2<br />
bất đẳng thức nữa và cộng lại suy ra đpcm.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
g) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số ta có:<br />
2<br />
b b b c <br />
<br />
c <br />
suy ra<br />
<br />
c c <br />
2 2 2<br />
a b a bc. a bc 1 a bc<br />
1 c<br />
1 b<br />
<br />
. Tương tự <br />
a<br />
b 2 a 2 bcb c<br />
a<br />
c 2 a 2 bc b c<br />
<br />
. Cộng hai<br />
bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra đpcm.<br />
h) Quy đồng và rút gọn đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:<br />
ay<br />
bx 2 0<br />
.<br />
i) Áp dụng bất đẳng thức h) ta có:<br />
x y x y z<br />
2 2 2 2 2<br />
2<br />
x y z z<br />
<br />
a b c a b c a b c<br />
Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy-Chwarz.<br />
1. Những kỹ năng vận dụng cơ bản:<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c 3 . Chứng minh<br />
rằng:<br />
a b c<br />
1<br />
.<br />
a 2bc b 2ac c 2ab<br />
Giải:<br />
.<br />
a a a b c a b <br />
c<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
a 2bc a 2abc a 2bc b 2ac c 2ab a 2abc b 2abc c 2ab<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
<br />
abc 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a 2abc b 2abc c 2abc a b c 6abc<br />
2<br />
abc<br />
minh:<br />
<br />
a b c 6abc<br />
2 2 2<br />
1<br />
<br />
. Ta cần chứng<br />
ab bc ca 3abc a b c ab bc ca 9abc<br />
. Theo bất đẳng<br />
thức Cô si ta có:<br />
a b c abc ab bc ca a b c<br />
3<br />
3 2 2 2<br />
3 , 3 nhân 2 vế các<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ất đẳng thức dương cùng chiều ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c 1.<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực dương abc , , . Chứng minh rằng:<br />
a b c a b c<br />
<br />
a 2b b 2c c 2a<br />
3<br />
3 3 3 2 2 2<br />
.<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
3 4 4 4 4<br />
a a a b c<br />
VT<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
a 2b a 2ab a 2ab b 2bc c 2ca abc<br />
Ta cần chứng<br />
<br />
2 2 2 <br />
2<br />
a b c 2 2 2<br />
a b c<br />
2 2 2<br />
minh: a b c ab bc ca . Điều này<br />
2<br />
abc<br />
3<br />
<br />
là hiển nhiên.<br />
<br />
Ví dụ 3: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
a 2 2b 2 2c 2 2 3a b c 2<br />
Giải:<br />
.<br />
b<br />
c<br />
2 b<br />
c<br />
2 <br />
2. <br />
2 1<br />
.Suy ra:<br />
2 2 <br />
2 2<br />
Ta có: a b c a a<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3a b c 3a<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
c 2<br />
2<br />
<br />
. Ta cần chứng minh:<br />
<br />
2<br />
2<br />
b<br />
c<br />
2 2 2<br />
3 a 2 1 a 2 b 2 c 2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
b<br />
c <br />
2 2<br />
31 b<br />
2c<br />
2<br />
. Sau khi khai triển và thu gọn ta được:<br />
<br />
2 <br />
hay<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
.
c<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
b c 3bc<br />
1 0 . Để ý rằng:<br />
thành: b 2 c 2 bc bc<br />
2<br />
2 1 0 1 0 .<br />
b<br />
c<br />
2<br />
2 2<br />
bc nên bất đẳng thức trở<br />
Ví dụ 4: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
3 3 3<br />
a b c<br />
1<br />
<br />
a b c<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b <br />
Giải:<br />
Ta mong muốn xuất hiện lượng: ab<br />
c<br />
Ta có:<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2a b 2a c a b a a a c a ab ac a a b c<br />
a<br />
Từ đó suy ra:<br />
2 2 2 2<br />
2a b 2a c abc<br />
3<br />
thức nữa và cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh.<br />
<br />
a<br />
2<br />
2 2<br />
. Tương tự ta có 2 bất đẳng<br />
Ví dụ 5: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca abc 4 .<br />
Chứng minh: a 2 b 2 c 2 a b c 2ab bc ca<br />
. (Trích đề tuyển sinh<br />
vào lớp 10- Trường <strong>Chuyên</strong> KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015).<br />
Lời giải:<br />
Ta viết lại giả thiết bài toán thành:<br />
12 ab bc ca 4a b c 8 4a b c 2ab bc ca<br />
abc<br />
hay a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 a 2b 2c<br />
2<br />
1 1 1<br />
1<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
Ta có:<br />
1 a b c a b c<br />
<br />
<br />
a 2 a 11<br />
a b c abc<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
, Tương tự ta<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1<br />
có:<br />
b c a ;<br />
a a <br />
<br />
<br />
b<br />
b2 a b c c2<br />
a b c<br />
2 2 2 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
. Suy ra<br />
1 1 1 a b c 2 a b c<br />
1 <br />
2<br />
a 2 b 2 c 2 abc<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
a b c 2 a b c a b c hay<br />
2 2 2<br />
a b c a b c 2 ab bc ca<br />
<br />
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c 1.<br />
Ví dụ 6) Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 1. Chứng<br />
4 2 4 2 4 2<br />
minh rằng: 2abc a b c 5 a b b c c a . (Trích đề tuyển sinh<br />
9<br />
vào lớp 10- Trường <strong>Chuyên</strong> KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014).<br />
Lời giải:<br />
Sử dụng bất đẳng thức<br />
<br />
2 2 2<br />
x y z xy yz zx . Ta có:<br />
a 4 b 2 b 4 c 2 c 4 a 2 a 2 b. b 2 c b 2 c. c 2 a c 2 a.<br />
a 2 b abc ab 2 bc 2 ca<br />
2 .<br />
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức: Cauchy- Shwarz và giá thiết<br />
ab bc ca 1ta có:<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2 b c a abc<br />
ab bc ca abc a b c<br />
1 1 1 1 1 1<br />
<br />
a b c a b c<br />
<br />
<br />
2<br />
4 2 4 2 4 2<br />
a b b c c a abc a b c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
. Từ đó suy ra<br />
<br />
. Bây giờ ta sẽ chứng minh:<br />
2 5<br />
2<br />
abc a b c<br />
2abc a b c 0 t 6t 5 0 t 1t<br />
5<br />
0<br />
9<br />
. Mặt khác ta có:<br />
với t abca b c<br />
abca b c ab. ac bc. ba ca. cb 1 ab bc ca 2<br />
1 0 t 1.<br />
3 3<br />
1<br />
Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 7: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
1 1 1 abc<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
a ab bc b bc ca c ca ab ab bc ca<br />
Lời giải:<br />
Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca<br />
2<br />
Ta có:<br />
2 2<br />
1 c ab bc c ab bc<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
a ab bc a ab bc c ab bc ac ab bc<br />
tự với 2 số hạng còn lại ta có:<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1 c ab bc<br />
abc<br />
2<br />
2 2<br />
a ab bc ac ab bc ac ab bc<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
. Tương<br />
Ví dụ 8: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
ab bc ca a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
a bc ca b ca ab c ab bc ab bc ca<br />
Giải:<br />
Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca<br />
ab ab b bc ca ab b bc ca<br />
<br />
<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
<br />
2 2 2<br />
a bc ca a bc ca b bc ca ab bc ca<br />
2 2 2<br />
ab( b bc ca) bc( c ca ab) ca( a ab bc)<br />
Từ đó suy ra: VT <br />
.<br />
2 2 2<br />
ab bc ca ab bc ca ab bc ca<br />
Ta chỉ cần chứng minh:<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
2<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ab( b bc ca) bc( c ca ab) ca( a ab bc)<br />
a b c ab bc ca<br />
2 2 2<br />
3 3 3<br />
a b c<br />
a b b c c a abc( a b c)<br />
a b c. Nhưng bất<br />
c a b<br />
đẳng thức này là hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy- Shwarz
Ví dụ 9: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c 1. Chứng minh<br />
rằng: a b c 1<br />
3 2 3 2 3 2<br />
a b c b c a c a b<br />
Giải:<br />
Ta muốn làm xuất hiện ab c.<br />
1 1 <br />
a 1 c a 1 c<br />
a<br />
<br />
a<br />
a 1a ca<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
. Từ đó suy<br />
1<br />
2<br />
9<br />
a b c 1<br />
c<br />
a<br />
<br />
a b c 1 a ca 1 b ab 1 c bc<br />
<br />
a b c b c a c a b 9 9 9<br />
a 3 b 2 c 3 2 abc<br />
ra:<br />
3 2 3 2 3 2<br />
Ta cần chứng minh: 1 a ca 1 b ab 1 c bc<br />
1 ab bc ca 3.<br />
9 9 9<br />
Nhưng điều này là hiển nhiên đúng do:<br />
abc 2 3<br />
ab bc ca <br />
3<br />
Ví dụ 10: Cho các số thực dương abc , , sao cho abc 1. Chứng minh rằng:<br />
1 1 1<br />
1<br />
2 2 2<br />
1 a b 1 b c 1 c a<br />
Giải:<br />
Ta đặt<br />
3 3 3<br />
a x b y c z xyz<br />
, , , 1. Bất đẳng thức cần chứng minh trở<br />
1 1 1<br />
1.<br />
1 x y 1 y z 1 z x<br />
thành:<br />
3 6 3 6 3 6<br />
Ta có:<br />
1 <br />
1<br />
z x z x<br />
1<br />
y y z x yz z x<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
2<br />
x y 3 6 4 <br />
1 x y z x x y z x y z <br />
<br />
2<br />
y<br />
<br />
<br />
3 6<br />
1 1<br />
4 4<br />
2 <br />
2 4 2 2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta cần chứng minh:<br />
2<br />
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
z x yz z x x y z x y y z z x xyz( x y z)<br />
.<br />
Điều này là hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức<br />
Ví dụ 11: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh rằng:<br />
1 1 1 1<br />
<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b abc b c abc c a abc abc<br />
2 2 2<br />
a b c ab bc ca<br />
Do bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa: abc 1. Bất đẳng thức cần<br />
1 1 1<br />
chứng minh trở thành: 1<br />
3 3 3 3 3 3<br />
a b 1 b c 1 c a 1<br />
.<br />
Ta có:<br />
1 1 1 1 <br />
c<br />
c<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
<br />
a b a b bc ca c c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
2 2<br />
a b 1<br />
a b c<br />
3 3 1 1 2 <br />
a b 1 c a b c a b c<br />
<br />
a<br />
b <br />
Tương tự với 2 số hạng còn lại và cộng ba bất đẳng thức cùng chiều suy ra<br />
đpcm.<br />
Ví dụ 12) Với ba số dương x, y,<br />
z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn<br />
x y z<br />
nhất của biểu thức: Q <br />
.(Trích đề<br />
x x yz y y zx z z xy<br />
tuyển sinh vào lớp 10 chuyên <strong>Toán</strong> TP Hà Nội – 2014)<br />
Lời giải:<br />
Ta có: x yz xx y z yz x yx z<br />
. Chú ý rằng: Theo<br />
bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:<br />
2<br />
<br />
x y x z x. y z. x x y x z x. y z.<br />
x .<br />
Từ đó suy ra:<br />
x x x<br />
<br />
<br />
. Tương tự<br />
x x yz x x y z x y z<br />
<br />
<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
y y z z<br />
ta có: <br />
;<br />
. Cộng 3 bất<br />
y y zx x y z z z xy x y z<br />
đẳng thức cùng chiều ta suy ra Q 1. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
1<br />
x y z <br />
3<br />
Ví dụ 13) Cho các số thực không âm abc , , sao cho a 0, b c 0 và<br />
2 2 2<br />
a b c 1. Chứng minh:<br />
Lời giải:<br />
Ta có:<br />
a b c<br />
b bc c a<br />
3 3 3<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
2<br />
a b c<br />
<br />
1<br />
<br />
4 4 4<br />
a b c<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2 2<br />
ab bc c a b a c a b bc c a b a c a <br />
b bc c a b c <br />
<br />
.<br />
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
a b c<br />
a b c <br />
2<br />
1 1<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
a <br />
b bc c a b c <br />
<br />
2 2<br />
a b c<br />
<br />
a b bc c <br />
<br />
<br />
2 <br />
2 2<br />
<br />
. Bây giờ ta chứng minh :<br />
a a 2 3b 2 3c 2 a 3<br />
2a<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2 3 2 2<br />
2 a<br />
2<br />
3 2a 2 2a 3a<br />
. Theo bất đẳng<br />
a 3<br />
2a<br />
2 2<br />
<br />
3 2 2<br />
thức Cauchy cho 3 số ta có: 2a<br />
3a. Dấu bằng xảy ra khi và<br />
2 2<br />
chỉ khi<br />
2<br />
a b , c 0 . Ta cũng có thể chứng minh:<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 2 2 2 3 2 0 2 2 2 <br />
a a a a a a<br />
<br />
0 . Bất đẳng<br />
2 <br />
thức này luôn đúng.<br />
2 3 1<br />
Ví dụ 14) Cho các số thực xy , sao cho<br />
x y<br />
2 2<br />
2y<br />
1 0. Tìm GTNN,<br />
xy<br />
GTLN của P (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường<br />
3y<br />
1<br />
chuyên – KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015).<br />
Lời giải:<br />
Từ giả thiết ta suy ra y 0 .<br />
2 2 2 1 2 2 1<br />
<br />
x y 2y 1 0 x 1 x 1 1<br />
2<br />
. Đặt<br />
y y y <br />
2 2<br />
được x a<br />
1. Ta có:<br />
x x<br />
2<br />
P 2P x Pa 4P x Pa<br />
1<br />
3<br />
a 2<br />
y<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
