Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Criba de Eratóstenes (hasta 57)
• Se escribe la lista de todos los números del 2 al 57 :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, , 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 .
• Se tachan los múltiplos estrictos del primero de la lista:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, , 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 .
El primero que sobrevivió, en este caso el 3 , es claramente primo, ya que sino tendría que
ser divisible por un primo más chico que él.
• Se tachan los múltiplos estrictos (no tachados en la lista) del 3 :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, , 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 .
El primero que sobrevivió, en este caso el 5 , es claramente primo, ya que sino tendría que
ser divisible por un primo más chico que él.
• Se repite el procedimiento con el 5 :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, , 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 .
• Se repite el procedimiento con el 7 :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, , 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 .
• Se puede probar que alcanza hacer esto hasta que se alcanzó el último primo p ≤ √ 57 , es
decir hasta el primo p = 7 , pues todo número compuesto n es divisible por algún primo
menor o igual que su raíz cuadrada (probarlo). Luego la lista que quedó de números no
tachados son todos los primos menores o iguales que 57 , es decir:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53.
Ahora bien, si p es un número primo (positivo), y a ∈ Z es cualquiera, entonces el máximo común
divisor entre p y a , al ser un divisor de p primo, puede ser únicamente p o 1 , en función de si
p divide a a o no:
p si p | a
(p : a) =
y p ⊥ a ⇔ p ∤ a.
1 si p ∤ a
Luego, la Proposición 6.9 (2) dice: p | a b y p ∤ a =⇒ p | b , o equivalentemente:
p | a b ⇐⇒ p | a o p | b
Esta es la propiedad más importante que cumplen los números primos (comparar con el último
inciso de las Propiedades 2.3). Más aún, esta propiedad caracteriza los números primos: p es
primo si y solo si cada vez que p divide a un producto divide a alguno de los factores. Y la
propiedad se generaliza inmediatamente a
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