Manipulación concepto del número - Service de l'informatique et ...

Objetivos de la conferencia
! 1-definir la manipulación y
caracterizar la abstracción;
! 2-entender el papel de las
manipulaciones en la adquisición del
concepto del número;
! 3-diferenciar la comprensión de la
numeración del conocimiento de la
serie de los números;
! 4-precisar las etapas y los
componentes de la adquisición de la
numeración.
Entorno estimulante de
aprendizaje matemático
Manipulación
y descubierta
personal
+
Enseñanza
sistemática y
ayuda
importancia para el niño o la niña de lograr
su primer encuentro con las matemáticas;
no tener facilidad para las matemáticas o
¿fracaso del primer contacto?
7
4
De la manipulación
a la formación del
concepto del número
Por
ROBERT RIGAL, Ph.D.
UQÀM, Canadá
San Luís Potosí
3 de Junio de 2010
Objetivos de la escuela:
el LEC
!Leer
!Escribir
!Contar: el tema de hoy
Los temas
! Objetivos de la conferencia
! El programa preescolar de México
! La manipulación
! La abstracción
! El número
! Etapas de la génesis del número
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8
2
Los temas de la conferencia
! Objetivos de la conferencia
! El programa preescolar de México
! La manipulación
! La abstracción
! El número
! Etapas de la génesis del número
El número: establecer relaciones
entre la cantidad, la palabra-número
y su representación gráfica
Cantidad
Palabranúmero:
"catorce"
Unidad
de cada
número
Representación
gráfica:
14 XIV
El programa preescolar:
contenidos de aprendizaje
! Desarrollo del pensamiento lógicomatemático
y del lenguaje matemático:
! La numeración (intuición del número y
etapas de la numeración; orden);
! La geometría (espacio, formas,
volúmenes, simetría);
! La medida (comparación, estimación,
grande, pequeño, cuantas veces, etc.);
! Gestión de resolución de problemas.
6
9
3

Pensamiento matemático y competencias
Aspectos en lo que se organiza el campo formativo
La niña
Número
o el niño
Forma, espacio y medida
• Utiliza los números en situaciones • R e c o n o c e y n o m b r a
variadas que implican poner en características de objetos, figuras y
juego los principios del número. cuerpos geométricos.
• Plantea y resuelve problemas en • Construye sistemas de referencia
situaciones que le son familiares y en relación con la ubicación
que implican agregar, reunir, quitar, espacial.
igualar, comparar y repartir objetos. • Utiliza unidades no convencionales
• Reúne información sobre criterios para resolver problemas que
acordados, representa gráficamente implican medir magnitudes de
dicha información y la interpreta. longitud, capacidad, peso y tiempo.
• Identifica regularidades en una • Identifica para qué sirven algunos
secuencia a partir de criterios de instrumentos de medición.
repetición y crecimiento.
Programa de Educación Preescolar de México, 200410
! Los saberes asociados al desarrollo de las
habilidades del razonamiento lógicomatemático,
del concepto del número, de
la geometría y de la medida dependen de:
! la observación,
! la exploración y del descubrimiento personal,
! la experimentación,
! la organización,
! la clasificación.
Todas estas aptitudes son asociadas a la
manipulación y a las acciones motrices;
es por la acción motriz que se empieza a
aprender.
EDUCACIÓN FÍSICA
primaria-secundaria
LA MOTRICIDAD
EL APRENDIZAJE
MOTOR
EL MOVIMIENTO
LA COORDINACIÓN
MOTRIZ
EDUCACIÓN MOTRIZ
preescolar-primaria
EDUCACIÓN
PSICOMOTRIZ
preescolar-primaria
EL APRENDIZAJE
COGNITIVO
LA ACCIÓN MOTRIZ
LOS CONCEPTOS
13
16
! "los problemas que se trabajan en educación
preescolar deben dar oportunidad a la
manipulación de objetos como apoyo al
razonamiento" (programa de educación
preescolar, México, 2004, p. 73);
! ¿cómo podemos saber…?, ¿cómo hacemos
para armar…?, ¿cuántos… hay en…?
! la manipulación da acceso al conocimiento
físico de los objetos y prepara el conocimiento
lógico-matemático : cuando digo que hay “dos”
objetos, creo una "relación" que no existe en los
objetos, la construyo mentalmente.
ACCIÓN MOTRIZ
! Serie de operaciones o de acciones
coordinadas de un movimiento voluntario
en una tarea dada, para alcanzar un
objetivo;
! Permite coger informaciones por
manipulaciones (percepciones) y utilizarlas
en la formación de conceptos;
! Componente de la psicomotricidad.
Descanso cognitivo
¿Donde está mi hacha?
11
14
La inteligencia lógico-matemática
es la capacidad de:
! razonar de manera lógica,
! efectuar cálculos,
! numerar,
! reconocer formas,
! estructurar el espacio y el tiempo,
! resolver problemas.
EDUCACIÓN FÍSICA,
MOTRIZ Y PSICOMOTRIZ
Educación
física
Educación
motriz
Los temas
! El programa preescolar
! La manipulación
! La abstracción
! El número
Educación
psicomotriz
! Etapas de la génesis del número
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15
18