Bunhiacopxki ta có: <br />
1 a 1 . Ta<br />
y<br />
. Theo bất đẳng thức<br />
x Pa 1 P x a 1 a . Suy ra<br />
2 2 2 3 3<br />
4P 1 P 3P 1<br />
P . Với<br />
3 3<br />
3 2 3<br />
x ; y P . Vậy GTLN của P là<br />
2 3 3<br />
<br />
3<br />
3<br />
2. Kỹ thuật tách ghép<br />
3 2 3<br />
x ; y P ,<br />
2 3 3<br />
3<br />
3<br />
, GTNN của P là<br />
Để giải quyết những bài toán dạng này người giải cần linh hoạt trong việc<br />
tách các nhóm số hạng sao cho đảm bảo dấu bằng và tạo ra các bất đẳng<br />
thức phụ quen thuộc.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta cần chú ý các bất đẳng thức quen thuộc sau:<br />
1 1 1 1 1 <br />
<br />
a b c 9<br />
<br />
a b c .<br />
1 1 1 1 <br />
<br />
a b 4 a b và<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
bc ca ab a b c<br />
<br />
2a b c 2b c a 2c a b 4<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
1 1 4 1 1 1 <br />
<br />
2a b c 4 ( a b) ( a c) 4 a b a c <br />
bc 1 bc bc 1<br />
<br />
<br />
2a b c 4 a b a c 4<br />
Từ đó suy ra: a b<br />
c<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
2 2 2<br />
( b c) ( c a) ( a b)<br />
3<br />
( ) ( ) ( )<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b c a b c c a b c a a b c a b<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
2 2 2 2<br />
( b c) ( b c)<br />
b c b c<br />
<br />
2 2<br />
b c a( b c) b( b a) c( c a) b( b a) c( c a)<br />
b a c a<br />
.<br />
Từ đó suy ra<br />
2<br />
( b c)<br />
b c <br />
3<br />
2 2<br />
<br />
b c a( b c)<br />
b a c a <br />
Ví dụ 3: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c 3 . Chứng minh<br />
rằng:<br />
1 1 1 1<br />
.<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
4a b c 4b c a 4c a b 2<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
2 2 2 2<br />
9<br />
abc a b c<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
4a b c 2 a ( a b ) ( a c ) 2 a ( a b ) ( a c )<br />
Suy ra<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
9 a b c 9<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
4a b c<br />
<br />
2 a ( a b ) ( a c )<br />
<br />
2<br />
Ví dụ 4: Cho các số thực abc , , sao cho<br />
bc 3<br />
ca ab <br />
2 2 2<br />
a 1 b 1 c 1 4<br />
Giải:<br />
2 2 2<br />
a b c 1.Chứng minh rằng:<br />
Ta có:<br />
b c c a a b<br />
bc ca ab 1 <br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2<br />
a 1 b 1 c 1 4 <br />
a 1 b 1 c 1<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
Mặt khác ta có:<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
b c b c b c<br />
<br />
a a b c a b a c a b a c<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
b c b c <br />
<br />
a 1<br />
a b a c<br />
<br />
Ví dụ 5:<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
3<br />
2 2 2 2 2<br />
Cho các số thực dương abc , , . Chứng minh rằng:<br />
. Từ đó suy ra<br />
. Suy ra điều phải chứng minh.<br />
b c c a a b 1 1 1<br />
.<br />
2 2 2<br />
a bc b ac c ab a b c<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
b c b c b c<br />
b c<br />
<br />
a bc a bc b c c a b b a c c a b b a c<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. Từ đó suy ra :<br />
2 2 2 2 <br />
b c b c b a 1<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a bc ca b ba c ca b ca b <br />
c<br />
<br />
1 1 1 <br />
Chú ý: Nếu ta thay abc<br />
, , , , thì thu được bất đẳng thức mới là:<br />
a b c 2<br />
a b c<br />
2<br />
b c a<br />
2<br />
c a b<br />
2<br />
a bc<br />
2<br />
b ca<br />
2<br />
c ab<br />
( ) ( ) ( )<br />
a b<br />
c<br />
Nếu phân tích:<br />
2<br />
a b c bc b c<br />
b c<br />
2 2<br />
a bc a bc<br />
( ) ( )<br />
thì thu được bất đẳng thức mới:<br />
bc( b c) ca( c a) ab( a b)<br />
a b<br />
c. Đây là các bất đẳng thức đẹp<br />
2 2 2<br />
a bc b ca c ab<br />
và khó.<br />
Ví dụ 6: Cho các số thực dương abc , , . Chứng minh rằng:<br />
a b c<br />
a 2bc b 2ac c 2ab<br />
2 2 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
Giải: Ta có:<br />
abc 2<br />
a b c<br />
a 2bc b 2ac c 2ab a 2bc b 2ac c 2ab<br />
2 2 2<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 1 1 <br />
Thay abc<br />
, , , , ta thu được kết quả:<br />
a b c bc ca ab<br />
1<br />
2 2 2<br />
bc 2a ca 2b ab 2c<br />
Mặt khác ta có:<br />
thành:<br />
bc<br />
1<br />
2a<br />
2 2<br />
bc 2a 2a bc<br />
2<br />
nên bất đẳng thức trên có thể viết lại<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b c<br />
2a bc 2b ac 2c ab<br />
2 2 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
được:<br />
. Thay abc<br />
1 1 1 <br />
, , , , <br />
a b c ta lại thu<br />
bc ca ab<br />
a 2bc b 2ac c 2ab<br />
1<br />
2 2 2<br />
Những bất đẳng thức này có ứng dụng rất quan trọng.<br />
Ví dụ 7: Cho các số thực dương abc , , . Chứng minh rằng:<br />
a 2 2 2<br />
1<br />
b c <br />
(2 a b)(2 a c) (2 b c)(2 b a) (2 c a)(2 c b) 3<br />
Giải:<br />
Ta có<br />
2a<br />
a 2<br />
a 2 a 2 1 1 4a<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
(2 a b)(2 a c) 2 a( a b c) 2a bc 9 2 a( a b c) 2a bc 9 <br />
2 a(<br />
a b <br />
Từ đó suy ra:<br />
2 2 2 2<br />
a 1 4a a 1 2a a <br />
<br />
2 <br />
2<br />
(2 a b)(2 a c) 9 2 a( a b c) 2a bc 9<br />
<br />
a b c 2a bc<br />
<br />
<br />
. Áp dụng kết quả của VD 6 ta suy ra điều phải chứng minh.<br />
Ví dụ 8: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 3. Chứng<br />
minh rằng:<br />
1 1 1 3<br />
<br />
2 2 2<br />
a 1 b 1 c 1 2<br />
Giải:<br />
2<br />
1 a<br />
Ta có: 1<br />
nên bất đẳng thức tương đương với<br />
2 2<br />
a 1 a 1<br />
a 2 2 2<br />
3<br />
b c .<br />
2 2 2<br />
a 1 b 1 c 1 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2<br />
a b c 1<br />
. Ta có:<br />
2 2 2<br />
3a 3 3b 3 3c<br />
3 2<br />
a<br />
a 2<br />
4a 4a a a<br />
<br />
3 3 3 ( ) 2 ( ) 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
a a ab bc ca a a b c a bc a a b c a bc<br />
a<br />
<br />
( ) 2<br />
a<br />
2<br />
a b c a bc<br />
2<br />
2 2<br />
a 1 a a 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3a 3 4 a b c 2a bc 2<br />
Tương tự với 2 số hạng còn lại ta có:<br />
Ở đây ta đã sử dụng kết quả:<br />
a<br />
<br />
2a<br />
bc<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Ví dụ 9: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
a 2 b 2 c 2<br />
1<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
5 a ( b c) 5 b ( c a) 5 c ( a b) 3<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
9a<br />
9a<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
5 a ( b c) a b c 2(2 a bc) a b c 2(2 a bc)<br />
a 4a a 2a<br />
<br />
2(2 ) 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b c a b c <br />
2 2<br />
a bc a bc<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
2a<br />
<br />
<br />
2<br />
Từ đó suy ra:<br />
2 2 2<br />
a 1 a 2a<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
5 a ( b c) 9 a b c 2a bc 3<br />
Ví dụ 10: Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn: ab c 1. Chứng<br />
minh:<br />
Giải:<br />
ab 1<br />
bc ca <br />
3ab 2b c 3bc 2c a 3ca 2a b 4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
2<br />
<br />
3ab 2b c 3ab 2 b c( a b c) ab bc ca c 2ab 2b<br />
Từ đó ta có:<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
112 1 1 1<br />
<br />
ab bc ca c ab b<br />
2<br />
2 2 ab bc ca c 2ab 2b<br />
Như vậy:<br />
ab 1 ab ab ab 1 ab ab a <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3ab 2b c 16 ab bc ca c 2ab 2b 16 ab bc ca c 2ab<br />
2<br />
ab 1 ab ab a 1<br />
Từ đó suy ra: <br />
2<br />
3ab 2b c 16 <br />
<br />
ab bc ca c 2ab<br />
2 <br />
.<br />
4<br />
3. Kỹ thuật thêm bớt.<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực dương abc , , sao cho<br />
minh rằng:<br />
1 1 1<br />
3<br />
2 a 2 b 2 c<br />
Phân tích: Nếu ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
a b c a b c<br />
thêm bớt như sau:<br />
2 2 2<br />
a b c 3. Chứng<br />
thì phần sau sẽ bị ngược dấu. Để khắc phục ta<br />
1 12m<br />
ma<br />
Xét m<br />
<br />
ta chọn m sao cho 1 2m<br />
ma 0 và<br />
2a<br />
2a<br />
12m ma chỉ còn đơn giản một số hạng. Điều này làm ta nghỉ đến<br />
Từ đó ta có cách chứng minh như sau:<br />
1 1 1 1 1 1 3 a b c<br />
3<br />
2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 2 a 2 b 2 c<br />
1<br />
m .<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b c<br />
<br />
2a a 2b b 2c c<br />
2 2 2<br />
3<br />
2 2 2<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
A B C A B C<br />
Ta cần chứng minh:<br />
.Áp dụng bất đẳng thức:<br />
abc<br />
ta có: VT <br />
2( a b c)<br />
a b c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
a b c a b c<br />
3 3<br />
2 2 2<br />
2( a b c)<br />
a b c 2( a b c) 3<br />
a b c 2 6( a b c) 9 0 a b c 2<br />
3 0<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 3. Chứng<br />
1 1 1<br />
minh rằng: 1<br />
2 2 2<br />
a 2 b 2 c 2<br />
<br />
Phân tích:<br />
<br />
<br />
<br />
Xét:<br />
1 12m<br />
ma<br />
m<br />
<br />
2 2<br />
a 2 a 2<br />
2<br />
ta nghỉ đến chọn<br />
1<br />
m . Khi đó ta có:<br />
2<br />
2 2 2<br />
1 1 1 1 1 1 1 a b c<br />
1.<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a 2 2 b 2 2 c 2 2 2 a 2 b 2 c 2<br />
Áp dụng bất đẳng thức:<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
A B C A B C<br />
abc 2<br />
ta có:<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
<br />
. Ta cần chứng minh:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a 2 b 2 c 2 a b c 6<br />
a b c a b c<br />
2 2 2 2 2 2<br />
6 2<br />
2 2<br />
1 1. Nhưng đây là một<br />
a b c a b c ab bc ca<br />
đẳng thức. Suy ra điều phải chứng minh.<br />
Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác như sau:<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
b c b c<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
2 2<br />
a 2 a b c<br />
2<br />
b<br />
c <br />
a 2 1<br />
<br />
<br />
2 <br />
cùng chiều ta suy ra điều phải chứng minh:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
. Từ đó cộng các bất đẳng thức<br />
Chú ý: Với các giả thiết abc , , là độ dài ba cạnh một tam giác ta cần chú ý<br />
biến đổi để sử dụng điều kiện: a b c 0, b c a 0, c a b 0<br />
Ví dụ 3: Cho abc , , là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:<br />
a b c<br />
1<br />
3a b c 3b c a 3c a b<br />
Phân tích:<br />
a a m(3 a b c)<br />
1<br />
Ta viết lại: m<br />
<br />
. Ta chọn m khi đó:<br />
3a b c 3a b c<br />
4<br />
a 1 a b c<br />
<br />
. Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh<br />
3a b c 4 4(3 a b c)<br />
được viết lại thành:<br />
a 1 b 1 c 1 1<br />
<br />
3a b c 4 3b c a 4 3c a b 4 4<br />
a b c b c a c a b<br />
1.<br />
3a b c 3b c a 3c a b<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a b c b c a a c b a b c<br />
VT <br />
a b c 3a b c a b c 2( ab bc ca)<br />
<br />
2 2 2<br />
1<br />
Đối với các bất đẳng thức dạng f ( a) f ( b) f ( c)<br />
M . Ta thường thêm<br />
bớt vào một số m để tử số có dạng bình phương.<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 4: Cho các số thực dương abc , , sao cho abc 1.Chứng minh rằng:<br />
1 1 1<br />
3<br />
1 1 1<br />
.<br />
2 2 2<br />
a a b b c c<br />
Phân tích:<br />
Ta lấy<br />
được thành:<br />
2<br />
1 1 m ma ma<br />
m<br />
<br />
2 2<br />
a a 1 a a 1<br />
( xa )<br />
2<br />
y thì<br />
để<br />
2<br />
1 m ma ma 0<br />
2<br />
1 m ma ma phân tích<br />
có nghiệm kép. Hay<br />
2 4<br />
<br />
m 4 m(1 m) 0 m 4 3m 0 m . Ta viết lại bất đẳng<br />
3<br />
1 4 1 4 1 4<br />
thức thành: 1<br />
2 2 2<br />
a a 1 3 b b 1 3 c c 1 3<br />
hay<br />
2 2 2<br />
(2a 1) (2b 1) (2c<br />
1)<br />
3. Áp dụng bất đẳng thức:<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
a a b b c c<br />
2<br />
x 2 y 2 z<br />
2<br />
<br />
x y z<br />
A B C A B C<br />
VT <br />
<br />
2( a b c) 3<br />
<br />
<br />
ta thu được:<br />
2 2 2<br />
a b c ( a b c) 3<br />
2 2 2 2<br />
<br />
2<br />
. Ta cần chứng minh:<br />
2( a b c) 3 3 a b c ( a b c) 3<br />
<br />
hay<br />
a b c 2<br />
6( ab bc ca) 9a b c<br />
Ta có:<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
( ab bc ca) a b b c c a 2 abc( a b c)<br />
2 2 2<br />
a bc b ca c ab 2 abc( a b c) 3 abc( a b c) 3( a b c)<br />
. Ta quy<br />
bài toán về chứng minh: a b c 2<br />
6 3( a b c) 9a b c<br />
. Đặt<br />
t 3( a b c) t 3 . Ta có bất đằng thức trở thành:<br />
t<br />
<br />
9<br />
