Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Se deduce que i = 2, i ′ = 5 o i = 5, i ′ = 2 , j = j ′ = 1 , k = 0, k ′ = 2 o k = 2, k ′ = 0 y
ℓ = 1, ℓ ′ = 2 o ℓ = 2, ℓ ′ = 1 . Todos los pares posibles a, b ∈ N son entonces:
a = 2 2 · 3 1 · 5 0 · 17 1
a = 2 5 · 3 1 · 5 0 · 17 1
a = 2 2 · 3 1 · 5 2 · 17 1
a = 2 5 · 3 1 · 5 2 · 17 1
a = 2 2 · 3 1 · 5 0 · 17 2
a = 2 5 · 3 1 · 5 0 · 17 2
a = 2 2 · 3 1 · 5 2 · 17 2
a = 2 5 · 3 1 · 5 2 · 17 2
, b = 2 5 · 3 1 · 5 2 · 17 2
, b = 2 2 · 3 1 · 5 2 · 17 2
, b = 2 5 · 3 1 · 5 0 · 17 2
, b = 2 2 · 3 1 · 5 0 · 17 2
, b = 2 5 · 3 1 · 5 2 · 17 1
, b = 2 2 · 3 1 · 5 2 · 17 1
, b = 2 5 · 3 1 · 5 0 · 17 1
, b = 2 2 · 3 1 · 5 0 · 17 1
11 El Pequeño Teorema de Fermat (PTF)
Este teorema es uno de los tantos que debemos al abogado y matemático francés Pierre de Fermat
(1601–1665). Fermat, el mayor matemático amateur de todos los tiempos, dejó una obra importantísima
en Teoría de Números, además de ser un pionero en Teoría de Probabilidades, Cálculo
Variacional y Geometría Analítica. Poseía la traducción latina de la Aritmética de Diofanto, realizada
por Bachet a fines del Siglo XVI, y tenía la particularidad de escribir en los márgenes de
ese libro enunciados matemáticos y comentarios, la mayoría de las veces sin demostraciones. El
Pequeño Teorema fue luego demostrado y generalizado por el matemático suizo Leonhard Euler
(1707–1783). Euler demostró la casi totalidad de los resultados enunciados por Fermat, con la
excepción de la afirmación —inspirada en el teorema de Pitágoras— conocida como el “Ultimo
Teorema de Fermat”:
Cualquiera sea n > 2 , no existen a, b, c ∈ N tales que a n + b n = c n .
Este fue probado recién en los años 1993–1994 por el matemático inglés Andrew Wiles, con la
ayuda parcial de su discípulo R. Taylor.
Teorema 11.1 (Pequeño Teorema de Fermat)
Sean a ∈ Z y p un primo positivo. Entonces
1. a p ≡ a (mod p)
2. p ∤ a =⇒ a p−1 ≡ 1 (mod p)
Observaciones
• El teorema es falso en general si p no es primo: por ejemplo 3 4 = 81 ≡ 3 (mod 4) .
• Sin embargo existen números n no primos para los cuales vale el enunciado del pequeño
teorema: a n ≡ a (mod n) para todo a ∈ Z . Esos números se suelen llamar “seudoprimos”
o “primos de Carmichael” (por más que no sean primos) según el matemático que descubrió
en 1909 el más chico de ellos, el número n := 561 = 3 · 11 · 17 . En 1995 se probó que existen
infinitos seudoprimos.
• Las dos afirmaciones del teorema son equivalentes:
(1 ⇒ 2): Por hipótesis, a p ≡ a (mod p) . Si p ∤ a , es decir a ⊥ p , se puede simplificar un
a de los dos lados (justificar!) y queda a p−1 ≡ 1 (mod p) .
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