Manipular
! Tener un objeto con una o las dos manos
y hacer algo con él, someterlo a una
operación;
! Desde el nacer, experimentando, el niño
adquiere informaciones directamente con
sus diferentes sentidos, su vivencia
personal.
! Al principio, ¡hay la acción!
! Según Vygotski, hay que "externalizar"
para poder "internalizar: es este papel
que juega el punteo (representación
externa del conteo) en el proceso del
recuento (internalización del principio de
la correspondencia término a término);
! para sumar o sustraer, los niños
empiezan siempre con los dedos para
resolver la operación;
! empezar por las acciones motricescinestésicas
y visuales con objetos que
uno siente y toca y luego continuar con
las representaciones cada vez más
abstractas;
Adolescentes y adultos tienen otras
estrategias para enumerar: dos por
dos o tres por tres, hacen conjuntos
de cinco y cuentan después el
número de grupos.
19
22
25
PERCEPCIÓN-ACCIÓN-REPRESENTACIÓN
La abstracción:
lo que se construye,
reflexionando;
los conceptos.
El ver, oír, sentir
El figurativo:
lo que se ve
directamente.
Propiedades
constitutivas del
objeto:
. forma, tamaño
textura y color
Representación
El saber
Percepción Acción
El hacer
Características del
movimiento:
. velocidad
. dirección
. amplitud
. fuerza
El operativo:
lo que se
descubre,
haciendo algo.
Propiedades:
- descubiertas:
. peso
. temperatura
. dureza
. pegajoso
- funcionales:
. cabe
. corta
. rueda
. agujerea
. rebota
. etc.
La resolución de tareas de aritmética
depende del proceso de numeración
(recuento) en el cual el punteo juega
un papel primordial;
el punteo permite de organizar la
numeración;
los niños de 4 años hacen menos
errores cuando pueden utilizarlo.
Las manipulaciones
! Primera etapa: el concreto; trabajar con
objetos reales distintos (clasificar, añadir,
quitar objetos).
¿Puedes poner juntos ¿Puedes formar conjuntos
los camiones idénticos? de botones semejantes?
23
26
Las manipulaciones
! Son fundamentales en el razonamiento
lógico-matemático: crear situaciones
donde, a partir de manipulaciones
concretas de objetos discretos
separados, el alumno puede adquirir
h a b i l i d a d e s p a r a c o m p a r a r l o s ,
escogerlos, clasificarlos, y ordenarlos,
construir una serie o una frisa;
! se parecen a juegos pero tienen un
objetivo de aprendizaje.
El niño o la niña a quien se impide el
punteo tiene dificultades en la
numeración; el que puede puntear
hace menos errores porque puede
separar el "ya contado" del "a contar".
Dificultad para los niños con
dyspraxias digitales (IMC) (difícil de
puntear) o visuo-espaciales (difícil
de dirigir los ojos) de enumerar
correctamente.
! Segunda etapa: el semi-concreto;
trabajar con representaciones (dibujos)
(rodear conjuntos para compararlos);
Haz conjuntos
de 3 mariposas
Las manipulaciones
Hay más
elefantes
¿Hay más leones
o elefantes?
21
24
27

Las manipulaciones
! Tercera etapa: el abstracto; escribir el
número de objetos y trabajar con los
números (las operaciones).
reemplazado por:
+ =
2 + 3 = 5
Taller 2
Manipulación guiada
Diferenciar y discriminar.
Reunir las formas, los animales que son exactamente
lo mismo;
hacer grupos equivalentes de formas, de animales (lo
mismo de formas o de animales en cada grupo).
28
JUEGO
CON
MATERIAL
INTERIORIZACIÓN
Y TRADUCCIÓN
POR
EL MATERIAL
La manipulación: formas
MANIPULACIÓN
EXPLORATORIA
MANIPULACIÓN ALEATORIA
EL EJERCICIO
EL HACER POR EL HACER
MANIPULACIÓN GUIADA
O PLANIFICADA
LA EXPERIENCIA FÍSICA O
LOGICO-MATEMÁTICA
EL HACER
PARA ENTENDER
MANIPULACIÓN AUTO-DIRIGIDA
LA GESTIÓN EXPERIMENTAL CON
LA EXPERIENCIA DEDUCTIVA.
DE LA IDEA A LA VERIFICACIÓN
29
Taller 1
Manipulación aleatoria
El juego con material real.
Distribución de material.
Exploración libre del material.
Al final, mirar lo que cada
uno-a ha hecho y pedirle que
explique.
30
31 32 33
34
Piedras angulares de la
numeración
! clasificación
! comparación
! recuento
35
A- clasificar: habilidad a reagrupar elementos en
función de un (o más) criterio (s) enumerado (s)
para constituir un conjunto de objetos (ej.: el
color + la forma + el tamaño); todos los objetos
son distribuidos en distintos grupos o
subconjuntos; semejanzas y diferencias;
! ¿Por qué clasificar? base de la lógica y de la
numeración; solo se pueden contar elementos
teniendo una propiedad en común, que
pertenecen a un conjunto;
! para clasificar, hay que diferenciar, discriminar,
escoger. 36

! ejemplos de criterios de clasificación:
! para las personas: niño-niña; menos de 5 años,
más de 5 años; color del pelo o de los ojos o de
los vestidos; letra al principio del nombre; clase
de animal en la casa;
! para los objetos: materia, forma, color, tamaño,
utilización, etc.
¿Cuáles estrellas son
las mismas que esta?
Criterios de clasificación:
objetos para:
- atar;
- taponar;
- cerrar.
Ejemplos de
agrupaciones
geométricas
para
compartir 24
palitos entre
2 personas
37
! Reagrupar las cartones que tienen la misma forma
¿Cuántas categorías de formas hay?
! ¿Son todas iguales las formas en cada categoría?
¿Puedes hacer sub-categorías?
! ¿Puedes seriar las sub-categorías de la donde hay
lo más de elementos a la que tiene lo menos?
38
B- comparar: actividad mayor de la manipulación
La equivalencia ¿tenemos lo mismo? Si no
tenemos lo mismo, ¿qué hacer para que
tengamos lo mismo? La diferencia ¿tienes más?
¿tienes menos?
! ¿Cómo comparar?:
! percepción directa visual: muy pocos elementos;
! correspondencia término a término: poner frente a
un objeto de un conjunto, un objeto del otro
conjunto o por reagrupación;
! por recuento cuando hay demasiado objetos;
40 42
Actividades: separar y distribuir objetos o dulces
(¿puedes repartir los dulces para que tu y yo
tengamos lo mismo?):
! distribución: uno por uno o dos por dos;
! visualización: hacer dos pilas a ojo;
! geometría: alinear los dulces de una pila a los de la
otra; hacer 2 figuras geométricas semejantes;
! recuento
43 44
Los animales
! ¿Cuántas familias de animales hay?
! ¿Cuántos animales hay por familia?
45