Điều này là hiển nhiên. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.<br />
4<br />
2 4 2 3 2<br />
6t 3t t 27t 54t 0 t t 27t 54 t( t 3) ( t 6) 0 .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Cho các số thực dương abc , , sao cho<br />
a 1<br />
b c .<br />
2 3 2 3 2 3 2<br />
2 2 2<br />
a b b c c a<br />
Một số cách thêm bớt không mẫu mực:<br />
2 2 2<br />
a b c 3. Chứng minh rằng:<br />
Ví dụ 5: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c<br />
1.<br />
2 2 2<br />
1<br />
Chứng minh:<br />
a b c <br />
3a 1 3b 1 3c 1 18( ab bc ca)<br />
Giải:<br />
a 2 2<br />
1 3 a 1 a<br />
Ta có: .<br />
<br />
a<br />
. Vì vậy ta quy bài toán về chứng<br />
3a 1 3 3a 1 3 3a<br />
1 a b c 1<br />
minh: 1<br />
3a 1 3b 1 3c 1 6( ab bc ca)<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
2<br />
a<br />
abc<br />
1<br />
<br />
3a 1 a 3a 1 b 3b 1 c 3c 1 3 a b c 1<br />
2 2 2<br />
<br />
1 1 4<br />
Suy ra VT 1<br />
3 a 2 b 2 c 2 1 6( ab bc ca)<br />
3 a b c 1<br />
<br />
2<br />
Ví dụ 6: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c1.<br />
Chứng minh:<br />
b c a 1 a 1 b 1<br />
c<br />
2<br />
<br />
a b c 1 a 1 b 1<br />
c<br />
Giải:<br />
Do 1 a 2 a 1 nên ta viết lại bất đẳng thức thành:<br />
1a b c<br />
b c a a b c 3<br />
. Lại có:<br />
a <br />
a <br />
ab<br />
a b c b c c a a b 2 c b c c( b c)<br />
nên ta sẽ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ab 3<br />
chứng minh: . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có:<br />
c( b c) 2<br />
2 2<br />
ab a b ab bc ca<br />
<br />
c( b c) abc( b c) 2abc a b c<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
Ta cần chứng minh: <br />
2<br />
ab bc ca<br />
3<br />
<br />
2abc a b c<br />
2<br />
<br />
<br />
nhưng đây là bài toán quen thuộc.<br />
Ví dụ 7: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 1.<br />
Chứng<br />
minh:<br />
Giải:<br />
ab bc ca<br />
a b c <br />
b c c a a b<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
ab<br />
a b<br />
Nhân 2 vế với ab c và chú ý: a b c<br />
ab . Ta viết bất<br />
b c b c<br />
đẳng thức cần chứng minh thành:<br />
2 2 2<br />
2 a b b c c a 3 3<br />
a b c 1 a b c<br />
Ta có:<br />
b c c a a b<br />
<br />
2<br />
2 2 2<br />
a b b c c a ab bc ca<br />
1<br />
<br />
2<br />
b c c a a b b( b c) c( c a) a( a b) a b c 1<br />
.<br />
Cuối cùng ta chứng minh: a 2 1 3 3<br />
b c 1 <br />
2<br />
<br />
a b c 1 2<br />
a b <br />
<br />
c<br />
3 3 3 <br />
2 4<br />
3 nên ta quy về:<br />
<br />
a <br />
2 1 3<br />
b c 1 <br />
<br />
2<br />
3<br />
2<br />
a b c 1 4<br />
a b c . Dành cho học sinh.<br />
<br />
<br />
Nhưng a b c a b c 2<br />
<br />
<br />
4). PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.<br />
<br />
Tùy theo bài toán ta có thể chọn một trong các cách đặt ẩn phụ sau:<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 <br />
, , , , <br />
a b c<br />
1). abc<br />
ka kb kc <br />
, , , , <br />
b c a <br />
2). abc<br />
kb kc ka <br />
, , , , <br />
a b c <br />
3). abc<br />
4). abc<br />
2 2 2<br />
ka kb kc <br />
, , , , <br />
bc ac ab <br />
kbc kca kab <br />
<br />
<br />
a b c <br />
5). abc<br />
, , , ,<br />
2 2 2<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực dương x, y,<br />
z sao cho xyz 1. Chứng minh rằng:<br />
1 1 1<br />
1<br />
1 1 1<br />
.<br />
2 2 2<br />
x x y y z z<br />
Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:<br />
2<br />
X 2 Y 2 Z<br />
2<br />
<br />
X Y Z<br />
A B C A B C<br />
thì bất đẳng thức tiếp theo bị ngược dấu.<br />
Để không bị ngược dấu ta thay x, y, z , ,<br />
2 2 2<br />
cần chứng minh trở thành:<br />
a b c<br />
a a bc b c b b ac a c c c ab a b<br />
4 4 4<br />
1<br />
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2<br />
bc ca ab <br />
thì bất đẳng thức<br />
a b c <br />
. (*)<br />
Bây giờ áp dụng bất đẳng thức:<br />
2<br />
X 2 Y 2 Z<br />
2<br />
<br />
X Y Z<br />
A B C A B C<br />
ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a 2 b 2 c<br />
2<br />
2<br />
VT <br />
a a bc b c b b ac a c c c ab a b<br />
minh:<br />
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2<br />
. Ta cần chứng<br />
a a bc b c b b ac a c c c ab a b<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b c a c a b abc( a b c)<br />
. Nhưng đây là kết quả quen thuộc.<br />
Ví dụ 2: Cho các số thực dương x, y,<br />
z sao cho xyz 1. Chứng minh rằng:<br />
1 1 1 1<br />
.<br />
( x 1)( x 2) ( y 1)( y 2) ( z 1)( z 2) 2<br />
Phân tích:<br />
bc ac ab<br />
x ; y ; z bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:<br />
a b c<br />
Đặt<br />
2 2 2<br />
<br />
a<br />
4<br />
2 2<br />
(2 a bc)( a bc) 2<br />
1<br />
. Áp dụng bất đẳng thức:<br />
2<br />
X 2 Y 2 Z<br />
2<br />
<br />
X Y Z<br />
A B C A B C<br />
ta có:<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
2<br />
<br />
VT . Ta cần chứng minh:<br />
<br />
2 2<br />
(2 a bc)( a bc)<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
2 a b c (2 a bc)( a bc)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b b c c a abc( a b c)<br />
. Đây là kết quả quen thuộc.<br />
Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương x, y,<br />
z . Chứng minh rằng:<br />
2x 2y 2z<br />
3<br />
x y y z z x<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b c<br />
Đặt x ; y ; z . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:<br />
b c a<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
a bc b ac c ab<br />
Bunhiacopxki ta có:<br />
3<br />
2<br />
. Áp dụng bất đẳng thức<br />
2<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
c a a a b a c<br />
2<br />
a bc<br />
2<br />
b ac<br />
2<br />
c ab ( a b)( a c)<br />
2<br />
a bc<br />
( )( ) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8 a b c ab bc ca 9 a b b c c a . Mặt<br />
Mặt khác ta có: <br />
a 2ab bc ca<br />
9<br />
khác ta có:<br />
<br />
. Ta quy bài<br />
( a b)( a c) ( a b)( b c)( c a) 4( a b c)<br />
a( a b)( a c)<br />
2<br />
a bc<br />
toán về chứng minh: 2a b<br />
c<br />
a a b a c a b c<br />
2<br />
( )( ) ( )<br />
a<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a bc a bc<br />
2<br />
a ( b c)<br />
a b<br />
c<br />
2<br />
a bc<br />
KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HÓA.<br />
. Mặt khác ta có:<br />
. Ta quy bài toán về chứng minh:<br />
Ví dụ 1: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
2a 2b 2c<br />
3<br />
a b b c c a<br />
Giải:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2a<br />
2a a c 2a a c<br />
<br />
<br />
a b a b ( a c) a b ( a c)<br />
<br />
<br />
<br />
a b c <br />
2( a b c) 2.<br />
<br />
<br />
a b ( a c) b c ( b a) c a ( c b)<br />
<br />
8 a b c ab bc ca<br />
<br />
<br />
<br />
a bb cc a<br />
Bây giờ ta cần chứng minh:<br />
8<br />
a b cab bc ca<br />
a bb cc a<br />
Nhưng đây là kết quả quen thuộc:<br />
<br />
2<br />
a b cab bc ca a bb cc a<br />
9 8 9 <br />
Ví dụ 2: Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh:<br />
a 3<br />
b c <br />
a b 2c b c 2a c a 2b<br />
2<br />
Giải:<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
a a 2b c a a 2b c <br />
<br />
a b 2c a b 2c a 2b c a b 2c a 2b c <br />
<br />
<br />
2<br />
4 a 3 ab<br />
a<br />
<br />
<br />
1 <br />
aa 2b c <br />
a b 2ca 2b c<br />
a b 2c a 2 b c ( b 2 a c)<br />
2<br />
2<br />
a ab<br />
a<br />
<br />
4 3 9<br />
Ta cần chứng minh:<br />
. Sau khi khai<br />
a b 2c a 2 b c ( b 2 a c) 4<br />
3 3 3<br />
triển và thu gọn thì được: 2 a b c ab( a b) bc( b c) ca( c a)<br />
.<br />
Đây là bài toán quen thuộc.<br />
Ví dụ 3: Cho các số thực dương abc , , sao cho ab c<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Chứng minh:<br />
Giải:<br />
ab bc ca<br />
<br />
ab bc bc ca ca ab<br />
2<br />
2<br />
ab<br />
Ta có: <br />
ab bc<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
a b a b a b<br />
<br />
a c a c a b<br />
suy ra<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
a b a b ab a a b abc a<br />
a b<br />
<br />
<br />
a c a b <br />
a ca b<br />
a b b c ( c a)<br />
<br />
<br />
Ta cần chứng minh:<br />
2 2<br />
2 a<br />
<br />
a b abc a<br />
1<br />
2 2<br />
4 a<br />
a b abc a<br />
a bb c( c a) 2 <br />
<br />
a b ca bb c( c a)<br />
. Khai triển và thu gọn ta quy về:<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
2 <br />
ab a b bc b c ca c a a b b c c a . Nhưng bất<br />
đẳng thức này là hiển nhiên đúng theo BĐT cô si:<br />
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.<br />
Cho các số thực dương abc. , , Chứng minh rằng:<br />
a b c a b c<br />
<br />
b bc c c ca a c ca a ab bc ca<br />
a b c a b c<br />
<br />
a ab b b bc c c ca a a b c<br />
1)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2)<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a 3 b 3 c 3 4 a b c 1<br />
2 2 2<br />
3) 2<br />
4)<br />
5)<br />
3 3 3<br />
a b b c c a abc a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
1 ab 1 bc 1 ca 1<br />
abc<br />
( )<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
1<br />
với ab c<br />
3<br />
2 2 2<br />
a 2b b 2c c 2a<br />
ab bc ca 1<br />
a b<br />
c<br />
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b<br />
6<br />
6) <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2 2<br />
ab bc ca a b c<br />
7)<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a 2b c b 2c a<br />
<br />
2 2 2<br />
c 2a b<br />
<br />
4<br />
8)<br />
1 1 1<br />
1<br />
với ab c 3 .<br />
2 2 2<br />
2ab 1 2bc 1 2ca<br />
1<br />
9)<br />
3a b 3b c 3c a<br />
4<br />
2a c 2b a 2c b<br />
10)<br />
a b c ab bc ca<br />
5<br />
10) <br />
2 2 2<br />
b c c a a b a b c 2<br />
cạnh tam giác<br />
ab bc ca<br />
<br />
a b b c c a<br />
11)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
có 2 số nào đồng thời bằng 0 và<br />
. Với abc , , là độ dài 3 cạnh tam giác<br />
1<br />
2<br />
. Với abc , , là độ dài 3<br />
biết abc , , 0 sao cho không<br />
2 2 2<br />
a b c ab bc ca<br />
2( ) .<br />
a b c<br />
12) 1<br />
biết abc , , 0 sao cho<br />
4a 3bc 4b 3ca 4c 3ab<br />
không có 2 số nào đồng thời bằng 0 và ab c 2 .<br />
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP<br />
a b c a b c<br />
<br />
b bc c c ca a c ca a ab bc ca<br />
1)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Ta có:<br />
<br />
2<br />
a<br />
a<br />
<br />
b bc c ab abc ac<br />
2 2 2 2<br />
a<br />
2<br />
<br />
abc 2<br />
. Suy ra<br />
2 2 2 2 2 2<br />
ab abc ac ab ac bc ba 3abc<br />
Ta cần chứng minh:<br />
2<br />
abc abc<br />
<br />
2 2 2 2<br />
ab ac bc ba 3abc ab bc ca<br />
<br />
2 2 2 2<br />
ab bc ca a b c ab ac bc ba 3abc<br />
(Nhưng đây là<br />
hằng đẳng thức)<br />
2) Ta có:<br />
2 2 2<br />
ab bc ca a b c<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a b c a b c<br />
Suy ra <br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
b bc c c ca a c ca a a b c<br />
2 2<br />
2 bc1<br />
<br />
2<br />
bc1<br />
<br />
1 3 <br />
3 1<br />
<br />
3 3 <br />
3) a b c a a<br />
<br />
<br />
4 1 4 3 1<br />
<br />
<br />
Từ đó suy ra a b c a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
bc<br />
2<br />
2 2<br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
. Ta chứng minh:<br />
<br />
2<br />
2<br />
bc1<br />
2 2 2 2<br />
4 a 3 1 a 3 b 3 c 3 4 3 b c 1 3 b 3<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bất đẳng thức này tương đương với:<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
4 3 b c 1 3 b 3 c 3 4 4 b c 2bc 2b 2c<br />
9b 9c 3b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
5 b c 3b c 8( b c) 8bc<br />
13 0. Ta viết lại bất đẳng thức trên<br />
5 b c 2bc 8( b c) 8 3 bc 1 0 .<br />
2 2<br />
thành: 2<br />
Ta có<br />
2 2<br />
2 , 2 2 2<br />
2 b c b c 4b c 2b c<br />
2<br />
. Nên<br />
2 2<br />
b c bc<br />
2<br />
2 2 2<br />
5 b c 2bc 8( b c) 8 3 bc 1 2( b c) 8( b c) 8 2bc 2bc 3( bc 1<br />
2 2<br />
b c bc<br />
2 2 3( 1) 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c<br />
1<br />
4)<br />
3 3 3<br />
a b b c c a abc a b c<br />
<br />
2 2 2<br />
1 ab 1 bc 1 ca 1<br />
abc<br />
( )<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
3 4 2 2<br />
a b a b c<br />
<br />
1ab abc a b c<br />
2 2 2 3 2<br />
Suy ra<br />
a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2<br />
3 4 2 2<br />
a b a b c<br />
<br />
1 ab abc a b c abc a b c bca b c a cab c a b<br />
