Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Recordemos que vimos en los primeros ejemplos de divisibilidad que: n | m ⇒ a n − 1 | a m − 1 .
En el caso general, m = k n + r con 0 ≤ r < n , y entonces
a m − 1 = a k n+r − 1 = a r (a k n − 1) + (a r − 1) = k ′ (a n − 1) + a r − 1,
dado que n | k n ⇒ a n − 1 | a k n − 1 . Además, como 0 ≤ a r − 1 < a n − 1 por ser 0 ≤ r < n
y a ∈ N , a = 0 , se tiene que a r − 1 es el resto de dividir a a m − 1 por a n − 1 . Por lo tanto,
aplicando la Observación 6.2, se obtiene
(a m − 1 : a n − 1) = (a n − 1 : a rn(m) − 1).
La conclusión se obtiene de la misma manera que se probó el algoritmo de Euclides.
Una consecuencia inmediata del algoritmo de Euclides es el importantísimo resultado siguiente:
El máximo común divisor entre dos números se puede escribir como combinación entera de esos
números, y de hecho es el número natural más chico con esa propiedad.
Teorema 6.3 (mcd y combinación entera)
Sean a, b ∈ Z , no ambos nulos. Entonces: ∃ s, t ∈ Z : (a : b) = sa + tb
Antes de demostrar este teorema, miremos cómo se pueden obtener en forma sistemática coeficientes
enteros s y t , en el caso particular del ejemplo que calculamos antes:
Ejemplo (continuación) (120 : −84) = 12 :
Mirando las dos divisiones que permitieron obtener a 12 como último resto no nulo, pero al revés,
se tiene
84 = 2 · 36 + 12 =⇒ 12 = 84 − 2 · 36
120 = 1 · 84 + 36 =⇒ 12 = 84 − 2 · (120 − 1 · 84)
= 3 · 84 − 2 · 120.
Por lo tanto, 12 = −2 · 120 + 3 · 84 = −2 · 120 + (−3) · (−84) . Aquí, s = −2 y t = −3 sirven.
Prueba del Teorema 6.3.–
Se miran al revés las sucesivas divisiones hasta la que da al máximo común divisor como último
resto no nulo, y, tratando los sucesivos divisores y restos como si fueran variables y reagrupando,
se obtiene una escritura entera de (a : b) como combinación entera de a y b . (Luego, si habíamos
—para simplificar las divisiones— cambiado los signos de los a y b originales, se modifican los
signos para escribir (a : b) como combinación entera de los a y b originales.)
rℓ−2 = kℓ−1rℓ−1 + rℓ =⇒ rℓ = rℓ−2 − kℓ−1rℓ−1
rℓ−3 = kℓ−2rℓ−2 + rℓ−1 =⇒ rℓ = rℓ−2 − kℓ−1(rℓ−3 − kℓ−2rℓ−2)
= (1 + kℓ−1kℓ−2)rℓ−2 − kℓ−1rℓ−3
. .
r1 = k2r2 + r3 =⇒ rℓ = ∗r1 + ∗ ′ r2
b = k1r1 + r2 =⇒ rℓ = ∗r1 + ∗ ′ (b − k1r1)
= (∗ − k1∗ ′ )r1 + ∗ ′ b
a = k0b + r1 =⇒ rℓ = (∗ − k1∗ ′ )(a − k0b) + ∗ ′ b
= s a + t b.
Así, (a : b) = rℓ = s a + t b donde claramente s, t ∈ Z ya que son obtenidos sumando y multiplicando
enteros.
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