C- contar:
! dominar la cancioncita numérica: orden estable de
la serie de los números;
! establecer una correspondencia uno a uno entre
cada elemento del conjunto y una palabra número;
! la cardinalidad: el último número corresponde al
número de objetos.
Los mamíferos
Sobre la tierra y en
los árboles
En el agua y sobre la
tierra
Los ovíparos
! ordenar o construir una serie:
disponer en orden un conjunto de
objetos en función del tamaño, del
volumen, de la textura, etc.;
desemboca sobre la seriación (¿qué
es lo que viene después?).
?
?
46
52
! ¿Cuántas familias de animales?
! ¿Cuántos animales hay por familia?
AIRE
4
5
3
Clasificación de los pájaros a partir
de los sitios privilegiados de sus
desplazamientos
Águila
Quetzal
Golondrina
6
Alcatraz
¿Pueden Uds poner
algunos pájaros en
los distintos círculos
e intersecciones?
Picaza
Cuervo
8
6
Gallo
Kiwi
Emú
Avestruz
Ganso
Gaviota
Pato Pingüino
Pájaro-bobo
Petrel
AGUA
Taller 3
Manipulación auto-digirida
7
7
El diagrama
de Venn
TIERRA
53
50
! Para alimentarlos, quisiera empezar con el
grupo donde hay lo menos de animales y
acabar con el grupo donde son lo más
numerosos. ¿Puedes seriar de la familia la
más pequeña a la familia la más grande?
! “¿Puedes poner juntos los animales que
viven en el agua y sobre la tierra?”
“solamente sobre la tierra”; “sobre la
tierra y en los árboles”; “los mamíferos y
los ovíparos”; “los herbívoros y los
carniceros", etc.
Clasificación de las alumnas, de los
alumnos a partir de los animales que
tienen en su habitación
GATO
Lupita
Casandra
Luis
Ramón
Carmen
Roberto
Ana
Gabriel
Clara
Arturo
¿Quién tiene aves?
Julio
¿Quién no tiene un gato? Pedro
¿Quién tiene un gato y un perro? Maria
¿Un perro y aves pero no gato?
Julio
Pedro
Maria
Estebán
Alejandro
AVES
Los camiones
48
El
diagrama
de Venn
PERRO
! “Mi vecino es garajista y tiene muchos camiones
de diferentes modelos. Quisiera que uno le ayuda
contestando a las preguntas siguientes”:
¿Cuántos modelos diferentes de camiones hay?
¿Cuántos camiones por modelo?
54
51

Organización
13
2
9
5
Resumen: la manipulación (¡concreta!):
! permite de clasificar, construir una serie,
comparar, ordenar objetos;
! va a desarrollar, en el niña y la niña,
conocimientos y habilidades múltiples sobre:
! el concepto de la numeración;
! la comprensión de las relaciones que existen
entre los números:
! en el contexto cardinal (la cantidad, cuantos
objetos) y
14
6
7
8
55
! Ahora, el garajista quisiera pintar de nuevo todos
los camiones guardando sus colores originales.
! ¿Podrías reagrupar los camiones según el color de la
carrocería y el de la caja?
! ¿Podrías imaginar un tablero para clasificar los camiones
según estos dos criterios?
Clasificación
Caja
Total
general Verde Roja Amarrilla Azul Rosa
Verde 1 7 8
Carrocería Roja 19 4 23 46
Amarrilla
Azul
3 5 8
Rosa 1 1 2
Total 23 1 5 35 64/64
! Puedo ver que no hay cajas rosas o carrocerías azules.
! en el contexto ordinal (la serie, lo que viene
antes o después). 58 59
Los temas
! El programa preescolar
! La manipulación
! La abstracción
! El número
! Etapas de la génesis del número
61
¡CUIDADO!
No es porque las niñas o los
niños han manipulado que han
entendido de una vez para
siempre. Todo depende de su
grado de desarrollo cognitivo
alcanzado y de la ayuda del
adulto.
La abstracción: etapas (Piaget)
Abstracción
empírica o directa
Coordinación de los
resultados de las
acciones del sujeto
Manipulación
Abstracción
56
Abstracción
reflexionada o construida
Proceso y resultado de
las reflexiones
conscientes
62
Para pintar un camión, se necesitan 3kg
de pintura para la carrocería y 1kg para la
caja. Podrías calcular ¿cuántos kilos de
cada color tiene que comprar el
garajista?
Pintura!:
Verde!: 3kgx8+1kgx23 =" 47kg
Roja: 3kgx46+1kgx1 =" 139kg
Amarillo: 3kgx8+1kgx5= 29kg
Azul: 3kgx0+1kgx35 =" 35kg
Rosa: 3kgx2+1kgx0 =" 6kg
Descanso cognitivo
Busco a mi hermano
y a su ama de leche
La abstracción empírica
(primaria, simple o directa)
! Observando o actuando, constato
directamente la realidad, recojo datos sobre el
entorno;
! En su forma pura, consiste en el grabado en
la memoria de los caracteres perceptivos
(físicos) (forma, tamaño, color) los más
aparentes de los objetos;
! Las informaciones son adquiridas de la
presencia de los objetos o resultan de las
acciones concretas ejecutadas por el sujeto
(el peso, la temperatura, la textura, etc.);
! Clasificar en función de un criterio olvidando
los demás (el color independientemente del
tamaño). 63
57