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
a b c a b c<br />
<br />
abc a b c bca b c a cab c a b<br />
2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2<br />
Ta chứng minh:<br />
2<br />
2 2 2<br />
a b c a b c abc a b c<br />
<br />
2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2<br />
abc a b c bca b c a cab c a b 1<br />
abc<br />
( )<br />
2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2<br />
1 abc abc( a b c)<br />
abc a b c bca b c a cab c a b<br />
. Đây<br />
là đẳng thức.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c.<br />
5)<br />
2 4<br />
a a<br />
<br />
a 2b a 2a b<br />
2 2 2 2<br />
.<br />
Suy ra<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
2<br />
2 4<br />
a a<br />
<br />
a 2b a 2a b a 2<br />
a b<br />
a 2 b 2 c<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3 2 2<br />
a 2<br />
a b<br />
2 3 2 2 3 2 2<br />
. Ta chứng minh:<br />
<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
Hay<br />
a 2<br />
a b<br />
2<br />
1<br />
3 2 2<br />
Ta cần chứng minh:<br />
minh:<br />
a b c a b c<br />
4 4 4 3 3 3<br />
4 4 4 3 3 3<br />
a b c a b c với a b c 3<br />
. Ta chứng<br />
<br />
3 a b c a b c a b c 2 a b c ab a b bc b c<br />
4 4 4 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2<br />
Để ý rằng:<br />
2<br />
a 4 b 4 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 aba 2 b 2 a 4 b 4 aba 2 b<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
. Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra điều phải chứng minh:<br />
6) Ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1 1 1 1 1 1 ab 1 ab<br />
<br />
a 3b 2 c ( a c) ( b c) 2b 9 a b b c 2b a 3b 2c 9 a b<br />
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được:<br />
ab bc ca 1 <br />
1 1<br />
<br />
ab ab a bc bc b <br />
c<br />
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 9 a c b c 2 b a c a 2 c <br />
ab bc ca 1<br />
a b<br />
c<br />
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b<br />
6<br />
7) Ta có<br />
2 2 2<br />
ab bc ca a b c<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a 2b c b 2c a c 2a b 4<br />
a<br />
b 2<br />
ab 2 b b a 2 b<br />
2 <br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a 2b c 4 a b b c 4<br />
<br />
a b b c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Suy ra<br />
VT <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
b a b c b c a a c a b c<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 <br />
4 a b b c 4 b c c a 4 a b c a 4<br />
1 1 1<br />
1<br />
2ab 1 2bc 1 2ca<br />
1<br />
8)<br />
2 2 2<br />
Ta có:<br />
2<br />
1 c<br />
<br />
2ab 1 2ab c c<br />
2 2 2 2<br />
abc 2<br />
suy ra<br />
VT <br />
a b c 2a b c 2a bc 2ab c<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
. Ta chứng minh:<br />
abc 2 2 2 2 2 2 2<br />
a b c 2a b c 2a bc 2ab c<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1<br />
ab bc ca a b c a bc ab c<br />
ab bc ca abc( a b c) abc 1. Theo bất đẳng thức Cô si ta có:<br />
3<br />
3 a b c 3 abc 3 abc 1<br />
là điều phải chứng minh.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
9) Ta xét: 3 a b a (3 2 m ) b mc<br />
m<br />
<br />
<br />
2a c 2a c<br />
Chọn m 1 để xuất hiện: 3 a b a b c<br />
1<br />
<br />
2a c 2a c<br />
Khi đó ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:<br />
a b c b c a c a b<br />
1<br />
2a c 2b a 2c b<br />
Suy ra VT<br />
a b c b c a c a b a b c<br />
( a b c)(2 a c)<br />
abc<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
1<br />
. Đpcm<br />
10) Ta viết lại bất đẳng thức thành:<br />
a b c 1 ab bc ca<br />
1 1 1 <br />
2 2 2<br />
b c c a a b 2 a b c<br />
b c a a c b a b c abc<br />
<br />
b c c a a b 2 a b c<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 2<br />
<br />
Ta có VT<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a b c a b c<br />
<br />
<br />
b c a b c 2 a b c<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
11) Ta có:<br />
2 2<br />
ab ab a b 2ab<br />
<br />
<br />
a b a b a b<br />
2 2 2 2 2 2<br />
.<br />
2ab 2bc 2ca<br />
Ta quy bài toán về chứng minh: 1. Hay<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b b c c a<br />
a b b c c a<br />
2 2 2<br />
4<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b b c c a<br />
. Thật vậy ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
4 a b c 4 a b c<br />
VT 4 . Dấu bằng xảy<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca<br />
ra khi và chỉ khi a b, c 0 và các hoán vị.<br />
12) Ta có: VT 2<br />
a b c<br />
<br />
a b c <br />
<br />
4a 3bc 4b 3ca 4c 3ab<br />
<br />
a b c <br />
2<br />
. Ta chứng minh:<br />
4 a 3 bc 4 b 3 ca 4 c 3 ab a 1<br />
b c <br />
4a 3bc 4b 3ca 4c 3ab<br />
2<br />
1 a 1 b 1 c 1<br />
<br />
4 4a 3bc 4 4b 3ca 4 4c 3ab<br />
4<br />
bc ca ab 1<br />
.<br />
4a 3bc 4b 3ca 4c 3ab<br />
3<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
ab bc ca ab bc ca<br />
VT <br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
3 a b b c c a 4abc 3 a b b c c a 2abc a b c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT<br />
ĐỀ SỐ 1<br />
Câu 1) Cho biểu thức<br />
<br />
<br />
x0, x 4 .<br />
2 3 5 x 7 2 x 3<br />
A <br />
<br />
:<br />
x 2 2 x 1 2x 3 x 2 <br />
5x 10<br />
x<br />
1) Rút gọn biểu thức A .<br />
2) Tính giá trị của A khi x 3<br />
2 2<br />
3) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.<br />
2 2<br />
x m m m<br />
Câu 2) Cho phương trình <br />
1 2 0 , với m là <strong>tham</strong> số.<br />
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với<br />
mọi m .<br />
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1,<br />
x<br />
2. Tìm m để biểu<br />
thức<br />
3 3<br />
x <br />
1<br />
x <br />
2<br />
A <br />
x x<br />
2 1 <br />
đạt giá trị lớn nhất.<br />
Câu 3) Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận<br />
tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc<br />
dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.<br />
Câu 4) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn O<br />
ta kẻ các tiếp tuyến KA,<br />
KB<br />
cát tuyến KCD đến O sao cho tia KC nằm giữa hai tia KA,<br />
KO . Gọi<br />
H là trung điểm CD .<br />
a) Chứng minh: 5 điểm A, K, B, O,<br />
H cùng nằm trên một đường tròn.<br />
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp.<br />
c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh<br />
CI<br />
OB .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 5) Cho các số thực x, y,<br />
z thỏa mãn điều kiện:<br />
minh rằng: x y z xyz 2 .<br />
2 2 2<br />
x y z 2. Chứng<br />
Câu 1) Cho biểu thức:<br />
ĐỀ SỐ 2<br />
3 3<br />
2a<br />
b a a 2 2b<br />
<br />
P <br />
.<br />
a<br />
.<br />
3 3<br />
a 2 2b<br />
a 2ab 2b 2b 2ab<br />
<br />
<br />
a) Tìm điều kiện của a và b để biểu thức P xác định. Rút gọn biểu<br />
thức P .<br />
b) Biết<br />
3<br />
a 1 và<br />
2<br />
1 3<br />
b . Tính giá trị của P .<br />
2 4<br />
2 2<br />
Câu 2) Cho phương trình 2x 2mx m 2 0 , với m là <strong>tham</strong> số. Gọi<br />
x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của phương trình.<br />
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,<br />
x<br />
2<br />
không phụ thuộc vào m .<br />
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức<br />
2xx<br />
1 2<br />
3<br />
A <br />
.<br />
x<br />
2 x<br />
2<br />
2 x x 1<br />
<br />
1 2 1 2<br />
<br />
Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định<br />
chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã<br />
tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và<br />
mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu<br />
chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.<br />
x my m 1<br />
Câu 4) Cho hệ phương trình: <br />
Tìm m để hệ trên có<br />
mx y 3m<br />
1<br />
nghiệm duy nhất sao cho xy . đạt giá trị nhỏ nhất.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 5) Cho nửa đường tròn OR ; đường kính BC . A là một điểm di<br />
động trên nửa đường tròn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H . Đường tròn<br />
đường kính AH cắt AB,<br />
AC và nửa đường tròn O lần lượt tại D, E,<br />
M .<br />
AM cắt BC tại N .<br />
a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AME ACN .<br />
b) Tính<br />
3<br />
DE<br />
BD.<br />
CE<br />
theo R và chứng minh rằng D, E,<br />
N thẳng hàng.<br />
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn nhất.<br />
Câu 6) Cho xy , 0 và<br />
2 3 3 4<br />
x y x y . Chứng minh rằng:<br />
x<br />
y 2 .<br />
3 3<br />
ĐỀ SỐ 3<br />
Câu 1) Cho ba 0 . Xét biểu thức:<br />
3 3<br />
a b a b<br />
P .<br />
ab a b b a<br />
a) Rút gọn P .<br />
a 1 b 1 2 ab 1, hãy tính giá trị của biểu thức P .<br />
b) Biết <br />
Câu 2) Cho Parabol<br />
( P) : y x<br />
2<br />
và đường thẳng ( d) : y mx 4<br />
.<br />
a) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân<br />
biệt AB , .Gọi x1,<br />
x<br />
2<br />
là hoành độ của các điểm AB , . Tìm giá trị<br />
2 x x<br />
7<br />
lớn nhất của Q <br />
.<br />
x<br />
<br />
<br />
1 2<br />
2 2<br />
1<br />
x2<br />
b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 .<br />
Câu 3) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh AB ,<br />
cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5 h. Hỏi sau khi gặp<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
nhau bao lâu thì ô tô đến B và xe máy đến A biết rằng vận tốc của xe máy<br />
bằng 2 3<br />
vận tốc của ô tô.<br />
Câu 4) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB AC . Gọi H là hình chiếu<br />
của A trên BC và M là một điểm đối xứng của H qua AB . Tia MC cắt<br />
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại điểm P P<br />
M <br />
đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại điểm N N P<br />
.<br />
. Tia HP cắt<br />
a) Chứng minh rằng HN MC .<br />
b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn ngoại tiếp tam<br />
giác APC . Chứng minh rằng EN song song với BC .<br />
c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn ngoại tiếp tam<br />
giác APC . Chứng minh rằng H là trung điểm BK .<br />
Câu 5) Cho các số abc , , không âm. Chứng minh rằng<br />
3 3 3 2 2 2<br />
a b c a bc b ca c ab .<br />
ĐỀ SỐ 4<br />
Câu 1) Cho biểu thức<br />
3<br />
<br />
6x 4 3x 13 3x<br />
P <br />
3x<br />
3<br />
3 3x<br />
8<br />
3x 2 3x 4 1<br />
3x<br />
<br />
.<br />
a) Rút gọn P .<br />
b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.<br />
Câu 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P có phương trình<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
. Gọi <br />
d là đường thẳng đi qua I 0; 2<br />
và có hệ số góc k .<br />
d . Chứng minh đường thẳng d<br />
luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt AB , khi k thay đổi.<br />
a) Viết phương trình đường thẳng <br />
b) Gọi H,<br />
K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của AB , trên trục<br />
hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 3) Giải hệ phương trình<br />
1 1 9<br />
x y <br />
x y 2<br />
<br />
.<br />
1 5<br />
xy <br />
xy 2<br />
Câu 4) Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn O . Từ A<br />
vẽ hai tiếp tuyến AB,<br />
AC của đường tròn O ( BC , là hai tiếp điểm). Gọi<br />
H là giao điểm của AO và BC . Qua A vẽ cát tuyến ADE của đường tròn<br />
IO ; D và E thuộc đường tròn O sao cho đường thẳng AE cắt đoạn<br />
thẳng HB tại I . Gọi M là trung điểm dây cung DE .<br />
a) Chứng minh<br />
AB<br />
2<br />
AD.<br />
AE .<br />
b) Chứng minh năm điểm A, B, M , O,<br />
C cùng thuộc một đường tròn.<br />
c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp.<br />
d) Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho H là trung điểm DF . Tia<br />
AO cắt đường thẳng EF tại K . Chứng minh IK // DF .<br />
Câu 5) Cho<br />
1<br />
<br />
a b b c c a<br />
abc , , <br />
;1<br />
2<br />
<br />
. Chứng minh rằng: 2 3.<br />
1 c 1 a 1<br />
b<br />
ĐỀ SỐ 5<br />
Câu 1) Cho<br />
x 3 x 2 x 2 x <br />
P <br />
: 1<br />
x 2 3 x x 5 x 6 x 1<br />
<br />
a) Rút gọn P .<br />
b) Tìm x nguyên để P 0.<br />
1<br />
c) Tìm x để Q nhỏ nhất. P<br />
2<br />
Câu 2) Cho parabol P : y x và đường thẳng : 5<br />
d y m x m với<br />
m là <strong>tham</strong> số.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.<br />
b) Gọi A x ; y , B x ; y là các giao điểm của d và <br />
1 1 2 2<br />
nhỏ nhất của biểu thức M x1 x2<br />
