Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

• No hay Existencia de Inverso multiplicativo : Los únicos elementos inversibles a de Z para
el producto, o sea que verifican que existe a −1 ∈ Z de manera que a · a −1 = 1 son el 1 y el
−1 .
La propiedad siguiente relaciona el producto con la suma:
• Distributividad del producto sobre la suma : Para todo a, b, c ∈ Z , a · (b + c) = a · b + a · c .
Estas propiedades de la suma y el producto en Z hacen que Z tenga una estructura de Anillo
Conmutativo (estructura que conviene estudiar en general por las mismas razones que conviene
estudiar la de Grupo).
Recordemos otras propiedades que ya conocemos de Z o también de subconjuntos de Z :
• Z es un conjunto inductivo, que contiene estrictamente a N y para el cual no vale así nomás
el principio de inducción ya que no tiene primer elemento por el cual empezar la inducción.
• Si fijamos n0 ∈ Z , en Zn0 := {m ∈ Z; m ≥ n0} vale el principio de inducción empezando en
n0 . Por ejemplo en N0 := N ∪ {0} vale el principio de inducción.
• Equivalentemente, Zn0 y N0 son conjuntos bien ordenados, o sea, cualquier subconjunto no
vacío de Zn0 o N0 tiene primer elemento o mínimo (un elemento en el subconjunto menor
o igual que todos los demás).
2 Divisibilidad
El hecho que los números enteros no son divisibles (con cociente entero) por cualquier otro número
entero hace interesante estudiar la noción y consecuencias de la divisibilidad. (Este estudio no se
justifica por ejemplo de la misma manera en Q o R donde todo número racional o real es divisible
(con cociente racional o real) por cualquier otro número racional o real no nulo.)
Definición 2.1 (Divisibilidad)
Sean a, d ∈ Z con d = 0 . Se dice que d divide a a (o que a es divisible por d , o que a es
múltiplo de d ) si existe un elemento k ∈ Z tal que a = k · d (o sea si el cociente a
d es un número
entero).
Se nota d | a (con una barrra vertical, no confundir con la barra del cociente / ). O sea:
d | a ⇐⇒
def ∃ k ∈ Z : a = k · d.
En caso contrario, se dice que d no divide a a , y se nota d ∤ a . Eso es cuando el cociente a
d /∈ Z ,
o sea no existe ningún entero k ∈ Z tal que a = k · d .
El conjunto de los divisores positivos y negativos de un entero a se notará por Div (a) y el de los
divisores positivos por Div+ (a) .
(Nota : en algunos libros no se excluye el caso d = 0 pero se conviene que 0 divide únicamente
al 0 . Igualmente en este curso excluiremos el caso d = 0 para no “dividir por 0 ”.)
Ejemplos
• 7 | 56 pues 56 = 8 · 7 .
• 7 | − 56 , −7 | 56 , −7 | − 56 .
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