De las abstracciones empíricas, por ejemplo,
generalizo (abstracción reflexionada):
! los objetos redondos ruedan;
! los teniendo dos lados llanos horizontales se
apilan;
! tirar de una cuerda es posible pero, empujar, no;
! si no se añade o no se quita nada de una colección
de objetos, su cardinal queda lo mismo,
quienquiera que sea que cuenta, en dónde esté;
! aunque la disposición espacial de un grupo dado
de objetos cambie (aspecto físico), su cantidad o
número (propiedad no física) queda lo mismo .
64
Transportar bloques rojos 2 por 2 y azules
3 por 3; sorpresa de constatar la igualdad
de las líneas después de 3x2r y 2x3a!
!
Estupendo: es igual!
La abstracción reflexionada
(secundaria o construida)
-introduzco relaciones entre los objetos
(relaciones que no existen en la realidad
exterior; el número: hay "4" que sean
manzanas, canicas, personas o fichas)
-generalizo mis representaciones, utilizando
mis estructuras cognitivas del momento
("tres" es "dos más uno" es también "uno,
uno y aún uno");
-el número 5 es independiente de los dedos
utilizados para materializarlo);
67
70
¡Constancia!
4-5 años
! ¿Cuántas canicas tienes?
una dos tres cuatro
! Bien. Entonces, ¿cuántas canicas hay?
una dos tres cuatro
! ¡Sí! Pero te he pedido,
¿cuántas canicas hay?
una
tres
dos
¡Reflexión y conservación!
6-7 años
! ¿Cuántas canicas tienes?
una dos tres cuatro
! Bien. Entonces, ¿cuántas canicas hay?
! ¿Y ahora?
! ¿Cómo lo sabes?
! Por que ninguna canica ha
sido quitado o adjunto
cuatro
cuatro
65
cuatro
68
La abstracción reflexionada
(secundaria o construida)
- reflexiono sobre los resultados de las
acciones, y no sobre las acciones ellas
mismas, (3 veces 2 es igual a 2 veces 3);
- la conservación de elementos (invariancia)
es lógica, deductiva y no empírica o
innata;
" Importancia de la mediación del adulto
para explicar un aspecto particular (ej.: la
simetría).
71
La niña o el niño empieza cada vez
a contar de nuevo sin darse cuenta
que, aunque la disposición de las
canicas haya cambiado, ninguna
ha sido adjunto o quitado:
es la abstracción empírica
Lo mismo sucede cuando el niño
tiene que sumar 6+4:
uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis,
siete, ocho, nueve, diez!
La niña o el niño se da cuenta que,
aunque la disposición de las
canicas haya cambiado, ninguna
ha sido adjunto o quitado:
entonces el número de canicas
queda lo mismo:
es la abstracción reflexionada
Cuando el niño tiene que sumar
6+4:
contesta: "¡son diez"!
Transportar bloques rojos 2 por 2 y azules
3 por 3; constatar y entender la igualdad
de las líneas después de 3x2r y 2x3a!
¡Normal que sea igual!
3x2 y 2x3 viene a ser lo mismo 72
66
69

5
... y su generalización
Cuando tenemos un rectángulo de anchura "a" y de
longitud "b+c", se puede cortar en dos entre "b" y "c" y,
de esta manera, establecemos que a x (b+c) = (axb) + (axc)
a
( 8 + 6 )
b c
Un caso...
a
(5 x 8) + (5 x 6)
5 x (8+6) = (5 x 8) + (5 x 6) = 40+30 = 70
CONCRETO
CONCRETO
CONCRETO
b c
a x (b+c) = (a x b) + (a x c)
ABSTRACTO
ABSTRACTO
ABSTRACTO
CONCRETO ABSTRACTO
CONCRETO ABSTRACTO
CONCRETO ABSTRACTO
10 años
4 años
La conciencia pre-numérica
Acontecimiento:1+1 = 1 ó 2?
Wynn, K. (1992). Addition and substraction by human infants, Nature, 3358, 749-750.
(bebes de 5 meses)
1- Puesta de
1 objeto
Después:
2- Rotación de
la pantalla
Sea: resultado posible
5-La pantalla
se baja…
revelando
2 objetos
3- Añadido de
otro objeto
4- La mano
sale, vacía
Sea: resultado imposible
5-La pantalla
se baja…
revelando
1 objeto
79
73
76
abstracción empírica:
la niña o el niño cuenta cada vez que
uno desplaza los objetos
abstracción reflexionada:
la niña o el niño sabe que es suficiente
de poner el dedo una sola vez sobre
cada objeto mientras recita la serie de
los números; cuando lo ha hecho una
vez, vale siempre lo mismo aunque los
objetos sean desplazados.
Descanso cognitivo
Voy a adivinar la fecha (día y mes) del
cumpleaños de cada uno y una de Uds
• 1- piensen al día de la fecha de su cumpleaños
• 2- multipliquen lo por 10
• 3- añadan 20 al resultado
• 4- multipliquen la suma por 10
• 5- añadan el número del mes de su nacimiento
• 6- inscriban el resultado y durante el descanso les
diré la fecha!
77
El número
! el número es un concepto (matemático) que
nos permite de definir una cantidad de
elementos o de la medir (se podría hablar de
la "numerosidad" de un conjunto) y de
ordenar una serie ;
! no está en la naturaleza ni en los objetos:
está en las relaciones que el hombre ha
introducido en las colecciones de objetos
(en su “cabeza” con su actividad cognitiva);
74
80
Abstracción y razonamiento
! la abstracción numérica: la formación
del concepto de número (¿Cuánto
hay? lo que significa un número);
! el razonamiento numérico: indica lo
que uno puede hacer cuando domina
el concepto de número (hacer
inferencias o prever los resultados de
una transformación como añadir o
sustraer 3 de un conjunto de 8
objetos, por ejemplo).
75
Los temas
! El programa preescolar
! La manipulación
! La abstracción
! El número
! Etapas de la génesis del número
El número
! el conocimiento de memoria de la serie
verbal "unodostrescuatrocincoseis" no es la
puerta de entrada del concepto del número
tal como el conocimiento de las letras
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz no es la
puerta de entrada de la lectura;
! nada vincula los primeros al número o las
segundas a la palabra!
! como los niños repiten la serie en el mismo
orden, es más fácil de nombrar el número
que viene después que el que viene antes.
78
81

El número
! se organiza y se construye por la
coordinación de la clasificación y de la
seriación;
! clasificación: poner los objetos en
categorías o clases utilizando una propiedad
común (¿cuántas perlas amarillas?, sin
consideración de sus tamaños);
! seriación: ordenar elementos en función de
una o más variables (tamaño, cantidad,
orden de llegada en una carrera, etc);
! el número incluye 2 aspectos: el aspecto
cardinal y el aspecto ordinal.
El número: comparar colecciones
! para saber si tenemos lo mismo,
estrategias de equivalencia:
- perceptiva visual (pequeños números:4