.<br />
P . Tìm giá trị<br />
Câu 3) Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe<br />
máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi<br />
gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút<br />
nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt<br />
chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.<br />
Câu 4) Cho dường tròn O và dây cung BC không là đường kính. Gọi A<br />
là điểm chính giữa của cung lớn BC . <strong>Các</strong> tiếp tuyến tại BC , của O cắt<br />
nhau tại S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung<br />
điểm của CH . Tia AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai N .<br />
a) Gọi D là giao điểm của SA với BC . Chứng minh tứ giác CMDN<br />
nội tiếp.<br />
b) Tia SN cắt đường tròn O tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng<br />
CE song song với SA<br />
c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng<br />
SD .<br />
<br />
x y 7 x y xy 8xy 2 x y<br />
Câu 5) Giải hệ phương trình: <br />
<br />
y 2x 3 6 2x<br />
<br />
3 3 2 2<br />
MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN<br />
ĐỀ SỐ 6.<br />
Câu 1) Giải phương trình: x <br />
2 x 6 2x x 3 4 x x 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 2) Cho abc , , là ba số thực dương thỏa mãn<br />
a b c a b c 2 . Chứng minh rằng:<br />
a b c <br />
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1<br />
c<br />
2<br />
<br />
.<br />
Câu 3) Chứng minh:<br />
với mọi số tự nhiên lẻ.<br />
a n<br />
n<br />
3 5 3 5 <br />
2<br />
2 2 <br />
<br />
n<br />
là số chính phương<br />
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có 3 đường cao<br />
AD, BE,<br />
CF đồng quy tại điểm H . Đường thẳng CH cắt ( O ) tại điểm G<br />
khác C . GD cắt ( O ) tại điểm K khác G .<br />
a) Chứng minh OA vuông góc với EF .<br />
b) Chứng minh: AK đi qua trung điểm M của DE .<br />
c) Gọi N là trung điểm của DF , AN cắt ( O ) tại điểm L khác A<br />
.Chứng minh 4 điểm M , L, N,<br />
K cùng thuộc một đường tròn.<br />
Câu 5) Cho abc , , thỏa mãn<br />
2 2 2<br />
a b c 1.<br />
Chứng minh rằng:<br />
a 2 2 2<br />
3<br />
b c .<br />
1 2bc 1 2ca 1<br />
2ab<br />
5<br />
Câu 6) Cho tập hợp M gồm 1009 số nguyên dương đôi một khác nhau và<br />
số lớn nhất trong M bằng 2016 . Chứng minh rằng trong tập M có hai số,<br />
mà số này là bội của số kia.<br />
ĐỀ SỐ 7.<br />
Câu 1) Giải phương trình<br />
4 3 2 2<br />
x x x x x x<br />
4 6 4 2 17 3 .<br />
Câu 2) Tìm ba chữ số tận cùng của<br />
2015<br />
6<br />
A 26 .<br />
Câu 3)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3<br />
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x y xy 8 .<br />
b) Biết<br />
x <br />
3<br />
3 3<br />
<br />
<br />
26 15 3. 2 3<br />
. Tính giá trị của biểu thức<br />
9 80 9 80<br />
3 2<br />
3 1 2016<br />
P x x <br />
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O ) . Tiếp tuyến tại A của ( O )<br />
cắt tiếp tuyến tại BC , của ( O ) lần lượt tại ST , . BT cắt AC tại E ,<br />
CS cắt AB tại F . Gọi M , N, P,<br />
Q lần lượt là trung điểm của<br />
BE, CF, AB,<br />
AC . Đường thẳng BQ,<br />
CP cắt ( O ) tại giao điểm thứ 2 là<br />
KL , .<br />
a) Chứng minh: ABK# EBC<br />
.<br />
b) Chứng minh tứ giác PQKL nội tiếp.<br />
c) Chứng minh: BCM CBN .<br />
Câu 5) Với n là số tự nhiên, n 2 , cho n số nguyên x1, x2,..., x<br />
n<br />
thỏa mãn:<br />
<br />
x x x ... x n 2n 1 x x ... x n<br />
2 2 3 2 3 2<br />
1 2 2 n<br />
1 2<br />
n<br />
Chứng minh rằng:<br />
a) <strong>Các</strong> số x i<br />
1, 2,..., n<br />
i<br />
là số nguyên dương.<br />
b) <strong>Số</strong> x1 x2 ... x n 1 không là số chính phương.<br />
n<br />
ĐỀ SỐ 8<br />
Câu 1) Giải phương trình<br />
x 9 x<br />
2 2<br />
x 1<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Câu 2) Cho các số xy , thỏa mãn:<br />
của<br />
3 3<br />
P x y .<br />
3 2<br />
x y y <br />
<br />
<br />
<br />
3 6 11 0<br />
.Tính giá trị<br />
3 2 3 0<br />
<br />
2 2 2<br />
x y x y<br />
<br />
Câu 3) Tìm tất cả các số tự nhiên n để:<br />
phương.<br />
2012 2015<br />
2 2 2 n là số chính<br />
Câu 4) Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ) với AB<br />
AC . Tiếp tuyến tại A<br />
của ( O ) cắt BC tại T Dựng đường kính AD , OT cắt BD tại điểm E .Gọi<br />
M là trung điểm của BC .<br />
a) Chứng minh: EOD AMC .<br />
b) Chứng minh: AE // CD .<br />
c) Giả sử BE cắt AT tại điểm F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác<br />
AEF cắt OE tại điểm G khác E . Chứng minh tâm đường tròn nội<br />
tiếp tam giác AGB nằm trên ( O ).<br />
Câu 5) Cho tập hợp X 1, 4,7,10,...,100<br />
. Gọi A là một tập con của tập<br />
X mà số phần tử của A bằng 19. Chứng minh rằng trong A có hai phần tử<br />
phân biệt mà tổng của chúng bằng 104 .<br />
Câu 1) Cho các số x, y,<br />
z thỏa mãn<br />
ĐỀ SỐ 9.<br />
2 2 2<br />
x 1 2y y 4 6z z 15 3x<br />
4.<br />
Tính giá trị của biểu thức<br />
P x y z<br />
2 2 2<br />
2 3 .<br />
Câu 2) Tìm phần nguyên của :<br />
1 1 1 1<br />
A 1 ...<br />
.<br />
2 2<br />
2 3 2014 2016<br />
Câu 3)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Giải hệ phương trình:<br />
b) Cho ,<br />
hết cho<br />
<br />
xy 3x y 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
7x 11 3 x y x y 1<br />
ab là các số nguyên dương phân biệt sao cho aba<br />
b<br />
2 2<br />
a ab b . Chứng minh rằng:<br />
3<br />
a b ab<br />
.<br />
chia<br />
Câu 4) Cho tam giác ABC , trên đoạn thẳng AC lấy điểm P , trên đoạn<br />
thẳng PC lấy điểm Q sao cho PA <br />
QP . Đường tròn ngoại tiếp tam giác<br />
PC QC<br />
ABQ cắt BC tại điểm R khác B . Đường tròn ngoại tiếp tam giác<br />
PAB,<br />
PQR cắt nhau tại điểm S khác P , SP cắt AB tại điểm D .<br />
a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác<br />
PBR .<br />
b) Chứng minh tam giác CSP cân.<br />
c) Chứng minh 4 điểm B, S, R,<br />
D cùng nằm trên một đường tròn.<br />
Câu 5) Chứng minh rằng mn , là các số nguyên dương và n m luôn có<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m !<br />
1<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n n 2 m<br />
m!<br />
n<br />
m !<br />
. (quy ước 0! 1)<br />
ĐỀ SỐ 10<br />
Câu 1) Giải phương trình: 35 2 45 2x<br />
x 5 .<br />
Câu 2) Chứng minh:<br />
n 1.<br />
2n1<br />
2<br />
A 2 3 là hợp số với mọi số nguyên dương<br />
Câu 3) Cho tập hơp A có các tính chất sau:<br />
a) Tập A chứa toàn bộ các số nguyên.<br />
b) 2 3<br />
A<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Với mọi x,<br />
y A thì x y A và xy A . Chứng minh rằng<br />
1<br />
A .<br />
2<br />
3<br />
Câu 4) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp ( O ). Đường tròn tâm<br />
C bán kính CB cắt BA tại điểm D khác B và cắt ( O ) tại E khác B .<br />
DE cắt ( O ) tại điểm F khác E . CO cắt DE,<br />
AB lần lượt tại GL. , Lấy<br />
các điểm M,<br />
N lần lượt thuộc LE,<br />
LF sao cho MG,<br />
DN cùng vuông góc<br />
với BC . Gọi H là giao điểm của CF,<br />
BE .<br />
a) Chứng minh: Tứ giác CHDE nội tiếp.<br />
b) Chứng minh: Tứ giác HGLF nội tiếp.<br />
c) Chứng minh: DN MG .<br />
Câu 5) Cho các số thực abc , , thỏa mãn ab bc ca abc 2. Chứng<br />
minh rằng a 2 b 2 c 2 abc 4 .<br />
LỜI GIẢI CÁC ĐỀ TOÁN RÈN LUYỆN<br />
ĐỀ SỐ 1.<br />
Câu 1)<br />
1) Với x0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:<br />
2 3 5 x 7 2 3 3<br />
A <br />
<br />
:<br />
x 2 2 x 1 2x 3 x 2 <br />
5x 10<br />
x<br />
<br />
<br />
22 x 1 3 x 2 5 x 7<br />
2 x 3<br />
:<br />
x 22 x 1 5 x x 2<br />
2 x 3 5 x<br />
x 2 5 x<br />
.<br />
.<br />
x 22 x 1<br />
2 x 3 2 x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy với x0, x 4 thì<br />
5 x<br />
A <br />
2 x 1<br />
.<br />
2) Khi 2<br />
<br />
<br />
x 3 2 2 2 1 x 2 1 thay vào ta<br />
<br />
<br />
<br />
có:<br />
5 2 1 5 2 1 5 2 1 2 2 1 5 3 <br />
A <br />
2<br />
2 2 1 1<br />
2 2 1<br />
7 7<br />
3) Ta có x 0, x 0, x 4 nên<br />
5 x<br />
5 x 5 5 5<br />
A 0, x 0, x 4 A , x 0, x 4<br />
2 x 1<br />
2 x 1 2 2 2 x 1<br />
2<br />
<br />
5<br />
0 A , kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên thì A 1,2<br />
.<br />
2<br />
1 1<br />
A 1 5 x 2 x 1 x x thỏa mãn điều<br />
3 9<br />
kiện. A 2 5 x 4 x 2 x 2 x 4 không thỏa mãn điều kiện.<br />
Vậy với<br />
Câu 2)<br />
1<br />
x thì A nhận giá trị là nguyên.<br />
9<br />
2 1<br />
3<br />
a) Xét a. c m m 2 m 0, m<br />
2<br />
4<br />
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m .<br />
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1,<br />
x<br />
2.<br />
Theo câu a) thì xx<br />
1 2 0 , do đó A được xác định với mọi x1,<br />
x<br />
2.<br />
Do x1,<br />
x<br />
2<br />
trái dấu nên<br />
3<br />
x<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<br />
t<br />
<br />
2<br />
với t 0, suy ra<br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
1<br />
3<br />
<br />
0<br />
<br />
, suy ra A 0<br />
x <br />
1<br />
x <br />
Đặt <br />
2<br />
1<br />
1<br />
t , với t 0, suy ra . Khi đó A t mang giá<br />
x2<br />
<br />
x1<br />
t<br />
t<br />
trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi A có giá trị nhỏ nhất. Ta có<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
A t 2 , suy ra A 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
t<br />
1<br />
1 1. Với t 1, ta có<br />
t<br />
2<br />
t t t<br />
3<br />
x <br />
1<br />
x1<br />
x1 x2 x1 x2<br />
m m <br />
x2 x2<br />
1 1 0 1 0 1.<br />
<br />
Vậy với m 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là 2 .<br />
Câu 3) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x 0 )<br />
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y 0<br />
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên<br />
78<br />
thời gian đi là (giờ).<br />
x<br />
y<br />
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên<br />
44<br />
thời gian đi là (giờ).<br />
x<br />
y<br />
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta<br />
78 44<br />
có phương trình: 5<br />
(1).<br />
x y x y<br />
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:<br />
13 11<br />
1<br />
x y x y<br />
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:<br />
78 44<br />
5<br />
x y x y x y 26 x<br />
24<br />
.<br />
13 11 x y 22 y 2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x y x y<br />
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.<br />
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
A<br />
C<br />
H<br />
D
Câu 4)<br />
a) Vì K A,<br />
KB là các tiếp tuyến của<br />
<br />
<br />
O nên<br />
KAO<br />
0<br />
KBO<br />
90 . Do H là<br />
trung điểm của dây CD nên<br />
0<br />
KHO 90 . Từ đó suy ra 5 điểm<br />
K, A, H, O,<br />
B cùng nằm trên đường<br />
tròn đường kính KO .<br />
b) Vì M là trung điểm của AB nên AM KO .<br />
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông K AO<br />
Ta có:<br />
KM.<br />
KO<br />
2<br />
KA .<br />
Xét tam giác K AC và tam giác KDA có K AC KDA (Tính chất góc tạo<br />
bởi tiếp tuyến và dây cung). Góc AKD chung .<br />
Nên K AC # KDA( g. g)<br />
. Suy ra<br />
K A<br />
KC<br />
KD<br />
KA<br />
2<br />
KA KC.<br />
KD . Suy ra<br />
KC. KD KH.<br />
KO KMC# KDO( g. g)<br />
CMK CDO CMOD<br />
nội<br />
tiếp.<br />
c) Ta có HI // BD CHI CDB . Mặt khác CAB CDB cùng chắn<br />
cung CB nên suy ra CHI<br />
IAH<br />
CAB hay AHIC là tứ giác nội tiếp. Do đó<br />
ICH BAH ICH . Mặt khác ta có A, K, B, O,<br />
H cùng nằm trên<br />
đường tròn đường kính OK nên BAH BKH . Từ đó suy ra<br />
ICH BKH CI // KB . Mà KB OB CI OB<br />
Câu 5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
x y z xyz x 1 yz y z .1 x y z 1 yz 1<br />
<br />
Tới đây ta cần chứng minh<br />
yz yz y 2 z 2 y 3 z 3 y 2 z 2 y 2 z 2<br />
yz <br />
2 2 2 2 4 0 1 0.<br />
Mặt khác theo giả thiết ta có: ta có<br />
2 2 2 2 2<br />
2 x y z y z 2yz yz 1<br />
.Nên bất đẳng thức trên luôn đúng.<br />
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có 2 số bằng 1 và một số bằng 0.<br />
Câu 1) Điều kiện: a 0, b 0, a 2b<br />
<br />
a<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ 2<br />
3 3<br />
3 3<br />
a) Ta có: a 2 2b a 2b a 2b a 2ab 2b<br />
2<br />
b) Suy ra<br />
a<br />
b a 2a b a a 2b<br />
<br />
<br />
<br />
2 2b<br />
a 2ab 2b a 2b a 2ab 2b<br />
3 3<br />
a 2ab 2b<br />
1<br />
<br />
a 2b a 2ab 2b<br />
a 2b<br />
3 3<br />
a 2 2b<br />
a 2b a 2ab 2b<br />
a a<br />
