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Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

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1 Hechos generales El conjunto de los números enteros es : Números Enteros Teresa Krick ∗ Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } = −N ∪ {0} ∪ N (donde − N := { −n; n ∈ N }). Una de las razones de la necesidad de trabajar con estos números es que en N no se puede restar (en general), y así Z se obtiene a partir de N agregando los números negativos. Mencionemos que en Z la operación + cumple las siguientes propiedades, que le dan una estructura de Grupo Conmutativo : • Para todo a, b ∈ Z , a + b ∈ Z . • Conmutatividad : Para todo a, b ∈ Z , a + b = b + a . • Asociatividad : Para todo a, b, c ∈ Z , (a + b) + c = a + (b + c) (y por lo tanto, se puede escribir a + b + c sin aclarar qué se suma primero). • Existencia de Elemento Neutro : Existe un elemento en Z (único) que es el 0 , que verifica que para todo a ∈ Z , a + 0 = a . • Existencia de Opuesto : Para todo a ∈ Z , existe un (único) elemento, que es −a , tal que a + (−a) = 0 . La razón por la que se le da un nombre a los conjuntos con una operación que verifica las 5 propiedades mencionadas, es que se observó que hay muchísimos conjuntos que, junto con una operación, verifican esas propiedades (por ejemplo, con la suma, Q , R , C , R 2 , R[X] , . . . ) y entonces, a fin de estudiar las consecuencias de esas propiedades, conviene hacerlo de una vez por todos en el caso abstracto general y luego aplicarlo en cada caso en lugar de estudiarlas para cada conjunto en particular. En Z también se puede multiplicar : la operación · cumple propiedades parecidas a + , aunque no todas : • Para todo a, b ∈ Z , a · b ∈ Z . • Conmutatividad : Para todo a, b ∈ Z , a · b = b · a . • Asociatividad : Para todo a, b, c ∈ Z , (a · b) · c = a · (b · c)(= a · b · c = a b c) . • Existencia de Elemento Neutro : Existe un elemento en Z (único) que es el 1 , que verifica que para todo a ∈ Z , 1 · a = a . ∗ Notas correspondientes a la parte deEnterosde la materia Algebra 1 de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, con el apoyo de los subsidios UBACyT X-198 y CONICET 2461/01. 1

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