"Sí, hay lo mismo" "¿Hay lo mismo de canicas?"
¿Cómo lo sabes? "No, no hay lo mismo"
"Hay lo mismo porque": "¿Cómo lo sabes?"
-"uno no ha añadido nada"; "Es más largo aquí"
-"son los mismos";
-"acá es más largo pero aquí es más apretado";
-"se pueden poner como antes";
-"es el mismo número".
La terminología evoca:
-"acciones posibles" prácticas que el niño ya
tuvo la oportunidad de hacer;
-el conocimiento "simbólico" de la numeración. 91
Construyendo dominós
con estos elementos
El número es independiente
de la configuración o de los
objetos que componen la
colección
A María no le gustan mucho las
zanahorias pero le gustan las peras.
Indica el plato de zanahorias y el de
peras que va a elegir.
! !
94
97
Puedes solamente comer los chicles de una
línea. ¿La cuál vas a elegir?
Esta
Correspondencia término a término
! los objetos individualizados, distintos, "discretos";
! es fundamental en el desarrollo de la
cuantificación numérica: base de la numeración;
! permite de adquirir la noción de igualdad (hay lo
mismo) y de desigualdad (hay más o menos);
! base del recuento (equivalencia número /objetos)
empezando con pequeños conjuntos (1-2-3);
! adquisición del sentido cardinal de los números;
! comprensión del sentido de la suma y de la
sustracción.
95
Comparar colecciones
Dé una silla, un vaso y un
plato a cada niño. ¿Qué falta?
Faltan:
una silla
dos platos
tres vasos
92
98
¿Hay más estrellas en el
plato redondo o en el
rectángulo (tamaño de
los elementos)?
¿Cómo lo sabes?
! el número no cambia si el tamaño de
los elementos de la colección aumenta.
¿Hay más elefantes
o leones?
Comparar dos colecciones
¿Hay menos cocodrilos
o ránas?
Bajo de cual aceituno
¿hay lo más de aceitunas?
93
96
99

¿Hay lo mismo de
gatitos en los dos
rectángulos?
¿Cuántos más?
Márcalos.
Anticipar el resultado de una comparación:
formar una colección equipotente
Quisiera taponar estas botellas.
¿Puedes ir a buscar los
tapones necesarios, allá,
por favor? Solamente lo
que necesito de tapones,
ni menos ni más.
¿Hay más moscas o mosquitos?
¿Hay más mariposas o mosquitos?
¿Hay más abejas o moscas?
¿Hay más mariposas o abejas?
¿Hay más mosquitos o insectos?
Forma el conjunto de los
niños que tienen una cartera
Forma conjuntos de tres
mariposas
100 101
103
106
¿Puedes poner la
misma cosa de
objetos al lado?
(de 1 a 5)
¿Puedes poner uno
objeto menos al
lado?
Comparar dos colecciones
¿Hay más mujeres o hombres?
7 6
¿Puedes
reproducir al lado
con un auto más?
Comparación del cardinal 7 al cardinal 6.
7 es más grande que 6.
Hay más mujeres que hombres.
104
107
Correspondencia uno a uno
Los aros representan madrigueras de conejos.
Los alumnos son los conejos. Cuando la música
para, los alumnos tienen que entrar en las
madrigueras, un alumno por cada zanahoria.
¿Quién tiene más de
¿Quién tiene más de
¿Quién tiene más de
¿Quién tiene más de
¿Quién tiene más de
Comparar dos conjuntos
Rodea el que tiene más de...
Descanso cognitivo
El problema de los anillos de Silveira:
el collar a 15 pesos
A B
Pasar de A a B sin gastar más de
15 pesos sabiendo que:
-abrir un anillo cuesta 2 pesos
-cerrar un anillo cuesta 3 pesos 108
102
105

Diferenciar:
! las cifras (1-2-3-4-5-6-7-8-9-0);
! el número (18 utiliza dos cifras);
! la palabra-número (palabras para nombrar
verbalmente los números: para pronunciar
18, necesito 2 palabras-números, "diez" y
"ocho");
Rodea y une cada colección de animales
al número que le corresponde.
1 2 3 4 5 6
Colorea del mismo color los
dominós del mismo valor.
Después, une lo que va bien junto.
uno elefante
dos elefantes
tres elefantes
aquí
¿Dónde hay:?
aquí
aquí
109 110
112
115
"Déme como eso de carritos"
uno uno y uno
¿Cuánto es?
son "3"
Colorea los conejos
que tienen 2
zanahorias.
Colorea los lagartos.
Rodea después el
número correcto.
4 5 6
113
116
uno
uno
¿Cuántos elefantes hay?
Se entiende
mejor que las
palabras son
apellidos de
dos tres cuatro números al lado
"los cuatro"
que abajo
dos tres cuatro
"los cuatro"
"Déme tres carritos"
Es como eso:
uno uno y uno
uno uno y uno
representación
analógica
respuesta
representación
numérica
hace "tres": "3"
representación gráfica
Encontrar el conjunto equivalente
! Construir 6 bolos (con botellas de plástico casi
llenas de arena);
! Disponerlas a algunos metros de los alumnos
que tienen que tirarlas al suelo con un balón;
! Cada uno tiene que encontrar la carta con el
número de puntos equivalente al del número de
bolos echados abajo.
111
114
117

Resolver un problema: completar una colección
Luis tiene 5 perlas.
¿Cuántas perlas escondidas
tiene en su mano?
1
2
3 2
2
Perlas escondidas
3
Luis tiene 8 perlas.
¿Cuántas perlas escondidas
tiene en su mano?
¿Puedes rodear los 10 osos que
se encuentran en la habitación?
121
118
Numeración
Escribe el
número de
animales que
has numerado.
Haz una X sobre dos elementos en cada
uno de los conjuntos siguientes.
¿Cuántos objetos te quedan?
4
X
Me quedan ____ lápices
X
Me quedan ____ tijeras
X
X
3
3
Me quedan ____ flechas
X X
Me quedan ____ corazones
X
X
Indica el número de cuadrados, de
círculos, de triángulos y de estrellas
6 4
2
3
1
4
56
124
Ref.: Les p'tits incollables, Paris, Play Bac, 2003
¿Hay más dibujos o tiestos de flores en las ventanas?¿Cuántos más?
¿Cuántos pájaros hay?
¿Cuál persona es la más alta, la más pequeña?
¿Ves la mariquita?
¿Cuántas personas ves? ¿Y en la acera? ¿Y cuántas mochilas?
¿Cuáles alumnos tienen un jersey morado? ¿Qué más tienen igual?
125
5
6
7
122
119
En cada peña,
quisiera ver 10
mejillones
Une cada conjunto de soles al número
que lo representa
Gagné, N. Jeux de lettres et de
nombres, Paris, Hachette, 2004.
120
123
Ref.: Les p'tits incollables, Paris, Play Bac, 2003
¿Hay más pájaros volando o mirando, sobre la pared de atrás?
¿Qué color tendría que tener el maillot del partidario a la primera fila?
¿Quién tendría que sentarse a la tercera fila, un niño o una niña?
¿Cuál jugador tiene el número más grande en su maillot?
¿Cuántos jugadores "azules" hay en el terreno?¿Y de bastoneras?
126
¿Cuántos partidarios de LA y de NY hay en las graderías?