2b 2ab 2b 2b a <br />
2 2<br />
a 2ab 2b a 2 2ab 2b<br />
a b<br />
a <br />
2b 2b 2b<br />
Vậy<br />
P <br />
2 2<br />
1 a b a 2b<br />
.<br />
.<br />
a 2b 2b 2b<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Ta có:<br />
1 3 3 1<br />
ab . 1 . 1<br />
2 <br />
<br />
2 2 <br />
. Suy ra:<br />
8<br />
a 2b a<br />
P a a<br />
2b<br />
2b<br />
2<br />
1 4 1 2 1 1 3 .<br />
Câu 2)<br />
Ta có m 2<br />
m m<br />
2<br />
4 1 2 0 , với mọi m .<br />
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .<br />
Theo hệ thức Viet, ta có: x1x 2<br />
m và x1x<br />
2m<br />
1<br />
1<br />
2b<br />
.Do đó<br />
4a<br />
a) Thay m x1 x2<br />
vào x1x<br />
2m<br />
1, ta được x1x 2<br />
x1 x1 1<br />
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1,<br />
x<br />
2<br />
không phụ thuộc vào m là x1x 2<br />
x1 x1 1.<br />
Suy ra<br />
2<br />
b) Ta có: <br />
x x x x 2x x m 2 m 1 m 2m<br />
2 .<br />
2 2 2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
2xx<br />
3 2m<br />
1<br />
A <br />
<br />
x x 2 x x 1 m 2<br />
. Vì<br />
1 2<br />
2 2 2<br />
1 2 1 2 <br />
2<br />
2m 1 2m 1 m 2<br />
m<br />
1 2<br />
A1 1 0, m<br />
2 2 2<br />
m 2 m 2 m 2<br />
Suy ra A 1, m . Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi m 1<br />
Và<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 m 1 m 2 m 2<br />
1 2m<br />
1 1<br />
A 0, m<br />
2 2 2<br />
2 m 2 2 2 m 2 2 m 2<br />
1<br />
A , m . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2.<br />
2<br />
Vậy GTLN của A bằng 1 khi m 1 và GTNN của A bằng<br />
m 2.<br />
Câu 3) Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x *, x<br />
140<br />
<strong>Số</strong> tàu <strong>tham</strong> gia vận chuyển là x 1 (chiếc)<br />
<strong>Số</strong> tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định 280<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
(tấn)<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
khi<br />
2<br />
<br />
. Suy ra<br />
<strong>Số</strong> tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế 286 x 1<br />
(tấn)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Theo bài ra ta có phương trình: 280 <br />
286 2<br />
x x1<br />
2 x<br />
10<br />
x x xx x x<br />
280 1 286 2 1 4 140 0 . Vậy<br />
x<br />
14( l)<br />
đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.<br />
Câu 4) Xét hệ phương trình:<br />
x my m 1<br />
<br />
mx y 3m<br />
1<br />
1<br />
2 <br />
. Từ phương trình (2)<br />
của hệ ta suy ra y 3m 1 mx thay vào phương trình (1) của hệ ta thu<br />
được: <br />
x m m mx m m x m m<br />
2 2<br />
nghiệm duy nhất khi à chỉ khi phương trình 1 m x 3m 2m<br />
1 có<br />
2<br />
nghiệm duy nhất suy ra điều kiện là: 1 m 0 m 1.<br />
2 2<br />
3 1 1 1 3 2 1. Hệ có<br />
Khi hệ có nghiệm duy nhất xy ; ta lấy phương trình (2) trừ phương trình<br />
m 1 x m 1 y 2 m 1 x y 2 . Do đó:<br />
(1) thì thu được: <br />
2<br />
2<br />
xy x. x 2 x 2x 11 x 1 1 1Dấu bằng xảy ra khi và chỉ<br />
2 2<br />
khi: x 1 3 1 2 1 1 0<br />
m1 m1<br />
m m <br />
thì xy . đạt giá trị nhỏ nhất<br />
Câu 5)<br />
a) ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC ABC vuông tại<br />
A Chứng minh tứ giác ADHE<br />
.Vậy với m 0<br />
0 0<br />
là hình chữ nhật và ADH 90 , AEH 90 .Vậy<br />
DAE ADH AEH<br />
0<br />
90 nên tứ<br />
giác ADHE là hình chữ nhật.<br />
2<br />
b). Ta có AM. AN AE.<br />
AC AH <br />
AM AE<br />
<br />
AC AN<br />
N<br />
B<br />
M<br />
D<br />
A<br />
H<br />
I<br />
K<br />
O<br />
E<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
AM AE<br />
AC<br />
<br />
AN<br />
AME CAN (c.g.c) AME ACN . Áp dụng hệ<br />
thức lượng trong các tam giác vuông ta có<br />
AB. AC AH. BC AH.2R<br />
(Vì BC 2R<br />
)<br />
2 2<br />
BD BD. AB; CH CE.<br />
CA<br />
2 4 2 2<br />
AH BH. CH AH BH . CH BD. AB. CE. CA BD. CE. AH .2R<br />
3<br />
AH<br />
2R<br />
, mà AH DE nên<br />
BD.<br />
CE<br />
3<br />
DE<br />
2R<br />
BD.<br />
CE .<br />
Giả sử DE cắt AH tại I , cắt OAtại K ; IAE<br />
OAC<br />
OCA ( OAC cân tại O ). Do đó<br />
OA<br />
DE . Ta có DI OA<br />
(1). Mặt khác O,<br />
<br />
IEA ( IAE cân tại I ),<br />
KAE KEA OCA IAE 90<br />
I cắt nhau tại A và<br />
M OI là đường trung trực của AM OI AM . Do đó I là trực tâm<br />
của ANO NI OA (2). Từ (1) và (2) cho DI,<br />
NI trùng nhau. Vậy<br />
D, E,<br />
N thẳng hàng.<br />
c) Đặt BH x0 x 2 R, CH 2R x nên AH x2R x<br />
1 1 3 x<br />
3 1 x<br />
SABH<br />
AH. BH x x2R x x 2 R x<br />
. <br />
2R x <br />
2 2 2 3 2 2 3<br />
<br />
2 2<br />
3 2 3 3 3 3 1 3 3<br />
2 x <br />
. x x <br />
.<br />
x x <br />
x R R R <br />
R . Dấu “=”<br />
4 3 2 2 3 2 4 3 3 8<br />
3R<br />
xảy ra khi và chỉ khi BH 0. A là giao điểm của nửa đường tròn<br />
2<br />
<br />
<br />
O với đường trung trực của OC .<br />
Câu 6) Sử dụng lần lượt các bất đẳng thức Cauchy - Schwarz kết hợp với<br />
giả thiết của bài toán, ta được:<br />
<br />
3 3 3 3 2 3 2 3 4 3 2 2 3<br />
x y x . x y.<br />
y x y x y x y x y .<br />
Theo bất đẳng thức AM- GM ta cũng có:<br />
2 2 3 3<br />
x y x y<br />
, và<br />
2<br />
3 2 2 3<br />
x y x y <br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 2 3 3 2<br />
x x 1 3 x ; y y 1 3x<br />
suy ra<br />
3 3<br />
2x<br />
1 2y<br />
1<br />
3 3<br />
2 2 3 3 x y<br />
3 3<br />
3 3<br />
x y <br />
x y x y<br />
5 1<br />
<br />
2 2 6 3<br />
3 3<br />
x y 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1.<br />
Câu 1)<br />
a) Ta có:<br />
Câu 2)<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ 3.<br />
<br />
a a b b a a b b a b a b b a ab<br />
P <br />
a b a b a b<br />
.<br />
b) Ta có: 2<br />
a 1 b 1 2 ab 1 ab a b 2 ab a b<br />
Vì a b nên ab b a .<br />
Vậy P 1.<br />
a) Phương trình hoành độ giao điểm của <br />
2 2<br />
x mx x mx<br />
4 4 0 .<br />
d và P là:<br />
2<br />
Ta có m 16 0 , với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân<br />
biệt, suy ra đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. Theo định<br />
x1x2<br />
m<br />
2m<br />
7<br />
lý Viet ta có: ta có Q . (dùng phương pháp miền giá<br />
2<br />
x1. x2<br />
4<br />
m 8<br />
trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng trong bài toán GTLN, GTNN) ta dễ<br />
1<br />
tìm được giá trị lớn nhất của Q là 1 và GTNN của Q là đạt được khi<br />
8<br />
m 1 và m 8.<br />
b)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Để ý rằng đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định I 0;4<br />
nằm trên trục<br />
tung. Ngoài ra nếu gọi ; , ; <br />
A x1 y1 B x2 y<br />
2<br />
thì<br />
1 2<br />
xx . 4 0 nên hai giao<br />
điểm AB , nằm về hai phía trục tung. Giả sử x1 0<br />
x2<br />
thì ta có:<br />
1 1<br />
SOAB SOAI SOBI<br />
AH. OI BK.<br />
OI với H,<br />
K lần lượt là hình chiếu<br />
2 2<br />
vuông góc của điểm AB , trên trục Oy . Ta có<br />
OI 4, AH x x , BK x x<br />
. Suy ra S 2 x x <br />
1 1 2 2<br />
<br />
2 1<br />
2<br />
2 2<br />
SOAB<br />
4 x1 x2 4 x1 x2 4x1x<br />
<br />
<br />
2<br />
. Theo định lý Viet ta có:<br />
<br />
x x m, x x 4<br />
1 2 1 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
OAB<br />
2 2<br />
. Thay vào ta có:<br />
OAB <br />
S 4 m 16 64 m 0 .<br />
Câu 3) Gọi vận tốc của xe máy là x km/h x 0<br />
. Khi đó vận tốc của ô tô<br />
là 3 x 3x<br />
km/h. Theo bài ra ta có phương trình: 1,5 x1,5. 150 x 40 .<br />
2<br />
2<br />
Do đó, vận tốc của xe máy là 40 km/h và vận tốc của ô tô là 60 km/h. Sau<br />
khi gặp nhau, thời gian ô tô đi đến B là: 150 1,5 1 (giờ). Sau khi gặp<br />
60<br />
nhau, thời gian xe máy đi đến A là: 150 1,5 2,25<br />
40 (giờ).<br />
Câu 4)<br />
a) Do đường tròn ABH có đường kính là AB nên M ABH <br />
Xét hai tam giác AHN và AMC có AM<br />
AH ;<br />
.<br />
Và có AMC AMP AHP AHN ; ACM ACP ANP ANH Suy ra<br />
AHN<br />
AMC . Vậy HN MC .<br />
0<br />
b) Do CAE 90 nên CE là<br />
đường kính của đường tròn<br />
<br />
<br />
APC . Suy ra EN<br />
Ta chứng minh CN<br />
NC .<br />
BC .<br />
M<br />
A<br />
P<br />
E<br />
N<br />
B<br />
H<br />
K<br />
C
Ta có: ACN APN <br />
AMH ABH HAC .<br />
Do đó CN // AH hay<br />
CN BC .<br />
1<br />
c) Xét đường tròn APC , ta có: AKB APM sđ AC Xét đường<br />
2<br />
tròn ABH , ta có: APM AHM AMH ABH . Suy ra AKB ABK<br />
hay tam giác ABK cân tại A .Do đó HB<br />
Câu 5)<br />
HK .<br />
3 3 2 2<br />
Ta có <br />
a b a b a ab b a b ab . Tương tự ta cũng có<br />
3 3<br />
và <br />
3 3<br />
b c b c bc<br />
c a c a ca . Do đó<br />
3 3 3<br />
<br />
2 a b c ab a b bc b c ca c a<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
a b c b c a c a b 2a bc 2b ca 2c ab . Vậy<br />
3 3 3 2<br />
a b c a<br />
2<br />
bc b<br />
2<br />
ca c ab (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ<br />
khi ab c.<br />
Câu 1) Điều kiện:<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ 4<br />
3<br />
x0;<br />
x . Đặt 3x a, ta có:<br />
4<br />
2 3<br />
<br />
2a 4 a 1a<br />
P a<br />
3 2 <br />
a 8 a 2a 4 1<br />
a <br />
<br />
2<br />
.1 a a a <br />
2<br />
a 2 a 2a<br />
4<br />
<br />
2 2<br />
2a 4 a a 2 a 2a1<br />
<br />
3x2 3x1<br />
P <br />
. Ta có: P <br />
3x<br />
2<br />
Với x 1 ta có P 2 (thỏa mãn).<br />
3x<br />
3<br />
2<br />
3x<br />
2<br />
a 2<br />
. Thay a<br />
3x<br />
, ta có:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Xét x 1: Do 3x 3 ; 3x 3 0 và P nên 3x 2<br />
P<br />
3x<br />
1<br />
. Do đó P 3x<br />
2<br />
3x<br />
2<br />
1 3x 2 1 x 3 hoặc<br />
là ước<br />
1<br />
3<br />
x (loại). Vậy 1;3<br />
<br />
x .<br />
. Ta có:<br />
Câu 2)<br />
a) Đường thẳng d : y kx<br />
2<br />
Xét phương trình<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
kx 2 x 2kx<br />
4 0 (1)<br />
2<br />
' k 4 0 với mọi k , suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.<br />
Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.<br />
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x1,<br />
x<br />
2<br />
Suy ra A x ; y , B x ; y thì H x ;0 , K x ;0<br />
1 1 2 2<br />
1 2<br />
Khi đó IH 2 x 2 4, IK 2 x 2 4, KH 2 x x 2<br />
1 2 1 2<br />
Theo định lý Viet thì xx<br />
1 2 4 nên<br />
Vậy tam giác IHK vuông tại I .<br />
Câu 3)<br />
IH IK x x KH<br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
8<br />
<br />
Đặt x y u,<br />
xy v (với v 0). Hệ đã cho trở thành<br />
<br />
u <br />
<br />
<br />
v <br />
u 9 <br />
v 2<br />
1 5 <br />
v 2<br />
1<br />
2<br />
v<br />
2<br />
2<br />
Phương trình (2) có dạng 2v<br />
5v 2 0 <br />
1 . v <br />
2<br />
+ Với v 2 thay vào PT (1) tìm được u 3. Ta có hệ phương trình<br />
x<br />
y 3<br />
2<br />
nên xy , là nghiệm của phương trình X 3X<br />
2 0 , tức là<br />
xy<br />
2<br />
xy , 1;2 , 2;1<br />
.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
.
+ Với<br />
<br />
x y <br />
<br />
<br />
1<br />
xy <br />
2<br />
<br />
1<br />
v thay vào PT (1) tìm được<br />
2<br />
3<br />
2<br />
nên xy , là nghiệm của phương trình<br />
3<br />
u . Ta có hệ phương trình<br />
2<br />
2 3 1<br />
X X 0 , tức là<br />
2 2<br />
1 1 <br />
xy ; 1; , ;1 .Từ đó suy ra hệ đã cho có tất cả bốn nghiệm như trên.<br />
2 2 <br />
Câu 4)<br />
a) ABD AEB (g.g)<br />
AB<br />
AE<br />
AD<br />
AB<br />
2<br />
AB AD.<br />
AE .<br />
B<br />
b)<br />
0<br />
OMA 90 (định lý đường kính,<br />
dây cung)<br />
M<br />
thuộc đường tròn<br />
đường kính OA (1). Ta có<br />
A<br />
D<br />
I<br />
H<br />
M<br />
O<br />
F<br />
K<br />
E<br />
0<br />
ABO 90 (tính chất tiếp tuyến)<br />
C<br />
B thuộc đường tròn đường<br />
0<br />
kính OA (2). Ta có ACO 90 (tính chất tiếp tuyến) C thuộc đường<br />
tròn đường kính OA (3). Từ (1),(2),(3) suy ra 5 điểm A, B, M , O,<br />
C cùng<br />
thuộc một đường tròn đường kính OA.<br />
c) Mà<br />
AB<br />
2<br />
AD.<br />
AE (cmt) AH AD<br />
AH. AO AD.<br />
AE AE<br />
AO<br />
. Chứng<br />
minh AHD AEO (c.g.c) AHD AEO Tứ giác OHDE nội tiếp.<br />
d) Ta có AHD AEO (cmt), OHE ODE (tứ giác OHDE nội tiếp);<br />
AEO<br />
ODE ( OED cân tại O ). Suy ra AHD EHO .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có<br />
AHB<br />
tại H ); AHD<br />
Xét<br />
0<br />
DHB<br />
90 ( BC OA<br />
tại H );<br />
EHO<br />
0<br />
EHB<br />
90 ( BC OA<br />
EHD (cmt) EHB BHD<br />
HI là phân giác EHD<br />
EHD có HI là đường phân giác<br />
phân giác EHD ; HI<br />
ID HD<br />
IE<br />
HE<br />
.Ta có tia HI là tia<br />
HK ( BC OA tại H ); EHD EHF là hai góc kề<br />
