Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

12 Teorema Chino del Resto (TCR)
Se trata ahora de resolver sistemas de ecuaciones de congruencia de la forma
⎧
x
⎪⎨ x
≡
≡
a1
a2
(mod m1)
(mod m2)
donde a1, . . . , an ∈ Z y m1, . . . , mn ∈ N .
⎪⎩
.
x ≡ an (mod mn)
Se utilizarán sistematicamente las propiedades siguientes que ya mencionamos antes, además del
hecho que ya sabemos resolver una ecuación de congruencia (Sección 8):
• Propiedades 3.3: x ≡ a (mod m) y n | m =⇒ x ≡ a (mod n) y para c = 0 : x ≡ a
(mod m) ⇐⇒ c x ≡ c a (mod (c m)).
• Proposición 6.9 (1): Sean m1, m2, . . . , mn ∈ N con mi ⊥ mj para i = j . Luego
⎧⎪⎨
x
x
⎪⎩
x
≡
≡
. ..
≡
a
a
a
(mod m1)
(mod m2)
(mod mn)
⇐⇒ x ≡ a (mod m1 · m2 · · · mn) (4)
Ejemplos
• ⎧ ⎨
⎩
x ≡ 3 (mod 22)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 21)
⇐⇒ x ≡ 3 (mod 22 · 5 · 21),
por la Propiedad (4), pues 22 = 2 · 11, 5 y 21 = 3 · 7 son coprimos dos a dos.
• De la misma forma:
⎧
⎨ x ≡ 50 (mod 22)
x ≡ 50 (mod 22 · 5 · 21) ⇐⇒ x
⎩
x
≡
≡
50
50
(mod 5)
(mod 21)
•
•
x ≡ 3 (mod 22)
x ≡ 4 (mod 11) ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x ≡ 3 (mod 2)
x ≡ 3 (mod 11)
x ≡ 4 (mod 11)
⎧
⎨ x ≡ 6 (mod 22)
⇐⇒
⎩
x
x
≡
≡
0
8
(mod 5)
(mod 21)
⎧
⎨ x ≡ 1 (mod 2)
⇐⇒
⎩
x
x
≡
≡
3
4
(mod 11)
(mod 11)
y luego el sistema no tiene solución (es incompatible) pues la segunda y la tercer ecuación a
la derecha no pueden verificarse al mismo tiempo.
x ≡ 3 (mod 22)
x ≡ 4 (mod 8) ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 3 (mod 11)
x ≡ 4 (mod 8)
y luego es incompatible pues la tercer ecuación a la derecha implica en particular que
x ≡ 4 (mod 2) , es decir x ≡ 0 (mod 2) , que es claramente incompatible con la primer
ecuación.
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