Ref.: Les p'tits incollables, Paris, Play Bac, 2003
¿Quién ha puesto su abrigo al revés? ¿Qué falta al más gran carrito?
¿En cuales cajas hay igual de legumbres, el mismo número?
¿Cuantos tipos de quesos hay en la mesa?¿Cuál es el más caro?
¿Cuál es el precio de los aguacates? ¿Qué es lo que cuesta lo mismo?
¿Cuál legumbre es el más barato?
¿Cuáles elementos cuestan lo mismo?
127
Colorea el número de dedos que
corresponde a la cantidad de objetos
y escribe el número en el cuadrado
El aspecto cardinal:
síntesis
! el niño o la niña domina el conocimiento del
aspecto cardinal del número cuando:
! cuenta o enumera los elementos de un
conjunto para determinar la cantidad y decir
cuanto hay;
! se apoya sobre el conteo para comparar dos
conjuntos (donde hay más o menos);
! conoce la canción númerica;
! anticipa la serie de los números (que hay
después de o antes de).
3
4
2
5
1
130
133
Codificar-descodificar
! Codificar: del concreto al abstracto ;
actividades primeras y las más comunes;
(escribir el número de objetos de cada
conjunto; dibujar los conjuntos de objetos
agrupados);
Codificar-descodificar
! Descodificar: del abstracto al concreto; atar
de nuevo una actividad abstracta a una
actividad semi-concreta o concreta); (dibujar
una colección que corresponde a un número;
dar la cantidad de objetos que corresponde a
un número).
• importancia de una buena comprensión
de los números uno, dos, tres, cuatro,
cinco que los niños pueden generalizar a
los siguientes; es el principio de la
inclusión y de la descomposición;
• dos es: [uno y uno];
• tres es: [uno, uno y uno] o [dos y uno] o
[uno y dos]; maneras distintas de
totalizar sus unidades;
• es el principio de la pluralidad.
128
131
134
4
Gagné, N. Jeux de lettres et de
nombres, Paris, Hachette, 2004.
0
4
1
2
3
3
Colorea únicamente
el número de
elementos indicado
En cada cuadro
abajo, dibuja el
número de puntos
indicado por la cifra
Problemas surgiendo
distinguir
"concebir el nombre"
c o n s t r u y e n d o
colecciones-testigas
apareadas a una
c o l e c c i ó n y a
construida.
de
129
132
"saber nombrarlo"
diciendo la serie de
los números, el
conteo.
135

Adición
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XX
XXX
XL
L
Numeración griega
...y romana
C
CC
CCC
CD
D
M
MM
El aspecto ordinal
15
136
! unido a la noción de orden o de posición
dentro de una serie;
! permite de contestar a ¿qué número hace?
! el niño o la niña manifiesta que domina este
aspecto cuando:
! puede predecir o decir el número que llega
antes o después de...( 8 viene después de 5
pero antes de 12);
! sigue contando empezando a cualquier
número.
139
142
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100
Numera de 1
a 6 las
etapas del
disfraz, del
más sencillo
al más
completo
La serie de los números
¿Cuánto es?
MMMMDCCCLXXXVIII
4888
¿Y ahora?
142 368 795
2
A B
4
C D
5
E F
1
6
3
137
140
143
Lo
conocido
¿Podría
existir?
¿Podría
existir?
¿Podría
existir?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 3 5 1 2 6 4 9 8 70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
uno buno cuno duno funo guno luno muno nuno unod
138
Numeración china
1 yi 11 shi-yi 21 er-shi-yi
2 er 12 shi-er 22 er-shi-er
3 san 13 shi-san 30 san-shi
4 si 14 shi-si 40 si-shi
5 wu 15 shi-wu 50 wu-shi
6 liu 16 shi-liu 60 liu-shi
7 qi 17 shi-qi 70 qi-shi
8 ba 18 shi-ba 80 ba-shi
9 jiu 19 shi-jiu 90 jiu-shi
10 shi 20 er-shi 99 jiu-shi-jiu
1
2
3
Sigue
numerando los
dedos
Al principio, el número depende de la organización de
los elementos y no de la cantidad de los elementos
¡5 # de 3 + 2 !
7
141
144

¡Recuérdate!
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Faltan algunos números en la regla.
Añade los números en los cuadrados
9
2
Gagné, N. Jeux de lettres et de
nombres, Paris, Hachette, 2004.
10
6
3
5
10
15
8
12
Actividades y juegos motores
! ¿Cómo determinar el "primero", el que va a
empezar?
! canción: am stram gram...
! al asar: sortear un apellido
! escribir su apellido sobre una línea; él que
lo tiene frente a la cruz gana;
X
148
145
151
¿Puedes seguir los números de 1 a 10 para
conducir la ratona al queso?
Ordenar según el número de
puntas, de la que tiene menos a la
que tiene más
El número ordinal
primero
segundo
tercero
cuarto
quinto
sexto
séptimo (sétimo)
octavo
noveno
décimo
undécimo
duodécimo
decimotercero(decimotercio)
decimocuarto
decimoquinto
decimosexto
decimoséptimo
decimoctavo
decimonono(decimonoveno)
vigésimo
vigésimo primero
146
En cada
equipo hay 6
jugadores.
¿Puedes
inscribir los
números que
faltan?
149 150
152
147
Recorta los números y
pégales en el bueno
lugar
Descanso cognitivo
El orden de los deportistas en una carrera
! Cuando, en una carrera el tercero
adelanta el segundo, vuelve el ¿...?
! ¿Primero?
! ¡No! ¡Vuelve el segundo!