bù HK là tia phân giác EHF . Xét EHF có HK là đường phân giác<br />
KF HD<br />
KE<br />
HE<br />
. Ta có ID HD KF HF<br />
(cmt); (cmt); HD HE ( H<br />
IE HE KE HE<br />
ID KF<br />
là trung điểm cạnh HF ) IE<br />
KE<br />
. Xét EFD ID KF<br />
có (cmt)<br />
IE KE<br />
IK // DF (định lý Ta-lét đảo).<br />
1<br />
a b a b<br />
Câu 5) Do a, b a b 1 . Thiết lập hai bất đẳng<br />
2 1 c a b c<br />
thức tương tự và cộng chúng lại theo vế, ta<br />
a b a b<br />
được: 2<br />
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
1 c a b c<br />
1<br />
a b c . Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức vế bên phải. Do<br />
2<br />
a a<br />
ab , 1 nên 1 c a c<br />
; b b<br />
Từ đó suy ra:<br />
1c b c<br />
<br />
a b a b <br />
<br />
3<br />
1 c a c b c <br />
, với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi<br />
a b c 1.<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5<br />
x 3 x 2 x 2 x <br />
Câu 1) P <br />
: 1<br />
x 2 3 x x 5 x 6 <br />
<br />
x 1<br />
<br />
x<br />
0<br />
<br />
a) Điều kiện xác định : x<br />
4<br />
<br />
x<br />
9<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có:<br />
<br />
x 3 x 2 x 2 x <br />
P : 1<br />
x 2 x 3 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x 3<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x 3<br />
x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 <br />
x <br />
<br />
: x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 9 x 4 x 2 x 1<br />
<br />
. <br />
x 1<br />
x 2 x 3<br />
x x x 2<br />
b) Ta có<br />
P 0<br />
<br />
x<br />
<br />
x 1<br />
x 2<br />
<br />
<br />
x 0<br />
0 x x 2<br />
0 x 4 .<br />
x 20<br />
c) Đặt x1 t 1 thì x t 1. Ta có:<br />
<br />
x t<br />
<br />
x t t t t <br />
P t 4 <br />
2 2<br />
x 2 1 2 1 2t<br />
2 t 4t 3<br />
P t t<br />
1 2<br />
1 4 3 3<br />
3 1<br />
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: t 2 3 2 3 4<br />
t<br />
P<br />
. Dấu bằng<br />
3<br />
xảy ra khi và chỉ khi t t 3 x 1 3 x 4 2 3 . Vậy<br />
t<br />
GTNN của 1 P là 2 3 4 .<br />
Câu 2)<br />
a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là:<br />
<br />
2 2<br />
x m x m x m x m<br />
5 5 0 (1). Ta có:<br />
<br />
2 2<br />
m 5 4m m 3 16 0, m<br />
Suy ra phương trình (1) có hai<br />
nghiệm phân biệt với mọi m .Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
) Ta có x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm của (1). Theo định lý Viet, ta có:<br />
x1 x2<br />
m 5<br />
<br />
x1.<br />
x2<br />
m<br />
Ta có:<br />
2 2<br />
4 m m m<br />
<br />
2<br />
M x1 x2 x1 x2 x1x<br />
2<br />
2 2<br />
5 4 3 16 16 .<br />
Do M 0 nên M 4 . Dấu bằng xảy ra khi m 3.Vậy M<br />
min<br />
4 .<br />
Câu 3) Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) Điều kiện x 0 .<br />
Gọi vận tốc ô tô là y (k,/h). Điều kiện y 0.<br />
Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: 210 giờ. Thời gian ô tô dự<br />
x<br />
định đi từ B đến A là: 210 giờ. Quãng đường xe máy đi được kể từ khi<br />
y<br />
gặp ô tô cho đến khi đến B là : 4x (km). Quãng đường ô tô đi được kể từ<br />
khi gặp xe máy cho đến khi đến A là : 9 y (km). Theo giả thiết ta có hệ<br />
4<br />
phương trình:<br />
9 9<br />
210 210 9 210 210 7<br />
<br />
<br />
4x y 4x y 1<br />
4 <br />
<br />
x y 4<br />
<br />
4 4 7<br />
x y 4 <br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
x y<br />
9<br />
x 2y<br />
210<br />
4<br />
9<br />
4x<br />
y 210<br />
9<br />
<br />
4 4x<br />
y 210<br />
4<br />
2<br />
Từ phương trình (1) ta suy ra<br />
9 9<br />
4x y 4x y<br />
4 4 7 9y<br />
4x<br />
3<br />
0 x y. Thay vào phương trình<br />
x y 4 4x y 4<br />
(2) ta thu được: 12 y 9 y 210 y 40 , x 30 .<br />
4 4<br />
Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.<br />
Câu 4)<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Ta có MD là đường trung bình của tam giác CBH . Suy ra<br />
CDM CBA CNM<br />
Vậy tứ giác CMDN nội tiếp.<br />
b) Do tứ giác CMDN nội tiếp nên NDC NMC AMH<br />
Suy ra<br />
0 0<br />
SDN 90 NDC 90 AMH BAN<br />
.<br />
A<br />
Do SB là tiếp tuyến của O<br />
<br />
E<br />
nên BAN SBN .Suy ra<br />
H<br />
O<br />
M<br />
SDN SBN .Do đó, tứ giác<br />
B<br />
D<br />
C<br />
SBDN nội tiếp. suy ra,<br />
DSN DBN NEC .Vậy<br />
F<br />
N<br />
CE song song với SA .<br />
S<br />
c) Gọi F là giao điểm<br />
của CN với SD .<br />
Ta có: FSN<br />
NEC (so le) NCS . Suy ra<br />
2<br />
FNS FSC FS FN.<br />
FC .Xét tam giác vuông DFC có DN là<br />
đường cao. Ta có, FD<br />
của SD .<br />
2<br />
FN.<br />
FC . Suy ra FD<br />
FS hay F là trung điểm<br />
2 2<br />
Câu 5) Từ phương trình 2 của hệ ta suy ra xy , 0. Xét phương trình:<br />
<br />
3 3 2 2<br />
x y 7 x y xy 8xy 2 x y . Ta có:<br />
2<br />
<br />
.<br />
3 3 2 2<br />
x y 7 x y xy x y x y 6xy x y x y 4xy<br />
2 2<br />
x y 4xy 2 x y .4xy<br />
. Suy ra<br />
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: <br />
<br />
3 3<br />
2 2<br />
x y 7 x y xy 4 xy x y x y 4 xy x y<br />
. Ta có<br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
x y x y 2xy 2 x y .2xy<br />
. Suy ra<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 3 2 2<br />
x y 7 x y xy 8xy 2 x y . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi<br />
x<br />
y. Thay vào phương trình (2) ta thu được:<br />
x 3<br />
x 2x 3 6 2x 2x 3 x 2x 3<br />
2x<br />
3<br />
2x3<br />
x<br />
1 3<br />
Suy ra x 3 hoặc: 2x 3 x Do x nên pt này vô nghiệm. Tóm<br />
2 2<br />
lại: Hệ có nghiệm: x y 3.<br />
Câu 1) Giải:<br />
Điều kiện: x 3<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ 6<br />
<br />
<br />
<br />
Ta có: (1)<br />
2<br />
x 3x 2x x 3 4 x 3 6 0 (2)<br />
Đặt t x x 3<br />
t 4t 3 0 t 1 t 3 0 t 1; t 3<br />
2<br />
Do đó (2) <br />
Với t 1, ta giải phương trình x x 3 1 x 3 1<br />
x<br />
<br />
1x 0 x1 x1<br />
<br />
2 <br />
2 2<br />
<br />
x 3 1<br />
x x 3 1 2x x x 3x<br />
2 0<br />
x<br />
1<br />
3 17 3<br />
17<br />
x x<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
17<br />
x<br />
<br />
2<br />
Với t 3 , ta giải phương trình x x 3 3 x 3 3<br />
x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x<br />
3<br />
<br />
x1 x<br />
1<br />
<br />
x<br />
6<br />
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm<br />
3 17<br />
x , x 1 .<br />
2<br />
Câu 2) Lời giải:<br />
Đặt x a, y b,<br />
z c thì<br />
2 2 2<br />
x y z x y z<br />
2 .<br />
2 2 2 2 2<br />
Suy ra xy yz zx x y z x y z <br />
2 2 2 2<br />
xy yz zx 1.<br />
2<br />
Do đó: 1 a xy yz zx x x yx z<br />
;<br />
<br />
<br />
2<br />
1 b xy yz zx y y z y x<br />
;<br />
2<br />
1 c xy yz zx z z x z y<br />
.<br />
Vì vậy<br />
a b c x y <br />
z<br />
1 a 1 b 1 c x y x z y z y x z x z y<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
x y y z z x x y y z z x<br />
<br />
x y z y z x z x y xy yz zx<br />
<br />
<br />
2<br />
1 a1 b1<br />
c<br />
.<br />
Câu 3) Ta có<br />
a n<br />
3 5 3 5 1 5 1<br />
5 <br />
2 <br />
<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
n n n n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
Xét dãy<br />
S n<br />
n<br />
1<br />
5 1<br />
5 <br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
n<br />
, ta chứng minh b<br />
n<br />
là một số nguyên.<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1<br />
5 1<br />
5<br />
Xét x1 , x2<br />
ta có<br />
2 2<br />
của phương trình:<br />
x<br />
2<br />
x1 0.<br />
x1x2<br />
1<br />
<br />
x1. x2<br />
1<br />
suy ra x1,<br />
x<br />
2<br />
là hai nghiệm<br />
n1 n1 n n n1 n1<br />
Ta có Sn<br />
1<br />
x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2<br />
<br />
S S S .<br />
n1 n n1<br />
hay<br />
Ta có 2<br />
S 1, S x x 2x x 3, S S S 2. Từ đó bằng phép<br />
1 2 1 2 1 2 3 2 1<br />
quy nạp ta dễ dàng chứng minh được<br />
n<br />
số chính phương.<br />
Câu 4)<br />
a) Ta có AEF OAE<br />
<br />
ABC 1 180 AOC 90<br />
2<br />
<br />
<br />
0 0<br />
S là số nguyên . Suy ra 2<br />
G<br />
F<br />
Q<br />
N<br />
A<br />
H<br />
M<br />
O<br />
a<br />
E<br />
n<br />
S là<br />
n<br />
P<br />
Suy ra OA<br />
EF<br />
B<br />
D<br />
C<br />
b) Việc chứng minh<br />
trực tiếp AK đi qua trung điểm của DE<br />
L<br />
K<br />
là tương đối khó. Để ý đến chi tiết CH cắt đường<br />
tròn ( O ) tại điểm G ta sẽ thấy GH , đối xứng nhau qua AB , hay F là<br />
trung điểm GH . Như vậy ta cần tìm mối quan hệ giữa điểm F và điểm<br />
M thông qua các tam giác đồng dạng. Xét tam giác DFH và tam giác<br />
DAE : Ta thấy DFH DBH DAE , Ta cũng có<br />
0<br />
AED 180<br />
ABD FHD suy<br />
HF HD 2HF 2HD HG 2HD<br />
ra DFH<br />
” DAE<br />
hay<br />
EA ED EA ED EA ED<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
HG HD<br />
. Từ đó suy ra HGD”<br />
EAM<br />
<br />
EA EM<br />
EAM HGD CAK AM AK .<br />
c) Giả sử BH cắt đường tròn ( O ) tại điểm P khác B .<br />
Tương tự câu a ta có: P đối xứng với H qua AC . Suy ra<br />
AG AH AP do đó GP OA EF suy ra EF / / MN / / GP , giả sử<br />
AL cắt GP tại Q . Ta có:<br />
MNA AQP AGQ QAG APG QAG AKG GKL AKL suy ra tứ<br />
giác MKNL nội tiếp.<br />
Câu 5) Để ý rằng:<br />
2 2<br />
2xy x y .<br />
2<br />
Ta lại có: 1 2bc a b c 2<br />
0 ; ca b 2<br />
c a 2<br />
2<br />
2<br />
1 2ab c a b 0<br />
Nên<br />
1 2 0;<br />
a 2 2 2 2 2 2<br />
b c a b <br />
c<br />
1 2bc 1 2ca 1 2ab 1 b c 1 c a 1 a b<br />
2 2 2<br />
a b c 1 1 1 <br />
3 2<br />
2 2 2 <br />
2 2 2 <br />
1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c .<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được:<br />
1 1 1 9 9<br />
.Từ đó suy ra:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 a 2 b 2 c 6 a b c 5<br />
a 2 2 2<br />
9 3<br />
b c 3 2. . Chứng minh hoàn tất. đẳng thức<br />
1 2bc 1 2ca 1<br />
2ab<br />
5 5<br />
1<br />
xảy ra khi và chỉ khi a b c .<br />
3<br />
Câu 6) Vì mỗi số nguyên dương m lẻ không vượt quá 2015 , ta xây dựng<br />
tập A<br />
m<br />
gồm các số dạng 2.<br />
k m , trong đó k và 2 k . m 2016 . Kí hiệu<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
k<br />
k<br />
A 2 . m | k ,2 . m 2016 . Với cách xây dựng trên, khi m 1009 thì<br />
m<br />
A<br />
m<br />
chỉ có một phần tử là m . Vì có đúng 1008 số lẻ không vượt quá 2016<br />
nên có đúng 1008 tập<br />
A<br />
m<br />
. Nhận thấy rằng với n nguyên dương bất kỳ,<br />
k<br />
1n<br />
2016 , ta luôn viết được n 2. m với m là số nguyên lẻ, điều này<br />
cho thấy mỗi số nguyên từ 1 đến 2016 đều thuộc vào ít nhất một trong<br />
1008 tập A<br />
m<br />
. Nhưng tập M có đúng 1009 phần tử, do đó chắc chắn có hai<br />
phần tử của M giả sử là a,<br />
ba<br />
b<br />
cùng thuộc một tập A<br />
m<br />
nào đó. Khi đó<br />
p<br />
q<br />
b<br />
a 2. m và b 2. m với p q, suy ra 2 q <br />
p hay b là bội của a .<br />
a<br />
ĐỀ SỐ 7<br />
Câu 1) Viết lại phương trình đã cho thành:<br />
2<br />
2<br />
2 1 2 17 4. Đặt t x 2x<br />
17 4 . Ta có<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2 2<br />
x 2x 1 t 16 và phương trình đã cho được viết<br />
2 2<br />
2<br />
thành: t t t t t<br />
<br />
16 4 0 4 4 4 1<br />
0 . Phương trình<br />
<br />
<br />
t 4 0 có nghiệm t 4 hay<br />
t<br />
t<br />
2<br />
2<br />
x x x<br />
2 1 0 1. Phương trình<br />
4 4 1 0 vô nghiệm do t 4 .Vậy phương tình có một nghiệm<br />
x 1.<br />
Câu 2) Ta có<br />
5m1 5<br />
ra A<br />
<br />
với k<br />
Z <br />
. Suy<br />
2015 2015 2015<br />
6 (5 1) 1(mod5) 6 5k<br />
1<br />
26 26. 26 m<br />
. Mặt khác để ý rằng:<br />
5 5 4 3 2 2 3 4 5<br />
a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b<br />
. Nếu<br />
5 5<br />
a 25 a b b (mod125) suy ra<br />
. Dễ thấy A 8 suy ra<br />
5<br />
26 1(mod125) A 26(mod125) A 125m<br />
26<br />
125m26 8 m chẵn<br />
m 2r A 250r 26 248r 24 2( r 1)<br />
r chia cho 4 dư<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3 r 4 p 3<br />
. Hay <br />
cùng của A là 776<br />
Câu 3)<br />
A 250 4 p 3 26 1000 p 776. Vậy 3 chữ số tận<br />
a) Ta viết lại phương trình thành: x y 3 3 xy( x y) xy 8<br />
x y a Đặt ( a , b Z ) . Ta có<br />
xy<br />
b<br />
3 3<br />
a ab b a b a<br />
3 3<br />
3<br />
a 8 (3a 1) 27a 8<br />
3a<br />
1<br />
a <br />
3 8 8 (3 1)<br />
27 1 215 3a1<br />
215 3a<br />
1. Mặt khác ta có 215 5.43 suy ra 3a 1 1; 5; 43; 215.<br />
Cuối cùng ta thay các trường hợp để tìm a, b x 2; y 0 hoặc<br />
x 0; y 2 .<br />
26 15 3 2 3 2 3 .Do đó<br />
