Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
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• x ≡ 1 (mod 4)<br />
x ≡ 5 (mod 8)<br />
•<br />
⇐⇒ x ≡ 5 (mod 8)<br />
pues si se cumple la segunda ecuación, se cumple automaticamente la primera:<br />
x ≡ 5 (mod 8) =⇒ x ≡ 5 (mod 4) =⇒ x ≡ 1 (mod 4).<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x ≡ 3 (mod 22)<br />
x ≡ 5 (mod 8)<br />
x ≡ 17 (mod 20)<br />
⎧⎪⎨<br />
⇐⇒<br />
⎪⎩ x ≡ 1 (mod 2)<br />
x ≡ 3 (mod 11)<br />
x ≡ 5 (mod 8)<br />
x ≡ 1 (mod 4)<br />
x ≡ 2 (mod 5)<br />
⎧<br />
⎨ x ≡ 5 (mod 8)<br />
⇐⇒<br />
⎩<br />
x<br />
x<br />
≡<br />
≡<br />
3<br />
2<br />
(mod 11)<br />
(mod 5)<br />
pues la ecuación x ≡ 5 (mod 8) implica que x ≡ 5 (mod 4) y x ≡ 5 (mod 2) , es <strong>de</strong>cir x ≡ 1<br />
(mod 2) y x ≡ 1 (mod 4) (si en el medio se cumple la tercera se cumplen automaticamente<br />
la primera y la última).<br />
En estos ejemplos se ve que cuando el sistema no es incompatible, se reduce a resolver un sistema<br />
(3) pero con la condición <strong>de</strong> que los mi son coprimos dos a dos. En esa situación vale el<br />
teorema siguiente:<br />
Teorema 12.1 (Teorema Chino <strong>de</strong>l Resto)<br />
Sean a1, . . . , an ∈ Z y sean m1, . . . , mn ∈ N con mi ⊥ mj para i = j . Entonces existe a ∈ Z tal<br />
que<br />
Prueba.–<br />
⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
x ≡ a1 (mod m1)<br />
x ≡ a2 (mod m2)<br />
.<br />
x ≡ an (mod mn)<br />
⇐⇒ x ≡ a (mod m1 · m2 · · · mn)<br />
Se trata <strong>de</strong> encontrar una solución particular a ∈ Z <strong>de</strong>l sistema, es <strong>de</strong>cir un número a ∈ Z tal que<br />
⎧⎪<br />
a<br />
⎨ a<br />
⎪⎩ a<br />
≡<br />
≡<br />
. ≡<br />
a1<br />
a2<br />
an<br />
(mod m1)<br />
(mod m2)<br />
(mod mn)<br />
.<br />
Pues en ese caso, por transitividad y aplicando la Propiedad (4), tendremos:<br />
⎧<br />
x<br />
⎪⎨ x<br />
⎪⎩<br />
x<br />
≡<br />
≡<br />
.<br />
≡<br />
a1<br />
a2<br />
an<br />
(mod m1)<br />
(mod m2)<br />
(mod mn)<br />
⎧<br />
x<br />
⎪⎨ x<br />
⇐⇒<br />
⎪⎩<br />
x<br />
≡<br />
≡<br />
. ≡<br />
a<br />
a<br />
a<br />
(mod m1)<br />
(mod m2)<br />
(mod mn)<br />
⇐⇒ x ≡ a (mod m1 · m2 · · · mn).<br />
Para hallar una solución particular a vamos a subdividir el sistema (3) en n sistemas más simples<br />
y buscar una solución particular para cada uno <strong>de</strong> ellos. Estos sistemas S1 , S2 , . . . , Sn son:<br />
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