Los temas
! El programa preescolar
! La manipulación
! La abstracción
! El número
! Etapas de la génesis del número
El conteo:
dar un "número" a cada objeto
uno dos tres cuatro cinco
En el conteo, cada objeto tiene un
"apellido" (uno, dos, tres, etc) y nada
indica que el "3" incluye el "1" y el "2".
Etapas de la génesis del número
! 3- para contar, se necesita puntear los
objetos uno después de los otros,
establecer un orden; pero a menudo se
salta o se olvida o se cuenta dos veces uno
u otro objeto (no coordinación);
! a cado objeto asignar un número en el
orden de la serie numérica; el último
nombrado corresponde al cardinal de la
colección.
154
157
160
Etapas de la génesis del número
! 1- la "cancioncita numérica": el nombre es
un elemento lexical desprovisto de toda
significación aritmética; el orden de los
números es una continuación desconectada
de toda relación a una cantidad
(unodostrescuatrocincoseissieteochonueve);
! conocer "la canción" no implica la posesión
o la comprensión del concepto de "número";
! errores frecuentes en la serie: uno, dos,
cuatro, seis, ocho, tres...
La numeración:
el total
uno dos tres cuatro cinco
En la numeración, cada número de
objeto incluye los objetos ya contados.
Construir la ley: N+1, producto social
que cada uno tiene que construirse.
! dificultad a formar un conjunto igual a
un conjunto prueba.
Problemas a resolver
! ir al mismo compás en la exploración
visual de la colección, en la puntería con
el dedo y en la pronunciación de la serie
de los números (mirada, movimiento, voz);
miro punteo digo
"uno"
! resumir la información con el último
número pronunciado, el cardinal, que
corresponde a la cantidad de objetos.
! los errores surgen de la dificultad a
coordinar todos los aspectos al mismo
tiempo (carga cognitiva).
161
155
158
Etapas de la génesis del número
! 2- asociación del número a una cantidad
dado de objetos:
! por un reconocimiento global: los
números perceptivos (de uno a tres);
! por un conteo-numeración: se necesita
una coordinación y una organización entre
la recitación de la serie de los números y
la acción de contar (no olvidar un
elemento ni contarlo dos veces);
La numeración
Estrategias
! contando desplazando
! contando punteando
! contando mirando
156
159
! cuidado con esta
disposición
162

La numeración por puntería
Etapas de la génesis del número
163
4- asociación de una cantidad a un número:
cuenta los objetos pero el número de los
objetos corresponde al último objeto
contado;
"6"
"Muéstrame los diez huevos" "¡Es este!" 166
¿Dónde hay 4 mariposas?
169
Etapas de la génesis del número
! conocer la serie de los números es una
cosa y ¡contar otra!
1 2
6 7
4
5
3
1 2
sin coordinación con coordinación
! para realizar una colección, se necesita
recordarse de lo que ha sido pedido:
contando y acaparados por la serie
numérica, sucede que los niños se
olvidan hasta cuando tenían que contar.
Etapas de la génesis del número
5- la serie de los números: cada número
incluye los objetos precedentes ya
contados; "6" no representa el último
objeto contado sino el conjunto de todos
los objetos enumerados: es la inclusión
jerárquica con el número cardinal.
"6"
7
8
1 2 3 4 5 6
el número final incluye
todos los precedentes
Conservación
6
4
5
3
164
167
170
Colección y comparación
Taller 6
Colección y comparación
Etapas de la génesis del número
165
6- el número es independiente de la disposición
física de los objetos del conjunto: ha adquirido
la conservación del número, el cardinal.
"6"
"6"
"6"
conservación: algunos niños responden
inmediatamente que hay el mismo número de
objetos, otros tienen que contar de nuevo.
Comparación de conjuntos
hay niñas y niños que se fían a la
apariencia (más grande el espacio
ocupado, más grande el número de
objetos), otros que cuentan muchas veces
sucesivamente cada colección (se olvidan
el número al final de la numeración), otros
que establecen una correspondencia
término a término entre las dos
colecciones.
168
171

Comparación
Conservación por imágenes
! numerar: numeración desde el principio
uno
¿Cuánto hay?
Numerar luego calcular
uno dos tres cuatro
dos tres cuatro
cinco
añadir 2
seis
! calcular: poner en relación cantidades
directamente a partir de las representaciones
numéricas sin pasar por la realización física:
4+2 = 6.
Etapas de la génesis del número
7- el símbolo numérico puede representar
distintas cosas:
el cardinal
la cantidad "6":
2x3; 4+2; 18÷3
el ordinal
"el 6° de la serie"
un elemento non numérico de identificación
que no vale 2 veces 3:
"843-6314" o el bus "26" o el maillot "66" 66
Etapas de la génesis del número
8- diferenciación del símbolo del
signo social matemático "3" que
representa una colección única de
objetos. El signo se usa para hacer
operaciones sin la presencia concreta de
los objetos.
una medida de una cantidad
continua: tengo "6" años. 173 174
Etapas de la génesis del número
9- el cálculo y las operaciones:
! tengo 4 canicas y Pablo me regala 3;
¿cuántas canicas tengo ahora?
! juntos, María y yo tenemos 9 dulces; ella
tiene 5; ¿cuántos tengo yo?
! tengo 5 chicles y Carmen 3 de más que yo;
¿cuántos chicles tiene?
175 176
178
¿Cómo sumar 4+2?
1- representación motora manual:
agarrar y ordenar en fila 4 fichas luego agregar 2
fichas más y finalmente contarlas mientras se
van señalando con el índice empezando a "uno";
1 2 3 4 5 6
+
=
reemplazado por
2 + 3 = 5
Este cuadro indica el número de animales que
Luis tiene que cuidar mañana
Perro
Gato
Mañana
Tarde
¿Cuántos gatos Luis va a cuidar mañana?
¿Cuántos perros Luis va a cuidar mañana?
Noche
¿Cuántos más perros que de gatos Luis va a cuidar mañana?
¿Cuántos animales Luis va a cuidar mañana?
2- representación manual media abstracta:
levantar 4 dedos de la mano izquierda, luego 2
Escoger-clasificar Seriar Ordenar
de la mano derecha y contarlos todos
empezando a "uno";
3- representación abstracta:
2 3
1 4 5
6
Comparar dos conjuntos Alinear
contar en voz alta diciendo "cuatro" y continuar
con "cinco, seis".
4- de memoria:
La cantidad y el tamaño El orden y la posición
sé que 4+2 son 6
179 Noción del número cardinal Noción del número ordinal
180
177
Resumen
Concepto del número
Manipular -> observar -> comparar
Semejanzas Diferencias
Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987)