3<br />
b) Ta có<br />
3<br />
3<br />
<br />
3 26 15 3 2 3 2 3 2 3 1. Đặt<br />
thì ta có:<br />
3 3<br />
a 18 3a a 3a<br />
18 0 a<br />
3 27 3a 9 0<br />
2<br />
2<br />
a 3 a 3a 6 0 a 3 (vì a 3a 6 0 ). Vậy<br />
<br />
3 3<br />
9 80 9 80 3. Suy ra<br />
Câu 4) Phân tích định hướng giải:<br />
1<br />
3<br />
3 3<br />
a 9 80 9 80<br />
3 2<br />
x . Khi đó 2016<br />
P 3x x 1 1.<br />
A<br />
S<br />
A<br />
O<br />
L<br />
F<br />
P<br />
O<br />
Q<br />
E<br />
K<br />
T<br />
B<br />
H<br />
C<br />
B<br />
M<br />
N<br />
C<br />
D<br />
T<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
R
Ta dễ chứng minh được tính chất sau: Tam giác ABC nội tiếp ( O ) , các<br />
tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T , AT cắt ( O ) tại D , OT cắt BC tại<br />
H . Khi đó AHC ABD và BAT HAC . (Xem thêm phần tính chất cát<br />
tuyến, tiếp tuyến)<br />
Trở lại bài toán:<br />
+ Áp dụng kết quả bài toán ta có: ABK# EBC<br />
.<br />
+ Từ kết quả ABK# EBC<br />
chú ý rằng: KP,<br />
CM lần lượt là trung tuyến<br />
của các tam giác ABK,<br />
EBC nên suy ra BCM BKP (1) , tương tự<br />
CBN<br />
CLQ (2) .<br />
+ Ta có PLK QBC PQB (do KLBC nội tiếp và PQ // BC ). Từ đó suy<br />
ra tứ giác PQKL nội tiếp nên ta có: BKP<br />
Từ (1), (2), (3) ta có: BCM<br />
Câu 5)<br />
CBN .<br />
CLQ (3).<br />
a) Ta có: ... 2 1 ... <br />
x x x x n n x x x n<br />
2 2 3 2 3 2<br />
1 2 2 n<br />
1 2<br />
n<br />
2 1 2 2 1 2<br />
... 2 1<br />
x n x n 1 x n x n 1 ... x nx n 1<br />
0<br />
<br />
x 2 2 2 2 2 2<br />
n<br />
n xn n n <br />
x n x n n <br />
xn n xn<br />
n n<br />
<br />
<br />
1 1 2 2 n n1<br />
Mặt khác x n x n<br />
1<br />
không âm, do đó xk<br />
dương.<br />
k<br />
<br />
k<br />
là tích của hai số nguyên liên tiếp nên<br />
n hoặc xk<br />
n 1. Do n 2 nên x<br />
k<br />
là số nguyên<br />
2<br />
b) Vì x n; n 1<br />
nên nn x x x n<br />
k<br />
1<br />
1 2<br />
...<br />
n<br />
Do đó n 2 1 n 2 1 n x x ... x n 2 n 1 n<br />
1 2<br />
1 2<br />
n<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra x1 x2 ... x 1 n nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên<br />
không là số chính phương.<br />
n<br />
Câu 1)<br />
Điều kiện x 0 .<br />
Phương trình tương đương với:<br />
ĐỀ SỐ 8<br />
8 4 2x 9x 1 4 2x<br />
x 9 x 0<br />
x1 x1 x1<br />
x1<br />
8x 4 2x 2 2x<br />
<br />
1 0 1 0<br />
x 1 x1 x1<br />
<br />
<br />
2 2x<br />
1<br />
1 8x x 1<br />
x (thỏa mãn).<br />
x 1<br />
7<br />
3 2 3<br />
Câu 2) Ta có: 2<br />
2<br />
x 2y 6y 11 0 x 3 y 1 8 8 x 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
(1). <br />
x y x 3 2y 3 0 x y 1 3 y 1 2y<br />
2y<br />
3 4 2 2<br />
y 1<br />
2<br />
x x<br />
2<br />
y 1. Do đó<br />
x<br />
y 7 .<br />
3 2<br />
(2). Từ (1) và (2) suy ra x 2, khi đó<br />
Câu 3) Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên<br />
dương k sao cho<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2012 2015 n 2 2012 n 2 1006 1006 n<br />
2 2 2 k 9.2 2 k k 3.2 k 3.2 2<br />
Suy ra<br />
Suy ra<br />
Câu 4)<br />
.<br />
1006 a<br />
k<br />
3.2 2<br />
<br />
1006 b<br />
k<br />
3.2 2<br />
a, b , a b n<br />
<br />
b<br />
1 1006 b<br />
1007<br />
<br />
ab<br />
<br />
2 1 3 a<br />
1009<br />
1007<br />
2 a b<br />
b 1 a b<br />
1006<br />
2 3.2 hay 2 2 1<br />
3.2<br />
n 2016 .<br />
.<br />
A<br />
O<br />
T<br />
F<br />
E<br />
G<br />
I<br />
B<br />
M<br />
C<br />
D<br />
a). Ta có : Tứ giác AOMT nội tiếp nên : AOT<br />
EOD<br />
AMC (cùng bù với 2 góc bằng nhau) .<br />
AMT suy ra<br />
b). Ta thấy rằng: AMC# EOD<br />
( g. g) suy ra<br />
AC 2<br />
MC MC <br />
BC<br />
ED OD 2OD AD<br />
suy ra EAD# ABC<br />
nên EAD<br />
ABC , tam giác ABC nhọn suy ra O<br />
nằm trong tam giác suy ra ABC<br />
ADC (cùng chắn cung AC ). Từ đó suy<br />
ra EAD ADC suy ra AE // CD và suy ra AE AC .<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c). Từ chứng minh trên ta có:<br />
0<br />
FAE T AC 90 DAC<br />
. Suy ra<br />
FGT FAE DAC DBC FBT hay tứ giác FGBT nội tiếp nên<br />
TGB TFB EGA suy ra GO là phân giác của góc AGB . Gọi I là giao<br />
điểm của GO với ( O ). Ta có OA OB nên AGBO nội tiếp. Mặt khác<br />
OA OB OI nên I là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABG .<br />
Chú ý: Trong phần chứng minh ta đã sử dụng bổ đề sau: „‟Cho tam giác<br />
ABC nội tiếp ( O ), ngoại tiếp ( I ). Đường thẳng AI cắt ( O ) tại D thì<br />
DI DB DC ‟‟ Phần chứng minh dành cho các em học sinh.<br />
Câu 5) Nhận xét rằng trong tập hợp X có 34 phần tử, các phần tử đều có<br />
dạng 3n 1 với n 0,1,2,...,33. Trước hết, ta tìm các cặp hai phần tử phân<br />
biệt trong X là 3n1,3m 1 sao cho 3n 13m 1104 m n 34<br />
Với n 0 thì m 34 33. Với n 17 thì m 17 suy ra hai phần tử bằng<br />
nhau.<br />
Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử còn lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân<br />
biệt 3n1,3m 1 thỏa mãn nm 34 đó là<br />
4;100 , 7;97 , 10;94 ,..., 49;55 (*)<br />
Nếu ta lấy ra 19 số bất kỳ từ tập X thì có thể xảy ra một trường hợp “xấu”<br />
nhất là 16 số mà mỗi số thuộc vào 16 cặp ở (*) và thỏa mãn nm 34 . Vì<br />
tập con A có 19 phần tử nên nó thỏa mãn bài toán (đpcm).<br />
Câu 1) Ta có<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 9.<br />
2 2 2 2<br />
2 x 1 2y 2 2 2y 2 3z<br />
x 1 2 y ; y 4 6z 2y 2 3 z <br />
;<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2 3z<br />
5x<br />
z 15 3x 3z 5 x . Suy ra<br />
2<br />
4 1 2 4 6 15 3<br />
2 2 2<br />
x y y z z x <br />
2 2 2 2 2 2<br />
x 1 2y 2y 2 3z 3z 5<br />
x<br />
4 . Điều này tương đương với<br />
2 2 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
hệ:<br />
được<br />
2<br />
12y x 2 2<br />
12y x<br />
<br />
<br />
2 3z 2y 2 3z 2y<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
5x<br />
3z<br />
5 x 3z<br />
<br />
2 2 2<br />
P x y z<br />
2 2 2<br />
2 3 4 .<br />
. Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta<br />
Câu 2) Trước hết ta có nhận xét: Với mọi số nguyên n 1 thì<br />
2 1 2<br />
<br />
. Áp dụng vào bài toán ta có:<br />
n n 1 n n 1<br />
n<br />
1 1 1 <br />
1 2 ...<br />
<br />
A và<br />
2 2<br />
2 3 3 4 2016 2016 1<br />
<br />
1 1 1 <br />
1 2 ...<br />
<br />
A . Mặt khác ta<br />
2 2<br />
1 2 2 3 2016 1 2016 <br />
1<br />
cũng có:<br />
n1<br />
n từ đó suy ra<br />
n<br />
n1<br />
<br />
1 1 1<br />
2<br />
1 2 ... 1 2 2016 1 2<br />
2 2<br />
và<br />
<br />
<br />
2 3 3 4 2014 2016 1<br />
<br />
1 1 1<br />
2<br />
1 2 ... 1 2 2016 1<br />
2 2<br />
<br />
1 2 2 3 2016 1 2016<br />
Do đó <br />
2 A<br />
2<br />
1 2 2016 1 2 1 2 2016 1 4030 A<br />
4031<br />
vậy A 4030.<br />
Câu 3)<br />
a) Từ phương trình ( 2) ta có:<br />
<br />
3<br />
7x 3xy 3x y 1 3 x y x y 1<br />
Hay 7x 3 3xy 4x 2y x y 1 3 x yx y 1<br />
<br />
<br />
3 3 3 3<br />
8x y 6xy 2x y x y 3xy x y 3 x y 1 x y .1 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.
3 3<br />
2x y x y 1 2x y x y 1 x 1. Thay vào phương<br />
trình đầu tìm được nghiệm của hệ là: xy ; 1;1 , 1; 4<br />
.<br />
b) Giả sử , <br />
a<br />
dx<br />
<br />
a b d b dy<br />
<br />
<br />
xy , 1<br />
<br />
ab a b xy x y d<br />
Theo giả thiết ta có:<br />
Z Z . Mặt khác ta dễ<br />
2 2 2 2<br />
a ab b x xy y<br />
dàng chứng minh được:<br />
x 2 xy y 2 x x 2 xy y 2 y x 2 xy y 2 x y y 2 x<br />
suy ra<br />
.<br />
, 1; , 1; , 1; , 1<br />
2 2 2 2 3 3 3 3<br />
d x xy y d x xy y a b d x y d<br />
<br />
<br />
d 2 x 2 xy y 2 d 2 . xy ab hay<br />
3<br />
a b ab .<br />
Câu 4) Phân tích định hướng giải.<br />
A<br />
a). Từ giả thiết<br />
P<br />
PC QC PC QC<br />
<br />
PA QP PA PC QP QC<br />
PC<br />
AC<br />
QC<br />
PC<br />
2<br />
PC CACQ . .<br />
B<br />
S<br />
R<br />
Q<br />
C<br />
Mặt khác do tứ giác AQRB nội<br />
T<br />
tiếp nên CACQ . CR.<br />
CB .Từ đó suy ra<br />
PC<br />
2<br />
DCR.<br />
CB .<br />
Hay PC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBR .<br />
b). Từ chứng minh trên ta suy ra APB<br />
PRB ,Ta có<br />
0<br />
ABP 180 BAP APB BRQ BRP PRQ<br />
ASP ABP PRQ PSQ<br />
nên SP là phân giác trong của góc ASQ . Dựng đường thẳng qua SP cắt<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
AC tại T thì ST là phân giác ngoài góc ASQ . Ta có<br />
TQ PQ CQ PQ CQ CP TQ CQ TC<br />
suy ra<br />
TA PA CP PA CP AC TA CP CT AP<br />
CP CT AP CT. AC CT ( AP PC) CP. AP CT.<br />
AP CP CT<br />
hay C là trung điểm của PT . Vậy tam giác CSP cân tại C .<br />
c). Ta có<br />
2 2<br />
CS CP CQ. CA CR.<br />
CB<br />
suy ra<br />
0<br />
SRC BSC BSD DSC BAP APS 180 BDS<br />
. Hay<br />
0<br />
BDS 180 SRC SRB<br />
. Vậy tứ giác BSRD nội tiếp. Suy ra điều phải<br />
chứng minh.<br />
Câu 6) Với *<br />
k , ta có n k n k 1 n 2 n k 2 k nn<br />
1<br />
Lấy tích từ k 1 đến m ta được n<br />
m !<br />
<br />
n<br />
m !<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
n1 . n<br />
m<br />
(1)<br />
Ta có n k 2k<br />
, với mọi k 1,2,..., m. Lấy tích từ k 1 đến m , ta được<br />
n<br />
m!<br />
m<br />
2 . m!<br />
n!<br />
Mặt khác vì nm 1 nên n! n m!<br />
suy ra n m ! n m!<br />
.<br />
n m ! n!<br />
<br />
<br />
<br />
Do đó n<br />
m !<br />
m<br />
2. m<br />
n<br />
m !<br />
Từ (1) và (2) ta có đpcm.<br />
(2)<br />
ĐỀ SỐ 10<br />
Câu 1) Đặt y x 5, z 45 2x<br />
ta có y0, z 0 .<br />
Từ phương trình đã cho ta có hệ phương trình:<br />
Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất<br />
<br />
<br />
2<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
2<br />
35 2z<br />
35 2y<br />
(*)
2 2 yz<br />
2<br />
<br />
y z 2y 2z y z y z 2 0 <br />
y<br />
z<br />
Với y z thay vào phương trình đầu của hệ (*) ta được:<br />
2 y 5<br />
2<br />
y 2y 35 y 1 36 <br />
y 7<br />
Vì y 0 nên y 5 suy ra x 10 thỏa mãn phương trình đã cho.<br />
Với y z 2 z 2 y , thay vào phương trình đầu của hệ (*) ta được<br />
2<br />
2<br />
y y y y<br />
35 4 2 1 32 1<br />
4 2<br />
Vì y 0 nên y 1 4 2 suy ra z 1 4 2 0 . Do đó hệ (*) vô nghiệm<br />
Vậy phương trình có nghiệm x 10 .<br />
Câu 2) Để ý ta thấy:<br />
2n1<br />
n<br />
2 2.4<br />
n<br />
A 2 3 2 3 ta có 4 3k<br />
1 nên suy ra:<br />
2n1<br />
n<br />
2 2.4 2(3k1)<br />
k<br />
A 2 3 2 3 2 3 4.64 3 do<br />
k<br />
A <br />
k<br />
64 631 1 mod 7 0 mod 7 . Mặt khác ta có:<br />
2.4 8<br />
2 n<br />
3 2 3 7<br />
A . Suy ra<br />
2n1<br />
2<br />
A 2 3 là hợp số.<br />
Câu 3)<br />
nên theo tính chất c) ta có: 2<br />
Vì 2 3 A<br />
Mặt khác theo tính chất a) có <br />
2 3 A 5 2 6 A.<br />
5 A nên 5<br />
5 2 6 2 6 A<br />
Khi đó 2 6 2 3 6 2 4 3 A 6 2 4 3 A<br />
Ta có 5 2 5 3 A<br />
, suy ra <br />
6 2 4 3 5 2 5 3 3 2 A<br />
Do đó<br />
Câu 4)<br />
1<br />
3 2 A<br />
2<br />
3<br />
(đpcm).<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A<br />
E<br />
L<br />
M<br />
N<br />
G<br />
D<br />
P<br />
O<br />
F<br />
H<br />
B<br />
C<br />
a). Ta có<br />
CF<br />
1<br />
FCB FEB BCD suy ra CF là phân giác của góc BCD và<br />
2<br />
BD . Nên HCD HCB HED nên tứ giác CHDE nội tiếp<br />
b). Vì tứ giác CHDE nội tiếp nên HEB HDC HBC và <br />
nhau theo dây cung BE nên suy ra BE , đối xứng qua OC suy ra<br />
O và C cắt<br />
BDC CBD LEC suy ra tứ giác CELD nội tiếp nên 5 điểm C, E, L, D,<br />
H<br />
cùng nằm trên một đường tròn ( x ). Ta có: HLG HEC CBE CFE suy<br />
ra HGLF nội tiếp đường tròn ( y ).<br />
c). Ta thấy điểm H là trực tâm của tam giác BCL và LH là trục đẳng<br />
phương của hai đường tròn ( x),( y ) nên LH cắt EF tại P thì<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
PG. PF PD.<br />
PE suy ra<br />
PG PD<br />
. Mặt khác GM / / DN / / PL nên<br />
PE PF<br />
LM PG PD LN<br />
suy ra MN // EF nên tứ giác GM ND là hình bình<br />
LE PE PF LF<br />
hành. Từ đó suy ra DN<br />
Câu 5) Ta có<br />
MG .<br />
a b c 2<br />
a b b c c a<br />
<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 <br />
0<br />
Suy ra trong ba số a1, b1, c 1 luôn tồn tại hai số có tích không âm.<br />
Không mất tính tổng quát, giả sử b<br />
c<br />
<br />
Do đó abc 2 bc a b c bc a bc<br />
1<br />
Cauchy<br />
1 1 0 , suy ra b c 1 bc .<br />
hay a bc<br />
2 .Sử dụng BĐT<br />
2 2<br />
b c 2bc<br />
và a bc<br />
2 , ta có:<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a b c abc a bc abc a a bc<br />
4 2 4 2 2 0<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.<br />
HẾT<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất