Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Por lo tanto, aplicando la construcción del Teorema 12.1, a := x1+x2+x3 = 240+360+280 =
1060 verifica que el sistema original es equivalente a x ≡ 1060 (mod 840) . Claramente
se puede achicar a utilizando que 1060 ≡ 220 (mod 840) , y de esa manera se obtiene
0 ≤ a < 840 :
⎧
⎨
⎩
x ≡ 4 (mod 8)
x ≡ 10 (mod 35)
x ≡ 1 (mod 3)
• ⎧ ⎨
⎩
⇐⇒ x ≡ 220 (mod 840).
x ≡ 3 (mod 10)
x ≡ 1 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 7)
Nuevamente, 10, 11 y 7 son coprimos 2 a 2, luego por el teorema existe a tal que el sistema
es equivalente a x ≡ a (mod 10 · 11 · 7) , es decir x ≡ a (mod 770) . Ahora bien, la primera
y la tercer ecuación se pueden juntar claramente en la ecuación x ≡ 3 (mod 70) , luego es
suficiente aquí considerar los dos sistemas:
Solución particular para S1 :
S1 :
x ≡ 3 (mod 70)
x ≡ 0 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 70)
x ≡ 0 (mod 11) ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = 11 y
con
11 y ≡ 3 (mod 70)
S2 :
x ≡ 0 (mod 70)
x ≡ 1 (mod 11)
Luego, una solución particular es y1 = 13 , por lo tanto x1 = 11 y1 = 143.
Solución particular para S2 :
x ≡ 0 (mod 70)
x ≡ 1 (mod 11) ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = 70 y
con
70 y ≡ 1 (mod 11)
⎧
⎨ x = 11 y
⇐⇒
⎩
y
con
≡ 13 (mod 70)
⎧
⎨ x = 70 y
⇐⇒
⎩
4 y
con
≡ 1 (mod 11)
La ecuación 4 y ≡ 1 (mod 11) admite a 3 como solución particular. Tomamos y2 = 3 , por
lo tanto x2 = 70 y2 = 210.
Así, a := x1 + x2 = 143 + 210 = 353 . Se tiene:
⎧
⎨
⎩
x ≡ 3 (mod 10)
x ≡ 1 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 7)
⇐⇒ x ≡ 353 (mod 770).
Observación 12.2 Una consecuencia inmediata del TCR es que existe un único a , con 0 ≤
a < m1 · m2 · · · mn , tal que el sistema original es equivalente a x ≡ a (mod m1m2 · · · mn) .
Así, si se conoce los restos de x al dividirlo por m1 , m2 ,. . . , y mn , entonces se conoce el resto
de x al dividirlo por m1 · m2 · · · mn .
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