Resumen
Numeración
Reconocimiento global
(pequeños números)
Sin
coordinación
Sin separar los
objetos ya
numerados de los
demás
Otros establecen una
correspondencia término
a término o reagrupan
Puntería
Con
coordinación
Separando los
objetos numerados
de los demás
(organización)
Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987)
Resumen
Comparación de dos colecciones
Algunos se fían de
la apariencia (el
espacio ocupado)
Otros cuentan cada
colección varias veces
en seguida (se olvidan el
número de una de ellas)
181
Los "adultos" cuentan y
memorizan (memorización
y coordinación)
Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987)
¿Cómo saber lo que los niños,
las niñas conocen del número?
! ¿hasta cuánto puedes contar?
! comparación de dos conjuntos: ¿hay más
o menos de...? ¿ Qué se puede hacer para
que sean iguales?
! contar una colección de objetos sin
equivocarse (aumentar el número si
necesario);
! ¿puedes poner 8 carritos sobre la mesa?
! ¿cuántos objetos hay sobre la mesa? ¿Y
ahora si yo añado uno más? ¿Y si saco
uno? ¿Añado 2? ¿Saco 2?
187
184
Resumen
Constitución de una colección
Memorización
(lo por hacer: ¿hasta
cuánto contar?)
Coordinación
(separar los
elementos contados
de los demás)
Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987)
Las matemáticas:
del concreto .............. al abstracto
Situación
Pila de objetos
Generalización
El número se aplica a una
cantidad definida de objetos,
pero se disocia de ella;
6 es 2 veces más grande que 3.
Manipulación
Separar y
reagrupar a
partir de criterios
Representación
Abstracción
El número como símbolo.
Colecciones idénticas en
cantidad de objetos diferentes
tienen el mismo cardinal
Tareas de diagnóstico
182
Comprensión
Un objeto tiene
varias propiedades
distintas
Interiorización por
integración
La clase: el número de objetos
de una colección disminuye si el
número de criterios aumenta
! 1- la serie de los números (cancioncita numérica);
! 2- la numeración de una colección de objetos
(¿cuántos botones hay sobre la mesa?);
! 3- constituir una colección de objetos (¿puedes
poner seis canicas sobre la mesa?);
! 4- reconocimiento de la cardinalidad (contar una
colección y luego pedir:"¿cuánto hay si añado 1,
2? ¿si quito 1, 2?";
! 5- comparación de dos colecciones de objetos
(¿hay más palitos o fichas?) (¿qué hay que hacer
para que haya lo mismo en ambos lados?) 188
185
Resumen
Conservación del número
No,
la niña, el niño cuenta
de nuevo;
el número depende de
la disposición espacial!
Sí,
directamente
(nada ha sido
sacado o añadido)
Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987)
Etapas en la evolución de la numeración
! cancioncita numérica (unodostrescuatrocinco):
los números parecen no diferenciados;
! lista non cortable: los apellidos de los números
son diferenciados pero hay siempre que
empezar el conteo a "uno" en una
correspondencia término a término en la
presencia de los objetos; (3+2= uno, dos, tres,
cuatro, cinco);
! lista cortable: el conteo puede empezar a
cualquier número (3+2= tres, cuatro, cinco);
! serie numérica: el conteo puede hacerse en la
ausencia de objetos (3+2= 4 hace 1, 5 hace 2 "5").
186
Conclusión
! cada uno construye su conocimiento de la
numeración a partir de su desarrollo
cognitivo;
! las actividades concretas de manipulación
y las acciones motrices permiten el acceso
a la abstracción;
! la numeración supone la conservación;
183
189

Conclusión
! el número es un conocimiento lógicomatemático,
el resultado de una acción
motriz luego mental del sujeto: no existe en
los objetos físicos;
! el número no se "enseña", sino de manera
indirecta, a partir de situaciones didácticas
que permiten de poner en relación objetos,
de determinar su cantidad, de recibir un
feedback.
FIN
GRACIAS
190
193
Representación de la cantidad, del número:
! concreta: los objetos ellos mismos; podemos
desplazarlos y manipularlos;
! pictórica, figurada o analógica (símbolo
personal): un trazo, una piedra, un dibujo, un
dedo por cada objeto o animal;
! numérica:
! verbal (la palabra número): tenemos "seis"
pelotas;
Conclusión
! signo (universal): las cifras (14) u otras (XIV). 191
Correl
Rigal.robert@uqam.ca
Sitio web
http://rigal.robert.uqam.ca/
194
Numeración
C
I
Ó
verbal
"cuatro"
"quatre"
"vier"
A
N
figurada
numeración
L
U
concreta
M A
P
N
I
escrita
"4"
"IV"
Referencias
! Bednarz, N., Janvier, B. & Archambault, J. (1987). Le
concept de nombre et son acquisition chez le jeune
enfant, UQAM, Service de l'audio-visuel.
! Crahay, M., Verscha!el, L., de Corte, É. & Grégoire, J.
(Eds.) (2005). Enseignement et apprentissage des
mathématiques. Bruxelles: de Boeck.
! Gagné, N. (2004). Jeux de lettres et de nombres. Paris:
Hachette.
! Les p'tits incollables (2003). Paris: Play Bac.
! Piaget, J. (1977). Recherches sur l'abstraction
réfléchissante. Paris: PUF.
! Piaget, J. & Inhelder, B. (1959). La genèse des
structures élémentaires. Classification et sériation.
Neuchâtel: Delachaux et Niestlé.
! Rigal, R.A. (2006). Educación motriz y educación
psicomotriz en Preescolar y Primaria. Barcelona: Inde.
! Vygotsky, L.S. (1997). Pensée et langage. Paris: 195
La
Dispute.
192